Transcript 初中数学思想方法的教学与应用

初中数学思想方法的教学与应用
郑州市第八十五中学
张利红
什么是数学思想和方法
数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某
些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数
学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指
导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。
数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括
数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方
式、手段、途径等。
数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思
想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。
中位数
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常用的数学思想方法
常用数学思想:
建模思想、统计思想、最优化思想、
转化化与化归思想、类比思想、分类思想、
整体思想、数形结合思想、方程思想、函
数思想等。
常用数学方法：
配方法、换元法、待定系数法、参数法、
构造法、特殊值法等。
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为什么要重视数学思想方法的学习
1、生活的需要
2、学生发展的需要
3、课标要求
4、高效课堂的需要
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如何培养初中生的数学思想方法
一、数学思想方法的培养应遵循的原则：
渗透性原则、层次性原则、反复性原则
二、在知识的传授全过程中，培养学生的数学思想
在概念形成过程中、在公式定理的证明过程中、
在例题教学中、在练习过程中渗透和培养数学思想
三、培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问
题的能力
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初中数学思想方法的教学与应用
• 类比联想
• 整体思想
• 数形结合思想
• 分类讨论思想
• 转化与化归思想
• 方程与函数思想
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类比联想
类比法，是通过对两个研究对象的比较，
根据它们某些方面（属性、关系、特征、形
式等）的相同或相类似之处，推出它们在其
它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。
类比法所获得的结论是对两个研究对象的观
察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，
是一种由特殊到特殊的推理方法．
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教学体现
•相似三角形判定方法的探索
•零指数幂和负整数指数幂的性质探索
•特殊平行四边形性质和判定的探索
•直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关
系的探索
•整式除法运算法则探索
•求多边形内角和
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(2008中考）18.（9分）复习“全等三角形”的知识时，
老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，
AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转
至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接
BQ、CP，则BQ=CP．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通
过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得
BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的
条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证
Q
明．
A
A
Q
P
P
B
图①
中位数
C
B
图②
C
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（2010中考）22.（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折
叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG
延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
AD
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 AB 的值；
（3）类比探求
AD
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求
的值．
AB
A
E
D
F
G
G
B
中位数
C
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A
E
ｘ
F
２ｘ
B
中位数
D
ｘ
２ｘ G
ｙ
G
ｘ
C
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2012中考
Ｈ
中位数
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整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出
发，突出对问题的整体结构的分析和改
造，发现问题的整体结构特征，从宏观
整体上认识问题的实质，把一些彼此独
立，但实质上又相互紧密联系的量作为
整体来处理的思想方法。
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教学体现
•多项式与多项式相乘的法则探索
•二元一次方程组的解法
•代数式求值
•分解因式
•整式的相关计算
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应
用
1、若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x= -1时，
求ax3+bx+7的值为；


2、 1 
1 1 1  1 1 1 1   1 1 1  1  1 1 1 
        1         
2 3 4  2 3 4 5   2 3 4  5  2 3 4 
ax  by  4
x  2
的解是 
3、已知方程组 
，则a+b=
bx

ay

5
y

1


4、
中位数
(3a  7)
2
.
 (a  5)2  (4a  24)
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5、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯
的长度
至少需要
米。
6、如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，
则图中的阴影面积为
。
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7、（2009绵阳中考12题） 如图，△ABC是直角边长
为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，
半圆O2过C点且与半圆O1相切，求图中阴影部分的面
积。
C
O2
P
A
中位数
O1
B
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数形结合思想
数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合
起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直
观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助
数”或“以数解形”即利用形的直观加深对数量关
系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，实
现了抽象思维与形象思维的结合与转换。
数与形本是相倚依，怎能分作两边飞；
数缺形时少直观，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休。
——华罗庚
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教学体现
•数轴
•平面直角坐标系
•函数
•空间与图形
•勾股定理
•平方差公式、完全平方公式的几何意义
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应
用
1、已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（ ）
A 、 —b＞—a B 、 —b＞
C 、—a ＞ |b| D、 |b| ＞|a|
2、关于x的不等式组 5  2 x  1 无解，则a的取值

范围是
。
x  a 0
3、如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条……“金鱼”。
则搭n条“金鱼”需要火柴
根。

1
2
1
1

,y1),N( 4 ,y2),P(
2
4、若M(
,y3)三点都在函数
（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A、 y2＞y3＞y1
B、 y2＞y1＞y3
C 、 y3＞y1＞y2
D、 y3＞y2＞y1
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5、对于二次函数y＝ax2＋bx＋c若a＞0，b＜0，c ＜0，
则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（
）
A.只有一个交点
B.有两个，都在x轴的正半轴
C.有两个，都在x轴的负半轴
D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴
6、2012中考
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7、(08湖北恩施州) 如图,C为线段BD上一动点,分别过点
B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知
AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式
x 2  4  (12  x) 2  9 的最小值. A
Ｃ
B
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C
D
E
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分类讨论思想
分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研
究的问题根据题目的特点和要求，分成若干
类，转化成若干个小问题来解决，这种按不
同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思
想。
当数学问题中的条件、结论不明确或题
意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部
分问题来解决,以增加题设条件。
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分类讨论的步骤及原则
1、明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类
标准（标准统一，标准不同，结果也不相同）；
2、恰当分类（结果无遗漏，无交叉重复）；
3、逐类讨论（逐级进行，不越级讨论）；
4、归纳总结，综合得出结论。
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教学体现
•|a |= ————
•实数的分类
•三角形的分类
•与圆有关的位置关系
•三角形判定方法的探索
•一元二次方程的解的情况
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应
用
1、等腰三角形的一个角等于30°，腰长为20cm，
求等腰三角形腰上的高的长；
2、已知直角三角形两边x、y的长满足
x 2  4  y 2  5 y  6  0 ，则第三边长为
；
3、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、
B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120
千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相
距50千米，则的值是（ ）
A、2或2．5
B、2或10
C、10或12．5
D、2或12．5
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4、在半径为1的⊙O中，弦AB，AC分别为 3和 ，
2
则∠BAC的度数为
；
5、已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的
长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半
径一定是（ ）
A．1或5 B．1
C．5
D．1
6、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式
。
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C
在三角形的边上找出一点，使得该点
与三角形的两顶点构成等腰三角形！
1、对∠A进行讨论 C
20°
A
B 2、对∠B进行讨论
C
C
110°
65°
20°
B
A
C
65°
A
35°
35°
50°
C
80°
20°
B
3、对∠C进行讨论
C
20°
中位数
50°
20°
20°
A
A
110°
BA
B
80°
B
50°
A
50°
B
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劳技课上，老师要求学生在一张长17cm，宽16cm
的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，
要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其
余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下
所得等腰三角形的面积。
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在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.
y
（1）点T（t，0）是x轴上
的一个动点。当t取何值时，
△TOP是等腰三角形？
.0
情况一:OP=OT
T1 ( 5,0);T2 ( 5,0)
情况二:PO=PT
P
A
T3(-4,0)
情况三:TO=TP
5
T4 ( ,0)
4
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x
(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为
A.点T为坐标系中的一点。以点
A.O.P.T为顶点的四边形为平行
四边形,请写出点T的坐标?
情况一： 以OP为对角线
T1 (2,0)
情况二： 以PA为对角线
.0
P
A
T2 (2,2)
情况三： 以OA为对角线
T3 (2,0)
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y
(3) 过P作y轴的垂线PA,垂足为
A.点T为坐标轴上的一点。以
P.O.T 为顶点的三角形与
△AOP相似,请写出点T的坐标?
.0
由图得POT为900 时，
符合条件的点T不存在
情况一： 当PTO  90 时
0
T1 (2,0)
P
A
情况二： 当TPO  900时
5
T2 ( ,0)
2
中位数
T3 (0,5)
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x
如图，边长为2的正方形
ABCD中，顶点A的坐标是
（0，2）.一次函数y＝x＋t的
图象l随t的不同取值变化时，
正方形中位于l的右下方部分
的图形面积为S．写出S与t的
函数关系式．
y
C l
D
A
O
中位数
B
x
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t0y
t4
t2
y
C
D
A
B
A
O
0t 2
中位数
l
Cl
D
B
x
1 2
S t .
2
O
2t 4
x
1
S  4  (4  t ) 2
2
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（2011中考）22、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，
∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度
向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单
位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，
另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t
＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t
值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
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转化与化归思想
化归就是转化与归结的简称，所谓化
归就是将所要解决的问题转化归结为另一个
比较容易解决的问题或已经解决的问题。具
体来说，就是把“新知识”转化为“旧知
识”，把“未知”转化为“已知”，把“复
杂问题”转化为“简单问题”。
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教学体现
•多边形内角和的探索
•整式乘法运算法则探索
•直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关
系探索
•分式方程的解法、多元方程（组）的解
法、一元二次方程的解法
•几何实体与其三视图
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应
用
1、 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个
“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从
入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走
了
.
A
7米
B
8米
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2、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色
块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间
最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图
的面积为
.
Ｘ＋２ Ｘ＋３
Ｘ＋１Ｘ Ｘ
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3、如图所示，AB是半圆的直径，AB=4，C、D
为半圆的三等分点，求阴影部分的面积?
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4、如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，
P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，求AP+BP的最
小值。
A
M
中位数
Ｐ
O P
B
N
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方程与函数思想
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析
和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，
运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法
在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问
题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系
和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些
量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望
通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想，
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
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教学体现
•二次函数求最值
•解直角三角形的相关问题
•最大利润问题
•最佳分配方案问题
•空间与图形的相关问题
•根据相关信息求函数关系式
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应
用
1、 如图， ABC 中，BC＝4，AC  2 3，ACB  60
P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，
问点P在BC上何处时， ⊿APD 面积最大？
A
D
B
中位数
x
P
H
C
4-x
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２、某学校有一段25米长的旧围栏，（如图用AB表示），现打
算利用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为100
㎡的长方形草坪，如图，其中CD＜CF。已知整修旧围栏的费
用为每米1.75元，建造新围栏的价格为每米4.5元，设利用旧围
栏CF的长度为x米，修建草坪围栏的总费用为y元。
（1）求出y与x之间的函数关系式。
（2）若计划修建费用只有150元，则应利用旧围栏多少米？
（3）若计划修建费用只有120元，能否完成该草坪的围栏修建
任务？请说明理由。
x
中位数
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中位数
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中位数
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教科书里陈述的数学，往往是“冰冷
的美丽”.因此，数学教师的责任在于把
数学的学术形态转化为教育形态，使学生
既能高效率地进行火热的思考，又能比较
容易接受，理解隐藏在“冰冷美丽”背后
的数学本质.
—— 张奠宙
中位数
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