Transcript 第8章线性动态电路分析A

第8章 线性动态电路的分析
8.1
换路定理
8.2
电路初始值与稳态值的计算
8.3
动态电路的方程
8.4
直流一阶电路的响应及三要素法
8.5 正弦交流一阶电路的响应及三要素法
8.6 一阶电路全响应的两种分解
8.7 RC微分电路与RC积分电路
8.8 RLC串联电路的零输入响应
8.1 换路定理
8.1.1 电路过渡过程与稳定状态
含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。动态电路的
伏安关系是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式。
一阶电路：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有
一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。
过渡过程：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电
压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。
产生过渡过程的条件：电路结构或参数的突然改变。
产生过渡过程的原因：能量不能跃变，电感及电容能量的存
储和释放需要时间，从而引起过渡过程。
8.1.2 换路定理
换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通
或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等
称为换路。
换路定理：电容上的电压uC及电感中的电流iL
在换路前后瞬间的值是相等的，即：
u C (0  )  u C (0  )
iL ( 0  )  i L ( 0  )
必须注意：只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持
不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
例8-1：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=1V，
R1=0.5ΩR2=0.5Ω,求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、 iC(0+)
解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时
电容两端电压分别为：
uC (0- ) = US = 1V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：
uC (0+ ) = uC (0- ) = 1V
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得：
US - uC (0+ ) 1- 1
i1 (0+ ) =
=
= 0A
R1
0.5
uC (0+ )
1
i2 (0+ ) =
=
= 2A
R2
0.5
iC (0 )  i1 (0 )  i2 (0 )  0  2  2A
i1 (0+)
+
US
－
R1
+
uC(0+)
－
iC(0+)
R2
i2 (0+)
例8-2：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求初始值
uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感L相当于短路、电容C相当
于开路，因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：
US
10
iL (0  ) 

 1A
R1  R3 6  4
uC (0 )  i1 (0 ) R3  iL (0 ) R3  1 4  4V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：
L
6Ω
iL (0 )  iL (0 )  1A
uC (0 )  uC (0 )  4V
R1
Us
+
+
10V R2 +
－
u
2Ω
－
iL
uL － i
1
R3
4Ω
C
iC
+
uC
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。
由图得：
uC (0 ) 4
i1 (0 ) 
  1A
R3
4
iC (0 )  iL (0 )  i1 (0 )  1  1  0 A
u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：
US
 iL (0  ) 10  1
R
u (0  )  1
 6
1
1
1 1


R1 R2
6 2
20  12

 1V
26
uL (0 )  1V  4V  3V
6Ω
R1
Us
iL(0+)
+ uL(0+)－ i (0 ) i (0 )
1 + C +
+
+
R3
R2 +
10V
uC(0+)
u(0+) 4Ω
2Ω
－
－
－
8.2 电路的初始值与稳态值的计算
8.2.1 电路初始值的计算
换路后过度过程开始前的 瞬间即为t=0+时，电路中
各元件的电压、电流值称为初始值。
具体步骤如下：
第一步，根据已知条件，先求出换路前即t=0-时的各电
容电压uC(o-)及各电感电流il(o-)。
第二步，由换路定律求出换路后即 t =0+时的各电容电
压uC(o+)和各电感电流iL(0+)
第三步，用US=uC(o+)的电压源替代各相应的电容电压
，Is=il(o+)的电流源替换各相应的电感元件，得到t=o+
时刻的等效电路。
第四步，根据t=o+时刻的等效电路，运用直流电路的分
析方法，即可求出其它电流、电压的初始值。
例 8-3
电路如图8-2-1所示，已知开关闭合前，电容和
电感均无储能。电压源us=12V，电阻R1=6Ω，R2=15Ω。
求开关S闭合后各电压、电流的初始值
图8-2-2 t=0+时的等效电路
解
先求出开关闭合前的电容电压及电感电流。假定初
始时刻为t=0,则根据已知条件可得t=0时
UC(0_)=0
iL(0_)=0
电容电流，电感电压，以及电阻R1和R2上的电压 电流均
为0。根据换路定律可知
UC(0+)=UC(0_ )=0
iL(0+)=iL(0_ )=0
因此，在t=0+时刻这一瞬间，电容相当于短路，电
感相当于开路，作出等效电路如图8-2-2所示。
运用直流电路的分析方法，即可求出各电压、电流
的初始值为
iL (0  )  iL (0  )  0
U S 12
iC (0  )  i1 (0  ) 
 A  2A
R1
6
uC (0  )  uC (0  )  0
u R1 (0  )  U S  12V
u R 2 (0  )  0
u L (0  )  u R1 (0  )  12V
可见，开关闭合后，电容电流、电感电压、电阻R1电
流和电压发生了跃变，其它电流和电压没有发生跃变
。
8.2.2 电路稳态值的计算
直流电阻电路的分析方法就是一种电路稳态的计算方
法。交流电路也有稳定状态。正弦交流电路的稳态分
析一般就是我们平常的相量分析法。
动态电路总是从原来的稳定状态经过过渡过程后达到新
的稳定状态。我们这里主要讨论含有电容、电感的动态电
路在直流电源激励下的稳态分析。其分析主要基于下面两
个稳态条们件
第—,电容的充放电过程结束，电容上的电压稳定，即
流过电容电流为零，电容相当于开路；
第二，电感的充磁过程结束，流过电感的电流稳定，即
电感上的电压为零，电感相当于短路。
结合上面两个稳定条件，利川直流电路的分析方法，我
们就可以进行这一类电路的稳态值计算。
例8-4 如图所示，已知电压源US=36V，电阻R1=3Ω，
R2=9Ω，R3=18Ω，求开关S闭合前和闭合后电路电容电压
uC(t)、电感电流iL(t)，电阻R1电流
i1(t)，以及电阻R2电流i2(t)
的稳态值.
(a)t=0-时
(b)t=∞时
解 开关闭合S前的等效电路如图8-2-4（a）所示，各稳态值
分别为
US
36
i1 (0  )  i2 (0  ) 

A  3A
R1  R2 3  9
R2U S
9
uC ( 0  ) 

 36V  27V
R1  R2 3  9
iL (0  )  0
开关S闭合后的等效电路如图8-2-4（b)所示，电阻和并联后
的电阻为
R2 R3
9 18
R23  R2 // R3 

  6
R2  R3 9  18
R  R1  R23  3  6  9
各稳态值分别为:
U S 36
i1 () 

A  4A
R
9
i2 () 
R23
6
uC ( ) 
U S   36V  24V
R
9
uC () 24

A  2.67 A
R2
9
iL ( ) 
uC () 24

A  1.33A
R3
18
8.3 动态电路的电路方程
(a) RC一阶电路 (b) RL一阶电路
Cc
(c) RC二阶电路
图(a)电路中，以电容电压uC(t)为研究对象，其电路方程为
C上的电量为QC  CuC
dQC
duC
电流强度iC 
C
dt
dt
duc
故 RC
 uc  u s (t )  一阶常系数线性微分方程
dt
所对应的电路称为线性、 非时变一阶电路
同理， 图(b)中以电感电流iL (t )为
研究对象, 其电路方程为:
u s (t )
L diL
 iL 
 一阶常系数线性
R dt
R
微分方程, 所对应的电路称为线性、 非时变一阶电路
图(c)电路中,以电容电压uc 2 (t )
为研究对象, 其电路方程为:
(二阶常系数线性微分方程)
d 2uc 2
duc 2
R1C1 R2C2
 ( R2C2  R1C1  R1C2 )
 uc 2  u s (t )
2
dt
dt
 所对应的电路为线性、 二阶非时变电路
8.4 直流一阶电路的响应及三要素法
根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，
即：
全响应=稳态分量+暂态分量
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零
状态响应，即：
全响应=零输入响应+零状态响应
零输入响应是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初始
状态有关，而与激励无关。零状态响应是初始状态为零时，由
激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。
经典法求解一阶电路的步骤：
（1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系，根据换路后
的电路列出微分方程；
（2）求微分方程的特解，即稳态分量；
（3）求微分方程的补函数，即暂态分量；
（4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解
（5）按照换路定理求出暂态过程的初始值，从而定出积
分常数。
8.4.1 电路初始值的计算
1．RC电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
u R  uC  U S
du C
而：i C  C
dt
du C
u R  RiC  RC
dt
从而得微分方程：
duC
RC
 uC  U s
dt
S
+
US
－
iC
R
+
uR
－
C
+
uC
－
解微分方程，得：
uC  U S  (U 0  U S )e

t

 U S  (U 0  U S )e

t
RC
其中uC'=US为t→∞时uC的值，称为稳态分量。
uC  (U 0  US )e

t

 (U 0  US )e

t
RC
只存在于暂态过程中， t→∞时uC''→0，称为暂态分量。
τ=RC称为时间常数，决定过渡过程的快慢。
uC
波
形
图：
US
uC
U0 <US
U0
US
U0
0
U0 >US
t
0
t
求对于一阶RC电路和一阶RL电路，其电路方程可归结为
 dy
直流一阶电路 
 y  x(t )
 dt
的微分方程为： 
 y ( 0  )  y0
其中，y(t)为电路的电压或电流响应, x(t)为电路的激励
（输入信号）或与激励相关的函数；τ称为电路的时间常
数。y0为初始条件
对于RC电路， 时间常数为：   RC
L
对于 RL 电路 ， 时间常数为 ：  
R
可以看出，时间常数τ与时间t的量纲一样，故其单位为
秒(S)
在动态电路中，外加激励电源为零，而动态元件有初始储
能时，则电路的响应由初始储能产生，所激发的响应称为
零输入响应。
dyzi

 y zi  0
dt
y zi (0 )  y0
而外加激励电源不为零，而动态元件无初始储能时，则电
路的响应由外加激励产生，所激发的响应称为零状态响应
即零状态响应是电路在无初始储能情况下，由外加
激励产生的响应。
例如，设微分方程(8-5)的一阶电路的零状态响应
为yzs(t),则它应该满足
一阶电路在外加激励电源为常数即电路的电源为直流电
源时所对应的零状态响应和全响应，相应地称为直流一
阶电路的零状态响应和全响应。
我们重点研究直流一阶电路的响应。
 dy
直流一阶电路 
yx
 dt
的微分方程为： 
 y (0  )  y0
在直流一阶电路中的响应是电路的全响应，根据一
阶线性微分方程解的结构，微分方程的通解可以表示为

y (t )  A  Be
t

令t  和t  0, 可以得到:
A  y ( )
B  y (0  )  y ( )
于是, 直流一阶电路的全响应的一般表达式为:
y (t )  y ()  [ y (0)  y ()]e

t

图8-4-1 直流一阶电路全响应波形
其中，y(0+)和y(∞)分别是换路后的初始值和稳态值，
τ称为电路的时间常数。
如图8-4-1所示，一阶电路的全响应是一个随时间按指
数函数规律由y(0+)逐渐变化到y(∞)的曲线，其变化的快慢
电路的时间常数τ 。
一阶电路的时间常数τ是电路本身的固有特性，它反映
了过渡过程持续时间的长短，通过研究指数函数的规律就可
以说明这点。
对于直流一阶电路，只要知道了电路的时间常数τ、换
路后的初始值y(0+)和稳态值y(∞)，就可以确定其响应
。因此，称时间常数τ、换路后的初始值y(0+)和稳态值
y(∞)为直流一阶电路的三要素。利用三要素公式求解直
流一阶电路的响应的方法，称为三要素法。
三要素法的关键是确定三要素，其求解方法如下:
(1)利用换路前的动态元件的初始值，换路定律和t=0+的
等效电路求得换路后的初始值。
(2)由换路后t=∞的等效电路求出换路后的稳态值。
(3)时间常数只与换路后电路的结构和参数有关，RC电路
τ=RC，RL电路τ=L/R，其中电阻R是换路后，在动态元
件外的戴维南等效电路的内阻
对于直流一阶电路，无论是求解零输入响应、零状态响
应，还是求解全响应，无论是求解RC电路，还是求解RL电路
，都可以利用三要素法求解其响应，而不必解微分方程。
由于三要素法避免了微分方程的求解，所以在工程上实
用，因而得到了广泛的应用.
若激励信号为x(t)=0,则Y(∞)=0,但Y(0+)≠0,响应的一般
表达式可简化为:
而对于直流一阶电路的零状态y(0+)=0响应中的没有
发生跃变的量(如电容电压和电感电流等)，由于其零
初始值为零，其一般形式可简化为:
y(t )  y()(1  e

t

)
例8-3 电路如图8-4-2(a)所示，已知电压源us1=12V，
us2=24V，电阻R1=3KΩ，R2= 6KΩ，C=2μF,开关S在t=0+
时变换位置，此前电路已达到稳定状态，求开关变换位
置后的电容电压uc(t)和ic(t)电流。
（a）电路
(c) t=∞时的等效电路
解 从电容两端看进去的总等效电阻为
RR
3 6
R 1 2 
k  2k
R1  R2 3  6
电路的时间常数为
  RC  2  103  2  106 s  4ms
由电容电压不能跃变，故电容电压uc(t)的初始值为
R2
6
u c (0  )  uc (0  ) 
U s2 
 12  8V
R1  R2
3 6
根据图8-4-2(b)的等效电路，电容电流
ic (0  ) 
U s 2  u c (0  ) u c (0  )
24  8 8

(
 )m A  4m A
R1
R2
3
6
根据图8-4-2(c)的等效电路uc(t)电
容电压的稳态值为
U s2
24
uc () 
R2 
 6  16V
R1  R2
3 6
电容电流 uc(t)的稳态值为
(c) t=∞时的等效电路
ic ()  0
电容上的电压为: u c (t )  u c ()  [u c (0  )  u c ()]e
 16  8e


t

t

 16  8e  250 tV
dQc d [Cu C (t )]
d [u C (t )]
电容上的电流: ic (t ) 

C
dt
dt
dt
 2  106  [8  (250)e 250 t ]  4  103 e 250 t A  4e 250 t m A
8.5 正弦交流一阶电路的响应及三要素法
，x(t )  Xmsin(t   x )
在正弦交流一阶电路中
为一正弦量，故微分方程(8-5)的通解可以表示为

y(t )  A sin(t   y )  Be
t

t 0
其中，第一个分量 A sin(t   y )
为稳态响应(强迫分量)、因为它不随时间的推移而衰减
稳态响应可以由正弦交流电路的相量分析法求得其对应的
电压或电流响应复相量

Y  A Y
以利用y(0+)求出第二个分量 Be
-
t
τ
为暂态响应(自由为零。暂态响应分量)，因为它随时间
的推移而衰减量可
B  y(0 )  Asin  y
由此，正弦交流一阶电路的三要素公式为
y(t )  A sin(t   y )  [ y(0 )  A sin  y ]e

t

正弦交流一阶电路的三要素分别是时间常数τ、
换路后的初始值y(0+)和稳态复相量Y
t 0
例8-6 电路如图8-5-1所示，已知直流电源us=12V，交流电
源us（t）=24sin(314t+30°)V，电阻R1=3KΩ，R2=6KΩ，
C=2μF,开关S在t=0时变换位置，此前电路已达到稳定状态
，求开关变换位置后的电容电压UC(t)和电流iC(t）
解 从电容两端看进去的总等效
电阻为
R1 R2
3 6
R

k  2k
R1  R2 3  6
时间常数为:   RC  2k  2  4ms
图8-5-1
根据图8-5-2(a)等效电路，故电容电压uC(t)
的初始值为
。
u c (0  )  u c (0  ) 
R2
6
Us 
12V  8V
R1  R2
3 6
(a) t=0-时的等效电路
根据图8-5-2(b)等效电路，电容电流ic(t)的初始值为
设电容电压和电流的稳态相量分别
为ucm和icm
(b) t=0+时的等效电路
已知交流电源相量usm=24V
根据图8-5-2(c)正弦等效电路，利用
相量分析法，可以得方程

U sm

U cm



U cm
 U cm  ( I cm  I R 2 ) R1  U cm  (
 jC U cm ) R1
R2






(c) t=∞时的
正弦等效电路
U sm
U sm
U sm
2430






10

(

23
)V


1  0.5  1.884 j 1.5  1.884 j 2.453 2.453
故 : uc (t )  10sin(t  23 )
 [8  10sin(23 )]e

t

 10sin(t  23 )  11.7e 250 t
图8-5-1
d [uc (t )]
d [10sin(t  23 )  11.7e 250 t ]
ic (t )  C
 2 
dt
dt
 2   [10 sin(t  67 )  11.7  (250)e  250 t ]
 [6180sin(t  67 )  5850e  250 t ] A
 6.18sin(t  67 )  5.85e  250 t m A
故 : uc (0 )  10sin(23 )  11.7V  8V
ic (0 )  6.18sin 67  5.85m A  0 A
uc ()  10sin(t  23 ) V
ic ()  6.18sin(t  67 )m A
8.6 一阶电路全响应的两种分解
根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，
即：
全响应=稳态分量+暂态分量
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零
状态响应，即：
全响应=零输入响应+零状态响应
零输入响应是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初
始状态有关，而与激励无关。零状态响应是初始状态为零时，
由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。
例8-7 电路如图所示，已知电压
源us1=12v,us2=24v，电阻R1=3KΩ ,
R2=6KΩ,C=2μF,电容无初始储能,
图8-6-1 例8-7电路
开关在t=0时接通，求开关接通后电
阻R1的电压u1(t)的零输入响应u1Zi、零状态响应u1zs和全响
应u1ai ，并验证是否满足式(8-15)。
解 电路的总等效电阻为
R1R2
3 6
R  R1 // R2 

k  2k
R1  R2 3  6
电路的时间常数为
由于电容电压不能跃变，故电容电压uC（t）的初始值为
R2
6
uC (0  )  uC (0  ) 
U S1 
 12V  8V
R1  R2
3 6
（1）求零输入响应
u1zi (0  )  u C (0  )  8V
u 1zi ()  0
（3）求全响应
u1al (0  )  U S2  u C (0  )  24  8V  16V
u1al ()
R1
3

U S2 
 24V  8V
R1  R2
3 6
（3）求全响应
u1al (0  )  U S2  uC (0  )  24  8V  16V
u1al ()
R1
3

U S2 
 24V  8V
R1  R2
3 6
全响应为
（4）验证是否满足式(8—15)
u1zi (t )  u1zs (t )  8e 250t  8  16e 250t V  8  8e 250t V  u1al (t )
u1zi (t )  u1zi ()  [u1zi (0  )  u1zi ()]e
 0  (8  0)e


t

t
4103
 8e 250t V
（2）求零状态响应
u1zs (0  )  U S2  24V
u1zs ()
R1
3

U S2 
 24V  8V
R1  R2
3 6
u1zs (t )  u1zs ()  [u1zs (0  )  u1zs ()]e
 8  (24  8)e


t

t
4103 V
 8  16e 250t V
将一阶RC电路中电容电压uC随时间变化的规律改写为：
uC  U 0 e

t
RC
 US (1  e
零输入响应

t
RC )
零状态响应
将一阶RL电路中电感电流iL随时间变化的规律改写为：
R
R
 t U
 t
S
L
iL  I 0e  (1  e L )
R
零输入响应
零状态响应
（3）求时间常数τ。将电感支路断开，恒压源短路，得：
R  R2  3
时间常数为：
L 1
  s
R 3
（4）求iL和u2。利用三要素公式，得：
iL  2  1  2e3t  2  e3t A
u2  6  3  6e3t  6  3e3t V
例：图示电路有两个开关S1和S2，t<0时S1闭合，S2打开，电
路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。已知IS=1.5A，US=10V
，R1=4Ω，R2=4Ω，R3=6Ω，C=1F。 求换路后的电容电压uC
，并计算出其稳态分量、暂态分量、零输入响应、零状态响
S1
S2
应。
IS
R1
C
+
uC
－
R3
R2
+
US
－
解：（1）全响应=稳态分量+暂态分量
R2
4
US =
´ 10 = 4V
稳态分量 uC¢ = uC (¥ ) =
R2 + R3
4+ 6
初始值
R1R2
4´ 4
uC (0+ ) = uC (0- ) = IS
= 1.5´
= 3V
R1 + R2
4+ 4
R2 R3
4´ 6
C=
´ 1 = 2.4s
时间常数 t = RC =
R2 + R3
4+ 6
暂态分量
-
t
t
-
uC¢¢= éëuC (0+ ) - uC (¥ )ù
ûe = (3 - 4)e
全响应
uC = uC¢+ uC¢¢= 4 - e- 0.4125t V
t
2.4
= - e- 0.4125t V
（2）全响应=零输入响应+零状态响应
零输入响应
-
uC¢ = uC (0+ )e
t
t
-
= 3e
æ - tö
零状态响应 u ¢¢= u (¥ ) çç1- e t ÷
÷
=
C
C
÷
çè
÷
ø
全响应
t
2.4
= 3e- 0.4125t V
æ - t ö
- 0.4125t
÷
4 ççç1- e 2.4 ÷
=
4
1
e
V
(
)
÷
÷
çè
ø
uC = uC¢ + uC¢¢= 3e- 0.4125t + 4 (1- e- 0.4125t ) = 4 - e- 0.4125t V
8.7 RC 微分电路与RC积分电路
8.7.1 RC 微分电路
ui
U
tw
C
0
－
t2
t3
t
uo
+
ui
t1
R
+
uo
U
－
0
t
电路方程
duC
dui
uo  ui  RC
 RC
dt
dt
（1）电路的功能
RC微分电路可将方波信号变为尖脉冲信号。尖脉冲的幅
度因为电容电压不能跃变.而等于方波信号的跃变幅度，
即
U E
尖脉冲的宽度取其下降到幅值的10%所的时间，即
e
t
 kd
RC
 0.1
尖脉冲的宽度则为
t kd  RC ln10  2.3RC
（2）电路的构成条件
条件之一，利用输出信号取自电阻的电压。
条件之二，利用RC电路构成微分电路
电路的时间常数相对于输入信号的变化时间间隔要小得
多。实际中，只要取tk>10RC就可以构成微分电路。
8.7.2 RC积分电路
ui
U
R
tw
+
ui
+
C
uo
0
t1
t2
t3
t
uo
U
－
－
0
t
电路方程
t
du0
1
ui  u0  RC
或u0 
(ui  u0 )dt

dt
RC 
由于RC取得很大，电容的过渡过程很长，电容电压变化
缓慢故可近似认为
ui-u0≈ui
从而得到
1
1
uo  uC   idt 
ui dt

C
RC
（1）电路的功能
积分电路可将方波信号变为锯齿波信号锯齿波的幅
度可以通过下面的公式计算：

U
1-e
1 e

tk
RC
tk
RC
E
tk
E
2 RC
尖脉冲的斜率则为。
对于一般的脉冲波形，经过积分电路，其输出波形与
输入波形的积分近似成比例关系。
（2）电路的构成条件
条件之一，利用RC电路构成积分电路，其输出信号
取自电容的电压。
条件之二，利用RC电路构成积分电路，电路的时间常
数相对于输入信号的变化时间间隔要大得多。实际中
，只要取RC>10tK就可以构成积分电路。
8.8. RLC串联电路的零输入响应
图8-8-1 RLC串联电路
根据KCL和KVL，以及电路元件的伏安关系
，可以得到电路的方程组及电路的初始条件为
di

Ri

L
 uC

dt

i  C duC

dt

uC (0 )  uC (0  )  U S
i (0 )  i (0 )  0
 

经整理，得到一个常系数二阶微分方程及初始条件
d 2uC
R duC
1


uC  0
2
dt
L dt
LC
uC (0 )  uC (0  )  U S
uC' (0 )  uC' (0  )  0
根据数学分析，求解此方程，先讨论其特征方程
R
1
s  s
0
L
LC
2
该方程的根可以表述为
R
R 2 1
s1、2    ( ) 
    2  02
2L
2L
LC
其中
R
 
2L
0 
1
LC
根据  和 0 的大小关系有三种情况，电路也就呈现三种特性
1.当  > 0 即R2>4L/C时，
电路的固有频率为两个不相等的负实数
u C (t )  K1e
1t
 K 2e
 2t
i (t )  CK 1 1e 1t  CK 2 2 e  2t
其中，常数 K1 和
K 2 由初始条件确定
K1  K 2  U S
 1 K1   2 K 2  0
(a)电容电压曲线
(b)电流曲线
2.当  = 0
即R2=4L/C时，
电路的固有频率为一个相等的负实
u C (t )  ( K1  K 2 t )e t
i (t )  C ( K1  K 2  K 2t )e t
其中，常数
K1
和
K2
由初始条件确定
K1  U S
K1  K 2  0
(a)电容电压曲线
(b)电流曲线线
3.当  < 0
即R2<4L/C时，
电路的固有频率为一对实部为负数的共轭复数
u C (t )  e t ( K1 cost  K 2 sin t )
i (t )  Ce t [(K1  K 2 ) cost  ( K 2  K1 ) sin t ]
其中，常数 K1和 K 2 由初始条件确定如下
K1  U S
K1  K 2  0
(a)电容电压曲线
(b)电流曲线
RLC串联电路的欠阻尼衰减振荡响应
(a)电容电压曲线
(b)电流曲线
RLC串联电路的欠阻尼等幅振荡响应
本章小结
主要包括以下内容：
1.换路定律
2.一阶动态电路
(1)时间常数
一阶电路的时间常数为
L
  RC
 
R
(2)一阶电路的零输入响应
t>0（跃变的量）或t≥0（不跃变的量）
(3)一阶电路的零状态响应
y(t )  y()(1  e

t

)
(4)一阶电路的三要素法与全响应
直流一阶电路全响应y(t)的一般表达式为
正弦交流一阶电路的全响应y(t)的一般表达式为
y (t )  A sin(t   y )  [ y(0  )  A sin  y ]e
(5)一阶电路响应的两种分解
全响应=零输入响应+零状态响应

t

全响应=稳态响应(强迫分量)+ 暂态响应(自由分量)
稳态响应(强迫分量)指不随时间的推移而衰减的响应部分。
暂态响应(自由分量)指随时间的推移而衰减为零的响应部分
3.RC微分电路与RC积分电路
(1) RC微分电路
RC微分电路可将方波信号变为尖脉冲信号。
(2) RC积分电路
4.RLC串联电路的零输入响应
电路的性质取决于电路的固有频率即电路特征方程的根。
习题解答
8-1 电路如题图8-1所示，电路原已稳定，t=0时，合上开
关S.试求t=0和t=∞随时的等效电路，并求初始值iL(0+)、
iC(0+)、uL(0+)、uC(0+)及稳态值iL(∞)、 iC(∞) 、
uL(∞)、 uC(∞) 。
解 : t  0  时, L相当于短路,
C相当于断路, 故 :
40
iL (0  ) 
 0 .8 m A
(30  20)k
u L (0  )  0V ,
iC (0  )  0 A,
uC (0  )  iL (0  )  20k  0.8m  20kV  16V
t  0 时, L相当于电流源, C相当于电压源, 其电路如图所示
在开关S闭合后瞬间，根据
换路定理有：
uC (0  )  uC (0  )  0.8m  20KV  16V
40
iL (0  )  i L ( 0  ) 
 0.8m A
30k  20k
40
16
 0.8m 
40  5  120 16  3 128
30
k
50
k
U ab 
V

 8.26V
1
1
1
5  3  7.5
15.5


30k 50k 20k
160
u L (0  )  U ab  iL (0  )  20k 
 10  8.26  10  1.74V
23
U ab  uC (0  ) 8.26  16
iC (0  ) 

A  0.0348m A
50k
50k
在S稳定后, L又相当于短路, C相当于断路, 其电路如图:
40V
1
i L ( ) 
10k 
 0.5m A
u L ( )  0
20 20
20k
(30 
)k
20  20
iC ()  0
uC ()  0.5m A 20k  10V
8-2 电路如题所示，电路原已稳定，t=0时，开关S,由2合
向1后,电容器充电；经过t=5后，开关S由1合向2。试求：
(1)充、放电过程中uc的变化规律并绘出曲线；(2)计算放电
过程中电阻消耗的能量；(3)放电时的最大电流。
解 : (1) S由2到1时, 其电路的微分方程:
 duc
 uc  u s
 1
其中
 dt
uc (0  )  0
 1  R1C  (20k  0.1 ) s  2m s
u s  50V
t  时uc ()  u s  50V
故 : uc (t )  uc ()  [uc (0  )  uc ()]e
 50(1  e 500 t )V
其暂变曲线如右:

t
1
(2) s由1到2, 其直流一阶线性微分方程为 :
 duc
[ 2  R2C  (4k  0.1 ) s  0.4m s]
 2 dt  uc  0

5



u
(
0
)

50
(
1

e
)  50(1  0.007)  50V
u c ( )  0
 c 
故 : uc (t )  uc ()  [uc (0  )  uc ()]e

t
2
 50e  2500 tV
放电过程中消耗的能量即为电容器初时刻的贮能
1
Q耗  c[uc (0  )]2  0.5  0.1  502  12.5 10 4 J
2
(3)放电时的最大电流是t  0  时刻的电流:
I Rm 
uc (0  ) 50

 12.5m A
R2
4k
8-3
电路如题图(a)、(b)所示，求换路后的时间常数

( R1  R2 ) R3
解 : (1) 
 (C1  C2 )  1.5  200  300s
R1  R2  R3
L
18m
(2) 

 1.8m s
R1  R2  R3
10
8-4 已知：一个储存磁场能量的电感经电阻释放能量。经
过0.68s后，储能减少为原值的一半；又经过1.2s后，电流
为25mA 试求电感电流iL(t)的变化规律.
解 :由题意可知,电感线圈释放磁场能,
iL (0  )  I m ,
iL ( )  0
iL (t )  iL ()  [iL (0)  iL ()]e

t

 I me

t

1
1 2 1 1 2
t  0.68s时, 贮能Q1  Qm
即 LI1   LI m
2
2
2 2
0.68

1 2
2  0.68
2

亦即 : ( I m e
)  Im

 1.962s
2
ln 2
又 : iL (t  1.88)  I m e

1.88

 I me

1.88
1.962
 25m A  25 103 A
t

0.025

所以 : I m  0.96  0.0653A  65.3m A故 : iL (t )  65.3e 1.962 m A
e
8-5 电路如题图所示,开关S闭合前，电路原已稳定，求电
感电压uL(t)和电流iL(t) ，并求它们的波形图
解 : 将原电路图进行等效变换如右图, 故 :
iL (0  )  0
i L ( )  2 A
故iL (t )  iL ()  [iL (0  )  iL ()]e

t
故iL (t )  2(1  e ) A


t


t
 2(1  e ) A

L
   1s
R
diL
u L (t )   L
 2 Le t  2e tV
dt
8-6 电路如图所示，开关S闭合前，电路原已稳定，求
电感电压uL(t)和电流iL(t)
并画出它们的波形图。
解 : iL (0  )  0
12
4 1
i L ( ) 
   2A
1 4 5 1
4
1 4
故 : iL (t )  iL ()  [iL (0  )  iL ()]e

t
故 : iL (t )  2(1  e  )  2(1  e 3t ) A

t


t
1
1
 2(1  e )  
 s
4 4
1 3
44
di (t )
u L (t )   L L  6e 3tV
dt

αΦωβμΩσεφπ°∠Δ
8-7 电路如图所示，Us1=300V，Us2=150V,C=0.1F,R1=lOOΩ
，R2=50Ω，R3=200Ω，电路原已稳定，t=0时合上开关S，求
合上开关后的uc(t)、ic(t)
解 : uc (0  )  U s1  300V
U s1  U s 2
uc ()  U s1 
 R1
R1  R2
150
 300
100  200V
150
故 : uc (t )  uc ()  [uc (0  )  uc ()]e
  [(R1 // R2 )  R3 ]C  (
uc (t )  200 100e

3t
70

t

 200 100e

t

R1 R2
700
 R3 )C 
 0.1  23.3s
R1  R2
3
d [uc (t )]
 3  70
3  70
ic (t )  C
 0.1100
e  e A
dt
70
7
3t
V
3t
8  8电路如图所示,电源电压u s (t )  200 2 sin(314t  30 )V , R  20,
C  20F , (1)应用三要素法求接通电源时电容电压u c (t )及电流i (t );
(2)何时接通开关s, 可使电路不产生过渡过程; (3)当t  0时接通开关
s,电流的初始值是多少?
αΦωβμΩσεφπ°∠Δ
8-9 在RC积分电路中，电容为零初始状态，现输入正负
脉冲电压，脉冲宽度tk=RC，正脉冲的幅度为10V，求负脉
冲的幅度为多大时，才能使负脉冲结束时(tk=2k)，电容
电压回到零状态.
αΦωβμΩσεφπ°∠Δ