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费
马
点
巧用全等变换
妙解最值问题
旋转变换
(八下课本第82页——阅读材料)
你听说过费马点吗?如图,P为△ABC所在平面上的一点.如果
∠APB=∠BPC=∠CPA=120° ,则点P就是费马点.费马点有许多有趣并且
有意义的性质,例如,平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,
当点P为费马点时,距离之和最小.假设A,B,C表示三个村庄,要选一处建
车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短.若不考虑其他因素,那么
车站应建在费马点上。
A
请按下列步骤对费马点进行探究:
P
(1)查找有关资料,了解费马点被发现
B
C
的历史背景;
(2)在特殊三角形中寻找并验证费马点.例如,当△ABC是等边三角形,等腰三角形
或直角三角形时,费马点有哪些性质?
(3)把你的探究结果写成一篇小论文,并通过与同学交流来修改完善你的小论文。
平移变换
建桥问题
A 村和B 村在河的两侧，到河两岸的距离分别是6 千米
和2 千米，河宽2 千米，两村的水平距离为6 千米。现
欲在河上修建一座桥，使自A 村过桥到达B 村的距离最
短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建）。
请在图上标明桥址，并求出此最短距离。
A
F
C
河流
D
E
B
“将军饮马”问题
对称变换
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个
有趣的数学问题：
诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向
交河旁边的C点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样
走，才能使总的路程最短？
A
B
河流
A
线段和
最小值
旋转变换
平移变换
对称变换
问题表征越贴近学习者的思维特点，
则问题越容易解决
思维心理学——科多夫斯基、海斯和西蒙
在人脑的记忆中，相关信息和
技能越多，则迁移越可能发生
美国学者罗耶
1985
问题1、 如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O
的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD，
P是半径OC 上一个动点，求AP+PD的最小值。
问题2、 如图，已知正方形ABCD的边长为8，
M是DC上的一点，且DM=2，N是AC上的动点。
求DN+MN的最小值。
问题3、 如图，在边长为2的正△ABC中，P是高线AD
上的一个动点，E是AC的中点，求PC+PE的最小值。
问题4、 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60º，
E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB
的最小值。
问题5 、如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，
M、N分别是AF和CD的中点，P是MN上的动点。
求PA+PB的最小值。
问题6、如图，梯形ABCD中，AD//BC，且BC=2，
AB=AD=CD=1，M、N分别是AD、BC的中点，P是MN上的动
点。求PA+PB的最小值。
问题7、如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，
D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。
问题8、如图，梯形ABCD中，AD//BC，且BC=8，
AD=CD=4，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一
点M使EM+MN的值最小，求它的最小值。
A
D
E
B
N
C
问题9、 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交
x轴于A（1，0）和B（3，0），交y轴于C（0，3），
P是对称轴上的动点，求△PAC周长的最小值。
Y
X
问题10、在x轴上求一点P，使它到两个定点A(0，
2)，B(8，6)的距离之和最短。
(内江市06年中考题) 阅读并解答下面问题：
（1）如图5所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的
值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
（2）如图6，A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的
距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间
的距离为6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水
处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？
（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下
面问题：若，当为何值时，的值最小，并求出这个最小值。
B
A
C
D