Transcript 行列式
线性代数 辅导 行列式 的计算 1.二、三阶行列式的计算 对二、三阶行列式，可使用行列式的展开式（即对角 线法则）直接计算： a11 a12 a21 a22 a11a22 a12 a21 , a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33 . 也可以利用行列式的性质进行计算. 例1. 设， ， 是方程 x3 px q 0 的根，求行列式 D 的值. 解（利用展开式计算） I 因为， ， 是方程 x3 px q 0 的根， 故有： 3 p q, 3 p q, 3 p q, 及 x3 px q ( x )(x )(x ). 对比上式两边同次幂的系数，得： 0, q. 从而 D 3 3 3 3 p( ) 3q 3q 0. 解II（利用行列式的性质计算） 因为， ， 是方程x3 px q 0 的根，故有 x3 px q ( x )(x )(x ). 对比两边同次幂的系数，得： 0, q. 从而 0 0 0 D r1 r2 r3 0. 例2. 设 (1， 0， 1) T , 矩阵 A＝ T，n为正整数，求 aE An . 1 T 解 由于 ＝1 0 1 0 ＝2， 利用矩阵乘法的结合律有： 1 A2 ( T )( T )＝ ( T ) T 2 T 2 A, 依次类推，有An 2n1 A. 又 1 1 0 －1 A 0 1 0 1＝ 0 0 0 ， 1 －1 0 1 故有 a 2 n 1 aE An aE 2 n 1 A 0 2 n 1 0 2 n 1 a 0 a 2 (a 2 n ). 0 a 2 n 1 2. n阶行列式的典型计算方法（n4） (1) 利用性质将行列式化为三角形行列式或降阶后计算 0 1 例3. 求D4 1 a 解 0 1 r3 r2 D4 r4 ar2 0 0 1 0 1 b 1 1 0 c a b . c d 1 1 a 1 1 a 0 1 b 按c1展开 1 1 c b 1 1 c b b c a d ab b c a d ab 1 r2 r1 , r3 br1 0 1 2 0 ca b a c a b 按c1展开 d 2ab 2 c a b c a b d 2ab 2(d 2ab) (c a b) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc 2d . 注：一边化简行列式，一边将行列式按行或列展开将行列式降 阶，这种方法有助于计算行列式. a b b b b a b b 例4. 求Dn . b b b a 解 a (n-1 )b a (n-1 )b a (n-1 )b a (n-1 )b Dn r1 r2 rn b a b b b b b a 1 1 1 1 b a b b [a (n 1)b] b b b a 1 1 1 1 0 a b 0 0 ri br1 ,i 2 ~ n [ a ( n 1)b] [a (n 1)b](a b)n1. 0 0 0 a b 这一行列式的特点是只有两个数，主对角线上的元素全为 a,其他位置上的数全为b，根据这一特点，将第2至第n行(列) 都加到第1行(列)上去，从而第1行(列)变成相同的数，进一步 将该行列式化为三角形行列式求出其值. 对于这类题目，用这 种方法是最简便的. 1 a1 a2 an 1 an a1 1 a2 an 1 an 例5 求Dn . a1 a2 1 an 1 a1 a2 an 1 an 1 an 解I 此题可仿照例4，将第2列至第n列都加到第1列上去做.（略） 解II 1 a1 1 Dn rn rn1 ,,r2 r1 a2 an 1 1 0 an 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 a1 an c1 c2 cn 0 0 1 1 按c1展开 （1＋a1 an） 0 1 0 0 a2 an 1 an 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 a a . 1 n 0 1 0 0 1 1 x a a a b x a a 例6 求Dn b b x a . b b b x 解 若a b，由例4知Dn [ x (n 1)a](x a)n1；若a b，则有 ( x a) a 0 a 0 a 0 a Dn b b x b a x b b b a a x xa 0 0 0 b b b 1 1 1 x a a b x a b x a a b b x b b x 1 1 1 0 x b a b ( x a) Dn 1 a ( x a) Dn1 a( x b)n1. 0 0 x b 由a，b的对称性，知Dn ( x b)Dn1 b( x a)n1. n 1 D ( x a ) D a ( x b ) , n n 1 解 n 1 D ( x b ) D b ( x a ) , n 1 n a ( x b) n b( x a ) n 则 Dn ，(a b). a b x y x 例7 求Dn y x y . (未写出的为0) y x 解 将Dn按第1列展开，则 x y x Dn x y y x (1) n 1 y y x x y x x n (1)n1 y n x n ( y)n y 注：此题也可按第n行展开计算. 在行列式的计算中，这是一类比 较典型的题目. (2) 利用递推关系计算 a b a b a b c d 例8 求Dn . (未写出的为0) c d c d 解 将D2n按第1行展开，则 a b 0 c 0 b a b c d D2 n a 0 a a b c d (1) 2 n 1 b d c d c d 0 第1个按r2 n1展开，第 2个按c1展开 adD2n2 bcD2n2 (ad bc) D2n2 . 由此递推式及D2 ad bc，得 D2n (ad bc)n . 完全类似地可以计算 an bn an 1 bn 1 n a1 b1 c1 d1 D2 n cn 1 cn (ai d i bi ci ). i 1 （未写出的元素为0） d n 1 dn 例9 求Dn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 解 Dn 按r1展开 ( ) Dn 1 0 0 第2个按c1展开 0 0 0 ( ) Dn1 Dn2 . . 0 0 0 0 0 0 0 即有递推式 Dn ( ) Dn1 Dn2 . 由此得 Dn Dn1 ( Dn1 Dn2 ), 或 Dn Dn1 ( Dn1 Dn2 ). 由于 D1 ，D2 2 2 ， 故有 Dn Dn 1 ( Dn 1 Dn 2 ) n 2 ( D2 D1 ) n , Dn Dn 1 ( Dn 1 Dn 2 ) n 2 ( D2 D1 ) n . n Dn Dn 1 , 解方程组 得 n Dn Dn 1 , n 1 n 1 Dn (n 1) n ， . 注：1.利用行列式按行（列）展开定理，可以得到关于所求行列 式值的递推式. 一般来说，递推式的形式多种多样，如例6、例8、 例9中介绍的，不同的递推式有不同的解法，应注意这一点. 2.当行列式的某一行（列）中零较多时，考虑将行列式按行 （列）展开，目的是将行列式降阶，以计算出行列式的值. (3) 利用范德蒙行列式的结果计算 1 2 22 1 3 32 例10 求p ( x) 1 4 42 23 33 0 的根. 3 4 1 x x2 x3 1 2 22 23 1 1 1 1 2 33 2 3 2 4 3 x3 2 3 32 4 42 x x2 33 43 x3 1 3 32 解 p( x) 1 4 42 1 x x2 (3 2)(4 2)(x 2)(4 3)(x 3)(x 4) 0. 故 x 2, 3, 4 为 p( x) 0 的根. an (a 1) n ( a n) n a n 1 (a 1) n 1 (a n) n 1 例11 求Dn 1 a 1 a 1 1 . an 1 解 1 Dn 1 将第n 1行依次与第 n行，第1行调换 (1) n an 1 1 (a 1) n (a n) n a a 1 1 1 an 1 a n ( n 1) n 将第n 1行依次与第 n行， 第 2 行调换 ( 1) a a 1 a n (a 1) n (a n) n a2 (a 1) 2 (a n) 2 1 a (1) n ( n 1) 1 an ai a i 1, i 1,, n 1 (1) n ( n 1) 2 1 1 a 1 a n (a 1) n (a n) n (a a ) i j 1 j i n 1 (1) n ( n 1) 2 [(a i 1) (a j 1)] 1 j i n 1 (1) n ( n 1) 2 ( j i) 1 j i n 1 n (i j) k!. 1 j i n 1 k 1 (1) n ( n 1) 2 (1) n ( n 1) 2 (i j) 1 j i n 1 注：范德蒙行列式是非常重要的，在实际计算行列式时，我们 经常遇到的是变形了的范德蒙行列式，因此要学会将这种行列 式还原成标准的范德蒙行列式. (4) 利用矩阵理论计算行列式 利用矩阵的一些性质，可简化方阵行列式的计算. 例12 设3阶方阵A (1 2 C (1 2 2 解 | A || 1 2 | 1 2 2 3－3 4＋5 2 )，B ( 3 2 1 )， 2 2 3 4 4＋51 )，若 | B | 5, | C | 64,求 | A | . 23－3 4＋5 2 | 23 | | 1 2 －3 4 | ＋| 1 2 5 2 | 2 | 1 2 3 | 3 | 1 2 4 | 2 | 3 2 1 | 3 | 1 2 4 | . 由于 C (1 2 2 (1 2 2 2 3 4 4＋51 ) 1 0 5 4 ) 2 2 0 ， 0 3 1 两边取行列式，得： 1 0 5 64＝ | C || 1 2 4 | 2 2 0 , 0 3 1 1 0 5 由于 2 2 0 ＝32，故 | 1 2 4 | ＝2. 0 3 1 从而 | A | 2 | 3 2 1 | 3 | 1 2 4 | －2（ 5） 3 2 4 1 1 1 例13 设A为3阶方阵且| A | ，求 ( A) 8 A * . 8 3 解 1 ( A) 1 8 A * 3 A1 8 | A | A1 (3 8 | A |)A1 3 2A 1 2 A 3 1 1 2 64. | A| 3 注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用 矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式. (4) 直接利用行列式的定义或性质解与行列式有关的问题 例14 计算 f ( x) 2x x 1 2 1 x 1 1 3 2 x 1 1 1 1 x 中 x 4 与 x 3 的系数. 解I （用行列式的定义求解）由行列式的定义及f ( x) 的性质知，只有 主对角线上的元素相乘才出现 x 4，且这一项带正号，为2 x 2，故f ( x) 中 x 4 的系数为2. 同理，含 x 3 的项也只有一项，为x 1 x x x 3 , 而且列标所构成的排列为2 1 3 4，逆序数为1.故 f(x)中 x 3 的系数为-1. 解II（用行列式的性质求解） 2x f ( x) r2 r1 x 1 2 1 2x 0 0 3 3 2 x 1 1 1 1 x x 1 2 按r2展开 2x (2 x 1) 2 x 1 3 3 1 1 x 1 x 1 2 x, 1 1 显然第二个3阶行列式不含x3 与 x 4 的项，从第1 个行列式 可以得到 x3 的系数为-1，x 4 的系数为2. x2 x 1 x 2 x 3 2x 2 2x 1 2x 2 2x 3 例15 求 f ( x) 0 的根的个数. 3x 3 3x 2 4 x 5 3x 5 4x 4 x 3 5x 7 4 x 3 解 x 2 x 1 x 2 x 3 2 1 2 3 f ( x)r2 2 r1 , r3 3r1 , r4 4 r1 . 3 1 1 4 8 1 x 1 9 由行列式的定义知f(x)为 2 次多项式，故 f(x) 0 的根的个数为2. 例16 已知1998，2196，2394， 1818都能被18 整除. 1 9 9 8 证明 4 阶行列式 2 1 9 6 2 3 9 4 也能被18 整除. 1 8 1 8 证 1 2 2 1 9 1 3 8 9 9 9 1 8 1 6 2 c4 10 c3 100 c2 1000 c1 4 2 8 1 9 1 3 8 9 9 9 1 1998 2196 . 2394 1818 由于第 4 项各数均可以被18 整除，即可以提出因子18，从而 4 阶 行列式能被18 整除. (5)利用矩阵的特征值理论求行列式的值. 例17 已知三阶方阵A的三个特征值为1， 2， 3，求 | A | 及 | A 5E | . 解 | A | 1 (2) (3) 6; A 5E 的特征值为 4， 7， 8， 所以| A 5E | (4) (7) (8) 224 注：关于行列式的计算，一般而言有三大类方法：一是利用行列 式的理论（行列式的定义与性质等），二是利用矩阵理论，三是 利用矩阵的特征值理论. 因此，要求读者做到：熟练掌握这些基 本知识，牢记公式，并通过多做练习提高计算行列式的能力.