Transcript 线性代数 线性代数的重要性: (1)线性代数课程中体现了近代数学的一个 重要思想: 结构. (2) 诸多工程计算中涉及的矩阵、行列式和 大规模线性方程组等可以通过该课程有 所了解. (3)线性代数及其后续课程近世代数是现代 信息安全领域研究必备的理论基础. (4) 考研必考课程之一. 对于每一本值得阅读的数学书，必需“前后往返” 地去阅读（Lagrange）。现在我对这句话稍作修饰并 阐明如下：“继续不断往下读，但又不时地返回到已 读过的那些内容中去，以增强你的信心。另外，当您 在研读时，一旦陷入难懂而又枯燥的内容中时，不妨 暂且越过继续往前读，等到你在下文中发现被越过部 分的重要性和必要性时，再回过头来研读它。” ——Chrystal George Algebra，Part 2 （Edinburgh 1889） 参考书籍： (1)《高等代数》 导教 · 导学 · 导考，2004， 西北工大出版社. (2) 张贤科, 许甫华, 高等代数学(第二版), 清华大学出版社, 2004. 考试方法: 平时成绩 20分 期末闭卷考试 80分 平时成绩主要包含作业情况。 第二章 行列式 一 引言 用消元法解二元线性方程组 a11 x1 

线性代数
1
线性代数的重要性:
(1)线性代数课程中体现了近代数学的一个
重要思想: 结构.
(2) 诸多工程计算中涉及的矩阵、行列式和
大规模线性方程组等可以通过该课程有
所了解.
(3)线性代数及其后续课程近世代数是现代
信息安全领域研究必备的理论基础.
(4) 考研必考课程之一.
2
对于每一本值得阅读的数学书，必需“前后往返”
地去阅读（Lagrange）。现在我对这句话稍作修饰并
阐明如下：“继续不断往下读，但又不时地返回到已
读过的那些内容中去，以增强你的信心。另外，当您
在研读时，一旦陷入难懂而又枯燥的内容中时，不妨
暂且越过继续往前读，等到你在下文中发现被越过部
分的重要性和必要性时，再回过头来研读它。”
——Chrystal George
Algebra，Part 2
（Edinburgh 1889）
3
参考书籍：
(1)《高等代数》 导教 · 导学 · 导考，2004，
西北工大出版社.
(2) 张贤科, 许甫华, 高等代数学(第二版),
清华大学出版社, 2004.
考试方法: 平时成绩
20分
期末闭卷考试
80分
平时成绩主要包含作业情况。
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第二章
行列式
一 引言
用消元法解二元线性方程组
a11 x1  a12 x2  b1 ,

a21 x1  a22 x2  b2 .
(1)
当 a11a22  a12a21  0 时，方程组的解为
b1a22  a12 b2
x1 
，
a11a22  a12 a21
a11b2  b1a21
x2 
.
a11a22  a12 a21
由方程组的四个系数确定.
（2）
5
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
( 3)
表达式 a11a 22  a12 a 21称为数表（3）所确定的二阶
行列式，并记作
即
D
a11
a12
a 21
a 22
a11
a12
a21
a22
( 4)
 a11a22  a12 a21 .
6
三阶行列式
考察三元线性方程组
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b .
 31 1
32 2
33 3
3
( 3)
运用消元法，可以推知当
a11a22 a33  a12 a23a31  a13 a21a32  a11a23 a32  a12 a21a33  a13 a22 a31  0，
7
b1a22a33  a12a23b3  b2a32a13  a13a22b3  a23a32b1  a12b2a33
x1 
a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12a21a33  a13a22a31
b2a11a33  a31a23b1  b3a21a13  a13a31b2  a23a11b3  a21b1a33
x2 
a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12a21a33  a13a22a31
b3a22a11  a12a31b2  b3a21a12  a32a11b2  a22a31b1  a12b3a21
x3 
a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12a21a33  a13a22a31
8
定义
记
设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
(6)
列标
a11 a12 a13
a21 a22 a23  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 (7)
 a11a23a32  a12a21a33  a13a22a31,
a31 a32 a33
行标
（7）式称为数表（6）所确定的三阶行列式.
9
二阶行列式的计算
主对角线
a11
a12
副对角线
a21
a22
对角线法则
 a11a22  a12a21 .
a11 x1  a12 x2  b1 ,
对于二元线性方程组 
a21 x1  a22 x2  b2 .
若记
系数行列式
a11 a12
D
,
a21 a22
10
a11 x1  a12 x2  b1 ,

a21 x1  a22 x2  b2 .
a11 x1  a12 x2  b1 ,

a21 x1  a22 x2  b2 .
b1
D1 
b2
a12
,
a22
a11 b1
D2 
.
a21 b2
则二元线性方程组的解为
b1
a12
D1 b2 a22
x1 

,
D a11 a12
a21 a22
a11
b1
D2 a21 b2
x2 

.
D a11 a12
a21 a22
11
例
求解二元线性方程组
3 x1  2 x 2  12,

 2 x1  x 2  1.
解
D1 
D
3 2
2
12  2
1
1
1
 3  ( 4)  7  0,
 14, D2 
3 12
2
 21,
1
D2  21
D1 14
 x1 

 2, x 2 

 3.
D
D 7
7
12
三阶行列式的计算
对角线法则
a11 a12
a13
a21 a22
a23
a31 a32
a33
 a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32
 a13a22a31  a12a21a33  a11a23a32 .
说明 1
2
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不
同行，不同列的三个元素的乘积,其中三
项为正,三项为负.
13
例 求解三阶行列式
1 2
D -2
-3
解
2
4
-4
1.
-2
按对角线法则有
D  1  2  ( 2 )  2  1  ( 3 )  ( 4 )  ( 2 )  4
 1  1  4  2  ( 2 )  ( 2 )  ( 4 )  2  ( 3 )
 4  6  32  4  8  24
 14.
14
利用三阶行列式求解三元线性方程组
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,
如果三元线性方程组 a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b ;
 31 1
32 2
33 3
3
a11 a12 a13
的系数行列式 D  a21 a22 a23  0,
a31 a32 a33
15
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b ;
 31 1
32 2
33 3
3
若记
a11 b1
D2  a21 b2
a31 b3
b1
D1  b2
b3
a13
a23 ,
a33
a12 a13
a22 a23 ,
a32 a33
a11 a12 b1
D3  a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
D2
D3
D1
x1 
,
x2 
,
x3 
.
D
D
D
16
例
解线性方程组
 x1  2 x2  x3  2,

 2 x1  x2  3 x3  1,
  x  x  x  0.

1
2
3
解
由于方程组的系数行列式
1
D 2
1
2
1
1
1
 3  1  1   1   2   3   1
1
 1  2  1  1  1   1   2  2   1  1   3  1
 5  0,
17
同理可得
2 2
D1  1
0
1
D3  2
1
1
1
1
1
 3  5, D2  2
1
1
2
1
0
1
 3  10,
1
2 2
1
1
1  5,
0
故方程组的解为:
D1
D2
x1 
 1,
x2 
 2,
D
D
D3
x3 
 1.
D
18
在自然科学研究中，我们会遇到许多 n 元一次
方程组
 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
a x  a x    a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

 
an1 x1  an 2 x2    ann xn  bn
(*)
对于形如（*）的方程组，其解是否也与二阶、
三阶方程组的解类似呢？
答案是肯定的.
19
本章将依次解决如下问题：
（1） n 阶行列式如何定义？
（2） n 阶行列式的性质和计算.
（3）方程组（*）何时有解？若有解，如何
表示?
20
以上为二、三阶行列式的定义。下面我们将
定义的思想推广到 n 阶行列式，给出 n 阶行列式
的定义。
在给出 n 阶行列式的定义之前，还需用到逆
序数的概念。
21
定义
由 1,2,, n组成的一个有序数组称为一个n级排列.
例
写出所有的 3 级排列.
注
所有不同的 n 级排列共有 n！个.
定义
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序
相反，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的
总数称为这个排列的逆序数.
排列j1 j2  jn的逆序数记为 ( j1 j2  jn ).
22
例如
排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为偶数的排列称为偶排列；
逆序数为奇数的排列称为奇排列.
23
例
计算下列排列的逆序数，并讨论它
们的奇偶性.
1 nn  1n  2 321
2 2k 12k  122k  232k  3k  1k
解 （1） t  n  1  n  2    2  1
n  n  1

,
2
当 n  4k ,4k  1 时为偶排列；
当 n  4k  2,4k  3 时为奇排列.
24
(2) 提示：
2k  1 2k  1 2 2k  2 3 2k  3k  1 k







k
0 1 1
2
2
t  0  1  1  2  2    k  1  k  1  k

21  k  1k  1
2

k
,
k
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
25
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素
不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
a1 al a bb b1 bm
a1 al a b1 bm b c1 cn
a1 al bb aa b1 bm
a1 al b b1 bm aa c1 cn
定理1 对换改变排列的奇偶性. 即经过一次对
换，奇排列变成偶排列；偶排列变成
奇排列.
26
n!
推论 n级排列中，奇偶排列各半，均为 个.
2
定理2 任何一个排列与自然序排列都可经过一系列对
换互换，并且对换的个数和该排列的逆序数的
奇偶性相同.
27