Transcript 线性方程组

7.2
逆矩阵及初等变换
在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及
到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十
分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一.
第六章应用克莱姆法则解线性方程组时,所给线
性方程组要满足两个条件:第一,方程的个数与未知
数的个数相等;第二,方程组的系数行列式不等于零.
但是,我们常常遇到的方程组中方程的个数不等于未
知量的个数,有时还遇到方程组中方程的个数虽然与
未知量的个数相等,但是其系数行列式等于零.在这些
情况下,就不能用克莱姆法则直接求解.本章针对一般
形式的线性方程组讨论以下三个问题(1)如何判别一
个线性方程组是否有解;(2)解是否唯一;(3)如何求解.
线性方程组的基本概念
含有n个未知量的线性方程组的一般形式为
 a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1
 a x a x  a x b
 21 1 22 2
2n n
2
(4.1)


am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm
其中x1 ,x2 , , xn为未知量,bi (i  1, 2, , m), aij (i  1, 2,
, m; j  1, 2, , n)为已知数.若b1 , b2 , , bm全为零, 则称
(4.1)为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.
若记
a1n 
 a11 a12
 x1 
 b1 
a

x 
b 
a
a
22
2n 
A   21
, x   2  ,b   2  ,


 
 


 
 
a
a
a
x
 m1
 n 
bm 
m2
mn 

则(4.1)可写成矩阵形式
Ax  b
(4.2)
其中A称为线性方程组的系数矩阵, x称为未知数向量,
b称为常数向量, 并称如下的m  (n  1)矩阵
a1n b1 
 a11 a12
a

a
a
b
22
2n 2 
B=( A | b) =  21




amn bn 
 am1 am 2
为线性方程组(4.1)的增广矩阵.
高斯消元法
在中学里，我们已学过用消元法解二元、三元线性
方程组，现在我们把它推广到m个方程n个未知量的一般
情形，即高斯消元法。
其基本思想是通过消元变形把方程组化为容易求解的
同解方程组.而且对求解未知元较多的方程组，此消元步骤
规范而又简便.
以下举例说明高斯消元法的具体方法：
 x1  2 x 2  3 x3   7
例1 用消元法解线性方程组 
 2 x1  x 2  2 x3   8
 3 x  x  5 x  15
2
3
 1
解 将系数矩阵与常数列矩阵排在一起
 1 2 3 7 
 2 1 2 8  称为线性方程组的增广矩阵


 3 1 5 15 


记为:
A
B
 1 2 3 7 
A  ( A | B)   2 1 2 8 
 3 1 5 15 


A
高斯消元法解线性方程组,实际就是对增广矩阵作
行初等变换.下面我们来一步步解这个方程组
 x1  2 x 2  3 x3   7

 2 x1  x 2  2 x3   8
 3 x  x  5 x  15
2
3
 1
 1 2 3 7 
r2  2r1


解: ( A | B)   2 1 2 8  r  3r
 3 1 5 15  3 1
 1 2 3 7 
 0 5 4 6  r3  r2


 0 5 4 6 


 1 2 3 7 
 0 5 4 6 


0 0 0 0 


5r1  5 10 15 35  r1  r2  5
这样做，是为了避开
分数的加、减法
 0 10 8 12 

2r2 

0
0
0
0


r2  (2)  5 0 7 23  r  5
1
 0 5 4 6 

 r2  5
0 0 0 0 


23 
 0 10 8 12 


0 0 0 0 


0
7
7
23 

1
0


5
5


4
6
0 1
 

5
5


0
0
0
0




再把得到的最后的矩阵写成方程组形式, 得
7
23 

1
0


5
5


0 1 4  6 

5
5


0
0
0
0




7
23

 x1  5 x3   5

x  4 x   6
 2 5 3
5

7
23

 x1   5 x3  5

x   4 x  6
3
 2
5
5
这时,未知数 x3 是可以任意取值的,称为自由未知数
称
7
23

x


x

3

 1
5
5

x   4 x  6
2
3

5
5

为线性方程组的一般解
在求出方程组的一般解后,要注明自由未知数. 自由未
知数的取法是不一唯的,但一个线性方程组的一般解所含的
自由未知数的个数是唯一的
x3  k , (k 为任意常 数)  x
就能得到 x1 , x2 , x3 的一组确定的值 
如果, 取
这是原方程组的一个解,由于
k
7
23
k
1  
5
5
4
6
 x2   k 
5
5

的任意性  x3  k


可知方程组有无穷多个解.
我们把这个含有任意常数的解称为方程组的通解.
故
7
23

原方程组的通解为:  x1   5 k  5

4
6

 x2   k 
5
5

 x3  k
(


k 为任意常 数)
由于,我们将方程组写成了矩阵形式 AX  B
同样,我们也可以将方程组的解写成矩阵表示形式:
23 
 7
 7   23 
 5 k  5 
 5   5 
 x1  


 

4
6 
4  6 




X   x2    k 
k   
 5

 5  5 
5
x  


 

 3


 1   0 
k



 

(
k 为任意常 数)
一般解：
定义 方程组的含有 n  r个自由未知数的解称为
方程组的一般解．
通解：方程组的含有任意常数字母的解称为方程组的通解
通解中，任意常数字母的个数也是 n－ r 个
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，
便可写出其通解.
非齐次线性方程组：增广矩阵化成最简阶梯形
矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成最
简形阶梯矩阵，便可写出其通解.

1
上面解题中，行最简阶梯形矩阵
0


单位阵
 0

0
1
0
7
5
4
5
0
23 

5 

6 

5 

0 


阶梯
下面给出一个更为形象的行最简阶梯形矩阵
单位阵
1
0

0

0
0

0 0 2 3 4

1 0 3 1 2
0 1 1 2 6

0 0 0 5 7
0 0 0 0 0 
1
0

0

0
0

0 0 2 3 4

1 0 3 1 2
0 1 1 2 6

0 0 0 5 7
0 0 0 0 0 
例2 求解齐次线性方程组，求出通解
 x1  2 x2  2 x3  x4  0

 2 x1  x2  2 x3  2 x4  0
 x  x  4x  3x  0
 1
2
3
4
.
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换化为最简形：
 1 2 2 1  r  2r  1 2 2 1  r  r  1 2 2 1 
 0 3 6 4 
 0 3 6 4 


A   2 1  2  2  r3  r1 



 0 3 6 4 
0 0 0 0 
 1  1  4  3






 1 0  2  5 / 3
3 6 6 3 
 3 0 6 5 

r 3 
3r 
r r 


0
1
2
4
/
3
0

6

12

8
0

6

12

8


r

(

6)


 2
2r2 
0 0 0


0 0 0 0 
0
0
0
0
0






2
1
1
1
2
3
1
2
 1 0  2  5 / 3


由行最简阶梯形矩阵  0 1 2 4 / 3  写出方程组的一般解
0 0 0

0


5

x

2
x

x
,
1
3
4

3

4
 x  2 x  x ,
2
3
4

3
其中
x3 , x4
是自由未知数
5

x

2
x

x
,
1
3
4

3

令 x3  c1 , x4  c2 , 得通解 :
 x  2 x  4 x ,
3
4
 2
3
5

x

2
c

c
,
1
1
2

3

4
 x2  2c1  3 c2 ,
x  c ,
 3 1
 x4  c2 ,
 5 
 
 x1 
 2
 
 
 3 
4
 x2 
  2

    c1    c2  ,
 3
x3
1
 
 
 0 
 0
 x4 
 
 1 
其中c1 , c2为任意实数.
例3 求解非齐次线性方程组
 x1  2 x2  3 x3  x4  1,

 3 x1  x2  5 x3  3 x4  2,
 2 x  x  2 x  2 x  3.
 1
2
3
4
解 对增广矩阵 进行初等行变换：
 1 2 3 1 1 
( A | B)   3 1 5 3 2 
 2 1 2 2 3 



1  2 3 1 1 


 0 5  4 0  1
0 0

0
0
2


（从第三行发现到一个问题）
此时，可以得到方程组无解的结论．
例 4 求非齐次方程组的通解
 x1  x2  x3  x4  0

.
 x1  x2  x3  3 x4  1
 x  x  2x  3x  1 2
 1
2
3
4
解
对增广矩阵进行初等行变换：
0 
 1  1  1 1 0
1 1 1 1




( A | B)  1 1 1 3 1  ~  0 0 2  4 1 
 0 0 0 0 0
1 1 2 3 1 2 



方程组有解,

 1  1 0  1 1 2


~  0 0 1  2 1 2
0 0 0 0

0 

 1 1 0 1 1 2 
 x1  x2  x4  1 2


~  0 0 1 2 1 2   
 x3  2 x4  1 2
0 0 0 0

0 

令x2  c1 , x4  c2 , 得方程组的通解：
 x1   c1  c2  1 / 2 
 1
 1 1 2
  

 
   
c1
1
0  0 
 x2  



 x    2c  1 / 2   c1  0   c2  2    1 2  ,
2
 3  

 
   
c2
 x4  

 0
 1  0 
其中c1 , c2为任意常数.
小结
通过上面四个例题，可归纳出解线性方程组
高斯消元法的一般步骤：
(1)将线性方程组的增广矩阵，通过初等行变换化为
行最简阶梯矩阵，其结构只要不是例3中的结构，方
程组就一定有解；
（2）若方程组有解，根据行最简阶梯矩阵的结构判断原
线性方程组有无自由未知数从而判定方程组有唯一解或无
穷多解.
*若无自由未知数，则方程组有唯一解，写出通解；
*若有自由未知数，则方程组有无穷多解，标出自由未知
数，写出通解.
作
P161
业
9
（1）