Transcript 第五节线性方程组

第3章
向量与线性方程组
3-1 向量组的线性组合
3-2向量组的线性相关性
第3章
向量与线性
方程组
3-3向量组的秩
3-4向量空间
3-5 线性方程组
3-5线性方程组
一、线性方程组解的存在性
二、 齐次线性方程组解的性质与结构
三、非齐次线性方程组解的性质与结构
四、内容小结
3-5
一、线性方程组解的存在性
1、线性方程组的表达式
1. 一般形式
 3 x1  4 x2  x3  5

 x1  x2  2 x3  1
3. 向量方程的形式
 x1 
 3 4 1     5 

  x2    
 1 1 2     1 
 x3 
2. 增广矩阵的形式
 3 4 1 5 


 1 1 2 1 
4. 向量组线性组合的形
式
 3
 4
 1   5 
x1    x2    x3     
 1
 1 
 2   1 
3-5
2、引例
分析：用消元法解下列线性方程组的过程．
求解线性方程组
 2 x1  x2  x3  x4  2,
 x  x  2 x  x  4,
 1
2
3
4

4 x1  6 x2  2 x3  2 x4  4,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9,
1
2
3
4
2
(1)
3-5
(1)
1 2
3 2
2
3
4
3
21
 31
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 2 x  x  x  x  2,

1
2
3
4

 2 x1  3 x2  x3  x4  2,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9,
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 2 x  2 x  2 x  0,

2
3
4

  5 x2  5 x3  3 x4  6,
 3 x2  3 x3  4 x4  3,
1
2
( B1 )
3
4
1
2
3
4
( B2 )
3-5
1
2 
2
3 52
4 32
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 x  x  x  0,

2
3
4

2 x 4   6,


x 4   3,
4
2 3
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 x  x  x  0,

2
3
4

x4  3,


0  0,
3
4
1
2
3
( B3 )
4
1
2
3
4
( B4 )
3-5
 x1  x3  4
于是解得  x  x  3 其中x3 为任意取值 .
 2
3
 x  3
 4
或令x3  c , 方程组的解可记作
 x1   c  4 
  

 x2   c  3 
x 
,
x3
c 
  

 x4    3 
 1  4 
   
 1  3 
即x  c     
1
0
   
 0   3
（2）
其中 c 为任意常数 .
3-5
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用
到如下三种变换
（1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程；
（以 i  k 替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍．
（以 i  k j 替换 i ）
3-5
 2 x1  x2  x3  x4  2,
 x  x  2 x  x  4,
 1
2
3
4

 4 x1  6 x2  2 x3  2 x4  4,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
 2 1 1 1

1
 1 1 2
 4 6 2 2

 3 6 9 7
增广矩阵
2

4
B
4

9
3-5
若记
1
2 1 1

1 2
1
1
B  ( A b)  
4 6
2 2

6 9
7
3
2

4
4

9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方
程组的增广矩阵）的初等行变换，将其化为行
阶梯形或行最简形．
3-5
用矩阵的初等行变换 解方程组
1
2
2 1 1


1 2
1  4
1
B
4 6
2 2
4


6 9
7
9
3
r1  r2
r3  2
1 2
1
1

1
2 1 1
2  3
1 1

6 9
7
3
4

2
 B1

2

9
3-5
r2  r31  1  12


r3  2r21  01  21
B1  

r4  3r21  03  51
 3  06  39


r2  2
r3  5r2
r4  3r2
1

0
0

0
 12 4 1

 12 2 2
 15 23

 73 9 4
1 2 1
r2 4r3

r3 02r1

B
2

r4 63r1
 3 
4

1 1 1
0
 B3

0
0 2 6

0
0 1  3
3-5
1
r3  r40

B3  
r4  2r30

0
r1  r2
r2  r3
11

10
00

00
1

0
0

0
12
11
00
00
12
11
20
10
14  4 
 
10  0r3 r4
 B4


16  3r4  2r3
 
03  0 
0 1 0
4

1 1 0
3
 B5

0
0 1 3

0
0 0
0
3-5
B5
 x1  x3  4

对应的方程组为 x2  x3  3
 x  3
 4
或令x3  c , 方程组的解可记作
 x1   c  4 
 1  4 
  

  

 x2   c  3 
 1  3 
x 

c

 1  0 
x3
c 
  

  

 0   3
 x4    3 
其中 c 为任意常数 .
3-5
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
 a11 x1  a12 x2 
 a x a x 
 21 1
22 2


 am 1 x1  am 2 x2 
 a1n xn  b1 ,
 a2 n xn  b2 ,
m、n 不一
定相等！
 amn xn  bm .
问题1：方程组是否有解？
问题2：若方程组有解，则解是否唯一？
问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全
体？
3-5
定理1：n 元线性方程组 Ax = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)；
② 有唯一解的充分必要条件是
R(A) = R(A, b) = n ；
① 有无限多解的充分必要条件是
R(A) = R(A, b) < n ．
3-5
证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的
行最简形矩阵为
1 0

0 1


0 0
B
0 0

0 0


0 0
前r列
0
b11
b1,n r
0 b21
b2,n r
1 br ,1
br ,n r
0
0
0
0
0
0
0
0
0
后n-r列
d1 

d2 


dr 
d r 1 
R(A)

0 


0  m( n 1)
≤ R(A, b) ≤ R(A)＋1
3-5
第一步：往证 R(A) < R(A, b)  无解．
若 R(A) < R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)＋1，则
dr+1 = 1 ．
于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程
组无解．
3-5
1

0


0
B
0

0


0
0
1
0 b11
0 b21
b1, n  r
b2, n  r
0
0
0
1 br ,1
0 0
0 0
br ,n  r
0
0
0
0
前 n前列r 列
0
0
dd11 
B 对应的线性方程组为

dd22 

 x1  d1 ,

ddr n 
x  d ,
 2
2
d r 01 


00 


 xn  d n .

00  m( n1)
后n-r列
3-5
1

0


0
B
0

0


0
0
0
b11
b1,n r
1
0 b21
b2,n r
0
1 br ,1
br ,n r
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
前r列
后n-r列
d1 

d2 


dr 
d r 1 

0 


0  m( n 1)
3-5
第三步：往证 R(A) = R(A, b) < n  无穷多解．
若 R(A) = R(A, b) < n ，即 r < n ， 则 dr+1 = 0 .
B 对应的线性方程组为
 b11 xr 1 
 x1

x2
 b21 xr 1 




xr  br 1 xr 1 
 b1,n r xn  d1 ,
 b2,n r xn  d 2 ,
 br ,n r xn  d r .
3-5
 b11 xr 1 
 x1

x2
 b21 xr 1 




xr  br 1 xr 1 
 b1,n r xn  d1 ,
 b2,n r xn  d 2 ,
 br ,n r xn  d r .
令 xr+1, …, xn 作自由变量，则
 x1   b11 xr 1 
 x  b x 
 2
21 r  1


 xr   br 1 xr 1 
 b1,n r xn  d1 ,
 b2,n r xn  d 2 ,
 br ,n  r xn  d r .
3-5
线性方程组
的通解
再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
 x1    b11c1 

 

 
 xr    br 1c1 


c1
 xr  1  

 

 
x
 n  
 b1,n r cn  r  d1 
  b11 






  br 1 
 br ,n  r cn  r  d r 

c


1

 1 






cn  r
0



  b1,n  r   d1 

  

  
 b
 d 
 cn  r  r , n  r    r 
 0  0

  

  
1

 0
3-5
推论 n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充
分必要条件是 R(A) < n ．
齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是
R( A)  n
定理2 若齐次线性方程组 AX  0
中方程的个数小于未知量的个数， 即 m  n
则它有非零解．
3-5
推论：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A, B) ．
证明 设 A 是 m×n 矩阵， B 是 m×l 矩阵， X 是
n×l 矩阵.把 X 和 B 按列分块，记作
X = ( x1, x2, …, xl ) ，B = ( b1, b2, …, bl )
则 AX  A( x1 , x2 , , xn )  ( Ax1 , Ax2 , , Axn ) (b1 , b2 , , bn )  B
即矩阵方程 AX = B 有解  线性方程组 Axi = bi 有解
 R(A) = R( A, bi )
3-5
注：设 AB = C ，则 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ．
证明：因为 AB = C ，
所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B，
于是 R(A) = R(A, C) ．R(C) ≤ R(A, C) ，
故 R(C) ≤ R(A) ．
又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT
所以矩阵方程 BTX = CT 有解X = AT ，
同理可得，R(C) ≤ R(B) ．
综上所述，可知 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ．
3-5
二、 齐次线性方程组解的性质与结构
回顾：线性方程组的解的判定
1.
包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非
零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ．
2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有
解的充分必要条件是系数矩阵的秩
R(A) = R(A, b)，并且
 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；
 当R(A) = R(A, b) < n时，方程组有无限多个
解．
3-5
问题：什么是线性方程组的解的结构？
答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程
组有无限
多个解时，解与解之间的相互关系．
注：

当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．

下面的讨论都是假设线性方程组有解．
3-5
定义1
设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果
x1 = x11， x2 = x21，...， xn = xn1
为该方程组的解，则
称为方程组的解向量．
 11 
 
 21 


 
 
  n1 
3-5
1、齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解，则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ．
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k
为实数，则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ．
3-5
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组
Ax = 0的解， 则
x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt
还是 Ax = 0 的解.
3-5

能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的
解全部表示出来？

把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S
的一个最大无关组S0：x = 1, x = 2, ...,, x = t ，
那么Ax = 0 的通解可表示为
x = k11 + k22 + … + ktt ．
3-5
2、基础解系的概念
定义2 齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：
x1, x2, ..., xr如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关；
②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的
线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解
系．
3-5
设 R(A) = r ，为叙述方
便，不妨设 A 行最简
形矩阵为
1

0


0
B
0

0


0
0
0
1
0 b21
0
1 br ,1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
前r列
b11
b1,n r 

b2,n  r 


br ,n  r 
0 

0 


0  m n
后n-r列
 b11 xr 1 
 x1

x2
 b21 xr 1 




xr  br 1 xr 1 
 b1,n r xn  0,
 b2,n  r xn  0,
 br ,n  r xn  0.
对应的齐次线性方程组令
xr+1, …, xn 作自由变量，
则
 x1   b11 xr 1 
 x  b x 
 2
21 r  1


 xr   br 1 xr 1 
 b1,n  r xn ,
 b2,n  r xn ,
 br ,n  r xn .
3-5
 x1   b11 xr 1  b12 xr  2 
 x  b x  b x 
 2
21 r  1
22 r  2


 xr   br 1 xr 1  br 2 xr  2 
 b1,n r xn ,
 b2,n r xn ,
 br ,n  r xn .
齐次线性方
程组的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
 x1    b11c1 

 

 
 xr    br 1c1 


 xr 1   c1

 

 
x
 n  
  b11 
  b12 
 b1, n  r cn  r 










  br 1 
  br 2 
 br ,n  r cn  r 




  c1  1   c1  1  

 0 
 0 










cn  r 
 0 
 0 




  b1,n r 




  br ,n  r 


 cn  r  0 
 0 




 1 


记作 x = c11 + c22 + … + cn-rn-r ．（满足基础解系②）
3-5
(1 ,  2 ,
  b11

  b21


b
,  n  r )   r ,1
 1

 0


 0
 b12
 b22
 br ,2
0
1
0
 b1,n  r 

 b2,n  r 


 br ,n  r 
0 

0 


1 
前r行
后n−r行
n−r列
故 R(1, 2 , … , n-r ) = n − r ，
即 1, 2 , … , n-r 线性无关． （满足基础解系①）
于是 1, 2 , … , n-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基
础解系．
3-5
 x1   b11 xr 1  b12 xr  2 
 x  b x  b x 
 2
21 r  1
22 r  2


 xr   br 1 xr 1  br 2 xr  2 
令
 xr 1   1   0 

    
x
 r2    0  ,  1  ,

    

    
x
 n   0  0
  b11 
  b12 








  br 1 
  br 2 




1   1  ,  2   1  ,
 0 
 0 








 0 
 0 




 b1,n r xn ,
 b2,n r xn ,
 br ,n  r xn .
 x1    b11    b12 
 0

 
 

 
x
,

b

b
0
,   ，则  2    21  ,  22  ,

 
 

 

 
 

 
x

b

b
1
 
 r   r1   r 2 
,  n r
  b1, n r 




  br ,n  r 


 0 
 0 




 1 


  b1,n r 



b
2,
n

r

,





b
 r ,n r 
此即为 Ax = 0 的基础解
系．通解为
 = c11 + c22 + … + cnrn-r
3-5
定理3：设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线
性方程组Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n − r ．
3-5
3、基础解系的求解
 x1  2 x2  x3  2 x4  0

 x4  0
 2 x1  3 x2
 x  x  5x  7x  0
2
3
4
 1
例1 求齐次线性方程组
的基础解系．
方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．
1 2   1 0 3 4 
1 2

r

A   2 3 0 1  ~  0 1 2 3 
 1 1 5 7   0 0 0 0 

 

 x1  3 x3  4 x4  0 即  x1  3 x3  4 x4


x

2
x

3
x

0
2
3
4

 x 2   2 x 3  3 x4
3-5
令x3 = c1， x4 = c2， 得通解表达式
 x1   3c1  4c2 
 3 
 4 
  

 
 
x

2
c

3
c

2
3
1
2
 2



 c1
 c2
 c11  c2 2
 x3  

 1 
 0 
c1
  

 
 
c2
 0 
 1 
 x4  

因为
 方程组的任意一个解都可以表示为1, 2 的线性组
合．
 1, 2 的四个分量不成比例，所以 1, 2 线性无关
所以1, 2 是原方程组的基础解系．
3-5
方法2：先求出基础解系，再写出通解．
1 2   1 0 3 4 
1 2

r

A   2 3 0 1  ~  0 1 2 3 
 1 1 5 7   0 0 0 0 

 

 x1  3 x3  4 x4  0

 x 2  2 x 3  3 x4  0
 x1  3 x3  4 x4
即  x  2 x  3 x
3
4
 2
 x3   1   0 
 x1   3   4 
令  x    0  ,  1 ，得  x    2  ,  3 
 4    
 2    
3-5
合起来便得到基础解系
 3
 4 
 
 

2
3



1 
, 2 
 1
 0
 
 
 0
 1
还能找出其
它基础解系
吗？
3-5
1 2   1 0 3 4 
1 2

r

A   2 3 0 1  ~  0 1 2 3 
 1 1 5 7   0 0 0 0 

 

问题：是否可以把 x1 选作自由变量？
3-5
答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，
其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价
时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组
同解．
1

A 2
1

1
r3  3 r2

~ 2
0

2
1 2  r  5 r  1
 3 1
3 0 1  ~  2
6
1 5 7 

2 1 2 
 3
r2  ( 1)


3 0  1  ~  2
r1  2 r2

 0
0 0 0

2 1 2 

3 0 1 
9 0 3 
4 1 0 

3 0 1 
0 0 0 
3-5
1 2   3 4 1 0 
1 2

r

A   2 3 0 1  ~  2 3 0 1 
 1 1 5 7   0 0 0 0 

 

0
 3 x1  4 x2  x3

 x4  0
 2 x1  3 x2
即  x3  3 x1  4 x2

 x4  2 x1  3 x2
令 x1 = c1， x2 = c2， 得通解表达式
c1
 x1  

 1
 0
  

 
 
x
c
0
2
 2
  c    c  1  c   c 
 x3   3c1  4c2  1  3  2  4  1 1 2 2
  

 
 
 2
 3
 x4   2c1  3c2 
从而可得另一个基础解系：1和 2 ．
3-5
三、非齐次线性方程组解的性质与结构
性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax =
b 的解，则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组
Ax = 0 （导出组）的解．
证明： A(h1 − h2 ) = Ah1 − Ah2 = b − b = 0 ．
性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，
x = x 是导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax
= b 的解．
证明： A(x + h ) = Ax + Ah = 0 + b = b ．
3-5
定理4


若 x = * 是 Ax = b 的解， x =  是 Ax = 0 的解，
那么x =  + * 也是 Ax = b 的解．
设 Ax = 0 的通解为  = c11+c22+…+cn-rn-r ．
于是 Ax = b 的通解为
 = c11+c22+…+cn-rn-r +*
3-5
 x1  2 x2  x3  2 x4  1
例2 求线性方程组  2 x1  4 x2  x3  x4  5 的通解．
  x  2 x  2 x  x  4
1
2
3
4

 2
 
0
*

解 容易看出     是方程组的一个特解 ．
1
 
 0
其对应的齐次线性方程组为
 x1  2 x2  x3  2 x4  0

 2 x1  4 x2  x3  x4  0
  x  2 x  2x  x  0
1
2
3
4

3-5
根据前面的结论，导出组的基础解系为
 x1  2 x2  x3  2 x4  0

 2 x1  4 x2  x3  x4  0
  x  2 x  2x  x  0
1
2
3
4

于是，原方程组的通解为
 2 
 1 
 
 
1
0



1 
, 2 
 0
 1
 
 
0
 
 1
 2
 2 
 1
 
 
 
0
1
0



  0  k11  k2 2 
 k1
 k2
1
0
1
 
 
 
0
0
1
3-5
例3
设有线性方程组
x2 
x3  0,
(1  l ) x1 

x1  (1  l ) x2 
x3  3,


x1 
x2  (1  l ) x3  l .

问 l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；
(3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．
3-5
1
1
1 l

B 1
1 l
1
 1
1
1 l

0

3
l 
解一 对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩
阵．
1
1 l l 
 1
1
1
1 l

1 l
1
 1
 1
1
1 l

1 1

~ 0 l
r3  (1 l ) r1
 0 l

r2  r1
1 l
l
0 r1  r3 
1 l
 ~  1
3
1 l
1


l
1
1

3
0 
1 l
l
 r r  1 1

3
2



l
3l  ~ 0 l
l
3l

 0 0  l (3  l ) (1  l )(3  l ) 
 l (2  l )  l (1  l ) 


3-5
注：
 对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1，

l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变
换：
1
r2 
r1
1 l
r2  (1  l )
r3  (l  3)
 如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或
l +3 = 0）的情况另作讨论．
3-5
1
1
1 l

B 1
1 l
1
 1
1
1 l

0 1 1
1 l
l

r
 

3~0 l
l
3l

l   0 0  l (3  l ) (1  l )(3  l ) 
分析：
•
讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取何
值时，r2 、r3 是非零行．
•
在 r2 、r3 中，有 5 处地方出现了l ，要使这 5 个
元素等于零， l = 0，3，－3，1 ．
•
实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨
论，先从方程组有唯一解入手．
3-5
1
1
1 l

B 1
1 l
1
 1
1
1 l

0 1 1
1 l
l

r

3~0 l
l
3l

l   0 0  l (3  l ) (1  l )(3  l ) 
于是
•
当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，R(A) = R(B) = 3 ，
•
有唯一解．
•
当 l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解．
•
当 l = －3 时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解．
3-5
1
1
1 l

B 1
1 l
1
 1
1
1 l

0

3
l 
解二 因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解
的充分必要条件是 |A| ≠ 0 ．
1 l
| A |
1
1
1
1
1 l
1  (3  l )l 2
1
1 l
于是当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，方程组有唯一解．
3-5
1 1 1 0  1 1 1 0

r

B

1
1
1
3
~
0
0
0
1
当 l = 0 时， 
 

1 1 1 0  0 0 0 0

 

R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解．
  2 1 1 0   1 0 1 1 

r
当 l = －3 时，B   1 2 1 3  ~  0 1 1 2 
 1 1 2 3   0 0 0 0 

 

R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无限多个解，其通解为
 x1 
 1   1 
 
   
x

c
 2
 1    2 
 1  0 
x 
   
 3
3-5
三、内容小结
 求解线性方程组（利用矩阵的初等行变换）
1. 齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构
造．
①基础解系是解集 S 的最大无关组．
②解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合．
2. 非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系
的关系.
3-5
非齐次线性方程组
是
是
唯一解
R( A)  n
R( A)  R( B)
否
无限多个解
包含 n-R(A) 个自由变
量的通解
否
无解