Transcript 第五节线性方程组
第3章
向量与线性方程组
3-1 向量组的线性组合
3-2向量组的线性相关性
第3章
向量与线性
方程组
3-3向量组的秩
3-4向量空间
3-5 线性方程组
3-5线性方程组
一、线性方程组解的存在性
二、 齐次线性方程组解的性质与结构
三、非齐次线性方程组解的性质与结构
四、内容小结
3-5
一、线性方程组解的存在性
1、线性方程组的表达式
1. 一般形式
3 x1 4 x2 x3 5
x1 x2 2 x3 1
3. 向量方程的形式
x1
3 4 1 5
x2
1 1 2 1
x3
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1 1 2 1
4. 向量组线性组合的形
式
3
4
1 5
x1 x2 x3
1
1
2 1
3-5
2、引例
分析:用消元法解下列线性方程组的过程.
求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2,
x x 2 x x 4,
1
2
3
4
4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4,
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
1
2
3
4
2
(1)
3-5
(1)
1 2
3 2
2
3
4
3
21
31
x1 x2 2 x3 x4 4,
2 x x x x 2,
1
2
3
4
2 x1 3 x2 x3 x4 2,
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
x1 x2 2 x3 x4 4,
2 x 2 x 2 x 0,
2
3
4
5 x2 5 x3 3 x4 6,
3 x2 3 x3 4 x4 3,
1
2
( B1 )
3
4
1
2
3
4
( B2 )
3-5
1
2
2
3 52
4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x x x 0,
2
3
4
2 x 4 6,
x 4 3,
4
2 3
x1 x2 2 x3 x4 4,
x x x 0,
2
3
4
x4 3,
0 0,
3
4
1
2
3
( B3 )
4
1
2
3
4
( B4 )
3-5
x1 x3 4
于是解得 x x 3 其中x3 为任意取值 .
2
3
x 3
4
或令x3 c , 方程组的解可记作
x1 c 4
x2 c 3
x
,
x3
c
x4 3
1 4
1 3
即x c
1
0
0 3
(2)
其中 c 为任意常数 .
3-5
小结:
1.上述解方程组的方法称为消元法.
2.始终把方程组看作一个整体变形,用
到如下三种变换
(1)交换方程次序;
( i 与 j 相互替换)
(2)以不等于0的数乘某个方程;
(以 i k 替换 i )
(3)一个方程加上另一个方程的k倍.
(以 i k j 替换 i )
3-5
2 x1 x2 x3 x4 2,
x x 2 x x 4,
1
2
3
4
4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4,
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
2 1 1 1
1
1 1 2
4 6 2 2
3 6 9 7
增广矩阵
2
4
B
4
9
3-5
若记
1
2 1 1
1 2
1
1
B ( A b)
4 6
2 2
6 9
7
3
2
4
4
9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方
程组的增广矩阵)的初等行变换,将其化为行
阶梯形或行最简形.
3-5
用矩阵的初等行变换 解方程组
1
2
2 1 1
1 2
1 4
1
B
4 6
2 2
4
6 9
7
9
3
r1 r2
r3 2
1 2
1
1
1
2 1 1
2 3
1 1
6 9
7
3
4
2
B1
2
9
3-5
r2 r31 1 12
r3 2r21 01 21
B1
r4 3r21 03 51
3 06 39
r2 2
r3 5r2
r4 3r2
1
0
0
0
12 4 1
12 2 2
15 23
73 9 4
1 2 1
r2 4r3
r3 02r1
B
2
r4 63r1
3
4
1 1 1
0
B3
0
0 2 6
0
0 1 3
3-5
1
r3 r40
B3
r4 2r30
0
r1 r2
r2 r3
11
10
00
00
1
0
0
0
12
11
00
00
12
11
20
10
14 4
10 0r3 r4
B4
16 3r4 2r3
03 0
0 1 0
4
1 1 0
3
B5
0
0 1 3
0
0 0
0
3-5
B5
x1 x3 4
对应的方程组为 x2 x3 3
x 3
4
或令x3 c , 方程组的解可记作
x1 c 4
1 4
x2 c 3
1 3
x
c
1 0
x3
c
0 3
x4 3
其中 c 为任意常数 .
3-5
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1
22 2
am 1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 ,
a2 n xn b2 ,
m、n 不一
定相等!
amn xn bm .
问题1:方程组是否有解?
问题2:若方程组有解,则解是否唯一?
问题3:若方程组有解且不唯一,则如何掌握解的全
体?
3-5
定理1:n 元线性方程组 Ax = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b);
② 有唯一解的充分必要条件是
R(A) = R(A, b) = n ;
① 有无限多解的充分必要条件是
R(A) = R(A, b) < n .
3-5
证明:设 R(A) = r ,为叙述方便,不妨设 B = (A, b) 的
行最简形矩阵为
1 0
0 1
0 0
B
0 0
0 0
0 0
前r列
0
b11
b1,n r
0 b21
b2,n r
1 br ,1
br ,n r
0
0
0
0
0
0
0
0
0
后n-r列
d1
d2
dr
d r 1
R(A)
0
0 m( n 1)
≤ R(A, b) ≤ R(A)+1
3-5
第一步:往证 R(A) < R(A, b) 无解.
若 R(A) < R(A, b) ,即 R(A, b) = R(A)+1,则
dr+1 = 1 .
于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1,故原线性方程
组无解.
3-5
1
0
0
B
0
0
0
0
1
0 b11
0 b21
b1, n r
b2, n r
0
0
0
1 br ,1
0 0
0 0
br ,n r
0
0
0
0
前 n前列r 列
0
0
dd11
B 对应的线性方程组为
dd22
x1 d1 ,
ddr n
x d ,
2
2
d r 01
00
xn d n .
00 m( n1)
后n-r列
3-5
1
0
0
B
0
0
0
0
0
b11
b1,n r
1
0 b21
b2,n r
0
1 br ,1
br ,n r
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
前r列
后n-r列
d1
d2
dr
d r 1
0
0 m( n 1)
3-5
第三步:往证 R(A) = R(A, b) < n 无穷多解.
若 R(A) = R(A, b) < n ,即 r < n , 则 dr+1 = 0 .
B 对应的线性方程组为
b11 xr 1
x1
x2
b21 xr 1
xr br 1 xr 1
b1,n r xn d1 ,
b2,n r xn d 2 ,
br ,n r xn d r .
3-5
b11 xr 1
x1
x2
b21 xr 1
xr br 1 xr 1
b1,n r xn d1 ,
b2,n r xn d 2 ,
br ,n r xn d r .
令 xr+1, …, xn 作自由变量,则
x1 b11 xr 1
x b x
2
21 r 1
xr br 1 xr 1
b1,n r xn d1 ,
b2,n r xn d 2 ,
br ,n r xn d r .
3-5
线性方程组
的通解
再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ,则
x1 b11c1
xr br 1c1
c1
xr 1
x
n
b1,n r cn r d1
b11
br 1
br ,n r cn r d r
c
1
1
cn r
0
b1,n r d1
b
d
cn r r , n r r
0 0
1
0
3-5
推论 n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充
分必要条件是 R(A) < n .
齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是
R( A) n
定理2 若齐次线性方程组 AX 0
中方程的个数小于未知量的个数, 即 m n
则它有非零解.
3-5
推论:矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A, B) .
证明 设 A 是 m×n 矩阵, B 是 m×l 矩阵, X 是
n×l 矩阵.把 X 和 B 按列分块,记作
X = ( x1, x2, …, xl ) ,B = ( b1, b2, …, bl )
则 AX A( x1 , x2 , , xn ) ( Ax1 , Ax2 , , Axn ) (b1 , b2 , , bn ) B
即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解
R(A) = R( A, bi )
3-5
注:设 AB = C ,则 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} .
证明:因为 AB = C ,
所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B,
于是 R(A) = R(A, C) .R(C) ≤ R(A, C) ,
故 R(C) ≤ R(A) .
又 (AB)T = CT,即 BTAT = CT
所以矩阵方程 BTX = CT 有解X = AT ,
同理可得,R(C) ≤ R(B) .
综上所述,可知 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} .
3-5
二、 齐次线性方程组解的性质与结构
回顾:线性方程组的解的判定
1.
包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非
零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n .
2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有
解的充分必要条件是系数矩阵的秩
R(A) = R(A, b),并且
当R(A) = R(A, b) = n时,方程组有唯一解;
当R(A) = R(A, b) < n时,方程组有无限多个
解.
3-5
问题:什么是线性方程组的解的结构?
答:所谓线性方程组的解的结构,就是当线性方程
组有无限
多个解时,解与解之间的相互关系.
注:
当方程组存在唯一解时,无须讨论解的结构.
下面的讨论都是假设线性方程组有解.
3-5
定义1
设有齐次线性方程组 Ax = 0 ,如果
x1 = x11, x2 = x21,..., xn = xn1
为该方程组的解,则
称为方程组的解向量.
11
21
n1
3-5
1、齐次线性方程组的解的性质
性质1:若 x = x1, x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解,则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解.
证明: A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 .
性质2:若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解,k
为实数,则 x = kx 还是 Ax = 0 的解.
证明: A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 .
3-5
结论:若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组
Ax = 0的解, 则
x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt
还是 Ax = 0 的解.
3-5
能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的
解全部表示出来?
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S,若求得 S
的一个最大无关组S0:x = 1, x = 2, ...,, x = t ,
那么Ax = 0 的通解可表示为
x = k11 + k22 + … + ktt .
3-5
2、基础解系的概念
定义2 齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量:
x1, x2, ..., xr如果满足
① x1,x2,...,xr 线性无关;
②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的
线性组合,
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解
系.
3-5
设 R(A) = r ,为叙述方
便,不妨设 A 行最简
形矩阵为
1
0
0
B
0
0
0
0
0
1
0 b21
0
1 br ,1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
前r列
b11
b1,n r
b2,n r
br ,n r
0
0
0 m n
后n-r列
b11 xr 1
x1
x2
b21 xr 1
xr br 1 xr 1
b1,n r xn 0,
b2,n r xn 0,
br ,n r xn 0.
对应的齐次线性方程组令
xr+1, …, xn 作自由变量,
则
x1 b11 xr 1
x b x
2
21 r 1
xr br 1 xr 1
b1,n r xn ,
b2,n r xn ,
br ,n r xn .
3-5
x1 b11 xr 1 b12 xr 2
x b x b x
2
21 r 1
22 r 2
xr br 1 xr 1 br 2 xr 2
b1,n r xn ,
b2,n r xn ,
br ,n r xn .
齐次线性方
程组的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ,则
x1 b11c1
xr br 1c1
xr 1 c1
x
n
b11
b12
b1, n r cn r
br 1
br 2
br ,n r cn r
c1 1 c1 1
0
0
cn r
0
0
b1,n r
br ,n r
cn r 0
0
1
记作 x = c11 + c22 + … + cn-rn-r .(满足基础解系②)
3-5
(1 , 2 ,
b11
b21
b
, n r ) r ,1
1
0
0
b12
b22
br ,2
0
1
0
b1,n r
b2,n r
br ,n r
0
0
1
前r行
后n−r行
n−r列
故 R(1, 2 , … , n-r ) = n − r ,
即 1, 2 , … , n-r 线性无关. (满足基础解系①)
于是 1, 2 , … , n-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基
础解系.
3-5
x1 b11 xr 1 b12 xr 2
x b x b x
2
21 r 1
22 r 2
xr br 1 xr 1 br 2 xr 2
令
xr 1 1 0
x
r2 0 , 1 ,
x
n 0 0
b11
b12
br 1
br 2
1 1 , 2 1 ,
0
0
0
0
b1,n r xn ,
b2,n r xn ,
br ,n r xn .
x1 b11 b12
0
x
,
b
b
0
, ,则 2 21 , 22 ,
x
b
b
1
r r1 r 2
, n r
b1, n r
br ,n r
0
0
1
b1,n r
b
2,
n
r
,
b
r ,n r
此即为 Ax = 0 的基础解
系.通解为
= c11 + c22 + … + cnrn-r
3-5
定理3:设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r,则 n 元齐次线
性方程组Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n − r .
3-5
3、基础解系的求解
x1 2 x2 x3 2 x4 0
x4 0
2 x1 3 x2
x x 5x 7x 0
2
3
4
1
例1 求齐次线性方程组
的基础解系.
方法1:先求出通解,再从通解求得基础解系.
1 2 1 0 3 4
1 2
r
A 2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
x1 3 x3 4 x4 0 即 x1 3 x3 4 x4
x
2
x
3
x
0
2
3
4
x 2 2 x 3 3 x4
3-5
令x3 = c1, x4 = c2, 得通解表达式
x1 3c1 4c2
3
4
x
2
c
3
c
2
3
1
2
2
c1
c2
c11 c2 2
x3
1
0
c1
c2
0
1
x4
因为
方程组的任意一个解都可以表示为1, 2 的线性组
合.
1, 2 的四个分量不成比例,所以 1, 2 线性无关
所以1, 2 是原方程组的基础解系.
3-5
方法2:先求出基础解系,再写出通解.
1 2 1 0 3 4
1 2
r
A 2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
x1 3 x3 4 x4 0
x 2 2 x 3 3 x4 0
x1 3 x3 4 x4
即 x 2 x 3 x
3
4
2
x3 1 0
x1 3 4
令 x 0 , 1 ,得 x 2 , 3
4
2
3-5
合起来便得到基础解系
3
4
2
3
1
, 2
1
0
0
1
还能找出其
它基础解系
吗?
3-5
1 2 1 0 3 4
1 2
r
A 2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
问题:是否可以把 x1 选作自由变量?
3-5
答:可以,因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵,
其实并不影响方程组的求解.当两个矩阵行等价
时,以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组
同解.
1
A 2
1
1
r3 3 r2
~ 2
0
2
1 2 r 5 r 1
3 1
3 0 1 ~ 2
6
1 5 7
2 1 2
3
r2 ( 1)
3 0 1 ~ 2
r1 2 r2
0
0 0 0
2 1 2
3 0 1
9 0 3
4 1 0
3 0 1
0 0 0
3-5
1 2 3 4 1 0
1 2
r
A 2 3 0 1 ~ 2 3 0 1
1 1 5 7 0 0 0 0
0
3 x1 4 x2 x3
x4 0
2 x1 3 x2
即 x3 3 x1 4 x2
x4 2 x1 3 x2
令 x1 = c1, x2 = c2, 得通解表达式
c1
x1
1
0
x
c
0
2
2
c c 1 c c
x3 3c1 4c2 1 3 2 4 1 1 2 2
2
3
x4 2c1 3c2
从而可得另一个基础解系:1和 2 .
3-5
三、非齐次线性方程组解的性质与结构
性质3:若 x = h1, x = h2 是非齐次线性方程组 Ax =
b 的解,则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组
Ax = 0 (导出组)的解.
证明: A(h1 − h2 ) = Ah1 − Ah2 = b − b = 0 .
性质4:若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解,
x = x 是导出组 Ax = 0 的解,则 x = x + h 还是 Ax
= b 的解.
证明: A(x + h ) = Ax + Ah = 0 + b = b .
3-5
定理4
若 x = * 是 Ax = b 的解, x = 是 Ax = 0 的解,
那么x = + * 也是 Ax = b 的解.
设 Ax = 0 的通解为 = c11+c22+…+cn-rn-r .
于是 Ax = b 的通解为
= c11+c22+…+cn-rn-r +*
3-5
x1 2 x2 x3 2 x4 1
例2 求线性方程组 2 x1 4 x2 x3 x4 5 的通解.
x 2 x 2 x x 4
1
2
3
4
2
0
*
解 容易看出 是方程组的一个特解 .
1
0
其对应的齐次线性方程组为
x1 2 x2 x3 2 x4 0
2 x1 4 x2 x3 x4 0
x 2 x 2x x 0
1
2
3
4
3-5
根据前面的结论,导出组的基础解系为
x1 2 x2 x3 2 x4 0
2 x1 4 x2 x3 x4 0
x 2 x 2x x 0
1
2
3
4
于是,原方程组的通解为
2
1
1
0
1
, 2
0
1
0
1
2
2
1
0
1
0
0 k11 k2 2
k1
k2
1
0
1
0
0
1
3-5
例3
设有线性方程组
x2
x3 0,
(1 l ) x1
x1 (1 l ) x2
x3 3,
x1
x2 (1 l ) x3 l .
问 l 取何值时,此方程组有(1) 唯一解;(2) 无解;
(3) 有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.
3-5
1
1
1 l
B 1
1 l
1
1
1
1 l
0
3
l
解一 对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩
阵.
1
1 l l
1
1
1
1 l
1 l
1
1
1
1
1 l
1 1
~ 0 l
r3 (1 l ) r1
0 l
r2 r1
1 l
l
0 r1 r3
1 l
~ 1
3
1 l
1
l
1
1
3
0
1 l
l
r r 1 1
3
2
l
3l ~ 0 l
l
3l
0 0 l (3 l ) (1 l )(3 l )
l (2 l ) l (1 l )
3-5
注:
对含参数的矩阵作初等变换时,由于 l +1,
l +3 等因式可能等于零,故不宜进行下列的变
换:
1
r2
r1
1 l
r2 (1 l )
r3 (l 3)
如果作了这样的变换,则需对 l +1 = 0(或
l +3 = 0)的情况另作讨论.
3-5
1
1
1 l
B 1
1 l
1
1
1
1 l
0 1 1
1 l
l
r
3~0 l
l
3l
l 0 0 l (3 l ) (1 l )(3 l )
分析:
•
讨论方程组的解的情况,就是讨论参数 l 取何
值时,r2 、r3 是非零行.
•
在 r2 、r3 中,有 5 处地方出现了l ,要使这 5 个
元素等于零, l = 0,3,-3,1 .
•
实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨
论,先从方程组有唯一解入手.
3-5
1
1
1 l
B 1
1 l
1
1
1
1 l
0 1 1
1 l
l
r
3~0 l
l
3l
l 0 0 l (3 l ) (1 l )(3 l )
于是
•
当 l ≠ 0 且 l ≠-3 时,R(A) = R(B) = 3 ,
•
有唯一解.
•
当 l = 0 时,R(A) = 1, R(B) = 2 ,无解.
•
当 l = -3 时,R(A) = R(B) = 2 ,有无限多解.
3-5
1
1
1 l
B 1
1 l
1
1
1
1 l
0
3
l
解二 因为系数矩阵 A 是方阵,所以方程组有唯一解
的充分必要条件是 |A| ≠ 0 .
1 l
| A |
1
1
1
1
1 l
1 (3 l )l 2
1
1 l
于是当 l ≠ 0 且 l ≠-3 时,方程组有唯一解.
3-5
1 1 1 0 1 1 1 0
r
B
1
1
1
3
~
0
0
0
1
当 l = 0 时,
1 1 1 0 0 0 0 0
R(A) = 1, R(B) = 2 ,方程组无解.
2 1 1 0 1 0 1 1
r
当 l = -3 时,B 1 2 1 3 ~ 0 1 1 2
1 1 2 3 0 0 0 0
R(A) = R(B) = 2 ,方程组有无限多个解,其通解为
x1
1 1
x
c
2
1 2
1 0
x
3
3-5
三、内容小结
求解线性方程组(利用矩阵的初等行变换)
1. 齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构
造.
①基础解系是解集 S 的最大无关组.
②解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合.
2. 非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系
的关系.
3-5
非齐次线性方程组
是
是
唯一解
R( A) n
R( A) R( B)
否
无限多个解
包含 n-R(A) 个自由变
量的通解
否
无解