Transcript 线性方程组

8 April 2015
北京大学工学院
第四章 线性方程组
(System of linear equations)
第13次课
1
8 April 2015
北京大学工学院
线性方程组(system of linear equations)的一般形式
a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 ,
a x  a x   a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

......
am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm .
(4.1)
•x1, x2,…, xn表n个未知量(unknowns)，
•aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 是方程组的系数 (系数矩阵)
•m是方程的个数
•bj(j=1,2,..,n) 称为右端项 (terms of right hand side, RHS)
•x1, x2,…, xn也可以用y1, y2,…, yn表示，x没有实质性的意义；方
程组的实质是它的系数与右端项
2
8 April 2015
北京大学工学院
一般可以用如下增广矩阵表示线性方程组
 a11

 a12


 am1
a12
a1n
a22
a2 n
am 2
amn
b1 

b2 


bm 
(4.2)
一般地，m≠n。
•m=n 的线性方程组是特殊的情形，可以用Cramer法则解 (?缺什么条件)；
•线性方程组的一个解是由 k1,k2,…,kn 组成的一个有序数组(k1,k2,…,kn)，
当 x1,x2,…,xn 分别用 k1,k2,…,kn 代入方程组后，方程组中的每个等式都变
成恒等式；
•解的全体称为解集合(solutin set)；
•如果两个线性方程组具有相同的解集合，它们就称为同解的。
3
8 April 2015
北京大学工学院
§1 Gauss消元法
解方程的方法（中学阶段学过二元，三元方程组的解法）
•Cramer法则
•代入法
•消元法（最具有泛性的方法，是整个线性代数的基础）
4
8 April 2015
北京大学工学院
举例说明解线性方程组的Gauss消元法。
 2 x  y  3z  1

4 x  2 x  5 z  4
 2x  y  2z  5

 x  2y  z 1

2 x  3 y  z  2
 4x  y  z  4

5
8 April 2015
北京大学工学院
定义（线性方程组的初等变换）线性方程组的初等变
换就是如下三种变换
（1）互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘一个非零数；
（3）把某一个方程的倍数加到另一个方程。
不难证明，初等变换是可逆的，即经过初等变换后的
线性方程组可以用初等变换复原。
与增广矩阵的行初等变换比较！
6
8 April 2015
北京大学工学院
命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解
相当于方程组两边同时左乘初等矩阵！
方程组化阶梯型(仅用前面三个初等变换能行吗？)
c11 x1  c12 x2   c1r xr 

c22 x2   c2 r xn 



crr xr 








 c1n xn  d1
 c2 n xn  d 2
 crn xn  d r
0  d r 1
00
00
(4.2)
7
8 April 2015
北京大学工学院
例如:仅采用线性方程组的初等变换，下面的方程不得到 (4.2) 的形式，
 2 x  y  3z  1
2 x  y  3 z  1
2 x  y  3 z  1



 2   1z
2
4 x  2 y  5 z  4   1z
 2x  y  2z  5
 1z

4
0
2



更一般地，我们（用行初等变换）可以将(4.1)式化成下面的形式：
8
8 April 2015
北京大学工学院
9
定理：通过线性方程组的初等变换可将方程组(4.1)变为如下形式
c1, j1 x j1  c1, j1 1 x j1 1 

c2, j2 x j2 











 c1, jr x jr 
 c1n xn  d1
 c2, jr x jr 
 c2 n xn  d 2
cr , jr x jr 
 crn xn  d r
0  d r 1
00
00
其中 1  j1  j2  ...  jr  n ，且 ci , ji  0,
注意 自由变量
i  1, 2,..., r
(4.3)
8 April 2015
北京大学工学院
r<=m<=n。这样，从(4.7)式线性方程组的解有3种情况：
1)0=dr+1≠0, 方程组无解；
2)r= n，方程组有唯一解；
3)r<n 且0=dr+1，方程组有无穷多解。
关于齐次的方程组有：
1)r= n，方程组只有零解；
2)r<n，方程组有非零解。
阶梯形方程组是原方程组通过初等变换得到的，它与原方程组
同解。因此讨论原方程组的解就是讨论阶梯形方程组的解。
10
8 April 2015
北京大学工学院
与Cramer法则对照：
1)
n个未知量n个方程的线性方程组无解 或 不唯一 → 线
性方程组的系数行列式 D = 0。
2)
n个未知量n个方程的线性方程组的系数行列式 D =
0 → 线性方程组无解 或 不唯一。
3) n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解（解不唯
一） → 线性方程组的系数行列式 D = 0。
4) n个未知量n个方程的齐次线性方程组的系数行列式 D =
0 → 齐次线性方程组有非零解。
11
8 April 2015
北京大学工学院
m=n
线性方程组
行列式 |aij|
同样的初等变换
阶梯形
线性方程组
阶梯形行列式
|cij|
12
8 April 2015
北京大学工学院
Cramer法则可以更深层次一些重写为：
定理：线性方程组
 a11 x1  a12 x2 
a x  a x 
 21 1 22 2


an1 x1  an 2 x2 
 a1n xn
 b1
 a2 n xn
 b2
 ann xn
 bn
的系数行列式不为零的充分必要条件是 这个线性方程组有解，并且
解是唯一的。
13
8 April 2015
北京大学工学院
推论：线性方程组
 a11 x1  a12 x2 
a x  a x 
 21 1 22 2


an1 x1  an 2 x2 
 a1n xn
 b1
 a2 n xn
 b2
 ann xn
 bn
的系数行列式为零的的充分必要条件是 这个线性方程组无解 或
解不唯一。
14
8 April 2015
北京大学工学院
定义（齐次线性方程组）常数项都为零的线性方
程组称为齐次线性方程组（homogeneous system
of linear equations）。
命题 未知量个数大于方程个数的齐次线性方程组必
有非零解；
15
8 April 2015
第十三次课作业
P154：1（1）,（3）
北京大学工学院
16