Transcript 9.3 两个角动量的耦合，CG系数

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量子力学教程(第二版)
9.3 两个角动量的耦合，CG系数
在第8章中讨论过自旋与轨道角动量的耦合，
以及两个电子的自旋耦合.下面普遍讨论两个角动
量的耦合.
设 j1 与 j2 分别表示第一和第二粒子的角动量，即
[ j1 , j1 ]  i j1 ,
[ j2 , j2 ]  i j2
 ,  ,   x, y,z
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（1）
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由于它们分别对不同的粒子的态矢运算，彼此是对
易的
（2）
[ j1 , j2 ]  0,
 ,  ,   x, y,z
定义两个角动量之和
j  j1  j2
（3）
利用对易式（1）和（2），不难证明
[ j , j ]  i j
或表示成
j j  i j
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（4）
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设 ( j12 , j1z ) 的共同本征态为 j1m1
2

j
 1  j1m1  j1 ( j1  1) j1m1


 j1z j1m1  m1 j1m1
（5a）
类似， ( j22 , j2 z ) 的共同本征态为  j m
2
2
2

j
 2 j2m2  j2 ( j2  1) j2 m2


 j2 z j2m2  m2 j2 m2
（5b）
对于两个粒子组成的体系，它的任何一个角动量态
2
2
(
j
,
j
,
j

(1)

(2)
可以用 j m
展开.换言之， 1 1z 2 , j2 z ) 可作为
jm
1 1
2 2
体系的对易力学量完全集， j m (1) j m (2) 是它们的共同
本征态，
1 1
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2 2
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以之为基矢的表象，称为非耦合表象.在给定 j1 和
j2 的情况下，
m1  j1 , j1  1, ,  j1  1,  j1

m2  j2 , j2  1, ,  j2  1,  j2
（6）
所以  j m (1) j m (2) 共有 (2j1  1)(2j2  1) 个，即它们张开
1 1
2 2
(2j1  1)(2j2  1)
考虑到
维子空间.
[ j12 , j ]  0,
[ j22 , j ]  0,
[ j1 , j2  ]  0 ,
[ j 2 , j ]  0 , ,  ,   x, y,z
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（7）
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( j12 , j22 , j 2 , jz )
也是两粒子体系的一组对易力学量完全
集，共同本征态记为  j j jm (1, 2) ，以其为基矢的表象称为
1 2
耦合表象，即
 j12 j1 j2 jm  j1 ( j1  1) j1 j2 jm
 2
 j2 j1 j2 jm  j2 ( j2  1) j1 j2 jm
 2
 j  j1 j2 jm  j ( j  1) j1 j2 jm
 j
z j1 j2 jm  m j1 j2 jm

（8）
在给定 j1 和 j2 的子空间中，耦合表象基矢可以简记为
 jm (1, 2)
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试问 j 可以取哪些值？耦合表象和非耦合表象基矢
之间的关系如何？令
 jm (1, 2) 

j1m1 j2m2 jm  j1m1 (1) j2m2 (2)
（9）
m1 ,m2
展开系数称为Clebsch-Gordan(CG)系数，即子空间中
耦合表象和非耦合表象基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元.
考虑到 jz  j1z  j2z ，对式（9）运算，得
m jm (1, 2) 
 (m  m )
1
2
j1m1 j2 m2 jm  j1m1 (1) j2 m2 (2)
m1 , m2
即
 (m  m  m )
1
2
j1m1 j2 m2 jm  j1m1 (1) j2m2 (2)  0
m1 , m2
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（10）
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在自旋表象子空间中，非耦合表象基矢是彼此独立的（完
备的）正交归一矢，式（10）右边的所有系数必须为零，即
(m  m1  m2 ) j1m1 j2m2 jm  0
（11）
所以 m  m1  m2 ，式（9）可改写为
 jm (1, 2)   j1m1 j2 m  m1 jm  j m (1) j mm (2) （12）
1 1
2
m1
1
我们知道，任何表象的基矢都有相位不确定性，但如取
适当的相位规定，就可以使CG系数为实数.在此情况下，用
式（12）代入正交归一性关系
( j ' m' , jm )   j ' j m' m
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对于 m '  m 给出

j1m1 ' j2 m  m1 ' j ' m
j1m1 j2 m  m1 jm
m1 ' m1
( j1m1 ' , j1m1 )( j2 m  m1 ' , j2m m1 )   j ' j
即

j1m1 j2m  m1 j ' m j1m1 j2m  m1 jm   j ' j
（13）
m1
习惯上取CG系数为实，因此式（9）之逆可表示为
 j m (1) j m (2)   j1m1 j2m2 jm  jm (1, 2), m  m1  m2 （14）
1 1
2 2
jm
代入正交归一性关系
( j1m1 j2m2 , j1m1 
' j2m2 ' )   m1m1 ' m2m2 '
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得

j1m1 j2m2 jm j1m1 ' j2m2 ' j ' m ' ( jm , j ' m' )   m1m1 ' m2m2 '
jj ' m ' m
对 m2 '  m2 ,得

j1m1 j2 m  m1 jm j1m1 ' j2m  m1 ' jm   m1m1 '
jm
式（13）和（15）就是CG系数幺正性和实数性的反映.
j 的取值范围. 给定 j1 和 j2
m1  j1 , j1  1, ,  j1  1,  j1

m2  j2 , j2  1, ,  j2  1,  j2
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（15）
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即 (m1 )max  j1,(m2 )max  j2 ，所以 (m)max  (m1  m2 )max  j1  j2
按角动量性质，可知 ( j)max  j1  j2 试问， j 还可以取
哪些值？最小值取多少？我们注意到，对于给定的 j1
和 j2 的态空间，维数是 (2j1  1)(2j2 1) 而在表象变换时，
空间的维数是不变的.对于一个 j 值，m 有 2j  1 个可
能取值.因此，从维数不变的要求，有
j1  j2
 (2j  1)  (2j  1)(2j
j  jmin
1
2
 1)
（16）
左边求和得
( j1  j2  jmin  1)( j1  j2  jmin  1)  (2j1  1)(2j2  1)
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（17）
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因此，如 j1  j2 , jmin  j1  j2 ，如
j2  j1 , jmin  j2  j1
总之，jmin  j1  j2 所以 j 取值范围如下：
j  j1  j2 , j1  j2 1,...., j1  j2
此结果可概括为三角形法则 ( j1 j2 j )
（18）
按式（11）和（18），概括起来，CG系数有下列两个基
本性质：
（a） 仅当 m  m1  m2 时，j1m1 j2m2 jm 才不等于零. （19）
（b）仅当 j1  j2  j  j1  j2时，j1m1 j2m2 jm 才不等于零.
应当提到，角动量非耦合表象和耦合表象之间的幺正变换
有一个相位不定性，通常采用的相位规定是：让
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（a）CG系数为实；
（b） j1 j1 j2 j  j1 jj 为非负实数.
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（20）
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Racah利用代数方法推导出了CG系数的普遍公式
j1m1 j2 m2 j3m3
  m3 ,m1  m2

( j1  j2  j3 )!( j2  j3  j1 )!( j3  j1  j2 )!
(2j3  1)
( j1  j2  j3  1)!

（21）
1/2

  ( ji  mi )!( ji  mi )!
i 1,2,3


   (1)  !( j1  j2  j3  )!( j1  m1  )!

 ( j2  m2  )!( j3  j1  m2   )!( j3  j2  m1  )!
1
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求和中，整数 应取得使所有阶乘因子中的数是非负
整数. 利用式（21）可得出CG系数的各种对称性关系：
j1m1 j2m2 j3m3  (1) j1  j2  j3 j1  m1 j2  m2 j3  m3
j1m1 j2m2 j3m3  (1) j1  j2  j3 j2m2 j1m1 j3m3
j1m1 j2 m2 j3m3  (1) j1 m1
2j3  1
j1m1 j3  m3 j2  m2
2j2  1
j1m1 j2 m2 j3m3  (1) j2  m2
2j3  1
j3  m3 j2 m2 j1  m1
2j1  1
j1m1 j2 m2 j3m3  (1) j1 m1
2j3  1
j3m3 j1  m1 j2 m2
2j2  1
j1m1 j2 m2 j3m3  (1) j2  m2
9.3
2j3  1
j2  m2 j3m3 j1m1
2j1  1
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（22）
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E.P.Winger引进 3j 符号，定义如下：
 j1 j2

 m1 m2
j3 
j1  j2  m3
1/2

(

1)
(2
j

1)
j1m1 j2 m2 j3  m3 （23）

3
m3 
它们具有很清楚的对称性关系，容易记忆，即
(1)
j1  j2  j3
 j1 j2

 m1 m2
j3   j2

m3   m2
j1
m1
 j1 j3

 m1 m3
 j1 j2

 m1 m2
j3   j2

m3   m2
9.3
j3
m3
j3 

m3 
j2   j3

m2   m3
j1 

m1 
j2
m2
j1   j3

m1   m3
j1
m1
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（24）
j2  （25）

m2 
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 j1 j2

 m1 m2
j3 
j2
j1  j2  j3  j1
  (1)

m3 
 m1 m2
j3 

m3 
（26）
由式（26）可看出，若 m1  m2  m3  0 则只有当
j1  j2  j3  偶数 时，3j 符号才可能不等于零.
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