Transcript Document

第四章 随机变量的数字特征
数字特征的优越性：
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。
2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀分布、
指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两个数字特征
完全确定。
3. 重要的数字特征---数学期望、方差具有明确的统计意义，
同时还具有良好的数学性质。
4.随机变量的数字特征较易求出。
Copyright © 2006 NJUFE
第一节、数学期望
例1. 有甲、乙两个射击选手，他们的射击技术由下表给出：
甲射手：
环数
p
乙射手：
环数
p
10
0.6
10
8
9
0.3
0.1
8
9
0.2
0.5
0.3
试问哪一个选手射击本领较好？
甲：8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=9.3N
乙：8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N
Copyright © 2006 NJUFE
定义4.1(教材p110)
设为离散型随机变量，其分布律为
pk P(  xk )，k  1，
2，

若级数
x
k 1
k

pk 绝对收敛，则称 E()=  xk pk 为的数
k 1
学期望(或称期望或均值)。
1. 设～B(n，p)，求E()：
E()=np.
2. 设～()，求E()：
E()=.
3.
设服从参数为p的几何分布，求E()： E()=1/p.
例2. 设随机变量分布律为
pk  P(  (1) 2 / k )  1/ 2 ， k  1，
2，

k
k
k
求E() 。
Copyright © 2006 NJUFE
定义4.2 (教材p110)
设为连续型随机变量，其分布密度为f(x)，若积分


x f ( x)dx 收敛， 则称 E ( ) 

望(或称期望或均值)。

为的数学期
xf
(
x
)
dx


4. 设服从参数为的指数分布，求E()：
E()=1/ 
5. 设服从(a，b)区间上的均匀分布，求E()： E()=(a+b)/2
6. 设 ～N (， )，则 E()=.
2
7. 设～(，)，则E()= /。
n 1
2
设 (n)  ( ， )，则有 E (  (n))  n.
2 2
2
例3. 设的分布密度为
f ( x)  1/( (1  x2 ))，
(Cauchy)求E( ).
Copyright © 2006 NJUFE
， n 相互独立，且均服从参数为的指数分
例4. 设 1， 2，
， n }，N=min{ 1， 2，
， n }，
布，M=max{ 1， 2，
求E(M)和E(N)。
定义4.3
对=( 1， 2，
， n )，若 E(i )，i  1，
2，
，n 都存在，
，E( n )) 为n维随机变量的数学
则称 E ( )  ( E (1 )，E ( 2 )，
期望(或均值向量)。
Copyright © 2006 NJUFE
定理4.1 (教材p115)
设y=g(x)是连续函数，=g()：
1) 是离散型随机变量，其分布律为
P(  xi )  pi，i  1，
2，

若 g(xi ) pi  ，
i 1

则 E ( )  E[ g ( )]   g ( xi ) pi。
i 1
2) 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，

若  g(x) f ( x)dx  ，

则 E( )  E[ g ( )] 

 g ( x) f ( x)dx。

Copyright © 2006 NJUFE
推广（教材p116）：
  (1， 2 )，  g (1， 2 )。
设 y  g ( x，y ) 是连续函数，
1) 是离散型随机变量，其分布律为
pij  P(1  xi，2  y j )，i，j  1，
2，


若  g ( xi，y j ) pij  ，
i，j 1
则 E ( )  E[ g (1， 2 )] 

 g ( x ，y ) p .
i，j 1
i
j
ij
2) 是连续型随机变量，其概率密度为 f ( x，y)。
 
若
 g ( x，y) f ( x，y)dxdy  ，
  
则E ( )  E[ g (1， 2 )] 
  
  g ( x，y) f ( x，y)dxdy.
  
Copyright © 2006 NJUFE
例5. 设二维随机变量(，)的概率密度为
f ( x，y)  {
x  y， 当0  x  1，
0  y  1；
0，
其它.
试求的数学期望。
定理4.2 (教材p119)
1. 设a，b，c为任意常数，若 a    b，则 a  E ( )  b。
特别，E( c)=c。
2. 线性性：设 a1，a2，，an和b 为任意常数，则
n
n
i 1
i 1
E ( ai i  b)   ai E ( i )  b.
， n 相互独立，则
3. 若 1， 2，
E(12 n )  E(1 ) E(2 )E(n )。
Copyright © 2006 NJUFE
gi ( x)，i  1，
2，
，n为连续函数，
1， 2，
， n
，gn (n ) 也是
为相互独立的随机变量，则 g1 (1 )，g 2 ( 2 )，
性质 设
相互独立的随机变量。
由此可得
E[ g1 (1 ) g2 ( 2 ) gn ( n )]  E[ g1 (1 )]E[ g2 ( 2 )]E[ gn ( n )].
例6. (2003年数学一考研试题十一题)
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格
品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产
品放入乙箱后，求：
1) 乙箱中次品数X的数学期望；
2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
Copyright © 2006 NJUFE
例7. (2002年数学三、四考研试题十二题)
假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，
平均无故障工作的时间(EX)为5小时。设备定时开机，出现
故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。
试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。
定义3.4
1. 设(，)为离散型随机变量， 在给定  
2，

件分布律为 P(  x｜
i   y j )，i  1，

若
x
i 1
i
y j 条件下的条
P(  x｜
i   y j )  ， 则称

E (｜  y j )   xi P(  x｜
i   yj)
为当 
i 1
 y j 条件下的条件数学期望。
Copyright © 2006 NJUFE
2. 设(，)为连续型随机变量，在给定=y 条件下的条件
分布密度为f(x｜y)，若


 x f ( x｜y)dx  ，称 E(｜  y)   xf ( x｜y)dx

为当=y 条件下的条件数学期望。

说明： 1) 因为条件分布是随机变量，故函数的数学期望计算公
式(定理4.1)和数学期望的性质(定理4.2)对条件数学期望也成立。
2) E(｜=y)对固定的y是一个数，随着取遍所有有意义的y
值， E(｜=y)是的函数，故也是随机变量，记为E (｜)。
定理
设g(x)为连续函数，则 E{E[g()｜]}=E[g ()]。
特别，E[E (｜)]=E ()。
Copyright © 2006 NJUFE
第二节 方差
例1.有甲、乙两个射击选手，他们的射击技术由下表给出：
击中环数
10
9
8
7
甲概率
0.15
0.2
0.3
0.2
乙概率
0.05
0.05
定义4.5 (教材p121)
0.05
0.8
6
0.15
0.05
设为随机变量，若 E[(  E ( )) ]存在，则称其为的
方差，记为 Var ( )  D( )  E[(  E ( )) 2 ].
2
称
 D( ) 为标准差(或均方差)。
Copyright © 2006 NJUFE
1. 设为离散型随机变量，其分布律为
pi  P(  xi )，i  1，
2，

则
D( )  [ xi  E ( )]2 pi。
i 1
2.设为连续型随机变量，其分布密度为f(x)，则

D( )   [ x  E ( )]2 f ( x)dx。

方差实用计算公式：
D( )  E ( 2 )  [ E ( )]2 .
公式变形：
E ( )  D( )  [ E ( )] .
2
2
Copyright © 2006 NJUFE
几种常用分布的方差：
1. 设～B(n，p)，则
D()=np(1-p) 。
2. 设～()，则 D()=  。
3. 设服从参数为p的几何分布，则
D( )  (1  p) / p 2
4. 设服从(a，b)区间上的均匀分布，则 D( )  (b  a) / 12.
2
5. 设服从参数为的指数分布，则
D( )  1 /  .
2
2
D
(

)


.
6. 设～N (， )，则
2
7. 设～(，)，则
D( )   /  .
2
n 1
8. 对 ～ (n)  ( ， )， D( )  2n.
2 2
2
Copyright © 2006 NJUFE
定理4.4 (切比雪夫不等式) (教材p127)
设是随机变量，若D()存在，则对任何 >0，
D( )
P(   E ( )   )  2 .
切比雪夫不等式的等价形式 
有
P(   E ( )   )  1 
D( )

2
.
1. 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随
机变量落在E()附近的概率。
2. 切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研
究。
思考题 (2001年数学一考研试题)
设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计
P( X  EX  2) 
。
Copyright © 2006 NJUFE
例2 (2002年数学一考研试题十一题)
设随机变量X的概率密度为
cos(x / 2) / 2， 0  x  ；
f ( x)  {
0，
其它。
对X独立地观察4次，用Y表示观察值大于/3的次数，求
2
的数学期望。
定理4.5 (教材p124)
Y
方差具有以下性质：
1. D()=0 当且仅当 P(=c)=1，c为任意常数；特别，D(c )=0。
2
2. 设 c 为任意常数，则 D(c )= c D()。
，cn为任意常数，当 D(i )，i  1，2，，n 存在，有
3. 设 c1，c2，
n
n
D( ci i )   ci2 D( i )  2
i 1
i 1
 c c E[(
1i  j  n
i
j
i
 E ( i ))( j  E ( j ))].
Copyright © 2006 NJUFE
2，
，n 相互独立，则 D(
4. 若 i，i  1，
n
n
i 1
i 1
2
c

)

c
 i i  i D(i )
特别，若与相互独立，则 D(+ )= D()+ D().
5. 若 cE()，则 D()<E (  c) 2 .
标准化随机变量：设 D()>0，构造随机变量
  E ( )
 
，
D( )



E
(

)

0
，
D
(

)  1，
则  与服从同类分布，且

称  为标准化随机变量。

Copyright © 2006 NJUFE
第三节、协方差和相关系数
定义4.6 (教材p129)
对二维随机变量(，)，若 E{[-E()][-E()]} 存在，则称
其为与的协方差(或相关矩)，记为 cov(，)，即
cov (，)= E{[-E()][-E()]} 。
注：1) cov(， )=D()，若a为常数，则 cov(a， )=0.
2) 协方差的实用计算公式： cov (，)= E()- E() E().
3) 对二维随机变量(，)，有计算公式：
D (+)= D ()+ D ()+2 cov (，).
Copyright © 2006 NJUFE
协方差的简单性质(教材p129)
1.对称性： cov(，)= cov(， )。
2.线性性： cov(a，)= acov(，)，
cov(1   2，)  cov(1，)  cov( 2，).
由对称性和线性性进一步可得
cov(a1  b 2，c1  d2 )  ac cov(1，1 )
 bc cov( 2，1 )  ad cov(1，2 )  bd cov( 2，2 )，
m
n
m
n
i 1
j 1
i 1 j 1
cov(  ai i，
 b j j )   aib j cov(i， j ).
定义4.7(教材p131)
若 cov(，)= 0，则称与不相关。
Copyright © 2006 NJUFE
定理4.6 对二维随机变量(，)，下列事实是等价的：
1) cov(，)= 0；
2) 与不相关；
3) E()= E() E()；
4) D (+)= D ()+ D ()。
结论1： 与相互独立 => 与不相关；
与不相关
 与相互独立 。
2
2
(

，

)
～
N
(

，

，

，

结论2：设
1
2
1
2， ) ，则与不相关等价
于与相互独立 ，即 =0。
Copyright © 2006 NJUFE
思考题2(2003年数学四考研试题)
设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )
(A) X与Y一定独立.
(B) (X，Y)服从正态分布.
(C ) X与Y未必独立.
(D) X+Y服从一维正态分布.
思考题3(2002年数学三考研试题填空题)
设随机变量X 和Y 的联合概率分布为
Y
-1
0
1
0.07
0.08
0.18
0.32
0.15
0.20
X
0
1
则
X
2
和
Y
2
的协方差 cov( X 2 , Y 2 ) 
Copyright © 2006 NJUFE
例3(2002年数学三考研试题十一题第二小题)
设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量
 1， 若U  1，
 1， 若U  1，
X ｛
Y ｛
1， 若U  1；
1， 若U  1.
试求D(X+Y)。
例4(2001年数学四考研试题十二题)
设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)
为顶点的三角形区域服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的
方差。
1
G
1
x+y=1
Copyright © 2006 NJUFE
定理4.8 (柯西—许瓦兹不等式)
对任何随机变量与，都有
1)
2)
[ E( )]  E( ) E( )；
等式成立当且仅当存在 t 0 ，使P(= t 0  )=1。
2
2
2



，

结论：设
是与的标准化随机变量，则
cov(， )
cov( ， ) 
D( ) D( )


定理4.8推论：对任何随机变量与，都有
[cov(，)]  D( ) D().
2
Copyright © 2006 NJUFE
定义4.8 (教材p129)
设D()>0，D()>0，称
cov(， )
r 
 cov( ，  )
D( ) D( )
为与的相关系数(线性相关系数)，通常简记成r或。
定理4.9 对与的相关系数r，有以下结论：
1. 与的不相关当且仅当 r=0；
2.
r  1；
3. ｜r｜=1 当且仅当存在常数a，b，a0使
P(=a +b)=1。
Copyright © 2006 NJUFE
说明：
1.
r  0.3，称与微弱相关；
当0.3< r 0.5，称与低度相关；
当0.5< r 0.8，称与中等相关(或称显著相关)；
当0<
当0.8< ｜r｜< 1，称与高度相关；
当｜r｜=1，称与完全相关。
2. r=0 只说明与之间不存在线性关系，但完全可能存在
曲线关系(参见教材p157 例11)。只有当与相互独立，它们
之间才无任何关系。
3. 当r>0，称与正相关，当r<0，称与负相关。
注：以上正(负)相关是一般教科书上给出的定义，但这种定
义只能说明当与之间存在线性相关关系时的变化趋势。
准确地提法应该是：当增大时， 增大(减少)，则称与
正(负)相关。
Copyright © 2006 NJUFE
性质：设
(，)～N (1，2， 12， 22， )，则
r  ， cov(，)  1 2 .
阐述相关系数r反映线性相关关系：
若用的线性函数 a+b，(a，b为常数) 来近似反映，即
  a+b ，则有以下问题：
1. 随着常数 a，b 取不同的值， a+b 代表无数条直线，其中
哪一条直线近似程度最好(误差最小)？
2. 由于 a+b 也是随机变量，如何度量 a+b 与  的误差？
2
e

E
[(


(
a

b

))
]
考虑其均方误差：
此处，e 是 a，b 的函数。将 e 的表达式展开，得
e  E( )  2bE( )  2aE()  b E( )  2abE( )  a .
2
2
2
e
e
利用二元函数求极值的方法，令
 0，  0，即
a Copyright©b2006 NJUFE
2
e
 2a  2bE ( )  2 E ( )  0，
a
e
 2bE ( 2 )  2 E ( )  2aE ( )  0.
b
a0，b0，
得
cov(， )
cov(， )
b0 
，a0  E ( )  E ( )
.
D( )
D( )
解方程组求出使 e 达最小的常数
将 a0，b0 代入e 的表达式，经整理 可得
emin  min E[(  (a  b ))2 ]  E[(  (a0  b0 ))2 ]
 (1  r 2 ) D( ).
结论1：｜r｜越大，近似程度越好， 与之间存在线性关
系的程度越高，当r=0， 与之间不存在线性关系。
Copyright © 2006 NJUFE
注意 r 与 b 之间存在关系：
0
cov(， )
cov(， ) D( )
r

 b0
D( )
D( ) D( )
D( )
结论2： 与正(负)相关当且仅当
r  b0
b0
>0(
D( )
D( )
.
b0 <0)，且
D( )
D( )
思考题4 (2001年数学一、三、四考研试题)
将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和
反面向上的次数，则X 和 Y 的相关系数等于( )
(A) -1.
(B) 0.
(C )
1/2.
(D)
Copyright © 2006 NJUFE
1.
思考题5 (2001年数学三考研试题填空题)
设随机变量X和Y的数学期望分别为-2，2，方差分别为1
和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式
P(｜X+Y｜6)
.
思考题6 (2003年数学三考研试题填空题)
设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，则Y与Z的
相关系数为
.
思考题7 (2003年数学四考研试题填空题)
设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX=EY=0，
EX 2  EY 2  2，
则 E( X  Y )2 
Copyright © 2006 NJUFE
例5 (2003年数学四考研试题十二题)
对于任意二事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1，

P( AB)  P( A) P( B)
P( A) P( B) P( A) P( B)
称做事件A与B的相关系数。
(1) 证明事件A和事件B独立的充分必要条件是其相关系数等于
零；
(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明｜｜0.
，n )为n维随机变量，记
定义4.9 设  (1， 2，
称
ij  cov(i， j )，i，j  1，
2，
，n，
C  (ij )nn 为的协方差矩阵。
Copyright © 2006 NJUFE
n维正态分布的性质：
，n ) 服从n维正态分布的充分必要条件是：
1.   (1， 2，
n
a
i 1
i
i
服从一维正态分布，其中
ai
，i=1，2，…n为常数。
，n )服从n维正态分布，令
2.设  (1， 2，
n
i   aij j，i  1，
，m，
j 1
则
(1，2，
m )服从m维正态分布。
 n ) 服从n维正态分布，则
3.设( 1， 2，
相互独立的充分必要条件是
1， 2，
 n
1， 2，
 n
两两不相关。
Copyright © 2006 NJUFE