Transcript 结构化学 - 东华理工大学化学生物与材料科学学院

黄
斌
两分子乙醇在金属表面上
吸附模拟
乙醇分子形成氢键模式
Optimizing the structure of BN cubic
Calculating the elastic constants of BN
Description of the elastic constants file
量子力学基础知识
原子的结构和性质
多原子分子的结构和性质
结构化学
分子的对称性
双原子分子的结构和性质
配位化合物的结构和性质
次级键和超分子结构
1.1 量子力学的诞生
1.2 量子力学基本假设
1.3 箱中粒子薛定谔方程及其解
十九世纪末，经典物理学已经形成一个相当完善的体
系，机械力学方面建立了牛顿三大定律，热力学方面有吉
布斯理论，电磁学方面用麦克斯韦方程统一解释电、磁、
光等现象，而统计方面有玻兹曼的统计力学。当时物理学
家很自豪地说，物理学的问题基本解决了，一般的物理都
可以从以上某一学说获得解释。唯独有几个物理实验还没
找到解释的途径，而恰恰是这几个实验为我们打开了一扇
通向微观世界的大门。
1.黑体辐射
黑体辐射所研究的问题
是黑体腔内热辐射能量密度
ρ随波长λ(或频率ν )的变化规
律。
1911年诺贝尔物理学奖 维恩
检测的辐射
针孔
温度T 时的黑体
图1-1 黑体辐射示意图
图1－2 在四个不同的温度下，黑体单位面积单位
波长间隔上发射的功率曲线
Planck 量子论
1900年12月14日，普朗克公布了他对黑体辐
射的研究成果。
提出假设：黑体腔内辐射能的吸收或释放不
能连续进行，只能以某一个最小单位做跳跃式改
变，而且大小与辐射波频率有关。
ε = hν，E = nε = nhν( n = 1，
2，
3，
)
Planck常 数 ：h = 6.6260755× 10-34 J • s
普朗克
2.光电效应
光电效应是19世纪末人们发现的新的物
理现象：当光照射到纯净金属表面时有电子
（称光电子）逸出。
图1-3 光电效应示意图
实验现象：
（1）光电子的动能Ek与光的强度无关，
与入射光的频率有关。
（2）对于一定金属，存在临阈频率。
（3）加反向电压，抑制光电流发生。
按照电磁波理论，光电子的动能Ek与光的强度
有关，与入射光的频率无关。
Einstein 光子学说
1905年爱因斯坦
运用量子概念成功解
释光电效应。
爱因斯坦获1921年诺贝尔物理学奖
光是一种粒子流，能量量子化，最小单位称
光量子。光的辐射场是由光量子（简称光子）
组成的。
光速为c =2.99792×108 m·s-1
每个光子的能量=hv=mc2
动量为p=h/λ, ρ=dN/dτ，光具有波粒二象性 。
光存在动质量m，静止质量m为0，碰撞时动
量和能量守恒。
粒子性
 
E  h
h
p

h
m 2
c
波动性
可见，光具有波粒二象性，通过h联系起来。
传播时——呈波动性
与物质作用时——呈粒子性
Einstein 光电方程
1
2
hν = eV s + W0 = me v + hν 0
2
当光照射到金属表面后，一个光子被一
个电子吸收，光子的能量一部分用来克服金
属对表面电子的束缚能W0（又称逸出功），
另一部分转化为光电子动能。
1
光电方程 hν = eV s + W0 = me v 2 + hν 0
2
在1916年被罗伯特·安德罗·密里根精确实验证
实具有普适性。
密里根 荣获1923年度诺
贝尔物理学奖
3.原子光谱
从原子光谱观察，在没
有外作用时，原子不发
生辐射，受到作用时，
原子也只发射自己特
有的频率，不会连续辐
射。
图1－4 氢原子光谱的5个线系
实物微粒是指静止质量不为零的微观
粒子（m0≠0）。如电子、质子、中子、原
子、分子等。
1924年，德布罗意（de Broglie）受到
光的波粒二象性的启示，提出实物粒子也
具有波粒二象性。
h
h
λ= =
p mv
ε = hν

h
2meV
：德布罗意波波长；
p：粒子的动量；
h：Planck常数；
：粒子能量；
v：物质波频率。
de Broglie关系式，形式上与Einstein关
系式相同，但却是一个新的假设。
Louis Victor due de Broglie
德布罗意原来学习历史，后来改学理
论物理学。他善于用历史的观点，用对比
的方法分析问题。
1923年，德布罗意试图把粒子性和波
动性统一起来。1924年，在博士论文《关
于量子理论的研究》中提出德布罗意波，
同时提出用电子在晶体上做衍射实验的想
法国物理学家，1929年诺贝 法。
尔物理学奖获得者，波动力
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想
学的创始人，量子力学的奠
的重大意义，评价说“我相信这是揭开我
基人之一。
们物理学最困难谜题的第一道微弱的希望
之光”。
例1: 求m = 1.0×10-3 kg的宏观粒子以1.0×10-2 m·s-1
的速度运动时粒子的de Broglie波长。
h
6.6262× 10-34 J • s
-29
λ=
=
=
6
.
6262
×
10
m
-3
-2
-1
mv 1 × 10 kg× 1.0 × 10 m • s
这个波长与粒子本身的大小相比太小，观察不
到波动效应。
例2：求以1.0×106 m·s-1的速度运动的电子的de Broglie
波的波长。
h
6.62621034 J  s
10



7

10
m
31
6
1
m v 9.110 kg 1.0 10 m  s
这个波长相当于分子大小的数量级，说明分子
和原子中电子运动的波动性是显著的。
例3：计算动能为300 eV的电子的de Broglie波长。
p2
T
2m
p  2m T
h
h
 
p
2m T


6.626 10 34 J  s


2  9.110 10 31 kg  1.602 10 19 C  300 V
=7.08×10-9 (cm)
a
b
c
a. X射线通过铝箔所得到的衍射环
b. 电子束通过铝箔所得到的衍射环
c. 中子束通过铜箔所得到的衍射环
微观世界的力学量变化是量子化的，变化是不连续的，在
不同状态去测定微观粒子，可能得到不同的结果，对于能
得到确定值的状态称为“本征态”，而有些状态只能测到一
些不同的值（称为平均值），称为“非本征态”。
例如：当电子处在坐标的本征态时，测定坐标有确定值，而
测定其它一些物理量如动量，就得不到确定值，相反若电子
处在动量的本征态时，动量可以测到准确值，坐标就测不到
确定值，而是一个平均值。
海森伯（Heisenberg）
称两个物理量的这种关系为“测不准”关系。
设坐标测不准量为ΔX ，动量测不准量为
Px ，则测不准
量会大于普朗克常数h的数量级
xPx  h / 4
物理学家发现，不仅坐标与动量这一对物理量有这种测不
准关系，在能量与时间这一对物理量中也存在同样关系：
E t  h / 4
例4：在原子，分子中运动的电子，质量为
，
速度约
根据测不准关系
电子位置的测不准程度为
数量级。这一尺寸是分子中
原子间距的尺寸，这样的误差，显然是不能忽略的。
思考：
一个微尘（质量
），运动速度约
假设Ⅰ——状态波函数与几率
假设Ⅱ——力学量与算符
假设Ⅲ——薛定谔方程
假设Ⅳ——态叠加原理
假设Ⅴ——Pauli不相容原理
对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数
   q1, q2 , q3
qn , t 
表示。是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐
标的函数，也是时间的函数。
在空间某点的数值，可能是正值，也可能是负值或零，微
观体系的波动性通过这种正负值反映出来。
对处于三维直角坐标空间的粒子，状态波函数表示
为
，而在球坐标空间表示为
1.为使状态波函数有确定的物理意义，数学上要求波函数满足
单值，连续，平方可积三个条件：
单值条件：波函数与其复共轭的乘积表示该微观体系在空间
的几率分布，
必须是单值函数;
连续性：状态波函数
在坐标变化的全部范围内必须是连
续的;
平方可积：在量子力学中要得到
波函数进行积分。
力学量的平均值，需对
¦ ×
(a)
(c)
(b)
(d)
∞
∞
x
2.几率与几率密度
几率密度：


  (q, t ) (q, t )
几率：
  (q, t ) (q, t )d
归一化条件：   d  1
例5 ：求证下面两个波函数所描述的状态概
率密度分布是相同的。
ψ = φ( x, y, z )eit
φ( x, y, z )
解：
2
2
2
2
2
2
2
ψ = φ( x , y , z ) e e = φ( x , y , z ) e = φ( x , y , z )
φ = φ( x , y , z )
ψ = φ( x , y , z )
- i t it
0
2
1.算符的定义
算符实际上就是一种运算符号。若某一种运算
ˆ 可以把函数u变成为函数v，可表示为:
符号 A
ˆu=v
A
ˆ 就称为算符。
则表示这种运算的符号 A
如 ：
d
,
dx
d2
2 ,
dx
log,
sin,
,
量子力学中的算符只对它后面的东西进行运算。
2.线性算符
算符满足下列条件：
 Aˆ  1  2   Aˆ  1  Aˆ  2

ˆ c    c Aˆ  
A
1 1
1
1

ˆ (c ψ + c ψ ) = c A
ˆψ +c A
ˆψ
⇒A
1 1
2 2
1
1
2
2
例如:
d
是线性算符；
dx
log, sin,
等不是线性算符。
3.线性厄米算符
ˆ*
ˆ 和它的复共轭算符 A
若线性算符 A
ˆ u dx = u A
ˆ * u * dx
u
*
A
∫1 2 ∫2 1
满足
ˆ 为厄米算符
则 A
厄米算符完整的证明如下：
 d 
 j dx
 dx 
 ˆ


A

d



i
j
i

 i
 i  id j
 i  i j

得证。
   j d 




i

 d 
 i  j d i   j  i  i  dx
 dx 


*
1

du2
du
d
*

*
u
d
x

u
u
|

u
d
x


u
(
)
*
u
1 2 
 dx
 2 dx
 2 dx 1 dx
*
1
微分算符不是厄米算符
如果一个算符既是线性算符又是厄米算符，
称该算符为线性厄米算符。
微观体系的每一个可观测的物理量，都对应
于一个线性厄米算符。
若干物理量及其算符
物理量
x
位置
算符
xˆ  x
动量的x
px
轴分量
ih 
pˆ x  
2π x
角动量
的z轴分 Mz＝xpy-ypx
量
ih  

Mˆ z    x  y 
2π  y
x 
动能
T=p2/2m
h2   2
2
2 
h2
ˆ
T   2  2  2  2    2  2
8π m  x y z 
8π m
势能
V
Vˆ  V
E=T+V
2
h
Hˆ   2  2  V
8π m
总能
例： 请指出下列算符中的线性算符和线性厄米算符。
xˆ,
d
,
dx
d2
,
2
dx
log,
sin,
线性算符：
d
d
d2
xˆ,
, i ,
dx
dx dx 2
线性厄米算符：
2
d
d
xˆ , i ,
dx dx 2
,
d
i
dx
Aˆ f ( x ) = g ( x )，
Aˆ f ( x ) = af ( x )
ˆ 的本征方程
后者为算符 A
ˆ 的本征函数(本征态）
f(x) —— 算符 A
ˆ 的本征函数f(x)的本征值
a—— 算符 A
算符本征方程的物理意义：本征算符作用后的结
果导致本征函数平移，本质没有改变。
ˆ f ( x) = af ( x)
A
ai 可以很多
ai 的集合叫本征值谱 {ai (i = 1,2,)}
如果该本征值是电子能量，则本征值谱为电子
能级谱。
能量算符及其方程
Tˆ =
Hˆ =
2
 2
∇
2m
Vˆ = V (r )
2
 2
∇ + V (r )
2m
ˆ ψ(r ) = Eψ(r )
H
2 2
∇ψ ( r ) + V ( r )ψ ( r ) = Eψ ( r )
2m
力学量的本征值和平均值
(1) 若ψ为 Aˆ 的本征态，相当于对本征态的一次力
学量测量。
Aˆ   a
(2) 若ψ为 Aˆ 的非本征态，相当于对非本征态求力
学量平均值。
< A >=
* ˆ
ψ
∫ Aψdτ
*
ψ
∫ ψdτ
例：求自由粒子的 Hˆ
E p
2
2m
2
ˆ
Hˆ  p
2m
ih     
ih
pˆ         
2π  x y z 
2π
h

2π
2
2
2
2


h



2
2
2 2
2
pˆ  pˆ  pˆ   2        2  2  2 
4π
 x y z 
2
2
2
2
2
2


h





2
2
ˆ
 2  2  2 
H   2   
 
8π m
2m
2m  x y z 
物质波的叠加性
若1，2，…，n，为某一微观体系的可能状态，
则由它们线性组合所得的也是该体系可能
存在的状态。
ψ = c1ψ1 + c2ψ2 +  + cnψn = ∑ci ψi
i
式中c1，c2，…，cn为任意常数，称为线性
组合系数。
结合态叠加原理:
• 简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，并
且本征值不变；非简并本征态的线性组合也仍是
该体系的可能状态，但一般不再是本征态，而是
非本征态；
• 任意的状态都可以用本征态的线性组合来表示。
• 本征态（确定值）：
设与算符 Aˆ 的本征态 1 , 2 ,…, n, 对应的本征值分
别为a1, a2, …, an, 即 Aˆ  i  ai i
 a 
 ˆ

 i A i d
  d

i
i



 i ai i d
  d

i
i

ai  i i d
  d

i
 ai
i


若本征波函数是归一化的，则：  i  i d  1
 a   i Aˆ  i d   i ai i d  ai  i i d  ai
即物理量A有确定值。
• 本征态（平均值）：
若体系处于任意态，根据态叠加原理，任意
可以展开成本征态的线性组合。
Ψ  c1 1  c2 2    cn n   ci i
i
若波函数是归一的，则：
 a   Ψ  Aˆ Ψd





    ci i  Aˆ  ci i d     ci i 
i
 i

 i

  ci ci ai  i  i d   ci ai

i

2
i

 a c d
i i
i
i
• 系数ci的大小，反映i对 的贡献；ci2表示i在
中所占的百分数。
★ 对本征态进行测量，其结果就是本征值；对于
非本征态，
Ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + + cnψn = ∑ciψi
i
对其进行测量时，结果如何？
例：
已知   21s  3 p ，Ψ1s和Ψp 都是归一化的，求
归一化系数c。

令： '  c 2 1s  3 p


2


'

'
d


c


  d  1
1 c
2
 c2
 2
 4
1s
 3 p
 2

1s
 3 p d
 1s  9 p p  6 1s p  6 p 1s d

1s
 c 2 4  9  0  0 
 13c 2
1
c 
13
1
2 1s  3 p 
 ' 
13
在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，
这两个电子的自旋状态必须相反。
实验：1925年乌仑贝克(Whlenbeck)和哥希密特（Goldschmidt）
提出电子自旋的假设，认为电子具有自旋运动，具有固定的角动
量和相应的磁距。描述电子运动的状态波函数除了包括空间坐标
外，还包括自旋坐标(s)。
1.粒子运动方程及其解
Ⅰ
V=∞
一维势箱中粒子，质量为
m，在一维方向上运动。
Ⅱ
V=0
0
l
x
边界条件：V=
0， 0<x<l
∞，x ≤ 0 和 x ≥ l
Ⅲ
V=∞
定态Schrödinger方程：
d 2 2m
 2 E  0
2
dx

二阶常系数线性齐次方程，通解为：
2m E
2m E
  A cos
x  B sin
x


该解对自由粒子成立，但须用边界条件确定。
根据品优函数的连续性和单值性以及边界条件：
当x=0时，
 0  A cos0  B sin0  0
当x=l时，
2m E
  B sin
l 0

2m E
因为B  0，所以sin
l 0

2m E
sin
l 0

2 2
nh
可得： E 
8ml 2
n2h2
En 
, n  1,2,3,
2
8m l
能量量子化！
nπx
 x   B sin
l
A  0
 *d  1
利用归一化条件：
l
箱外波函数为0，
   d  1
2
0
 nπx 
2 l
B  sin 
dx  B   1

0
2
 l 
2
B
l
2
2
l

2
nπx
 n ( x) 
sin(
)
l
l
1
1
sin x dx  x  sin 2 x
2
4
2
n  1,2,3,
2
h
E1 
8ml 2
2
4h
E2 
8ml 2
2
9h
E3 
8ml 2
2
16h
E4 
8ml 2
……
1
 2  2  πx 
 1  x     sin  
l
 l 
1
 2  2  2πx 
 2 x     sin 

l
 l 
1
 2  2  3 πx 
 3  x     sin 

l
 l 
1
 2  2  4πx 
 4 x     sin 

l
 l 
……
零点能
一维势箱中粒子力学量的计算
平均位置：
位置算符： xˆ  x
 xˆ n  a n
n不是位置算符的本征函数
2 l
2  nπx 
 x    xˆ n dx   x sin 
dx

0
l 0
 l 
l

n

2nπx
2 l  1  cos
l
  x
l 0
2

dx


l
2 l

1 x
l 
2nπx 
l l
2nπx  l
 

sin
dx 
 x sin
 

l  2 0 2nπ 
l  0 2nπ 0
l
 2

粒子的动量沿x轴分量：
ih 
 pˆ x n  a n
pˆ x  
2π x
 n不是动量算符的本征函数
l
 px    n pˆ x n dx
0
2 l  nπx  ih d   nπx 
   sin 
sin 
dx




l 0  l  2π dx   l 
ihn l  nπx   nπx 
  2  sin 
cos
dx


l 0  l   l 
0
粒子的动量的平方：
2

pˆ x2   2 2
x
1
2 2


2
h

2
n
π
x
n
h
 


2
 pˆ x n   2 2   sin
  2  n
4π x  l 
l  4l



2
2
2
ˆ
p
 x 是一个具有本征值的算符
2 2
n
h
2
 p x  2
4l
2.一维势箱中运动粒子解的讨论
• 能量:
经典力学：粒子的速度可以取任意值，能量的取值也是任
意的（连续，非负）
p2
E
2m
量子力学：
(1) 能量量子化:
(2)
n 2h2
E
, n  1,2,3,
2
8ml
存在零点能——测不准原理的必然结果
h2
E0 
8ml 2
(3) 能量间隙不均匀，并随n的增大而增大。m，l增大，
量子化不明显，接近经典结果。
En  n
2
h2
2n  1
En  En 1  En 
2
8ml
(4)
n  ,
E 2n  1 2

 0
2
En
n
n
量子化不明显，可认为能量连续。经典物理可视
为量子物理中n的极限情况。
• 粒子的位置:
经典力学：粒子在箱中各处出现几率都一样，
不存在节点。
量子力学：粒子的分布取决于波函数模的
平方，粒子在箱子中各个位置
出现的几率不同，表现出波性，
在基态下，粒子出现在箱子中
间的几率最大。
 n x 
n4
4
 n x2
3
n3
2
n2
1
n 1
0
l 0
l
除端点(x=0,x=l)外，势箱内n=0称为节点。
基态无节点，第一激发态有一个节点，第 n 激发
态有n个节点。（即量子数为n，节点数为n-1），
能量越高的态节点越多。其状态物质波的波长越
短，物质波的波长也是量子化的。
2l

n
n  1,2,3,...
经典力学模型
量子力学模型
能量是分立的、量子化的，存在零点能
能量连续，可
能量 为任意非负值， E=h2/8ml2
最小为0。
(不确定关系的必然结果)
1.粒子在箱中不同位置出现的几率不同，
呈现波性。对基态来说，中间位置几率
对箱中粒子来
几率
最大。
说，箱内所有
分布
位置都一样。
2.高能态波函数存在节点(=0)，且能量
越高的态节点越多，数目为n-1。
量子
效应
(1)粒子可以存在多种运动状态；(2)能量
量子化；(3)存在零点能；(4)没有经典运
动轨道，只有概率分布；(5)存在节点，
节点多，能量高。
3.一维势箱的应用
丁二烯的离域效应
只考虑电子，有两种情况：
（a）4个电子形成2个定域键
（b）4个电子形成离域键
C
C
l
C
l
l
(a)定域
C
C
C
C
3l
(b)离域
C
En( a )
n 2h2

,
2
8ml
En( b)
n 2h2
1 (a )

 En
2
8m(3l )
9
(b)
t
E
 2E
(b)
1
Et( a )  2 E1( a )  2 E1( a )  4 E1( a )
 2E
(b)
2
1 (a )
1 (a )
 2  E1  2  E2
9
9
2 ( a ) 8 ( a ) 10 ( a )
 E1  E1  E1  Et( a )
9
9
9
C
C
E1 ↑↓
C
C
C
C
C
↑↓
4E
9 1
1E
9 1
l
C
l
l
(a)定域
↑↓
↑↓
3l
(b)离域
情况（b）中离域效应使体系的电子能量比定域
双键分子（a）中电子的能量要低，离域效应扩大
了电子的活动范围。即：增加一维势箱的长度使
分子能量降低，稳定性增加。
花菁染料的吸收光谱
通式： R2N
CH
CH
CH
NR2
r
分析结构可知：
共2r+4个π电子
r个烯基贡献2r个π电子
N原子的孤对电子和次甲基双键的2个π电子
E h[(r  3)  (r  2) ] h(2r  5)



2
h
8ml
8ml 2
2
8ml 2c
3.30l 2
 

 h(2r  5) 2r  5
c
2
烯基发色团的平均长度248pm，势箱两端共向外延伸565pm
势箱总长为： l  (248r  565) pm
3.30(248r  565) 2

pm
2r  5
花菁染料的吸收光谱
r
max (计算值)/nm
1
311.6
309.0
2
412.8
409.0
3
514.0
511.0
max (实验值)/nm
一维势箱模型推广到三维情况
0
V 

c
0  x  a,0  y  b,0  z  c
箱外
b
a
Hamilton：
2
2
2
2
2
ˆ
p
 


ˆ
H

( 2  2  2)
2m
2m x y z
Schrödinger方程：
 2   2  2  2
 2  2  2

2m  x
y
z

  E

由于三个方向相互正交，为方便求解，可以假设：
 x, y, z    x x y  y  z z 
代入Schrödinger方程：
 2   2  2  2 
  2  2  2  x x  y  y  z z   E x x  y  y  z z 
2m  x
y
z 
微分，再两边同时除以
 x x y  y  z z 
得：
2
2
2
1 2
1  2

 x  x 
 y  y 
 z  z  E
2
2
2
2m  x  x  x
2m  y  y  y
2m  z  z  z
2
1
上式成立的条件是：
2
1
2
2
1
2
2
1
d

 x  x   Ex
2
2m  x  x  dx
d

 y  y   Ey
2
2m  y  y  dy
d2

 z  z   Ez
2
2m  z  z  dz
1
nh
nx x
2 2
Ex 
,  x    sin
8ma
a
a
2 2
x
2
1
n y y
2 2
Ey 
,  y    sin
8mb
b
b
2 2
y
2
nh
1
nh
nz z
2 2
Ez 
,  z    sin
8mc
c
c
2 2
z
2
 nx  1, 2, 3,

 n y  1, 2, 3,
 n  1, 2, 3,
 z
• 体系的状态由nx，ny，nz三个量子数决定，当三
个数取值不完全相同时，能量有可能相等，这
种一个体系中能量相等的不同状态也称为简并
态，对应于同一能量值的状态数叫简并度；
• 简并通常与对称性有关；
• 简并的概念也同样适用于其他性质。
1
 8  2  nx πx   n y πy   nz πz 
可得：   abc  sin  a  sin  b  sin  c 


n
h  n
n 
E
 

8m  a
b
c 
2
若a=b=c，则
2
x
2
2
y
2
2
z
2
nx  1,2,3, 

n y  1,2,3, 
 n  1,2,3, 
 z
1
 8  2  nx πx   n y πy   nz πz 
 sin 
   3  sin 
 sin 

a 
 a   a   a 
nx  1,2,3, 
2
h

2
2
2
E
nx  n y  nz n y  1,2,3, 
2
8ma
 n  1,2,3, 
 z


nxnynz
E/
(h2/8ma2)
222
12
11
113
131
311
9
122
212
221
6
211
121
112
立方势箱能级最低的前五个能级简并情况
环中运动的粒子模型及方程
0
V 

rR
rR
2 2
(
  V ) ( x, y, z )  E ( x, y, z )
2m
直角坐标系下 ：
2
2
2



2  2  2  2
x
y
z
球极坐标系下：
2
1


1


1

2  2
(r 2 )  2
(sin
) 2
r

r r
r sin  
r sin 2   2
柱坐标系下：
2
2
1


1


2  2
(r )  2
 2
2
r r r r 
z
1 2
1 d2
  2 2 2
R 
R d 2
2
2
2

1
d
Hˆ  
2m R 2 d 2
环中运动的粒子的方程为：
h2 1 d 2
 2
 ( )  E ( )
2
2
8π m R d
2
ml h 2
E 2 2
8π m R
ml  0,1,2,3...
用量子力学处理微观体系的一般步骤：
(1)写出体现体系的特征势能算符，进一步写出体系的
能量算符和能量方程。
(2)根据边界条件和归一化条件求解体系的能量方程，
确定体系的能量和波函数。
(3)绘制能级图和波函数及几率密度图，根据图形特点
分析粒子的分布特点。
(4)有了波函数，可以根据波函数求得该状态下各种物
理量的本征值或平均值，预测和解释体系的性质。
(5)联系具体的实际问题，将所获得的结果加以应用。