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第五章 固体能带理论 一、自由电子模型（前面几节使用的） 在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互 作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均 势场. 索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量 2.电子发射 3.电子气的顺磁与逆磁效应 困难： 1. 磁阻 2. 霍耳效应 3.电导、热导 二、3个重要近似和周期性势场 由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运 绝热近似： 动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运 动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时， 认为原子实不动。 单电子近似： 一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中 运动。又称hartree-Fock自洽场近似。 周期场近似： 原子实和电子所形成的势场是周期性的。 多粒子系统 多电子系统 原子核静止 hatree Fock自洽场 单电子系统 即：每个电子在由正离子产生的和其他电子的平均 电荷分布的势场中运动. 2.周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周 期为一个晶格常数） v( x a) v( x) v ( Rn r ) v ( r ) Schrodinger eq. 1－D r为电子位置矢量 3－D R n 为离子的位矢 2 2 ( v(r )) (r ) E (k ) (r ) 2m 3. Bloch波 1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函 数由如下形式 (r ) e ik r u (r ) 其中u具有晶格的周期性，即 u(r ) u(r n1a1 n2 a2 n3 a3 ) 证明：问题：求H的本征函数，直接求困难. 由量子力学知道，如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数. 引进Tˆ平移算符， Tˆ 与 Hˆ 对易， 求出了Tˆ的本征函数也就求出了 Hˆ 的本征函数 方法： Tˆf ( x) f ( x a) Tˆ (Tˆf ( x)) Tˆf ( x a) f ( x 2a) 定义平移算符： 问题： Hˆ 与 Tˆ 对易否？ 设 为H的本征函数 Tˆ ( Hˆ ( x)) H ( x a) ( x a) H ( x)T ( x) ( x) (TˆHˆ Hˆ T ) 0 Hˆ 与Tˆ 对易 任意两个算符对易吗？ 设 Pˆx xˆ ( x) e ikx [ Pˆx , xˆ ] ( Pˆx xˆ xˆPˆx ) ( x) ikx ikx i ( xe ) ix e x x ie ikx ie kxe kxe ikx ikx ikx ˆ , xˆ 不对易.可以证明 Py , x 是对易的 P (x) 又是 Tˆ 的本征值. (x) 又是 Tˆ 的本征函数. Tˆ ( x) ( x) 为本征值 2 ˆ ˆ T (T ( x)) T ( x) ( x) n n ika ˆ T ( x) ( x) 取 e k 为变量 ika ˆ ( x a) T ( x) e ( x) 则： ( x) eikau ( x) 其中：u (x) 具有晶格周期性 ( x) e u ( x) ik ( x a ) ikx ika u ( x a) e ( x) e e ( x) 证明： ika Bloch定理 ： 在周期性势场中运动的电子的 波函数具有如下形式 ( x) e u ( x) ika 其中：u (x) 满足晶格的周期性 推广 ： ik r (r ) e u (r ) 三维情况 ik r e 描写电子的共有化状态 u (r ) 描写电子在原胞中的运动 2）Bloch波的性质 a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时） 电子分布几率具有晶格的周期性 ( x) e u ( x) 2 2 2 | ( x) | | ( x a) | | u( x) | ika b.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s>0) ( x) e u( x) S小于0时无意义. sx c) 周期边界条件： ( x Na) ( x) ikNa ˆ ( x Na) T ( x) e ( x) 2 2 2 ikNa k n e 1 x k Na Na L d) 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限 制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞 数N可容纳的电子数为2N. k ( x) k K n ( x a) ika ˆ 证明： T k ( x) k ( x a) e k ( x) Tˆ ( x) ( x a) k Kn k Kn k K ( x) e i (k Kn )a e i 2n ika n e k Kn ( x) e k K (x) n 具有共同本征值. ika k 与 k K n 描写同一状态. 因此可以把波矢限制在第一布区内 波矢数： 2 2 / N a Na 考虑自旋：电子数为2N a k a (1). ( x) sin 例：电子波函数为： (2). ( x) 解：（1）方法a ( x a) sin( 方法b. x a 求波矢k。 m ( i ) f ( x ma) m x ( x a)) sin a a x ika ika e (x) e sin a ika k (2 1) 第一布区：k e 1 a a x ika ika ( x) e e sin a ik ( x a ) ika u ( x a) e sin ( x a) e u ( x) a e 2 ika k 1 ( x a) a m ( i ) f ( x a ma) m (i ) f ( x (m 1)a) m (i) m1 m e i ika m m 1 m m f ( x ma) i (i) m f ( x ma) m 3 k ( 2n ) a 2 第一布区：k 2a 三、单电子近似下电子的能量状态 电子满足的薛定谔方程： 2 ( 2 V ( x)) ( x) E ( x) 2m 其中：V ( x na ) V ( x) eikxu ( x) 在克龙尼克—潘纳模型下： V0 a b 0 a bc c a 周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许 可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界. 这个模型有多方面适 应性.改变b.a.c的值可 以讨论表面态.合金及 人造晶格的能带. 禁带 2V3 关于能带的讨论： 2V2 1.在原理布区边界的区 域内，电子的能量可粗 略的视为自由电子的能 量 2 a a 2V1 2 2 k E 2m 2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽 度为： Egl | 2Vl | Vl为势能函数的第l个傅立叶分量 a 2 1 Vl V ( x)e a a i 2lx a dx 2 2lx i V ( x) Vl e a l 产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射. 3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最 小的地方称为带底，能量最大值与最小值之差称为能 带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线， 带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线. 4.能量是k的周期函数，周期为倒格子矢量 2 同时为k的偶函数： Kn a 2n E (k ) E (k ) a E (k ) E (k ) 5.能量曲线的三种表示方法 （1）第一布区图 （2）扩展区图 （3）周期区图 禁带 2V3 2V2 2 a a 2V1 s 6.E为k的多值函数，以视区别 Es (k ) 表示第 个 能带的能量，而k表示在第一布区中取值. 7.每个能带可容纳2N个电子，第一布区分立k的 数目为N 2 a N 2 Na 考虑自旋2N 例1.求克龙尼克－潘纳模型第一、二、三个禁带的宽度. 解： b 2 1 Vl V ( x)e a b i 2lx a a 2 1 dx V0 e a a 2 V0 1 e a i 2l a i 2lx b a 2 | b 2 i 2lx a dx 2 2V0 lb sin l a E g1 2 | V1 | Eg 2 Eg 3 4V0 sin a 2V0 2b 2 | V2 | | sin | a 2V0 3b 2 | V3 | | sin | 3 a 2.二维情况下，晶体势场 求布区边界 b ( , ) a a 2 2 U ( x, y ) 4V cos x cos y a a 处的能隙宽度 4 iK i r 解： V V ( x, y )e dxdy l 2 s 2h1 2 k i h2 j a a h1 1, h2 1 第一布区边界： a 2 1 V1 2 V ( x)e a a 2 i 2 x a a 2 dx V ( x)e a 22 a2 2 i x 1 a 2 V ( x )e dx a a 2 二维 i 2 y a dy 16U 2 2 2 2 cos xdx a 0 a a 2 4U a 2 a 2 2 U E g1 U 2 能带计算 我们介绍了一维周期场中电子的运动特征，获得了固体能带 的主要结论.本章主要考虑三维情况，介绍能带的计算方法. 一．回顾单电子近似 1. 绝热近似――多粒子体系变成多电子体系。原子核质 量比电子大的多，运动速度慢，可以认为原子核固定在 瞬时位置上. 2. Hatree-Fock近似. 多电子体系变为单电子体系.每个电 子在离子核势场及其他电子产生的平均势场中运动. 3． 势场是周期性的. 二．能带计算的一般步骤： 1.选取某个适当的具有Block函数形式的函数集（函数集 的选取决定于所取的近似）将电子波函数在此集合中展 开. 2. 将电子波函数（展开后的）代入薛定谔方程得到一组各 展开系数所满足的久期方程. 3.由各系数不全为0的有解条件（久期方程的系数行列式 为0），求出能量本征值. 4.依据能量本征值，求出波函数展开系数. 三. 平面波方法 一、平面波函数及其正交性 平面波： l (r ) 1 iK l r e N k l 为倒格矢量， k l 有很多个，由这很多个波矢为倒格矢 的平面波组成一函数集. 正交性： m (r )n (r )dr (m n) 正交性 m (r ), m (r )互相“垂直”，即任意一个波 函数在另一个波函数上的投影为0. 证明： 1 1 i ( k n k m ) r ik r e d r 左边 e d r N N N 令r r r l 1 原式 N (1 e ikl r e N ik i r ik l r e 1 e ik r e ik r dr dr N 1 ikl r ) e dr 0 N N kl 0 即k m kn l l 二、波函数与势函数在平面波函数集中展开： 1 平面波函数集： 波函数： N ikr (r ) e u k (r ) al (r ) e i ( k k l ) r N l al ik l r u k (r ) e N l 势函数： ik l r V ( r ) V ( k m ) e ik m r m0 al 为展开系数 所以V具有周期性. 三、中心方程及其解 2 2 ( V (r )) (r ) E (r ) 2m ik r a a 2 2 i ( k k ) r i ( k l l ( V ( k m )e m ) e l E e kl ) r 2m m l N l N 2 al 2 1 i ( k kl ) r i ( k kl k m )r V ( k m ) al e 0 l ( 2m (k kl ) E) N e N ml 左乘 1 e i ( k k n ) 然后对晶体积分，利用正交性质 N 2 al a 2 i ( kl k n ) r i ( kl k m k n ) r l ( ( k k ) E ) e d r V ( k ) e l 2m l m N N lm N 0 2 2 ( (k kl ) E (k )) an V (kn km )am 0 2m m n Kittle称之为中心方程. 各方程有解之条件： 2 det | ( (k kl ) E (k )) nn V (kn km )am | 0 2m 矩阵元 2 2 ( k kl ) E ( k ) nm 2m Anm V (k n k m ) nm 2 如果选取 为某个固定方向，计算这个方向的能带 k n\m 1 2 (k k1 ) E (k ) 2m 2 1 2 3 4 2 V (k2 k1 ) V (k3 k1 ) V (k4 k1 ) V (k1 k2 ) 2 2 (k k 2 ) E (k ) 2m V ( k3 k 2 ) V (k 4 k 2 ) 3 V (k1 k3 ) V ( k 2 k3 ) 2 2 ( k k3 ) E ( k ) 2m V ( k 4 k3 ) 平面波方法简单，但收敛较慢，取很多个平面波来计算， 计算工作量较繁，如果取200个平面波，则得到200阶行列式， 40000个矩阵元，这就要求容量相当大的计算机.虽然有求解行列式 专用程序，工作量之大是可想而知的.如果计算方法是取一个 k计算一个点那么多少阶行列式则可解出多少个能量本征 一个能量本征值代表一个许可态，去不同的 值则可得到 k 多少个能量谱线. 讨论： 1.近自由近似—零级波函数为平面波 0 (k , r ) 与波函数 (k , r ) a0 1 由中心方程： 1 eik r N 1 ik i r ik r 比较 e al e N l al为小量 V (Kn ) an 2 2 2k 2 (k K n ) 2m 2m 与微分结果一致. 2.两分量近似 2 2 当(k K n ) k 时，an不再很小 1 1 i ( k K l )r ik r (k , r ) e e N2 N 2 中心方程得： ( k E )a0 V ( K l )al 0 2m 2 2 ( (k kl） E )al V ( K l )a0 0 2m 由于系数行列式为0 * V ( K l ) V ( K l ) V ( K l ) k E 2 0 2m 2 ( k kl ) E V ( K l ) 2m 2 2 2k 2 E | V ( Kl ) | 2m 在远离布区处，电子能量大约为自由电子的能量，在布区边界的 地方，能带分裂，出现禁带，其宽度为： 2 | V (K ) | l 3.能带分裂处满足Bragg反射条件 k 2 (k kl）2 AO K l OB k K K l (k l Kl OC 2 1 1 k sin | K l | p | K L* | 2 2 2 p 2 sin 2 dL 2d L sin p 2 )0 B A k Kl O 2 晶面 §5.4 紧束缚方法 平面波方法的缺点：收敛较慢计算麻烦. 紧束缚模型： 电子几乎为一个原子所有，在空间上稍有扩展， 即紧束缚方法认为电子在鼓励原子中的情形，而又不全如此： 每个原子对它附近的电子的作用较强，当二者的距离稍远时， 作用很小. 一、基函数（Wanner函数） a ( Rn , r ) r 电子坐标, Rn原子坐标， 为能带序号 ikR 1 n 电子波函数: (k , r ) a ( R , r ) e n N n ikR 1 1 ik ( r R ) n a ( Rn , r ) ( k , r )e e u (k , r ) N k N k n 性质： u (k , r ) u (k , r Rn ) a ( Rn , r ) a (r Rn ) a.区域性： 证明： 1 a ( Rn , r ) N e ik ( r Rn ) u (r Rn ) a (r Rn ) k b.正交性： 不同格点不同能带的旺尼尔函数正交 a (r Rn )a (r Rn )dr nn * 物理意义：不同能级的电子云重迭较少，同一原子不同能级 的电子云也不重迭. 取旺尼尔函数为孤立原子波函数： at a (r Rn ) (r Rn ) 电子波函数： 满足： (r Rn ) at 1 (k , r ) N e ik Rn (r Rn ) at n 2 2 at at at ( V (r Rn )) (r Rn ) (r Rn ) 2m 二.求系统的能量： 孤立原子： 晶 体： 2 at 2 at H V (r Rn ) 2m at at at H (r Rn ) (r Rn ) 2 2 H V (r ) 2m 2 2 ( V (r )) (k , r ) E (k , r ) 2m 2 2 ( V (r ) E ) (k , r ) 0 2m 2 1 ik Rn 2 at e ( V ( r ) E ) (r Rn ) 0 2m N n 2 at 1 ik Rn 2 at at e V (r Rn ) V (r ) V (r Rn ) E (r Rn ) 0 N n 2m 1 ik Rn at at e E V (r ) V (r ) (r Rn ) 0 N n at * 左乘( s (r )) 讨论s态：没有简并，球对称 E e n e ik Rn n ik Rn * at (r ) (r Rn )dr at s * at at (r ) V (r ) V (r Rn ) (r Rn )dr at s * at (r ) (r Rn )dr n 0 , s at s * at at J s (r ) (V (r ) V (r Rn )) s (r Rn )dr at at at Cs s (r )(V (r ) V (r Rn )) s (r )dr at s Es ( k ) s C s J e E (k ) 包含三部 分 ik Rn 为孤立原子的能级， C s为库仑能.加上J项能级变成能 带（因为J较小），J项与k有关，色散关系（能谱）主要 由此项体现.s电子与方位无关，如果非s电子，J还与临 近原子的方位有关. 例：用紧束缚方法导出体心立方晶体的s能带的表达式，并求出 能带宽度和电子的有效质量。 解： ＋ 1.体心立方有八个邻近，坐标如下： a a a 2 2 2 － ＋ a i(kx k y kz ) 2 a i ( k x k y k z ) 2 e e (1) (3) ＋ － ＋ ＋ － ＋ e i ( k x k y k z ) e a 2 i(kx k y kz ) a 2 (2) (4) ＋ － － ＋ － － a 2 a i ( k x k y k z ) 2 e e i ( k x k y k z ) 由（1）、（4）得： 由（3）、（6）得： 由（2）、（7）得： 由（5）、（8）得： 由（a）、（b）得： 由（c）、（d）得： 由（e）、（f）得： (5) (7) － － － － ＋ － a i ( k x k y k z ) a2 i ( k x k y k z ) 2 e e i(k y kz ) (6) (8) a 2 (a) 2 cos k x a e 2 a i(k y kz ) 2 (b) 2 cos k x a e 2 a i ( k y k z ) 2 (c) 2 cos k x a e 2 a i ( k y k z ) (d) 2 2 cos k x a e 2 ikz a (e) 4 cos k x a cos k y a e 2 2 2 ikz a a a 4 cos k x cos k y e 2 (f) 2 2 kya kxa kz a 8 cos cos cos 2 2 2 Es ( k ) s C s J e ik Rn n s Cs 8 J cos k x a cos k y a cos k z a 2 2 2 2.能带宽度 Es max Es min ( s Cs 8J ) ( s Cs 8J ) 16J 3.解法一：用定义求 m m * * xx 2 2 2Ja 2 d 2E dk 2 2 2Ja 2 2 a ( ) 2 8 J cos k x a cos k y a cos k z a 2 2 2 2 带底 带顶 （0，0，0） （ a ,0,0)、（0, a ,0)、（0,0, a ) 解法二：展开方法 a )2 a )2 a )2 ( k ( k ( k x y z 2 2 2 ) Es Cs 8 J (1 )(1 )(1 2 2 2 Cs 8J Ja 2 (k x2 k y2 k z2 ) 2 m* — —带底 2 2Ja 2 m* － — —带顶 2 2Ja 费米面的构造 费米面是电子的占据态与非占据态之间的分界面.晶体（特别 是导体）的许多性质决定于费米面附近电子的行为.因此费米面的形 状十分重要. 构成费米面的步骤： 1.画出布区广延图 2.用自由电子模型画出费米球 3.用 E (k ) E (k K n )的性质，将费米片断移到这一布区 4.自由电子过渡到准自由电子，由于禁带出现在布区边界，费 米面于布区相割处，将费米面锐处钝化. 例1、二维正方晶格 1.画出布区广延图 2.求 k F 解： 2N 2N E (k ) * 2 A 2 a N E (k )dk k F2 kF 0 2 2 1 kF 2 费米球如右图 2N 2 a 2 1 2 3 4 5 6 k F ( ) a 0.798 1.128 1.384 1.596 1.784 1.954 例2.已知某简立方晶体的费米球与第一布区的边界 相切，求每个原子的电子数 解: 4 3 a 3 6 2 a 3 电子数 6 2N 3 N 所以 每个原子所贡献的电子数为 3 狄哈斯—阿耳劳效应 1.现象 低温强场条件下，晶体的磁导率随 振荡1 B （后来发现电导率及比热也有类似现象） 这些现象同费米面附近的电子在强磁场中的行为有关.因而与 金属的费米面的结构有关.因此，此现象是研究晶体费米面的工具 . 2.解释 a.磁场中电子应满足的 schrodinger 方程及其解 磁矢势： B A Bk P p eA A Bxj 电子的正则动量： P i 1 B 电子应满足的schrodinger eg 2 p E 2m 令 ( x, y, z ) e 2 1 (i eBx j ) E 2m i(k y ykz z ) ( x) 1 d2 d2 i(k yk z ) i (k yk z ) ( 2 2 (i eBx ) 2 )e y z ( x) Ee y z ( x) 2m dx y dz 2 d 2 2k 2 z 1 2 ( ( k eBx ) ) ( x) E ( x) y 2 2m dx 2m 2m k y 2 2 d 2 2k 2 z e2 B2 ( (x ) ) ( x) E ( x) 2 2m dx 2m 2m eB 令x0 k y eB c eB m 2 2 2 2 2 m c k d 2 z ( ( x x ) ) ( x ) ( E ) ( x) ( x) 0 2 2m dx 2m 2m 上式为一个谐振子的schrodinger方程。由量子力学及： 2k 2 z 1 2k 2 z 1 E (n ) c E (n ) c 2m 2 2m 2 2 2 2 En 或 E l z k z (n 1 ) xy 2m 2m 2 c 由上式可以看出电子能量在xy面上 变成了分立的能级.所以电子的能量 成为能带，这个能带称为磁次能带， 此能带的最低能量为 n2 n 1 n0 B0 1 (n ) c 能带序号为n. 2 kz b.求状态密度：它与加了磁场后相邻圆之间（or每个圆上的简 并度）相等. Z 2k // dk y 2 ( 2 ) ( Lx Ly ) Lx Ly (2 ) 2 d (k // ) 2 Lx L y (2 ) 2 Lx L y d ( (k 2 x k 2 y )) 2m c 2 2 (2 ) m c Lx L y 2 1 2 2 (k x k y ) (n ) c 2m 2 2m 2 2 d (k x k y ) 2 c 这说明没有磁场式，本来分布均匀的点在加上磁场后聚集到圆周上. 每个圆上的代表点数随磁场增多. ky kx k z k z dk z 考虑Z方向：在单n个次能带中波矢在 范围的状态数： Z (n, k z )dL 2( Lx Ly mc / ) 令Lx Ly Lz V 1 mc dk z Lx Ly Lz dk z 2 Lz m c 1 2m 1 2 1 Z ( E, n)dE ( E (n ) c ) ( 2 ) dE 2 c m c ( 2 ) 2 (2 ) 有外磁场时： Z (E ) 1 3 2 1 E (n ) c dE 2 n Z ( E )dE Z ( E , n)dE n 0 E c.解释： 态密度曲线出现峰值，相邻两峰之间的能差是 c 由于磁场增大，每个峰内所包含的电子数目增多，故可容纳更多的 电子.磁次能级减少，次能带的抽空造成了振荡.在某一磁场上，所 需的磁次能带n’由下式确定： 1 2k 2 z E F E max (n ) c 2 2m 2 2 k z 1 E F (n ) c 0 2m EF 1 n c 2 设EF 20 c 4 n 5 c 5 2 n 4 c 6 n 3 未加磁场时，电子位于 费米海洋中 n 5 n 4 n 3 加上磁场后，电子位 于各磁次能级收上，加上 磁场B1后，能量上升的电 子与能量减少的电子相等.费米能未改变，加上B2后能量上升的电 B3 B1 1时，费米能量的起伏 B2 子数多于能量减少的电子.费米能升高. B3同B 造成与之有关的物理量的振荡. 3. 应用－用此效应确定晶体的费米面 设在磁场B1由n个磁次能带； B2下有n-1个次能带 1 eB1 E F ( n ) 2 m 1 eB1 E F ( n ) 2 m 1 1 1 e ( ) B1 B2 B mEF 1 EF S为垂直于磁场方向的费米面的截面积. 2 1 ~ S §5.5 准经典近似 在外场作用下，电子如何运动 ？如何描述？ 用量子理论：不方便；经典理论 ：困难. 准经典近似：描写波的物理量与描写粒子的量（速度、 加速度、质量间）的关系. 一、k态电子的速度 1 dE v dk 一维 1 v k E 三维 证：波包—以 k 0 为中心，波矢在 k 范围中的 波函数迭加而成 uk ( x) uk0 ( x) 2 k 比 线度小的多.所以可认为 a 波包的波函数： ( x) k k0 2 k0 u ( x )e k k0 k 2 k k0 i ( kx t ) k 2 e dk uk0 ( x) k0 d 0 ( )0 dk k 2 i ( kx t ) dk k 2 ( x) uk0 ( x) e d i ( x ( ) 0 t ) i ( k 0 x 0t ) dk k 2 d u k 0 ( x )e u k 0 ( x )e i ( k 0 x 0t ) e i ( k0 x 0t ) e i ( x ( i ( x ( e k 2 i ( x ( d k )0 t ) dk 2 d k )0 ) dk 2 i ( x ( d k )0 t ) dk 2 )0 ) e d k i( x ( )0 t ) dk 2 dk e d k i( x ( )0 t ) dk 2 k 2 k 2 几率： d k sin ( x ( ) 0 t ) i ( k0 x 0t ) 2 2 2 2 dk | ( x, t ) | u k 0 ( x )e (k ) k d ( x ( ) 0 t ) 2 dk 2 d 波包中心位置：x ( ) 0 t dk d dE 波包运动速度： v ( ) 0 dk dk 分量式： 1 E vx k x 1 E vy k y 1 v k E 1 E vz k z 二、动量定理： 定义电子准动量： 则： * P k Fdt dP dP F dt dE 1 dE dE dk Fvdt F dt dk dk Fdt dk d (k ) Fdt dk * dP Fdt F ma 2 * m 牛顿第二定律： 电子有效质量： 证： 2 d E 2 dk dv 1 d dE a dt dE dk 1 d 2 E d ( hk ) 1 d 2 E dk 2 dk 2 dt dk dt 1 d 2E 2 F 2 dk F m a * m * 其中 2 d 2E dk 2 讨论： 1.周期场不存在时，电子的有效质量为自由电子质量. 2k 2 E 2m m * 2 2 d E 2 dk 2 有效质量确实具有有效质量的量纲 2 m m 2.有效质量是二级张量 m*xy * (m ) m yx m* zx m m m m * 各向同性时： * xy * yy * zy m mxx m m yx m mzx * xy * yz * zz 2 mxy m yy mzy E k k 2 m m m m m m m 0 * xx * xy * yy * yz * zz * xz * mxz m yz mzz 3.带顶有效质量为负，带底的有效质量为正 由能量曲线的开口方向可以得到解释. m 0时，电子从外场获得的能量大于交给晶体的能量 * m 0时，电子从外场获得的能量小于交给晶体的能量 * 电子吸收外场能量，使其波矢增加，当增加到一定程度， 在从外场中吸收了能量的电子的波矢量刚好满足Bragge反 射条件，使电子总的向前的动量减少.—对应于有效质量 为负. V 4.在同一能带中有 V * m* 0 和 m 0 必定有 m* 2 d E 的点，该点 此时电子不是不受外力影响 0 dk 2 而是外场引起 k 变化，而 v 不随 k 变化 dk F dt 例： dv F * 0 dt m 对于简立方，s电子的能带表达式为： Es (k ) E0 2r (cos k x a cos k y a cos k z a) 求：1. k态电子的速度 2.能带宽度 3.用级数展开方法求带顶、带底的 m* 4.由有效质量的定义求 m* 2a 1 (sin( k x a)i sin( k y a) j sin( k y a)k ) 解:（1）v k E （2）能带宽度 Es max Es min 12 （3）a.带底 k 0 1 1 1 2 2 Es (k ) E0 2 ((1 (k x a) ) (1 (k y a) ) (1 (k z a) 2 )) 2 2 2 2a 2 2 E0 6r (k x k y2 k z2 ) E0 6 a 2 k 2 2 2k 2 E0 6 2m* 2 m 2a 2 b. 带顶 k k k a a 1 cos k x a cos( k )a cos( ka) cos k x a 1 (ka) 2 a 2 Es (k ) E0 6 a 2k 2 2 m 2a 2 2 m * （4）由 2E k k 2 m m m m * * xx * yy * zz 2E k x2 E 2 2 a cos k x a 2 k x 2a 2 2 m * 2a 2 2a 2 底 2 2a 2 顶 带底k x 0 2 带顶k x a §7.金属、半导体、绝缘体的能带结构 空穴的概念 固体能带理论的主要贡献在于它成功的解释了物质的导 电机理，即说明了有的物质为什么能导电，有的物质为 什么不导电.虽然同样有大量的电子存在. 一、几个概念 1.满带电子不导电 能谱是k的偶函数 电子速度是k的奇函数 E (k ) E (k ) v ( k ) v ( k ) v E k k 这证明k态电子与-k态的电子运动方向相反，大小相等. （1）无外场时，能带完全被电子占满，分布对称，虽然 每个电子均有电流 ev x ,但总的效果为0,因为彼此完全抵消. （2）有外场时，所有电子的波矢均向左移动 dk F eE dt A a a 但这种移动并未改变是电子的填充状态，因为从 A 移出的电子从 A 点移进来，整个能带仍是满的 A 2.不满带电子导电 在无外场时，电流为0， 没有外场作用时，电流 不为0，无外场时，分布 对称，电流相互抵消.有 外场时电子分布不对称， 有净的剩余电流存在. 二、用能带理论解释倒替、半导体、绝缘体 1.导体能带特点：能带未被完全充满，或能带产生交迭 (1). 碱金属： Na 11 电子组态： 1s 2 2s 2 2 p 6 3s1 3s能带未满，因为它可容纳2N个电子. (2). 碱金属：各方向 上的周期不一样，能 带出现交迭，造成能 带实际不满。 禁带消失 2.绝缘体： 价电子刚好填满整个价 带，而更高的许可带与 价带之间存在着一个很 大的禁带，除非很强的 电场，否则电子不会被 激发到许可带上去而导 电。 — 空带 — 满带 3.半导体 能带结构基本上与绝缘体相似，只是禁带较窄（一般 在2.0eV以下）依靠热激发就可以使电子跃迁到许可 带上去而导电. 三、空穴的概念 1.定义：满带顶部附近的空状态（如半导体中电子跃迁后 留下的空位） 2. 性质： （1）荷电 e （2）有效质量 mh* 未占据态电子有效质量的绝对值 0 （3）速度 v(k ) — k 态电子的速度 证明： 设 k 态空.引入 k 态电子后能带为满带 外来电子的电流 ev(k ) 不满带的电流 I k I k ev(k ) 0 I k ev (k ) 态空着时，能带的电流就像一个荷电 e 、具有 k v (k ) 速度的准粒子产生的－这个准粒子称为空穴. 即 3.空穴在状态空间的运动规律 dk e ( v B) dt 空穴波矢变化规律与 k态电子波矢的变化规律相同 犹如前进队伍中缺一人，这个位置随队伍前进 4.空穴在坐标空间的运动 dv 1 * ( e e(v B )) dt m e * ( v B ) m 空穴是一个准粒子，它带正电，因此晶体中导电的粒子有 两种：（1）电子；（2）空穴. 空穴的运动规律犹如一个正质量、荷正电的粒子的运动规 律，用孔穴的概念能够很好的解释半导体的导电机理. 例：已知价带顶附近电子的能量为： (k ) 11026 k 2 (尔格） 1 处移走，于是能带成为 7 将一个电子从 k 110 i cm 不满带，试给出： a.该空穴的有效质量和符号 b.该空穴的波矢量的大小和方向 d.空穴的动量 e.该空穴的速度 f.该空穴的所运载的电流 解： 2 2 k 26 2 110 k (erg ) a. (k ) 2m 2 26 110 2me me 0.5 10 c. kg 28 m me 0.5 10 7 kh ke 110 i 27 7 Ph kh (110 )(110 i ) * h b. 28 1 110 i ( g cm s ) Pn 8 1 d. vn mh 2 10 cm s 20 e. n e (110 26 )k 2 e 12 110 erg 1eV f. 19 6 j evh 1.6 10 (2 10 i) 13 3.2 10 i