Transcript 第六章

统计物理学
宏观物质系统由大量微观粒子组成
物质的宏观特性是由大量微观粒子行为的集体表现
宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值
粒子运动
遵从经典力学
经典描述
遵从量子力学
量子描述
平均值及其运算法则
1 平均值
●统计分布的最直接的应用是求平均值。
●以求平均年龄为例，N 个人的年龄平均值就是 N 个人的年
龄之和除以总人数 N。
●求年龄之和可以将人按年龄分组，设ui为随机变量（例如年
龄），其中出现（年龄）u1值的次（或人）数为N1，u2值的次（或
人）数为N2……，则该随机变量（年龄）的平均值为
u 
N 1u 1  N 2 u 2  

Ni


N iu i
i
N
i
2
u 
N 1u 1  N 2 u 2  



通过随机变
量的和求平
均值的
N iu i
i
Ni
N
i
因为Ni / N 是出现 ui 值的百分比，当N 时该百分比就
是出现 ui 值的概率 Pi ，故
u  P1 u 1  P2 u 2   

Pi u i
利用概率分
布来求平均
值
i
●利用下式可把求平均值的方法推广到较为复杂的情况，从
而得到如下的平均值的运算公式
n
f (u ) 

f ( u i ) Pi
i 1
3
最概然分布法求平均值
讨论
 0
4
个粒子在空间的分布问题
 1
平衡态——W最多——无序、混乱——S最大——概率最大(6/16)
W总=16
4
第六章 近独立粒子的最概然分布

§1 粒子运动状态的 经典描述
量子描述
§2 系统微观运动状态的描述
§3 等概率原理
§4 分布和微观状态
§5 玻尔兹曼分布
玻色和费米分布
三种分布的关系

1860年，麦克斯韦发表了《气体动力论的说明》，
第一次用概率的思想，建立了麦克斯韦分子速度分布律。
3
经过推导，得到
m
2
)2 v e
著名的麦克斯韦速 dN  4  N (
2  kT
度分布律为：
 mv
2 kT
2
dv
玻尔兹曼(L.
Boltzmann, 1844-1906)
在麦氏速度分布律的基础上，第一次
考虑了重力对分子运动的影响，建立了更全面
的玻尔兹曼分布律，建立了玻尔兹曼熵公式。
dN  n 0 (
m
2  kT
3
)
2
e
 (
K

P
) / kT
玻
尔
兹
曼
dv x dv y dv z dxdydz
1877 年玻尔兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释，
玻尔兹曼写道：“（热力学）第二定律是关于几率的定律，”在
讨论热力学第二定律与几率的关系中，他证明熵与几率W 的对数
成正比。后来普朗克把这个关系写成
S=klnW
并且称k 为玻尔兹曼常数。
一、粒子运动状态的经典描述
在经典力学里， 某一时刻N 个
粒子的运动状态可以通过 3N 个坐
标和 3N个动量同时决定。
(q,p)被称为相格（ phase
space）也被称为系统的微观状态，
是时间的函数。
例：三维空间一个粒子。
为形象地描述粒子的力学运动状态，
需用（x,y,z,px,py,pz）六个变量。
 
r, v 
以六个变量为直角坐标，构成一个6维空间，称为
µ空间。粒子在某时刻的力学运动状态
（ xi,yi,zi,pxi,pyi,pzi）可以用空间中的一点表示。
（一）自由粒子
当粒子在三维空间中运动时，
它的自由度为3。粒子在任意时
刻的位置可由坐标x,y,z确定。与
之共轭的动量为
p x  m x ,
p y  m y ,
 
2m
p
px
µ空间的轨道
p z  m z
m是粒子的质量。自由粒子
的能量就是它的动能：
1
例如：描述一维自由粒子
的运动状态，以x和px为直角
坐标，可构成二维的µ空间，
2
x
 py  pz
2
2

L
x
当粒子以一定的动量px在
长为L的容器中运动时，粒子
运动状态代表点在µ空间的轨
道是平行于x轴的一条直线。
（二）线性谐振子
m，F=-kx
 
k
m
对于自由度为1的一维线性谐振子，在任一时刻，粒
子的位置由它的位移x确定，与之共轭的动量为 p  m x
它的能量是动能和势能之和。
 
p
2
2m

k
2
x 
2
p
2
2m

1
2
m x
2
2
以x和p为 直角坐标，可构成二维的µ空间。
如果给定振子的能量ε
 
p
2
2m

k
2
x 
2
p
2

2m
1
2
p
m x
2
2
2
2m 

x
2
1
2
m
2
p
x
二、粒子运动状态的量子描述
1．粒子的波动性（particals’ wave quality）
2．线性谐振子（Linear harmonic oscillators）
3．电子的自旋（Spins of electrons）
4．自由粒子（Free particles）
5．自由粒子的微观状态数（states number）
1．粒子的波动性
19、20世纪交替时，建立新的力学框架——量子
力学，其基本原理如下：   h    

h
2
p  k 
h

对实物粒子同样适用
x
屏
电子束
a
缝
2
衍射图样
1）
幕
从粒子性方面解释
单个粒子在何处出现具有偶然性;大量粒子在某处出现的
多少具有规律性. 粒子在各处出现的概率不同.
2）
从波动性方面解释
电子密集处，波的强度大；电子稀疏处，波的强度小.在某处
德布罗意波的强度与粒子在该处附近出现的概率成正比 .
通过狭缝后的每个电子到底会射在屏幕的什么位
置上——电子的运动具有不确定性！
x
屏
电子束
a
缝
2
衍射图样
 p x  p sin 
 p  x
幕
xp x  h
在量子理论里，无法确定粒子的确切位置，在二维µ（相）空间
中只能最多准确到 h.
粒子运动状态的量子描述：
在量子力学中粒子的微观状态——量子态：由一组量子数描述，
量子数之数目等于粒子的自由度数。比如:氢原子内的电子（n,l,ml,ms)
2．线性谐振子：双原子分子的相对
振动，晶格振动
一维：
由一个能量量子数 n 描述状态，能量可能值
 n   (n 
能级间距：
特点：
1
)
n  0,1, 2,
2
  n   n 1   n  
等间距，无简并。
h
h
2
重点
3．自由粒子：理想气体分子，金属中的电子
立方体容器中，长度为L：
L  nx  ,
由周期性边界条件
n x  0 ,  1,  2 , 
其中描述状态，则
kx 
2


2 n x
L
,
px 
2
L
2
?能量是多少
对于非相对论粒子
 nx 
px
特点：
能级分立，能级间距

2
2m
2 
2
  nx 
nx ,
2
2
m
2
m

2
nx
L
2
2n x  1
L
2
若一个能级的状态不止一个时，称为Degeneracy，
状态数为简并度，上述能级为二度简并。
三维：
动量
2 
pi 
L
z
能级  

n
i x
状态由
2
pi

2m
i  x . y . z , n i  0 ,  1, 
ni
2
2
nx  n y  nz
2
2

m
ni (i  x. y.z )
2
L
2
2

2
2
2

m
n
2
L
2
三个量子数描述，能级简并
较复杂，如：  ni2  1 能级，简并度为6。
i
n 1
nx  1, n y  nz  0,
n y  1, nx  nz  0,
nz  1, n y  nx  0
1 
2
2
m
2

1
2
L
4．自由粒子的微观状态数（states number）
现在我们考虑三维空间给定宏观状态的条件下，共有多少
个微观状态数  。 (V=L3)
p x  p x  dp x ,
p y  p y  dp y ,
The change of the quantum number dnx,dny,dnz
p z  p z  dp z .
pi 

2
L
dnx 
ni

L
2
dp x , dn y 
 L , dp x , dp y , dp z dn dn dn  
x
y
z

3
L
2
3
dp y , dnz 
L
2
dp z
L 
V
 dp x dp y dp z  3 dp x dp y dp z
h
 2 
Another solution:(semi-classical)
p, q -相空间-  空间
一个微观状态
μ空间中一个相格
 p1   p r  q1   q r  h
xp  h

空间体积元中微观状态数  l 为：
1
h
r
dp1
dp r dq1
dq r
r
一个三维自由粒子在动量间隔 pi  pi  dpi ，坐标间
隔 i  i  di (i  x. y.z ) 内的微观状态数为：
1
h
3
dp x dp y dp z dxdydz



在体积V中，p  p  dp 内可能的微观状态数为 :
1
h
3
L
dpx dp y dp z

0
d xd yd z 
V
h
3
dp xdp y dp z
在V内 p  p  dp 范围内可能
的微观状态数为:
V
h
3
 l 
dp x dp y dp z 
V
h

3
V
h
3
pdp sin ddp

2
p dp  sin  d 
2
0
4 V
h
3
(2 m )

0
3/2

1/ 2
d 
4 V
h
3
2
p dp
  p / 2m
2
d   D ( ) d 
D ( ) 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需
对上面各式乘2。
例求一个二维自由粒子在动量间隔 pi  pi  dpi 面积A
内的微观状态数。
解
1
h
2
d p x d p y d xd y



在面积A中，p  p  dp 内可能的微观状态数为 :
1
h
3
L
dpx dp y

0
d xd y 
A
h
2
dp xdp y
p  p  dp 范围内可能的微观状态数为:
在A内
A
h
2
2
pdp  d 
0

2 Am
h
2
2 A
h
2
pdp
d   D ( ) d 
  p / 2m
2
md   pdp
D ( ) 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需
对上面各式乘2。

4 A m
h
2
d   D ( ) d 
5．粒子（电子）的自旋：通过
Stern-Gerlach实验验证。
Real orbit points
N
如图z 向磁场，s态H
的轨道分为二条。
S
Expected orbit
H
Z
原子的磁矩在磁场方向上的
分量μz只能取以下数值：

n
I
S

  ISn
总角动量量子数=轨道角动量
量子数+自旋角动量量子数
 z  M （玻尔磁子）
B
H 原子基态：1s
M   J,  J  1，
J
1
J  0  1/2  1/2
问题讨论：
1．量子力学对粒子运动状态描写的特点？
2．边界条件的选定对粒子物理的影响？
3．什么是“半经典”近似？
复习：自由粒子的描述及微观状态数（states number）
现在我们考虑三维空间给定宏观状态的条件下，共有多少
个微观状态数  。 (V=L3)
p x  p x  dp x ,
p y  p y  dp y ,
The change of the quantum number dnx,dny,dnz
p z  p z  dp z .
pi 

2
L
dn x 
ni

L
2
dp x , dn y 
 L , dp x , dp y , dp z dn dn dn  
x
y
z

3
L
2
3
dp y , dn z 
L
2
dp z
L 
V
 dp x dp y dp z  3 dp x dp y dp z
h
 2 
Another solution:(semi-classical)
p , q -相空间-  空间
一个微观状态
μ空间中一个相格
 p1   p r  q1   q r  h
 x p  h

空间体积元中微观状态数  l 为：
1
h
r
dp1
dp r dq1
dq r
r
一个三维自由粒子在动量间隔 p i  p i  dp i ，坐标间
隔 i  i  di ( i  x. y . z ) 内的微观状态数为：
1
h
3
dp x dp y dp z dx dydz



在体积V中，p  p  d p 内可能的微观状态数为 :
1
h
3
L
dpx dp y dp z

0
d xd yd z 
V
h
3
dp xdp y dp z
在V内 p  p  dp 范围内可能
的微观状态数为:
V
h
3
 l 
dp x dp y dp z 
V
h

3
V
h
3
pdp sin d  dp

2
p dp  sin  d 
2
0
4 V
h
3
(2 m )

0
3/2

1/ 2
d 
4 V
h
3
2
p dp
  p / 2m
2
d   D ( ) d 
D ( ) 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需
对上面各式乘2。
补充：粒子（电子）的自旋：通过
Stern-Gerlach实验验证。
Real orbit points
N
如图z 向磁场，s态H
的轨道分为二条。
S
Expected orbit
H
Z
原子的磁矩在磁场方向上的
分量μz只能取以下数值：

n
I
S

  IS n
总角动量量子数=轨道角动量
量子数+自旋角动量量子数
 z  M （玻尔磁子）
B
H 原子基态：1s
M   J,  J  1，
J
1
J  0  1/2  1/2
一个自由粒子微观状态数
例求一个二维自由粒子在动量间隔 p
 p  dp 面积A
内的微观状态数。
解
1
h
2
d p x d p y d xd y



在面积A中，p  p  d p 内可能的微观状态数为 :
1
h
3
L
dpx dp y

0
d xd y 
A
h
2
dp xdp y
p  p  dp 范围内可能的微观状态数为:
在A内
2
A
h
2
pdp  d  
0

2 Am
h
2
2 A
h
2
pdp
d   D ( ) d 
  p / 2m
2
m d   pdp
D ( ) 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需
对上面各式乘2。

4 A m
h
2
d   D ( ) d 
§6.3
系统微观状态的描述
（Description of Microscopic States of
Systems）
1．全同粒子组成的系统。
Systems consisting of identical
particles
2．量子情形。
Quantum Case
3．经典情形。
Classical case
1．全同粒子组成的系统
1、全同粒子组成的系统遵从全同性原理，即粒子不可分
辨。全同粒子：相同质量、自旋、电荷等
N
2、讨论近独立粒子组成的系统，即
强调相互作 用弱
E 

i
i
2．量子情形：
• 玻色子（Boson）情形（系统）：自旋量子数为整
数，如光子（量子数为1），遵从全同性原理，交
换任何两粒子的微观状态不变，任一量子态填充的
粒子数无限制。
费米子（Fermion）自旋为半整数，如电子，遵从全同
性原理和泡利不相容原理；任一量子态最多只能被一
个粒子占据。
定域子系统（Localized particle）为Boltzmann系统，
粒子可分辨，即经典情形。
不遵从全同性原理，交换任何两粒子的微观状态改变；
任一量子态填充的粒子数无限制。(A,B,C,……)
和 2
例1：一个二粒子系统，单粒子态有三个，0，
就粒子属于如下的几种分别，写出可能的填充状态
①服从经典分布,粒子可分辨;（定域子）
②服从Fermi-Dirac统计;（费米子）
③服从Bose-Einstein统计.（玻色子）
①服从经典分布,粒子可分辨定域子系统
系统状态Ω9个
Boltzmann Distri.
粒子
a
b
②服从Fermi-Dirac统计
Ω=
3个
Fermi Distribution
③服从Bose-Einstein统计
Ω=6个
Bose Distribution
3．经典情形：N个粒子组成的系统的微观
状态数，可分辨。
N 粒子系统 ,每粒子自由度为 r


q
r个
,r个 p


q
N r个
,N r 个 p
2r维

空间
2N r 维Γ 空间
系统的一个微观态
 空间N个点表示
Γ空间的一个点
采用半经典近似：
粒子一个态在
 空间占体积
系统一个态在Γ 空间占体积
h
h
r
Nr
若已知代表点允许的空间体积，可计算出微观态数。
 dq 1  dq r dp 1  dp r


r
h





N
§6.4
等概率原理
在统计物理学中，我们研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。
一般，如果我们研究的是一个孤立系，给定的宏观条件是系统具有
确定的粒子数N，体积V和能量E。
由于自然界中实际上不存在与外界完全没有任何相互作用的严格
的孤立系统， 应当认为系统的能量是在
E ~ E  E
 E

 1

 E

我们知道，给定了这样的宏观条件,系统可能的微观状态
是大量的。
玻耳兹曼(Boltzmann)在十九世纪70’s提出了
著名的等几率原理
等概率原理
对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微
观状态出现的几率是相等的。
等几率原理在统计物理学中是一个基本假设。
它的正确性是由它的种种推论都与客现实际相符而得到肯定的。
等几率原理是平衡态统计物理的基础。
§6-5
分布和微观状态
（Distribution & Microscopic States)
1. Bose Systems
2. Fermi Systems
3. Boltzmann Systems
4. Classical limit
孤立系（Isolated Systems）：
与外界既无能量又无粒子交换的系统
考虑近独立粒子组成的系统
设给定的宏观条件为:
粒子能级为
粒子数为
1,  2 ,
l
,l ,
, a l , ，  a l  称为分布
a1 , a 2 ,
a
，简并度为  1 ,  2 ,
,l ,
l
 N , al  l  E
l
；
1. Fermi Systems
For  l ,the degeneracy is  l ,and the particle
number is al
l
l  3
al  2
1
A
A
2
A
3
A
A
A
C
Cl 
al
2
3

3!
3
1!2!
l !
( l  al )! al !
Cl 
l !
al
( l  al )! al !
可能的占据方式数为
l(l  1)  (l  al  1) 
粒子能级为
1,  2 ,
,l ,
1
al!

，简并度为
(l  al )!
(l  al )!
1 ,  2 ,
微观状态数
WF 
 W
l
l


l
 l!
( l  a l )! a l !
,l ,
 Wl
；
2. Boltzmann Systems
For  l ,the degeneracy is  l ,and the particle
number is al
l   3
l
al  2
1
AB
A
A
B
B
2
B
A
AB
A
B
3
B
B
A
A
BA
Boltzmann系统
定域子可以分辨，对其编号
al个编了号的粒子占据能级l 上的 l 个量子态
第一个粒子可以占据 l 个量子态中的任一态 l 种
第n个粒子可以占据 l 个量子态中的任一态 l 种
共有 l a 种可能
l
a1 , a 2 ,
, al ,
编号的粒子分别占据能级
1,  2 ,
占据方式数
,l ,

上的各量子态
al
l
只是个数目，并没有说明是谁。
l
N个粒子交换 N !
应除去在同一能级上 al 个粒子的交换数 al !
微观状态数
WM 
N!

l
al !

l
l
al
3. Bose Systems
For  l ,the degeneracy is  l ,and the particle
number is al
l
l  3
al  2
1
AA
A
A
2
3
A
AA
A
6
A
A
AA
l  l  3
al  2
 C
W B .E 
2
4
1
AA
A
A
 C  l  a l 1  6
al

l
( l  a l  1) !
( l  1) ! a l !
2
A
AA
A
Wl 
3
A
A
AA
( l  a l  1) !
( l  1) ! a l !
4
A
A
A
当 a l   l ，Pauli不相容和能级简并对
占据影响不大，此时
WF 


l
l
W B .E 
l

l
WM 

l
( l  a l )! a l !
( l  a l  1) !
( l  1) ! a l !
N!

 l!
al !

l
l
al
WF 
 l 
l



l
 l!
W B .E 
( l  a l )! a l !
l
 l  l  1  l  a l  1
l

l
l
al !
al


WM 

al !

( l  1) ! a l !
 a l  1 l  a l  2   l
al !
l
l
N!
 l

al !

( l  a l  1) !
l
l
al
al !
al
l
l
a l   l
WB ~ WF ~
WM
N!
称为非简并性条件。
等概率原理
对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微
观状态出现的几率是相等的。
等几率原理在统计物理学中是一个基本假设。
§6-5 孤立系统的分布和微观状态
（Distribution & Microscopic States)
粒子能级为
1,  2 ,
,l ,
粒子数为
a1 , a 2 ,
a
l
，简并度为
1 ,  2 ,
, l ,
, a l , ，  a l  称为分布
l
 N ,  al  l  E
l
；
注意
WF 


l

l
W B .E 
l

l
WM 
( l  a l )! a l !
( l  a l  1) !
( l  1) ! a l !
N!

 l!
al !

l
al
l
l
当 a l   l ，此时
a l   l
WB ~ WF ~
WM
N!
称为非简并性条件
（经典极限条件）。
4．经典极限条件下
注意
用
 
q , p 描写状态，将
WM 
1,  2 ,
简并度
dp r
al ,
体积元  1 ,   2 ,
, l ,
l
h
r
Wc 
N!

l
al !
 l
al
l
!
 空间分为一系列体积元
,l ,
粒子数 a1 , a 2 ,
a
l
   dq1  dq r dp1 
能量
N!

l
 l 


r
 h

al
l
§6-6 玻耳兹曼分布{al }
WM 
N!
a
 l
al
l
!
l
l
• 上节求出了与一个分布相对应的系统的微观状
态数。根据等几率原理，对于处在平衡状态的
孤立系统，每一个可能的微现状态出现的几率
是相等的。
• 因此，微观状态数最多的分布，出现的几率
将最大，称为最可几分布。本节导出在定域
系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分
布。
• 先证明一个近似等式： ln m !  m ln m  1 
其中m是远大于1的整数 。
ln m !  m ln m  1 
ln m !  ln 1  ln 2    ln m
We can see that the area
under the curve is most equals
to the sum of the small
rectangles. So that ,we can
write:
d ( xy )  xdy  ydx
(m>>1)
ln m ! 

m
1
1
x
ln xdx   x ln x  x   m ln m  1。 d ( x ln x )  x
dx  ln xdx
 ln xdx   d ( x ln x )   dx
ln m ! 
2、玻耳兹曼分布

m
ln xdx   x ln x  x   m ln m  1。
1
(m>>1)
为方便将  M  E简记为


 
N!

 l
l
l
!
l
定域系统中粒子的最可几分布是使 为极大的分布。
取对数，得
ln   ln N !  ln  l !   l ln  l
假设所有的 l 都很大
l
ln  l !   l ln  l  1
l
ln   ln N !  ln  l !   l ln  l
l
l
ln   N ln N  1    l ln  l  1    l ln  l
l
l
 N ln N    l ln  l    l ln  l
l
为了求得使
ln 
l
为极大的分布，令  有  l
l
ln  将有  ln  的变化
为使 ln  有极大分布
l
的变化。
，

 ln  ＝0
ln   N ln N 
 ln  ＝ 
a

l
l
1
al
l

l
ln  l 

l
ln  l
 l is const .
l
a l 
 ln a a   ln  a
l
l
l
l
l
l
a l  N  0
l
 ln  ＝
 l
－ ln 
l
 l

l  0



In addition, because the
N 
 
l
l
l
must fulfill the conditions:
 0,  E 
  
l
l
l
0
但  l 不完全是独立的，它们必须满足条件：
N 
 
l
 0,  E 
l
  
l
l
0
l
用拉格朗日(Lagrange)未定乘子 和  乘这两个式子并从 ln 
中减去，得：
 ln    N   E   
l
 l

 ln

      l  l  0
l


根据拉氏乘子法原理，每个 l 的系数都等于零，所以得：
ln
l
l
    l  0
 l   le
    l
 l   le
    l
此为定域系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分布
N 
  le
    l
E 
  l l e
l
    l
l
能级  的量子态  l ，处在其中任何一个量子态的平均粒子数
l
应该是相同的。因此，处在能量为
 s 的量子态s
上的平均粒子数为：
fs  e
    s
几点说明：
第一，上面我们只证明了玻耳兹曼分布使 ln  取极值。
要证明这个极值为极大值，还要证明玻耳兹曼分布使 ln 
的一级微分等于零，即  ln  ＝0 且 ln  二级微分小于零。
 ln    
2

l
l
ln 
l

 l 
 l   

l
l

2
l  0
这就证明了玻耳兹曼分布是使为极大的分布。
第二，玻耳兹曼分布是出现几率最大的分布。从原则上说，
在给定N,E,V的条件T，满足下列条件的分布都是可以实现的。

l
l
N
 
l
l
l
E
§6.7 Bose distribution and Fermi
distribution
For Bose systems
 B .E
 l   l  1!

 l !  l  1 !
l
根据等几率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，每一个可
能的微观运动状态出现的几率是相等的。因此，使 
为极大的分布，出现的几率最大，是最可几分布：
ln  

 ln   l   l  1 ! ln  l ! ln   l  1 !
ln  

 l  1,  l  1,
 ln   l   l  1 ! ln  l ! ln   l  1 !
因而
l   l  1  l   l ,l  1  l
且可用近似式
ln m!  m ln m  1
ln     l   l [ln  l   l   1]   l [ln  l  1]   l [ln  l  1]
l
   l   l  ln  l   l    l ln  l   l ln  l
l
使  为极大的分布，必使 ln  为零。
 ln  
 ln 
l
l
  l   ln  l   l  0
N 
 
l
 0,  E 
  
l
l
l
0
l
用拉氏乘子 和  乘这两个式子中减去 ln  ，得
 ln 
l
  l   ln  l     l   l  0
l
ln   l   l   ln  l      l  0
l 
l
e
   l
1
是玻色系统中粒子的最可几分布，称为玻色分布。拉氏乘子  
 e
l
l
  l
1
 N,
 e
l
 ll
  l
1
 E.
For Fermi systems
 
 l!
  ! 
l
ln  
l
l
  l !
 ln  ! ln 
l
l
! ln  l   l !
假设   1,   1,     1
l
l
l
l
ln  
 
l
ln  l   l ln  l   l   l  ln  l   l 
l
相同的方法，费米系统中粒子的最可几分布为：
l 
拉氏乘子  ，  满足
 e
l
l
  l
1
l
e
  
l
 N,
1
 l l
e
   l
1
 E
l
能级有个量子态  l 个
处在其中任何一个量子态s上的平均粒子数应该是相同的因此处
在能量为 量子态s上的平均粒子数为：
s
fs 
1
e
   s
N 
s
E 
其中
1
e
   s
 e
s
1
1
s
  s
1
 对粒子的所有量子状态s求和。
s
When
e

a M .B  a B .E  a F .D
 1
 l   le
    l
l 
Boltzmann distribution
l
e
l 
   l
1
Bose distribution
l
e
  
l
1
Fermi distribution
e
即

 1
l
l
 1
玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
 l  le
    l
这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1，即非简并性条件。
当非简并性条件满足时，玻色分布与费密分布都过渡到玻耳兹
曼分布，这跟前面的有关结论是一致的。
习题课第六章、第七章
6.1 试根据
px 
py 
pz 
2 
L
2 
L
2 
L
nx
n x  0 ,  1, 
ny
n y  0 ,  1, 
nz
n z  0 ,  1, 
证明，在体积V内，在 
的量子态数为:
D  d  
证明:
~   d
2 V
h
3
能量范围内，三维自由粒子
2m 3 / 2  1 / 2 d
 L
dn x dn y dn z  
 2
3
V

 dp x dp y dp z  3 dp x dp y dp z
h


V
h
3
pd  p sin  d  dp
在V内 p  p  dp 范围内可能的微观状态数为:
V
h
V
h

3
3
pd  p sin  d  dp

2
p dp  sin  d 
2
0
4 V
h
3

d 
4 V
h
0
3
2
p dp
1/ 2
m ( ) d 
(2 m )   dp /2 D
2
3/2
D  d  
2 V
h
3
2m 3 / 2  1 / 2 d
6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在 
能量范围内，的量子态数为:
D  d 
semi-classical：

1
h
2L  m 
~   d
1/ 2
d


h  2 
 d pdx 
L
dp

h
  p / 2m
2
dp 
m
2
d
L m
D  d 


h  2 
p
1/ 2
d
2m 
dp 
2m
×
1
2
-
1
 2 d
p   2m 
d 
1
dp   2m
-
1
 2 d
dp  
2
L
dp
h
2L  m 
D  d  


h  2 
quantum：
px 
2 
L
dp  
2
d
n x  0 ,  1, 
nx
m
1/ 2
d
dn x  
2L  m 
D  d  


h  2 
dn x 
L
m
h
2
1/ 2
d
d
L
2 
dp x
m
2
d
6.3. Try to determine the microstate number(from ε to
ε+dε) of a free particle in a 2-dimensional phase
space,assume the space area is L2.
  l L , p  dp 
2

 l
h
2
2

L
h
dp x dp y
2
2

L
h
2
' 
L
h
2

2
2
pddp
2 L
2
d  pdp 
h
0
  p / 2m
2
pdp
2
dp 
m
2
d
D  d 
2L
2
h
2
md 
6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=cp，试
求在体积V内，在  ~   d能量范围内，三维自由粒子

的量子态数。
解: 一个三维自由粒子在动量间隔 dp x , dp y , dp z ，内的微观状态数为：

V
h
3
V
h
V
h

3
3
dp x dp y dp z
dp x dp y dp z 

p dp  sin  d 
0
h
3
h
3
pd  p sin  d  dp
2
2
4 V
V

d 
4 V
h
0
3
(2cp
3 / 2 1/ 2 1
m ) dp d  dp
 D ( ) d 
D  d  
4 V
ch 3
c
 d
2
2
p dp