Transcript 曾第1章
第 1 章
波函数与Schröinger方程
§1.1 波函数的统计诠释
§1.2 Schrödinger 方程
§1.3 量子态叠加原理
§1.1 波函数的统计诠释
1.1.1 实物粒子的波动性
根据Planck-Einstein 光量子论,光具有波动粒子二重性,以
及Bohr量子论,启发了de. Broglie,他
(1)仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史;
(2)注意到了几何光学与经典力学的相似性,提出了实物粒子
(静质量 m ≠ 0 的粒子)也具有波动性。也就是说,粒子
和光一样也具有波动-粒子二重性,二方面必有类似的关系
相联系。
假定:与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波
(称之为“物质波”)的频率和波长分别为:
λ h / p,
ν E/h
这就称为de. Broglie关系。
(1)
举例
(1) 气体分子的热运动
气体分子的热运动的动能为
相应的物质波的波长为
3
1
3kT
kT m v2 , v
2
2
m
h
h
p
3m kT
如对氧分子,室温下可得λ~0.026nm,远小于分子的自由程,
因此分子的热运动可作经典力学处理。
(2)原子中电子的运动
1
2E
2
E me v , v
2
me
h
p
h
2me E
电子的动能约为10eV,其波长λ~0.39nm,与原子半径的量级
相同,需要用量子力学处理
(3)原子中原子核的运动,核子的动能约为E~20MeV
h
λ~
~ 6.4nm
2m p E
(4) 宏观粒子的德布罗意波长
如速度v = 5.0102m/s飞行的子
弹,质量为m=10-2Kg,对应的
德布罗意波长为:
如电子m =9.110-31Kg,速
度v =5.0107m/s, 对应的
德布罗意波长为:
h
1.3 10 25 nm
mv
h
1.4 10 2 nm
mv
太小测不到!
X射线波段
实验验证
(1) 汤姆逊实验
1927年,Davison and Germer在实验中,让电子束通过薄金
属膜后射到照相底片上,结果发现,与X射线通过金箔时一样,
也产生了清晰的电子衍射图样。
(2) 电子通过狭缝的衍射实验:
1961年,约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm,宽为0.3mm ,
缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子,使电
子束分别通过单缝、双缝等,均得到衍射图样。
(3) 最大的实物粒子的波动性实验:C60的双缝干涉实验
60个碳原子所组成
外型象英式足球
对称性最高的球状分子
迄今为止实验上观测到其波动性的质量
最重、结构最复杂的粒子
C60的双缝干涉实验示意图
x
x
1
P1
P12
2
P2
(4) 量子围栏
1993年,Crommie等人用扫描隧道显微镜技术,把蒸发到铜(111)
表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏,用实验
观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”),直观
地证实了电子的波动性。
R. P. Feynman:
“---a phenomenon which is impossible,
absolutely impossible, to explain in any classical way, and
which has in the heart of quantum mechanics, ----we can
not make the mystery go away by explaining how it works.
We will just tell you how it works.”
一个处于量子力学核心的、不可能、绝对不可能用任何
经典方法解释的现象。我们解释不了它的神秘之处,只
能描述它是如何形成的。
实物粒子波动性的理解
经典粒子与经典波的双缝实验
ρ1 ( x )
ρ子弹的密度分布
ρ12 ( x )
1
子弹
O
2
ρ2 ( x )
I1 ( x )
I12 ( x )
1
2
经典波
O
I2 (x)
对于子弹
ρ12 ( x ) ρ1 ( x ) ρ2 ( x )
子弹经过缝1(2)的运动轨道与缝2(1)的存在与否没有关系
iωt
iωt
h
(
x
)
e
,
h
(
x
)
e
对经典波 分别打开缝1和缝2时的声波 1
2
两缝齐打开时的声波
[h1 ( x ) h2 ( x )]eiωt
声波的强度
I12 ( x ) h1 ( x ) h2 ( x )
2
2
1
h1 ( x ) h2 ( x ) h1 ( x )h ( x ) h ( x )h2 ( x )
2
2
I1 ( x ) I 2 ( x ) 干涉项 I1 ( x ) I 2 ( x )
由于存在干涉项,经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同
用电子代替声波会得到相似的结果,如何理解?
问题1:每个电子是如何通过小孔的?说:一个电子不是通过孔1
就是通过孔2 是否正确?
结论: 电子作为粒子总是以完整的颗粒形式到达屏,电子到达屏
上某处的概率分布就像波的强度分布。正是从这个意义上
说,电子的行为有时像粒子,有时像波。
问题2: 能够设计出一种仪器来确定电子时经过哪个小孔,同时
又不使电子受到足以破坏其干涉图样?
1.1.2 波粒二象性分析
两种错误观点
1. 电子是波包
把电子波看成是电子的某种实际结构,是三维空间中连续分布
的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的
大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包?
波包是各种波数(长)平面波的迭加。平面波描写自由粒子,
其特点是充满整个空间,这是因为平面波振幅与位置无关。如
果粒子由波组成,那么自由粒子将充满整个空间,这是没有意
义的,
与实验事实相矛盾。
在电子衍射实验中,电子波碰到晶体后发生衍射,衍射波沿不同
方向传播出去。如果将电子看成是三维波包,则在空间不同方向
观测到的只能是“电子的一部分”。但实验上测得的总是一个个
的电子,各具有一定的质量和电荷。
电子时三维空间中连续分布的某种物质波包
p2
在非相对论情况下,自由粒子的能量为 E 2m
2
利用de Broglie关系可得电子的园频率为 ω k / 2m
波包的群速度(波包中心的运动速度)为
vg dω / dk k / m p / m v
但
d 2ω
2 0
dk
dk
k
dv g
即自由粒子的物质波包必然要扩散。
结论: 物质波包的观点夸大了波动性的一面,而抹杀了粒子性的
一面
2.波由粒子组成的疏密波
P
P
O
电子源
Q
感
光
屏
O
Q
如水波,声波,由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这
种看法是与实验矛盾的,它不能解释长时间单个电子衍射实
验。电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长,底片上
增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子
在空间聚集在一起时才有的现象,单个电子就具有波动性。
事实上,正是由于单个电子具有波动性,才能理解氢原
子(只含一个电子!)中电子运动的稳定性以及能量量子
化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性
的一面,而抹杀了粒子的波动性的一面,具有片面性。
电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波?
实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。例如在
一个原子内,其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
以现代的实验精度极限,已经证实,在量级为10-8m
的尺度下,未观测到电子有尺度效应。
“ 电子既不是粒子也不是波 ”,既不是经典的粒子也不
是经典的波,但是我们也可以说,
“ 电子既是粒子也是波,它是粒子和波动二重性矛盾的统
一。”
这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念中的粒子。
1.1.3 概率波、多粒子体系的波函数
电子单缝实验的再分析
P
P
O
电子源
Q
感
光
屏
Q
1.入射电子流强度小,开始显示电子的微粒性,长时间亦显示衍
射图样;
2. 入射电子流强度大,很快显示衍射图样.
在底片上r点附近干涉花样的强度:
∝在r附近感光点的数目
∝在r 附近出现的电子数目
∝电子出现在r附近的概率。
衍射波波幅用 Ψ(r) 描述,与光学相似,衍射花纹的强度
则用 |Ψ(r)|2 描述,但意义与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小,
确切的说,|Ψ(r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处,在体积元ΔxΔyΔz
中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度(振幅绝对值
的平方)与在这点找到粒子的几率成比例,
概率波(Born, 1926):量子力学中波函数所描述的,并不像经典
波那样代表实际物理量的波动,只不过时刻画粒子在空间的概率
分布的概率波(probability wave)而已。
它把微观粒子的原子性(颗粒性)与波的相干性统一起来了。
据此,描写粒子的波可以认为是几率波,这种几率波反映了
微观客体运动的一种统计规律性,波函数Ψ(r)有时也称为几率
幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释,它是量
子力学的基本原理(基本假定)。
按照波函数的统计诠释,自然要求粒子在空间各点出现的概率
之和为1,即波函数应满足下面的归一化条件
2 3
3
3
2
ψ
(
r
)
d
r
1
,
(
d
r
d
x
d
y
d
z
,
d
r
r
sin θdrdθdφ )
全
在空间各点的相对概率分布
2
2
Cψ ( r1 )
ψ ( r1 )
Cψ ( r2 )
ψ ( r2 )
显然,Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的,这点与经典波不同。
2 3
波函数的归一化: 全 ψ ( r ) d r A( real num ber) 0
则
全
2
3
1
ψ (r ) d r 1
A
波函数的相位不确定性
e ψ (r )
iα
根据Born统计解释 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t时刻出
现在 r点的几率密度,这是一个确定的数,所以要求(r, t)应
是 r, t的单值函数且有限; 又因为Schrödinger 方程是微分方
程,所以要求(r, t)应连续。这样就得到了
波函数标准条件:波函数应单值、有限、连续。
多粒子体系的波函数
两粒子体系的波函数 ψ (r1 , r2 )
物理意义:
2
ψ ( r1 , r2 ) d 3r1d 3r2
表示测得粒子1在空间体元(r1,r1+dr1)中,同时粒子2在空间体元
(r2,r2+dr2)中的概率。
N个粒子体系的波函数 ψ (r1 , r2 ,, rN )
2
物理意义: ψ ( r1 , r2 ,, rN ) d 3r1d 3 r2 d 3rN
表示
测得粒子1在空间体元(r1,r1+dr1)中,
同时粒子2在空间体元(r2,r2+dr2)中,
…
同时粒子N在空间体元(rN,rN+drN)中的概率。
归一化条件
全
引进符号
dτ
全
2 3 3
ψ ( r1 , r2 ,, rN ) d r1d r2 d 3rN 1
(ψ ,ψ ) dτψ ψ
全
全
2
ψ ( r ) dτ
代表对体系的全部坐标空间进行积分,如
对一维粒子,
对二维粒子,
对三维粒子,
dτ
全
dx
dτ
全
dxdy
dτ
全
dxdydz
对N个粒子组成的体系,
dτ
全
dx1dy1dz1 dx N dy N dz N
归一化条件
(ψ ,ψ ) 1
练习 1 设 ψ ( x ) Aeα
2 2
x /2
, α为常数,求归一化常数A
练习 2 设 ψ ( x) eikx , 求粒子位置的概率分布。此波函数能否归一化?
练习 3 设ψ ( x ) δ ( x ),求粒子位置的概率分布。此波函数能否归一化?
练习 4 设粒子的波函数是 ψ ( x, y, z )
求在(x, x+dx)范围内找到粒子的概率。
练习 5 设用球坐标表示,粒子的波函数是 ψ (r,θ ,φ )
求: (1) 粒子在球壳(r, r+dr)范围内被测到的概率。
(2) 在(θ,φ)方向的立体角dΩ=sin θd θd φ中找到粒子
的概率
1.1.4 动量分布概率
问题:按波函数的统计诠释,波函数模的平方代表在空间r点
找到粒子的概率密度?如果测量其它力学量,其概率分布如何?
波函数的Fourier展开
ψ (r )
ip r / 3
1
φ ( p )e d p
3/ 2
( 2π)
ip r / 3
1
( r )e
dr
3/ 2
(2)
2
粒子的动量为p的概率正比于 φ ( p )
其中
可证明:
( p)
2 3
2 3
φ ( p) d p ψ ( r ) d r 1
(13)
(14)
(15)
证明:
3
φ ( p)φ ( p )d p
d pd rd rψ ( r )ψ ( r )
1
ip( r r ) /
e
3
( 2π )
3
3
d rd rψ ( r )ψ ( r )δ ( r r )
3
3
3
2
d r ψ (r ) 1
3
电子的动量分布如何测量
---------电子衍射实验分析
设电子(动量p)沿垂直方向入射到单
晶表面,即入射波是具有一定波长的平
面波,则衍射波将按照一定的角度衍射,
衍射角由Bragg公式确定
sin θ n
nλ nh
, n 1,2,3,(17)
a
pa
衍射谱
入射波
θ
a
如果入射波是一个波包,它的每一个Fourier分波将按各自的角
分布出射,衍射波将分解成一个波谱。沿θ角衍射的波的幅度
f(θ)正比于入射波包中相应的Fourier分波的幅度。
2
f (θ ) φ ( p )
衍射过程中,波长未变,即粒子的动量大小未变,只有方向改变,
因此衍射波谱的分布反映了衍射前粒子的动量分布。
1.1.5 不确定度关系
波函数的统计诠释:保留了经典波的相干叠加性,摒弃了实在物
理量在三维空间中的波动性;保留了经典粒子的原子性或颗粒性,
摒弃了经典粒子运动的概念。
经典粒子的概念究竟在多大程度上用微观世界?
1927, W. Heisenberg 不确定性关系
例题1 设一维粒子具有确定的动量p0,即动量的不确定度为Δp=0,
相应的波函数为
ψ p ( x) e
ip0 x /
0
2
则 ψ p0 ( x ) 1 即粒子在空间各点的概率相同,粒子位置完全不确定
x
例题2 一维粒子具有确定的位置x0,即位置不确定度为Δx=0,相应
的波函数为
ψx ( x) δ ( x x0 )
0
其Fourier展开为
1
1
ix0 p /
ipx /
φ x0 ( p )
ψ
e
d
x
e
x0
2π
2π
则
2
φ x ( p) 1
0
即粒子动量取各种值的概率相同,动量完全不确定, Δp=∞
例题3 Gauss波包
则
2
ψ ( x) e
ψ ( x) e
α 2 x 2 / 2
ψ (x )
α 2 x 2
x 1/ α
粒子主要局限在
即
x ~ 1 / α
Ψ(x)的Fourier展开是
1
φ (k )
2π
则
φ (k )
2
1
α
2
2
e
e
-1/α
α 2 x 2 / 2 ikx
k 2 /α 2
e
dx
1
α
所以
e
k 2 / 2α 2
k ~ α
则对Gauss波包,有
x k ~ 1
利用德布罗意关系得
x p ~
1/α
不确定性关系
x p / 2
微观粒子的位置(坐标)和动量不能同时具有完全确定的值,这是
波粒二象性的反映。
或者表述为:假如对任一客体进行测量,以不确定量Δp测定其
动量的x分量时,就不可能同时测定其位置比Δx=h/Δp更准确。
问题1 不确定性关系与我们的日常生活有无矛盾?
如一粒尘埃,直径~1μm, 质量m~10-12g,速度v~0.1cm/s, 则其
动量p=mv~10-13g cm/s.设其位置精度Δx~1埃,由不确定性关系
可得Δp~10-19g cm/s,则Δp/p~10-6 ,而对这种粒子的任何实际测
量的相对精度都没达到10-6,因此即使像尘埃那样的粒子经典力学
的概念仍然适用。
问题2 原子核的组成问题
考虑β衰变(原子核自发地放出高速电子)。原子核的半径<10-12m,
若电子时原子核的组成粒子,则其位置不确定度Δx≤10-12m,
由不确定性关系得Δp≈10-15gcm/s. 从数量级上考虑p~ Δp
因此电子的能量
E
p 2 c 2 m 2 c 4 pc cp 20 MeV
而所有原子核在β衰变中放出电子的能量 Eβ 1MeV
结论:在β衰变中放出的电子并不是原子核的一个组成粒子,而是
在衰变过程中产生的。
问题3 估计物质结构的不同层次的特征能量
不确定性关系
x p
在非相对论情况下
E p / 2m (p) / 2m
2
2
2
4eV
对于原子,Δx~10-8cm,用电子质量代入可得E
2
2me ( x )
对中等质量的原子核,Δx~6×10-13cm,用中子质量代入可得
2
E
1MeV
2
2mn ( x )
在相对论情况下
c
E pc cp
x
粒子的大小Δx≤10-13cm,则其能量为E~0.2GeV
1.1.6 力学量的平均值与算符的引进
若波函数已经归一化,则位置的平均值为
势能的平均值为
V
x
2 3
ψ (r ) xd r
2 3
ψ (r ) V (r )d r
因空间中某一点的动量没有意义,则动量的平均值
2 3
p ψ (r ) p(r )d r
如何求动量的平均值?
给定波函数Ψ( r ), 测得粒子的动量在(p,p+dp)中的概率为
( p ) d 3 p ,其中
2
φ ( p)
1
( 2π )3 / 2
ip r / 3
ψ ( r )e
dr
则粒子动量的平均值为
2 3
3
p φ ( p ) pd p d pφ ( p ) pφ ( p )
d pd rψ ( r )
1
ip r /
e
p
φ
(
p
)
3/ 2
( 2π )
1
3
3
ipr /
d pd rψ ( r )
(
i
)
e
φ
(
p
)
3/ 2
( 2π )
d 3rψ ( r )(i)ψ ( r )
3
3
令
ˆ
p i
pˆ x i ,
x
则
动量算符
pˆ y i ,
y
p (r ) pˆ (r )d 3r
pˆ z i
z
动能的平均值
角动量的平均值
2
Tˆ
2
2m
3
ˆ
ˆ
l ψ (r )l ψ (r )d r, l r pˆ
3
ˆ
T ψ ( r )Tψ ( r )d r,
角动量的三个分量算符
ˆ
ˆ
ˆ
l x ypz zp y i y z
y
z
ˆ
l y zpˆ x xpˆ z i z x
z
x
ˆ
l z xpˆ y ypˆ x i x y
x
y
一般地
ˆ 3
A ψ ( r ) Aψ ( r )d r (ψ , Aˆ ψ )
若波函数没有归一化,则
A (ψ , Aˆ ψ ) /(ψ ,ψ )
思考题
如果给定波函数Φ(p),则粒子坐标的平均值为
ˆ 3
ˆ
r φ ( p )r φ ( p )d p, r i
p
试证明之。
1.1.7 统计诠释对波函数提出的要求
(a) 根据波函数的统计诠释,其概率密度在空间有限区域内的积分
应该为有限值。
τ
2 3
ψ (r ) d r 有限值
(39)
0
如果取波函数的孤立奇点r0=0,当r→0时,上式的积分应该趋于0,
即要求
2
3
r ψ (r ) 0
若当 r 0,ψ ~ 1 / r s ,则要求 s 3 / 2
(b) 一个真实的波函数应该满足归一化条件
2 3
( 40)
ψ (r ) d r 1
全
(c) 按统计诠释的要求,波函数模的平方应为单值
(d) 波函数及其各阶微商的连续性
一般要求: 单值、连续、有限
例题1 电子显微镜的分辨率。要观测一个大小为2.5Å的物体可用
光子的最小能量是多少?若把光子改为电子呢?
解: 为发生散射光波的波长必须与所观察物体的大小同数量级,
或者更小,所以在该问题中所采用光波的最大波长λ=2.5Å。
相应的光子的最小能量为
Emin hν min
hc
λmax
4.96 103 eV
若把光子改为电子,则电子的最大波长λ=2.5Å
按照非相对论计算, p 2me Ek
h
h
λ
则
p
2me Ek
h2
则最小能量是
Ek min
24.1eV
2
2me λmax
对于给定的能量,电子比光子具有更高的分辨率。
Axe λx , x 0
例题2 一维运动的粒子处于状态 ψ ( x )
x0
0,
其中λ>0, A是待求的归一化常数,求:
(1)粒子坐标的概率密度;
(2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值;
(3) 粒子动量的概率分布函数和概率密度;
(4)粒子动量的平均值和动量平方的平均值。
解: 首先对波函数归一化,由波函数的归一化条件
2
ψ ( x ) dx 1
得
0
计算得
则
2
2
2 2 λx
A x e
A
dx 3 1
4λ
A 2λ3 / 2
2λ3 / 2 xe λx , x 0
ψ ( x)
x0
0,
43 x 2e 2x , x 0
(1)粒子的概率密度为 ( x)
x0
0,
2
(2) 粒子坐标的平均值 x
坐标平方的平均值 x
2
xdx 4 x e
3 3 2 x
0
x dx 4 x e
2
0
3
3
dx
2
4 2 x
dx
3
2
1
φ ( p)
( 2π)1/ 2
2λ3
( 2π)1/ 2
0
ψ ( x )e
ipx /
dx
xe( λ ip / ) x dx 2λ3 ( 2π)1/ 2 λ ip /
2
则粒子动量的概率分布函数是
(4)粒子动量的平均值为
p p φ ( p) dp 0
2
粒子动量平方的平均值
p p φ ( p) dp λ2 2
2
2
2
2λ3 3
φ ( p)
π ( λ2 2 p 2 )2
2
1
2
练习1 设在t=0时,粒子的状态为 ψ A sin 2 kx coskx
求粒子动量的平均值。
bx 2
练习2 已知粒子的波函数为 ψ Ae
,其中b是大于零的已知常数
求归一化常数A ,并计算平均值 x, x 2
§1.2
薛定谔方程(量子力学基本假设)
1.2.1 薛定谔方程的引进
E p2 / 2m
自由粒子
其频率和波矢为
ω E / , k p /
(1)
(2)
与具有一定能量E和动量p的粒子相联系的是平面单色波
i ( k r t )
i ( pr Et ) /
(r , t ) ~ e
e
由此可见
i
ψ Eψ
t
iψ pψ , 22ψ p2ψ
由(1)得
2 2
p2
i
ψ 0
ψ E
2m
t 2m
(3)
即
自由粒子的波包
式中
则可证
ψ (r , t )
2 2
i ψ
ψ
t
2m
( 4)
i ( p r Et ) / 3
1
φ ( p )e
d p
3/ 2
( 2π)
(5)
E p 2 / 2m
1
i ( pr Et ) / 3
i ψ ( r , t )
φ ( p ) Ee
d p
3/ 2
t
( 2π )
2 i ( p r Et ) / 3
1
2 2
ψ (r , t )
φ ( p) p e
d p
3/ 2
( 2π )
2 2
1
p 2 i( pr Et ) / 3
(i
)ψ (r , t )
φ ( p)(E
)e
d p0
3/ 2
t 2m
(2π)
2m
即波包仍满足方程(4)
一次量子化
ˆ
E i , p p i
t
(6 )
若粒子在势场V(r)中运动,则经典粒子的能量关系为
1 2
E
p V (r )
2m
(7)
则相应的薛定谔方程是
2 2
i ψ ( r , t )
V ( r )ψ ( r , t )
t
2m
(8)
在势场V(r)中运动的粒子所满足的方程------Schrödinger方程
1.2.2 薛定谔方程的讨论
1. 定域概率守恒
在低能情况下,实物粒子没有产生和湮灭现象,在随时间演化过程
中粒子数保持不变。对一个粒子来说,在全空间中找到它的概率之
和应不随时间改变。即
2 3
d
ψ (r , t ) d r 0
dt ( 全)
( 9)
S
dS
证明: 对薛定谔方程(8)两边取复共轭得
2 2
i ψ
V ψ
t
2m
ψ (8) ψ (10) 得
2 2
i (ψ ψ )
ψ ψ ψ 2ψ
t
2m
2
(ψ ψ ψψ )
2m
τ
(10 )
(11)
在空间闭区域τ内积分,并由Gauss定理化为面积分
2
i ψ ψdτ
(ψ ψ ψψ ) dS
τ
S
t
2m
(12)
概率密度
令
ρ ψ (r , t )ψ (r , t )
ˆ
i
1
ˆ
j (r , t )
(ψ ψ ψψ )
(ψ pψ ψpψ )
2m
2m
则式(12)可化为
d
ρdτ j dS
τ
S
dt
(13)
(14 )
概率流密度
(15)
物理意义:在闭区域中找到粒子的总概率(或粒子数)在单位时间
内的增量,等于单位时间内通过的封闭表面S而流入内的概率
(粒子数)-------定域概率守恒的积分形式
式(11)可化为
ρ j 0
t
(16 )
---------概率守恒的微分形式
在式(12)中令τ→∞,对平方可积的波函数应有Ψ→0,因此
d
ρ ( r , t )dτ 0
全
dt
(17 )
即归一化不随时间变化。在物理上表示粒子既未产生也未湮灭
2. 初值问题,传播子
Schrodinger equation
ψ (r ,0)
ψ (r , t )
如自由粒子t时刻的波函数为
i ( p r Et ) / 3
1
ψ (r , t )
φ ( p )e
d p
3/ 2
( 2π)
(5)
初始时刻的波函数为
ip r / 3
1
ψ ( r ,0)
φ ( p )e d p
3/ 2
( 2π )
(18)
其傅里叶逆变换为
1
ipr / 3
φ ( p)
ψ ( r ,0)e
dr
(19)
3/ 2
( 2π)
(19)代入(5’)式,则t 时刻的波函数可写成
(r , t )
1
3
ip( r r ) / iEt / 3
d r (r ,0)e
d p
3
(2)
(20)
更一般的情况,取初始时刻为t',则
(r , t )
其中
1
3
ip( r r ) / iE ( t t ) / 3
d r (r , t )e
d p
3
(2)
3
d r G (r , t ; r , t ) (r , t ) (t t )
(21)
1
p2
3
d p expip (r r ) / i
(t t )
3
(2)
2m
3/ 2
2
m(r r )
m
exp i
(22)
2i(t t )
2(t t )
G (r , t ; r , t )
G( r , t; r , t ) 称为传播子(propagator)
可以证明
lim
t t
G( r , t; r , t ) δ ( r r )
(23)
传播子的物理意义:设初始时刻t’粒子处在空间r0’点
ψ (r , t ) δ (r r0)
3
按照(21)式有 ψ ( r , t ) d r G( r , t; r , t )δ ( r r0) G( r , t; r0, t )
传播子就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅。一般可以说,如在
t´时刻粒子位于r´点,则t时刻在空间r点找到由(r´, t´)传来
的粒子概率波幅就是G(r,t; r´,t´)
1.2.3 能量本征方程
若势能V中不含时间t, 则可用分离变量法求解Schrödinger方程
令方程的特解为
ψ (r , t ) ψ (r ) f (t )
(24)
i d f
1 2 2
V ( r )ψ ( r ) E
代入薛定谔方程(8)得
f ( t ) dt ψ ( r ) 2 m
则得
所以
其中
d
iE
ln f (t )
dt
iEt /
ψ (r , t ) ψE (r )e
2 2
V ( r )ψ E ( r ) Eψ E ( r )
2m
( 25)
f (t ) ~ eiEt /
(28)
( 29 )
上式称为定态薛定谔方程。E 称为能量本征值,ΨE(r)称为对应
本征值E的本征函数,上式也称能量本征方程,也称不含时
薛定谔方程
不同能量本征值对应的本征函数彼此正交,即
(ψE ,ψE ) δ EE
(30)
薛定谔方程的一般形式
ˆ
i ψ ( r , t ) Hψ ( r , t )
t
(31)
H 是体系的哈密顿(Hamilton)算符,若H中不显含时间,则可用分离
变量法将(31)化成不含时的薛定谔方程-----能量本征方程
Hˆ ψ Eψ
(32)
不同体系的哈密顿算符不同,对单粒子有
2
2
ˆ
H
V (r )
2m
(33)
1.2.4 定态与非定态
iEt /
定态:形如 ψ (r , t ) ψE (r )e
(34)
的波函数所描述的状态。
定态的性质
(a) 粒子的能量一定。
(b) 粒子在空间的概率密度及概率流密度不随时间改变。
iE n t /
iE n t /
n (r , t ) n (r , t ) n (r , t ) [ n (r )e
] [ n (r )e
]
n (r ) n (r ) n (r )
(c) 任何力学量(不显含时间)的平均值不随时间改变。
ˆ
3
3
ˆ
A ψ ( r , t ) Aψ ( r , t )d r ψ E ( r ) Aψ E ( r )d r
(d)任何(不显含 t的)力学量的测值概率分布不随时间 改变。
非定态:由若干个能量不同的本征态叠加所形成的态称为非定
态
若t =0时刻体系处于非定态
ψ (r ,0) CEψ E (r )
(35)
C E d rψ ψ ( r ,0)
3
E
( 36 )
E
iEt /
则任意时刻t体系的状态为 ψ (r , t ) CEψ E (r )e
(37)
E
可证明其满足Schrödinger 方程
iEt /
iEt /
ˆ
i ψ ( r , t ) CEψ E ( r ) Ee
CE Hψ E ( r )e
t
E
E
iEt / ˆ
ˆ
H C ψ ( r )e
Hψ ( r , t )
E
E
E
在态(37)下粒子能量平均值是
3
ˆ
H d r (r , t ) H (r , t )
3
ˆ
C E C E d r E (r , t ) H E (r , t )
E ,E
C E C E E EE C E E
2
E ,E
CE
2
E
表示在态(37)下测得粒子的能量为E值的概率。
1.2.5 多粒子体系的薛定谔方程
多粒子体系的薛定谔方程
N 2 2
i ψ ( r1 ,, rN , t )
i U i ( ri ) V ( r1 ,, rN )ψ ( r1 ,, rN , t )
t
i 1 2mi
(39)
多粒子体系的定态薛定谔方程
N 2 2
U
(
r
)
V
(
r
,
,
r
)
ψ
(
r
,
,
r
)
E
ψ
(
r
,
,
r
i
i i
1
N
1
N
1
N)
i 1 2mi
2
2
2
2
其中 i 2 2 2
xi yi zi
如对于有Z个电子的原子,原子间的Coulomb作用为
Z
e2
V ( r1 ,, rN )
i j ri r j
Ze2
U i ( ri )
ri
( 40)
§1.3 量子态叠加原理
1.3.1 量子态及其表象
量子态:若给定描述粒子的波函数Ψ( r ),
2
若测量其位置,则粒子出现在r处的概率密度为 ψ (r )
2
若测量其动量,则测得粒子的动量为p的概率密度为 φ ( p )
其中
φ ( p)
ip r / 3
1
ψ ( r )e
dr
3/ 2
( 2π )
ip r / 3
1
ψ (r )
φ ( p )e d p
3/ 2
( 2π )
同样可求得测量其它力学量的概率分布
波函数Ψ( r )完全描述了一个三维空间中粒子的状态(量子态)
表象:量子力学中的表象最早由Dirac 引入,用来描述不同
“坐标系”下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。
系统状态的波函数可以看成抽象空间(Hilbert空间)的一个态
矢量,力学量的本征函数为该空间的一组基矢,任一态矢量
可用这组基矢展开。每选择一组展开基矢,态空间便有了一
种描述方式,就说成是选择了一组表象。同时,将某一矢量
向该组基矢投影,便意味着进入了相应的(由该组基矢所代表
的)表象。
如坐标表象和动量表象
练习1 在平面单色波
1
ψ p0 ( x )
eip0 x /
2π
所描述的状态下,粒子具有确定的动量p0,称为动量本征态,
动量的本征值是p0,试在动量表象中写出此量子态。
答: φ p ( p) δ ( p p0 )
0
练习2 ψ x0 ( x ) δ ( x x0 ) 描述的是粒子具有确定位置的量子态,
称为位置本征态,本征值是x0,试在动量表象中写出此量子态。
1
φ x0 ( p )
e ix0 p /
2π
1.3.2 量子态叠加原理,测量与波函数塌缩
经典波的叠加原理: 几列波在媒质中传播时,它们的传播特性
(波长、频率、波速、波形)不会因其它波的存在而发生变化。
在相遇区域,合振动是分振动的叠加。
量子态的叠加原理(量子力学的基本假设之一):
设体系处于Ψ1态,测量力学量A所得结果是a1;处于Ψ2态,测量
A 所得结果是a2, 则它们的线性组合
ψ c1ψ1 c2ψ2
也是体系一个可能的状态。在此态下测量力学量A 得到a1的概率是
c1
2
c1 c2
2
2
;得到a2的概率是
c2
2
c1 c2
2
2
,称Ψ是Ψ1和Ψ2相干叠加态。
如
iEt /
ψ (r , t ) ψE (r )e
iEnt /
ψ (r , t ) Cnψ n (r )e
n
量子态的塌缩:
经典波的叠加原理与量子态叠加原理的区别:
量子态的叠加是一种特殊的概率波幅的叠加,其在测量突变
(波包塌缩)、单次测量结果的不确定性以及每次测量所得力学
量数值这三方面均不同于经典波的叠加原理。
例题
1. 设一电子为电势差V所加速,最后打在靶上。若电子的动能转化
为一个光子,求当这个光子相应的波长分别为500nm(可见光)、
0.1nm(X射线)以及0.0001nm(γ射线)时,加速电子所需要的
电势差是多少
2. 求下列各粒子的德布罗意波长
(1) 能量为100eV的自由电子
(2) 能量为0.1eV的自由中子
(3) 能量为0.1eV,质量为1g的质点
(4) 温度为T=1K时,具有动能E=3kT/2(k为玻尔兹曼常数)的
氦原子
3. 从钠中移去一个电子所需要的能量是2.3eV,问:
(1) 钠是否会对λ=680.0nm的橙黄色光产生光电效应
(2) 从钠表面发射电子的截止波长是多少?
4. 波长为200.0nm的光照射到铝表面上,对铝来说,移去一个电子
所需的能量是4.2eV,试问:
• 出射最快的光电子能量是多少
(2) 遏止电压是多少
(3) 铝的截止波长是多少
(4) 如果入射光强度是2.0W/m2,单位时间打到单位面积上的平均
光子数是多少?
5. 在理想条件下正常人的眼睛接收到 550.0nm的可见光时,每秒
光子数达到100个就有光感,与此相当的功率是多少?