Transcript Axiom14

2. A KVANTUMMECHANIKA
AXIÓMÁI
1
Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem
(1926)
2
1. axióma
Alapmennyiségek.
3
A fizikai mennyiségek:
• Természeti állandók (fénysebesség vákuumban,
elektron töltése, elektron tömege )
•• Alapmennyiségek (távolság, idő, tömeg, töltés,
hőmérséklet, fényerősség)
••• Leszármaztatott mennyiségek
4
A klasszikus mechanika alapmennyiségei:
Távolság (d)
vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z)
  

r  x i  yj  zk helyvektor
Idő (t)
Tömeg (m)
A többi mennyiséget ezekből származtatjuk le!
5
A kvantummechanika alapmennyiségei:

Távolság (d) / Helyvektor r x, y, z 
Idő (t)
Tömeg (m)
Töltés (q)

Impulzus ( p )
6
Távolság (d) / Helyvektor

Az x,y,z helykoordináták és az r x, y, z  helyvektor
jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.
7
Idő (t)
Az idő jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.
8
Tömeg (m)
Az elemi részecskék (elektron, proton, neutron) tömege
természeti állandó (me, mp, mn),
a többieké ezek összege.
Pl.: m(23Na mag) = 11mp + 12mn
A tömeg a kvantummechanikában konstans!
(Nem függ a többi fizikai mennyiségtől!)
9
Töltés (q)
A mikrorendszerek mozgásában alapvető szerepe
van a töltésnek. Ezért a kvantummechanika
mennyiségei között szerepel a töltés.
Az elemi részecskék töltése is természeti állandó, az
elektroné -e, a protoné +e, a neutroné 0.
A többi részecskéé ezek összegeként adódik.
A töltés is konstans a kvantummechanikában!
10

Impulzus ( p )
A kvantummechanikában az impulzus is alapmennyiség.
Az impulzus, és a vele összefüggésben álló rendszerek
kvantáltak.
Az impulzus különleges definíciója az eszköz ahhoz,
hogy a kvantált fizikai mennyiségeket
megfogalmazzuk.
11
Az impulzus a klasszikus
mechanikában


p  mv
Vektor!




p  px i  p y j  pz k
másik neve: lendület
12
Az impulzus a kvantummechanikában
Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:
13
Az impulzus a kvantummechanikában
Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

 ˆ
;
pˆ x  i
; p y  i
y
x

.
pˆ z  i
z
14
Az impulzus a kvantummechanikában
Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

 ˆ
;
pˆ x  i
; p y  i
y
x
h

2π
34
h  6,62610 Js

.
pˆ z  i
z
(Planck-állandó)
15
Tömör formában:

pˆ  i ,

ahol  nabla vektor
      

i
j k
x
y
z
16
A többi kvantummechanikai mennyiséget
úgy állítjuk elő, hogy a klasszikus mechanikában
használatos kifejezésekbe behelyettesítjük a fenti
módon értelmezett alapmennyiségeket.
17
Példa:
Energia, Hamilton-függvény
Klasszikus mechanika:
H TV
T: kinetikus E
V: pot. E
18
Előkészület a kvantummechanikára:
 T összefügg az impulzussal!
2
mv
mv
p
T


2
2m
2m
2
2
2
 V csak a helykoordináták függvénye, ezek a
mennyiségek nem változnak a kvantummechanikában.
V = V(x,y,z)
19
Kvantummechanika:
ˆ  Tˆ  V(x, y, z)
H
2
ˆ
ˆT  p
2m
Az 1.axióma szerint:


pˆ  i  (1)i
 
 2
2 22
2
pˆ  ((1)i)  (1)  1   


2 2
2 2
 (1)(1)    
2
20
2  
  
skalárszorzat
2              
   i 
j  k    i 
j  k  
y
z   x
y
z 
 x
 2
2
2 
  2  2  2 
y z 
 x
21
A Hamilton-operátor
(egy részecskére)
2

ˆ 
H
  V(x, y,z)
2m
2
22
Példa
Impulzusmomentum
Klasszikus mechanika
  
L  r p
Kvantummechanika

 
L  rˆ  pˆ  ir  
23
2. axióma
Sajátérték-egyenlet
24
Az 1. axióma szerint a kvantált fizikai
mennyiségekhez operátorokat rendelünk.
Ilyenek:  impulzus (alapmennyiség)
 kinetikus energia
Tˆ
 teljes mechanikai energia
 impulzus momentum
Lˆ
pˆ
ˆ
H
Hogyan kapjuk meg ezen mennyiségek lehetséges
értékeit?
25
2. axióma
ˆ 
Egy kvantált mennyiségnek, amelynek az operátora O
a lehetséges értékeit az operátor
ˆ ()()  C  ()
O
sajátérték-egyenletéből számított C = C0, C1, C2 ...
sajátértékek adják meg.
Megjegyzés: Az egyenletet megoldva megkapjuk az egyes
sajátértékekhez tartozó () = 0(), 1(), 2()...
26
sajátfüggvényeket is
Példa
Energia: A Hamilton-operátor sajátértékei
A sajátérték-egyenlet a Schrödinger-egyenlet:
ˆ   E  ,
H
ahol
ˆ   T
ˆ   V
ˆ 
H
kin. E.
pot. E.
27
Megjegyzés: a kvantumkémiai irodalomban
minden helykoordinátáktól függő fizikai
mennyiséget operátorként tüntetnek fel.
Olyanokat is, amelyek nem kapcsolódnak az
impulzushoz, és így nem is kvantáltak.
Pl.: Potenciális energia
Dipólusmomentum
ˆ   V
V

ˆ   
28
Az m tömegű részecske
Schrödinger-egyenlete
2

2
(
  V( x, y, z))  E
2m
29
3. axióma
Állapotfüggvények
30
3. axióma
Az N számú részecskéből álló rendszer állapotát a
(x1 ,y1, z1 x N , y N , z N , t)
állapotfüggvény jellemzi.
31
(x1 ,y1, z1 x N , y N , z N , t)   , t 
32
x1,y1,z1
1. részecske helykoordinátái
…
…
xN,yN,zN
N. részecske helykoordinátái
t
idő
33
 , t  , t dx1dy1dz1 dxN dyN dzN
annak a valószínűsége, hogy a t időpontban az
első részecske koordinátái
x1 és x1+dx1
y1 és y1+dy1
z1 és z1+dz1 közé essenek,
…
az N. részecske koordinátái
xN és xN+dxN
yN és yN+dyN
z1 és zN+dzN
közé essenek.
34
megjegyzés:
 , t  , t dx1dy1dz1 dxN dyN dzN röviden
, t , t d
35
Az állapotfüggvény alkalmazása:
A részecskék eloszlását számítjuk ki
belőle, egy adott térrészre integrálva:
  , t 
2
d
36
A 3. axióma tagadást is tartalmaz:
Nem lehet pontosan megadni, hogy a
kvantummechanikai rendszer részecskéi egy
adott pillanatban hol tartózkodnak, csak
valószínűségeket lehet megadni!
A klasszikus mechanikában a részecskék
pályája számítható!
37
4. axióma
Időbeli folyamatok
38
4. axióma
„Időtől függő Schrödinger-egyenlet”
 , t  ˆ
i
 H , t  , t 
t
Összekapcsolja az időben változó rendszer állapotfüggvényét
és Hamilton-operátorát
39
 , t  ˆ
i
 H , t  , t 
t
Az időben állandó (stacionárius) rendszerre ebből
az egyenletből levezethető, hogy
    
állapotfüggvénye megegyezik a Hamilton-operátor
sajátfüggvényével!
40
5. axióma
Várható érték
41
Vannak olyan kvantált mennyiségek, amelyek sajátfüggvényei
 megegyeznek a Hamilton-operátoréval, azaz 0, 1, 2,…
állapotfüggvényekkel,
és vannak,
 amelyeké nem egyezik meg.
42
Ha közösek a sajátfüggvények, akkor a rendszer
0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel jellemzett állapotaiban
az energia rendre
E0, E1, E2,…
és a másik kvantált mennyiség értéke rendre
C0, C1, C2,….
43
Ezek az az E-val egyidejűleg mérhető
mennyiségek!
44
Ha nem közösek az állapotfüggvények, (az E-val
egyidejűleg nem mérhető mennyiségek), akkor a
másik kvantált mennyiség értéke az egyes
állapotokban bizonytalan, de várható értéke
megadható.
45
5. axióma
Az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiség
várható értéke az n-ik állapotban:

q
ˆ Ψ τ dτ


Ψ
τ
Q
n
 n

Ψn  a Hamilton operátor sajátfgv.-e az n-ik
állapotban.
46
6. axióma
Pauli elv (l. többelektronos atomok)
47
Nobel-díjak a kvantummechanika elméletéért
•
•
•
•
•
1929: L. W. De Broglie, 1892-1987
1932: W. Heisenberg, 1901-1976
1933: E. Schrödinger, 1887-1961
1933: P. A. M. Dirac, 1902-1984
1945: W. Pauli, 1900-1958
48