Transcript 曾第3章

第 3 章 力学量用算符表达
§3.1
§3.2
§3.3
§3.4
算符的运算规则
算符的本征函数与本征值
共同本征函数
连续谱本征函数的归一化
§3.1 算符的运算规则
算符：量子力学中的算符就是对波函数（量子态）的一种运算
(a) 线性算符：凡满足下列规则的算符A，称为线性算符。
1
Aˆ (c1ψ1  c2ψ2 ) c1Aˆ ψ1  c2 Aˆ ψ2
Note: 刻画可观测量的算符都是线性算符
单位算符I：保持波函数不变的算符
Iψ  ψ
(2)
算符相等：若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果
都相同，则称这两个算符相等。
Aˆ ψ  Bˆ ψ
Aˆ  Bˆ
(3)
(b) 算符之和: 算符A,B之和，记为A+B。定义如下：对任何波函
数有
( Aˆ  Bˆ )ψ  Aˆ ψ  Bˆ ψ
(4)
Aˆ  Bˆ  Bˆ  Aˆ ;
交换律:
A  ( Bˆ  Cˆ )  ( Aˆ  Bˆ )  Cˆ
结合律:
( c ) 算符之积： 两个算符A和B的积记为AB。定义如下：对任何
波函数有
( Aˆ Bˆ )ψ  Aˆ ( Bˆ ψ )
(5)
Note: 一般来说，算符之积不满足交换律
1. 对易子(commutator)
[ Aˆ , Bˆ ]  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ
(6)
若[A,B]=0,则称算符A,B是对易的；若[A,B]≠0, 则称算符A, B
不对易
对
易
子
的
性
质
[ Aˆ , Bˆ ]  [ Bˆ , Aˆ ]
[ Aˆ , Bˆ  Cˆ ]  [ Aˆ , Bˆ ]  [ Aˆ , Cˆ ]
[ Aˆ , Bˆ Cˆ ]  Bˆ [ Aˆ , Cˆ ]  [ Aˆ , Bˆ ]Cˆ
[ Aˆ Bˆ , Cˆ ]  Aˆ[ Bˆ , Cˆ ]  [ Aˆ , Cˆ ]Bˆ
[ Aˆ , [ Bˆ , Cˆ ]]  [ Bˆ , [Cˆ , Aˆ ]]  [Cˆ , [ Aˆ , Bˆ ]]  0( Jacobi)恒等式
2.量子力学的基本対易关系
[ xα , pβ ]  iδαβ (α , β  x, y, z)
证明：
对任意波函数Ψ有
ψ
xpˆ xψ  ix
x
ψ

pˆ x xψ  i ( xψ )  iψ  ix
x
x
则
即
( xpˆ x  pˆ x x )ψ  iψ
[ x, pˆ x ]  i
3. 角动量算符
分
量
表
述
ˆ  
l  r  pˆ
ˆ
 
 
l x  ypˆ z  zpˆ y  i y  z 
y 
 z



 
ˆ
l y  zpˆ x  xpˆ z  i z  x 
z 
 x


 
 
ˆ
ˆ
ˆ
l z  xp y  ypx  i x  y 
x 

 y
球坐标系下的角动量算符
r  x 2  y 2  z 2
 x  r sin θ cosφ



2
2
y

r
sin
θ
sin
φ
,
θ

arctan(
x

y
/ z)


 z  r cosθ
φ  arctan(y / x )


ˆ


 


 cotθ cosφ
l x  i sin φ
θ
φ 





 
ˆ

 cotθ sin φ
l y  i  cosφ
θ
φ 




ˆ
l z  i
φ

2
ˆ 2


1


1

2

l   
sin θ

2
2 
θ sin θ φ 
 sin θ θ
角动量的对易关系
Levi-Civita 符号
ε αβγ  ε βαγ  ε αγβ

ε 123  1
[lˆα , x β ]  ε αβγ ixγ
[lˆα , pˆ β ]  ε αβγ ipˆ γ
[lˆα , lˆβ ]  ε αβγ ilˆγ
定义角动量平方算符
对易关系
或
ˆ ˆ
ˆ （注意算符的叉积
l  l  il 与两个矢量叉积的
ˆ 2
l  lˆx2  lˆy2  lˆz2
区别）
ˆ 2
[l , lˆα ]  0, (α  x , y , z )
板书证明部分角动量对易关系
练习：令
lˆ  lˆx  ilˆy （升、降算符）
证明 [lˆz , lˆ ]  lˆ
[lˆ , lˆ ]  2lˆz
lˆlˆ  lˆ2  lˆz2  lˆz
ˆψ  φ
(d)逆算符：设 A
能唯一地解出Ψ，则可定义算符A的逆算符A-1为
Aˆ 1φ  ψ
说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符
(2) 若算符A有逆，则有
Aˆ Aˆ 1  Aˆ 1 Aˆ  I , [ Aˆ , Aˆ 1 ]  0
(3) 若算符A,B的逆均存在，则有
( Aˆ Bˆ )1  Bˆ 1 Aˆ 1
(f) 算符的函数
若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛

F ( n ) (0 ) n
F ( x)  
x
n!
n 0
则可定义算符A的函数F(A)为 F ( Aˆ ) 
如
则
d 
F   e
 dx 
a
d
dx

F ( n ) (0 ) ˆ n
A

n!
n 0

an dn

n
n 0 n! dx
d
a
dx
e ψ ( x )  ψ ( x  a)
n
m


( n ,m )
( x, y )  n m F ( x, y )
两个算符的函数 F
x y

( n ,m )
F
(0,0) ˆ n ˆ m
ˆ
ˆ
F ( A, B)  
AB
n!m!
n , m 0
平移算符
算符的乘幂：定义算符A的n次幂为
ˆ  Aˆ
Aˆ n  
Aˆ
A


n
n
d
d
n
例，若 Aˆ 
则 Aˆ  n
dx
dx
显然算符的乘幂满足： Aˆ m n  Aˆ m  Aˆ n
[ Aˆ m , Aˆ n ]  0
两个任意量子态的标积： (ψ , φ )   dτψ φ

对一维粒子
 dτ  
对三维粒子
2
d
τ

d
x
d
y
d
z

r


 sin θdrdθdφ

dx
标
积
的
性
质
(ψ ,ψ )  0


(
ψ
,
φ
)
 (φ ,ψ )


(ψ , c1φ1  c2φ 2 )  c1 (ψ , φ1 )  c2 (ψ , φ 2 )
(c ψ  c ψ , φ )  c  (ψ , φ )  c  (ψ , φ )
1
1
2
2
 1 1 2 2
(f) 转置算符： 算符A的转置定义为
~
(ψ , Aˆ φ )  (φ  , Aˆ ψ  )
或
例如：
~
ˆ φ  dτφAˆ ψ 
d
τψ
A



~



x
x




证明：  dxφ  ψ   φψ    dxψ   φ    dxψ   φ


x

x

x
~
 
 
φ
按转置算符的定义，上式的左边有 dxφ ψ   dxψ
x
x
~



 
则
 dxψ  x  x φ  0
~


由于函数Ψ，φ是任意的，则有

0
x x
~



即
x
x


练习
证明： (1)
~
pˆ x   pˆ x ,
(2)
~~
( Aˆ Bˆ )  Bˆ Aˆ
(g)复共轭算符和厄米共轭算符
算符A
Aˆ ψ  ( Aˆ ψ  )
的复共轭算符A*定义为
(40)
通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的
所有量都换成其复共轭。
如
ˆ 
ˆ

p  (i)  i   p
ˆ φ )  ( Aˆ ψ ,φ )
算符A 的厄米共轭算符A+定义为 (ψ , A
(41)
~
则 (ψ , Aˆ φ )  ( Aˆ ψ , φ )  (φ , Aˆ ψ )  (φ , Aˆ ψ )  (ψ , Aˆ φ )
~

Aˆ  Aˆ
所以





ˆ 
p 
如
性质
~ 
~ 
pˆ   pˆ  pˆ
( Aˆ Bˆ Cˆ )  Cˆ  Bˆ  Aˆ 
(h) 厄米算符
满足下列关系的算符称为厄米算符（自共轭算符），或说是厄米的
(ψ , Aˆ φ )  ( Aˆ ψ ,φ ) 或
Aˆ   Aˆ
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符
性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符
(2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符
(3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ
1 ˆ ˆ ˆˆ
( AB  BA),
( AB  BA) 均是厄米算符
2
2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
Oˆ  Oˆ   iOˆ 
1 ˆ ˆ ˆ
1 ˆ ˆ
ˆ
令 O  (O  O ), O  (O  O )
2
2i
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。
证明： A  (ψ , A
ˆ ψ )  ( Aˆ ψ ,ψ )  (ψ , Aˆ ψ )  A
逆定理：在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符
证明： 按照假定 A  A 
ˆ ψ )  (ψ , Aˆ ψ )  ( Aˆ ψ ,ψ )
即 (ψ , A
取Ψ=Ψ1+cΨ2, Ψ1,Ψ2也是任意的，c是任意常数，代入上式
2

ˆ
ˆ
ˆ
(ψ1 , Aψ1 )  c (ψ 2 , Aψ1 )  c(ψ1 , Aψ 2 )  c (ψ 2 , Aˆ ψ 2 )
2
 ( Aˆ ψ1 ,ψ1 )  c ( Aˆ ψ 2 ,ψ1 )  c( Aˆ ψ1 ,ψ 2 )  c ( Aˆ ψ 2 ,ψ 2 )
在任意态下算符A的平均值都是实数，即
(1, Aˆ 1 )  ( Aˆ 1,1 ), ( 2 , Aˆ  2 )  ( Aˆ  2 , 2 )
所以
c (ψ2 , Aˆ ψ1 )  c(ψ1 , Aˆ ψ2 )  c ( Aˆ ψ2 ,ψ1 )  c( Aˆ ψ1 ,ψ2 )
分别令c=1和c=i得到
(ψ1 , Aˆ ψ2 )  ( Aˆ ψ1 ,ψ2 )  ( Aˆ ψ2 ,ψ1 )  (ψ2 , Aˆ ψ1 )
(ψ1, Aˆ ψ2 )  ( Aˆ ψ1 ,ψ2 )  ( Aˆ ψ2 ,ψ1 )  (ψ2 , Aˆ ψ1 )
两式分别相加、减得
(ψ1 , Aˆ ψ2 )  ( Aˆ ψ1 ,ψ2 ),
(ψ2 , Aˆ ψ1 )  ( Aˆ ψ2 ,ψ1 )
-------END
注：实验上的可观测量在任何状态下的平均值都是实数，相应
的算符必定是厄米算符
推论：设A 是厄米算符，则在任意态下有
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A  ( , A  )  ( A , A )   A d  0
§3.2 厄米算符的本征值与本征函数
涨落：力学量的测量值围绕其平均值的上下波动。
A2  ( Aˆ  A ) 2    ( Aˆ  A ) 2d
利用算符的厄米性可得
(1)
2
A   ( Aˆ  A ) d  0
2
(2)
本征态：若体系处于一特殊态，测量力学量A所得结果是唯一确定
的，即涨落为零，则称这种状态是力学量A的本征态。
即
或写成
( Aˆ  A)ψ  0
Aˆ  n  An n
(3)
An称为算符A的本征值，ψn为相应的本征态，方程(3)称为算符
A的本征方程。
量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现
的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的
本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An
定理1 厄米算符的本征值必为实数
A  (ψn , Aˆ ψn )  An (ψn ,ψn )  An
定理 2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交
证明： 设 Aˆ ψn  Anψn , Aˆ ψm  Amψm
Aˆ ψm  Amψm
ˆ ψ ,ψ )  A (ψ ,ψ )
上式右乘Ψn，并积分得 ( A
m
n
m
m
n
取上式的复共轭得
对厄米算符A,有
( Aˆ ψm ,ψn )  (ψm , Aˆ ψn )  An (ψm ,ψn )  Am (ψm ,ψn )
所以
( Am  An )(ψm ,ψn )  0
若 An  Am
，则必有 (ψm ,ψn )  0
--------证毕
例题1 求角动量的z分量的本征值与本征函数
解：本征方程

 i
ψ  l zψ
φ
整理得
 ln ψ
 il z / 
φ
其解为
ψ (φ )  C exp[il zφ / ]
周期性边界条件 ψ (φ  2π )  ψ (φ )
l z  m, m  0,1,2,
所以
imφ
ψ
(
φ
)

Ce
相应的本征函数为
m
归一化

2π
0
即
2
ψ m (φ ) dφ  2π C  1
2
1 imφ
ψ m (φ ) 
e , m  0,1,2,
2π
例题2 平面转子的能量本征值与本征态
解： 平面转子的哈密顿为
能量本征方程
解为
能量本征值为
2
2
ˆ2
l


Hˆ  z  
2I
2 I φ 2
2 2

ψ  Eψ
2
2 I φ
1 imφ
ψ m (φ ) 
e , m  0,1,2,
2π
m2 2
Em 
2I
显然，除了m = 0外，对应一个本征值Em，有两个本征态，
能级二重简并。
思考题：平面转子的能量本征态可否取为实函数sinmφ,cosmφ?
此时它们是否仍为lz的本征态？
例题3 求动量x分量的本征态

pˆ x  i
解：动量x分量的算符
x

 i ψ  pxψ
本征方程为
x
其解为
ψ p ( x )  Ceip x / 
x
x
1
ipx x / 
ψ
(
x
)

e
连续谱本征函数不能归一化，习惯上取 px
2π

波函数满足

ψ
 px ( x )ψ px ( x )dx  δ ( px  px )

例题4 一维自由粒子的能量本征态
解： 一维自由粒子的Hamilton 量为
本征方程：
本征函数：
能量本征值：
pˆ x2
2 d 2
H

2m
2m dx 2
2 d2

ψ  Eψ
2
2 m dx
ψ ~ eikx , k  2mE /   0
E   2 k 2 / 2m  0
能级二重简并
思考题： 自由粒子的能量本征态可否取为sinkx与coskx? 此时
它们是否还是px的本征态？它们是否有确定的宇称？相应的粒子
流密度是多少？
能级简并
设力学量A的本征方程为
Aˆ ψnα  Anψnα ,
α  1,2,, f n
属于本征值An的本征函数有fn个，则称本征值An 是fn重简并的。
一般来说，简并态的选择并不是唯一的，简并态间也不一定彼此
正交，但总可以适当地线性组合使之彼此正交。
fn
证明： 令  nβ   a βαψ nα ,
β  1,2,, f n
α 1
则
fn
fn
α 1
α 1
Aˆ  nβ   a βα Aˆ ψ nα  An  a βαψ nα  An nβ ,
即Φnβ仍是算符A的本征态，相应的本征值仍是An
可选择系数aβα使得Φnβ具有正交性，即
(nβ ,nβ  )  δ ββ 
1
1
f n ( f n  1)  f n  f n ( f n  1)
2
2
上述条件共有
个
正交条件数 归一条件数
系数aβα的个数为 f n2
1
可以证明 f  f n ( f n  1)
2
因此总可以找到一组aβα使得新波函数满足正交化条件
-------Schmidt正交化方案。
2
n
确定简并态的方法：如果算符A 的本征态是简并的，
往往选用其它力学量的本征值对简并态进行分类，此时正交性
问题自动解决，这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态
的问题
两个力学量是否可以有共同的本征态？或者，是否可以同时确定？
§3.3 共同本征函数
3.3.1 不确定关系的严格证明
设有两个力学量A,B， 考虑下列积分不等式
2
I (ξ )   ξAˆ ψ  iBˆ ψ dτ
其中，Ψ为任意波函数，ξ为任意实参数，A, B均是厄米算符。
上式可写成 I (ξ )  (ξAˆ ψ  iBˆ ψ ,ξAˆ ψ  iBˆ ψ )
 ξ 2 ( Aˆ ψ , Aˆ ψ )  iξ ( Aˆ ψ , Bˆ ψ )  iξ ( Bˆ ψ , Aˆ ψ )  ( Bˆ ψ , Aˆ ψ )
 ξ 2 (ψ , Aˆ 2ψ )  iξ (ψ , [ Aˆ , Bˆ ]ψ )  (ψ , Bˆ 2ψ )
引进厄米算符
则
Cˆ  [ Aˆ , Bˆ ] / i  Cˆ 
I (ξ )  ξ 2 A2  ξ C  B 2
 A2 (ξ  C / 2 A2 )2  ( B 2  C 2 / 4 A2 )  0
取   C / 2 A2
即
代换
则有
或
，则得到
A2  B 2 
1 2
C
4
A2  B 2 
1
1
C  [ Aˆ , Bˆ ]
2
2
B 2  C 2 / 4 A2  0
Aˆ  Aˆ  A  Aˆ; Bˆ  Bˆ  B  Bˆ
( A) 2  ( B ) 2 
则 [Aˆ , Bˆ ]  [ Aˆ , Bˆ ]
1 ˆ ˆ
[ A, B ]
2
1 ˆ ˆ
A  B  [ A, B ]
2
(8)
上式就是任意两个力学量A和B在任意量子态下的涨落所必须满足
的关系，称为不确定度关系(uncertainty relation)
特例： 若A=x, B=px, 且 [ x, px ]  i
则有
x  px   / 2
显然，若两个力学量A和B不对易，则一般来说ΔA和ΔB不能同时
为零，即A,B 不能同时测定（特殊态例外），或者说，它们不能
有共同本征态；反之，若两个厄米算符A 和B对易，则可找出这样
的态，使ΔA=0和ΔB=0可以同时满足，即可找到它们共同的本征
态。
思考题1 若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？
（不一定）
思考题2 若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？
（不一定）
思考题3 若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有
确定的值？（不是）
思考题4 若[A,B]=常数，A和B能否有共同本征态？（有 or没有）
思考题5 角动量分量 [lˆx , lˆy ]  ilˆz , lx, ly能否有共同的本征态?（可以
思考题6 px和y可否有共同本征态？（可以）

例题1 动量 p( pˆ x , pˆ y , pˆ z ) 的共同本征态
解：由于 [ pˆ α , pˆ β ]  0, 则它们可以有共同的本征态，即平面波

ψ ( r )  ψ px ( x )ψ p y ( y )ψ pz ( z ) 

p
1
i( p x  p y  p z ) / 
e x y z
( 2π )

1
ipr / 

e
( 2π )
例题2 坐标r(x,y,z)的共同本征态，即δ函数

 
ψx0 y0 z0 (r )  δ (r  r0 )  δ ( x  x0 )δ ( y  y0 )δ ( z  z0 )
3.3.2
(l2,lz)的共同本征函数，球谐函数
在球坐标下，有
2
ˆ 2


1


1

2

l   
sin θ

2
2 
θ sin θ φ 
 sin θ θ
2 

1
2

sin θ

l
z
2
sin θ θ
θ sin θ
ˆ 2
由于 [l , l z ]  0 ， l2的本征函数可取为lz的本征函数
1 imφ
ψ m (φ ) 
e , m  0,1,2,
2π
令
本征方程
Y (θ ,φ )   (θ )ψm (φ )
lˆ2Y (θ ,φ )  λ2Y (θ ,φ )
1 d 
d  
m2
    λ  2
 sin θ
sin θ dθ 
dθ  
sin θ

  0, 0  θ  π

令 ξ  cosθ ( ξ  1)
则
或
d
dξ
d  
m2 

2
(1  ξ ) dξ     λ  1  ξ 2   0

 


d2
d
m2 
  0
(1  ξ ) 2   2ξ
   λ 
2 
dξ
dξ
1ξ 

2
--------连带Legendre方程
可以证明，当 λ  l (l  1), l  0,1,2,
时方程的解为连带Legendre多项式
Plm ( ), m  l
利用正交归一化条件
2
(l  m)!
1 P (ξ )P (ξ )dξ  (2l  1)  (l  m)!δ ll 
1
m
l
m
l
定义一个归一化的θ部分的实函数
lm (θ )  (1)
( 2l  1) (l  m)! m

Pl (cosθ ),
2
(l  m)!
m
m  l , l  1,,l  1,l
满足归一化条件
π

0
lm (θ )l m (θ ) sin θdθ  δ ll 
则(l2,lz)正交归一的共同本征函数为
Ylm (θ ,φ )  (1)
m
2l  1 (l  m)! m

Pl (cosθ )eimφ
4π (l  m)!
利用正交归一化条件
2
(l  m)!
1 P (ξ )P (ξ )dξ  (2l  1)  (l  m)!δ ll 
1
m
l
m
l
定义一个归一化的θ部分的实函数
lm (θ )  (1)
m
( 2l  1) (l  m)! m

Pl (cosθ ),
2
(l  m)!
m  l , l  1,,l  1,l
归一化
π

0
lm (θ )l m (θ ) sin θdθ  δ ll 
则(l2,lz)正交归一的共同本征函数为
Ylm (θ ,φ )  (1)
m
2l  1 (l  m)! m

Pl (cosθ )eimφ
4π (l  m)!
Y lm称为球谐函数。
2
l Ylm (θ , φ )  l (l  1) 2Ylm (θ , φ )

l zYlm (θ , φ )  mYlm (θ , φ )
l  0,1,2,, m  l , l  1,,l  1,l

 2π dφ π Y  (θ , φ )Y (θ , φ ) sin θdθ  δ δ
l m
ll  mm
0 lm
0
l称为轨道角量子数， m称为磁量子数。
对给定的l，角动量的平方是（2l+1）重简并的，lz是非简并的
3.3.3 对易力学量完全集
（complete set of commuting observables CSCO）
设有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符(A1,A2,…),它们的
共同本征态为Ψα，α表示一组完备的量子数。设给定一组量
子数α后，就能确定体系的唯一一个可能状态，则称(A1,A2,…)
构成体系的一组对易可观测量完全集。或力学量完全集
体系的任一量子态均可用Ψα展开
ψ   aαψα
α
或
ψ   aα ψα dα
若体系的哈密顿量H不显含时间，则H为守恒量。如对易力学量
完全集中包含哈密顿量，则完全集中各力学量都是守恒量，这种
完全集又称对易守恒量完全集。
例题1 一维谐振子的哈密顿量(能量)本身构成力学量完全集
ψ ( x )   anψn ( x )
n
例题2 一维粒子的动量构成一维粒子的一个力学量完全集
1
 ( x) 
(2)1/ 2


 ( p)eip x /  dp
x

例题3 三维自由粒子的动量是守恒量，动量的三个分量(px, py, pz)
构成一组力学量完全集

 (r ) 
1
(2)3 / 2

 ip r / 
 ( p )e
dpx dp y dpz


例题4 三维中心力场中
ˆ 2
2
p

Hˆ 
 V (r )  
 2  V (r )
2m
2m
ˆ 2
( Hˆ , l , lˆz ) 构成一组守恒量完全集。
关于可对易观测量完全集的说明
(1) CSCO是限于最小集合，即从集合中抽出任何一个可观测量后，
就不再构成体系的CSCO
(2)一个给定体系的CSCO中，可观测量的数目一般等于体系的自由
度，但也可大于体系的自由度。
(3)一个给定体系往往可找到多个CSCO，或CSCCO。一个CSCO
成员的选择涉及体系的对称性。
观测量完全集的完备性问题
定理: 设H是体系的一个厄米算符，对于体系的任一态 ψ ，
(ψ, H ψ )/(ψ , ψ)有下界，但无上界，则H的本征态的集合构成体系
的态空间中的一个完备集，即体系的任何一个量子态都可以用这一
组本征态来展开。
说明
(a)自然界中真实存在的物理体系的Hamilton量算符H都应为
厄米算符，并且应有下界，因此体系的任一量子态总可以用
包含H在内的一个CSCCO的共同本征态完全集展开。
(b)在H的本征态有简并的情况下，对于给定的能量本征值，其
本征态不能完全确定，此时需要用包含H在内的一个CSCCO，
根据它们的本征值吧本征态完全确定。
3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达
量子体系的可观测量用厄米算符描述，是量子力学的一个基本
假设，其正确性应该由实验来判定。该假设包含以下含义：
(1) 在给定状态Ψ下，力学量A的平均值由下式确定
A  (ψ , Aˆ ψ ) /(ψ ,ψ )
(2) 在实验上测量力学量A，其可能测量值就是A的某一个本征值。
由于力学量观测值总是实数，因此要求相应的算符时厄米算符。
(3) 力学量之间的关系也通过相应算符之间的关系反映出来。
§3.4
连续谱本征函数的归一化
3.4.1 连续谱本征函数不能归一化
连续谱本征函数不能归一化，如动量本征态 ψ p ( x)  Ceipx / 

则


ψ p ( x ) dx  C
坐标本征态



2
2



dx  
ψ x ( x )  δ ( x  x)
δ ( x  x)δ ( x  x)dx  δ ( x  x)
3.4.2 δ 函数
定义
0, x  x0
δ ( x  x0 )  
, x  x0
x0 ε

x0 ε


性质
δ ( x  x0 )dx   δ ( x  x0 )dx  1, (ε  0)


f ( x )δ ( x  x0 )dx  f ( x0 )
1
( 2) δ ( ax)  δ ( x )
a
(3) δ ( x )  δ ( x )
(1)


(4)  δ ( x  a)δ ( x  b)  δ (a  b)

(5) xδ ( x )  0
δ 函数的Fourier展开
1
δ ( x  x0 ) 
2π



dke ik ( x  x0 )
动量本征态为
“归一化”
坐标的本征态
则
1
ψ p ( x ) 
eipx / 
2π
1 
i( p- p ) x / 
(ψ p ,ψ p ) 
d
x
e
 δ ( p  p)

2π 
( x  x)δ ( x  x)  0
xδ ( x  x)  xδ ( x  x)
可见，坐标的本征态就是δ函数，本征值为 x´, 记为
ψ x ( x )  δ ( x  x)
“归一化”
(ψ x ,ψ x  )   δ ( x  x )δ ( x  x )dx  δ ( x   x )
3.4.3 平面波的箱归一化
箱归一化： 将粒子局限在有限空间[-L/2,L/2]运动，将波函数离散
化后归一，然后令L→∞.
离散化波函数：为保证动量算符的厄米性，波函数必须满足
周期性条件
ψ p (L / 2)  ψ p ( L / 2)
eipL / 2  eipL / 2
即
eipL /   1, or, sin( pL / )  0, cos( pL / )  1

或
pL /   2nπ , n  0,1,2,
2πn nh
p  pn 

L
L
1 ipn x / 
1 i 2 nπx / L
ψ pn ( x ) 
e

e
L
L
动量本征态为
满足归一化条件

L/2
L / 2
dxψ pn ( x )ψ pm  δ mn
利用离散化得动量的本征函数构造离散化的δ函数
 ( x  x)   n ( x) n ( x)
n
1  ipn ( x  x ) /  1  i 2πn( x  x ) / L
δ ( x  x)   e
 e
L n
L n 
令
L  , pn  pn1  pn  (h / L)  0, h / L  dp

则

h 
pn     dp


L n  
n  

或

n  
L 
  dp
h 
则离散化得δ函数可以变连续
1 
1
ip ( x  x  ) / 

δ (x  x ) 
dpe




2π
2π

dke ik ( x  x  )

1 ip r / 
ψ p ( r )  3 / 2 e
L
推广到三维情况
其中，


h
h
h
px  n, p y  l , pz  m, n, l , m  0,1,2,
L
L
L



 3 ψ (r )ψ p (r )dτ  δ px pxδ py py δ pz pz
L


p


构造δ函数： δ ( r  r )  δ ( x  x)δ ( y  y)δ ( z  z)
1  i 2π [ n( x  x )l ( y  y ) m( z  z )]
 3 e
L n,l ,m
当L→∞时，
h3 / L3  dpxdpydpz

L3
 3

h
n ,l ,m 



dpx dp y dpz
 
δ ( r  r )  δ ( x  x )δ ( y  y )δ ( z  z)
1   3 ip ( r  r ) / 
 3  d pe
h 
本章小结
1. 各种算符的定义：单位算符、算符的逆、算符的转置、
算符的复共轭、算符的厄米共轭、厄米算符、算符的函数
2. 算符的运算规则：算符的和、算符的乘积
3. 算符的对易关系：
4. 厄米算符的性质：
5.厄米算符的本征方程
6. 不确定性关系
7. 共同本征函数
角动量的平方与角动量z分量的共同本征函数