Transcript 曾第8章

第8章 自 旋(Spin)
§8.1 电子自旋态与自旋算符
§8.2 总角动量的本征态
§8.3 碱金属原子光谱双线结构域反常Zeeman效应
§8.4 自旋单态与三重态
电子的自旋假设
实验依据
1. 斯特恩-盖拉赫实验(Stern-Gerlach)(1922年)
S 态的氢原子束流，经非均匀磁
场发生偏转，在感光板上呈现两条
分立线。
氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发
生偏转
氢原子磁矩只有两种取向 即空间是量
子化的
N
S
分析： 设原子磁矩为M，外磁场为B
原子在Z方向外磁场中的势能是
 
U  M  B  MBz cos
Bz
U
M
cos
原子 Z 向受力 Fz  
z
z
磁矩与磁
场之夹角
若原子磁矩可任意取向，则 cos  可在 （-1，+1）之
间连续变化，感光板将呈现连续带
但是实验结果是：出现的两条分立线对应cos  = -1 和
+1 ，处于 S 态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁
矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
2. 碱金属原子光谱线的精细结构
钠原子光谱中的一条亮
黄线   5893Å，用高分辨
率的光谱仪观测，可以看到
该谱线其实是由靠的很近的
两条谱线组成。
其它原子光谱中也可以发现
这种谱线由更细的一些线组成
的现象，称之为光谱线的精细
结构。该现象只有考虑了电子
的自旋才能得到解释
3p3/2
3p
58
93
Å
3s
D1
3p1/2
D2
58
96
Å
58
90
Å
3s1/2
电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了
电子自旋假设

（1）每个电子都具有自旋角动量， 它在空间任何方向上的
2
投影只能取两个数值：





S  S z   , S x   , S y   , Sn  
2
2
2
2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：


e 
e 
M S   S，(SI ); M S   S , (CGS )

c
Note: 电子的自旋角动量绝对不是来源电子自身的旋转，而是电子
的内在属性
e2
~ m c2 , re  p ~ 
re
v
p
  c 

  2 c  137c
m m re  e 
自旋磁矩在空间任何方向上的投影，只能取两个数值：
e
e
M Sz  
  M B，(SI ); M Sz  
  M B , (CGS )
2
2c
Bohr 磁子
回转磁比率
电子自旋回转磁比率
e
e
M S z / S z   ，(SI ); M S z / S z   , (CGS )

c
电子轨道回转磁比率
e
e
M lz / lz   ，(SI ); M lz / lz  
, (CGS )
2
2c
电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍
§8.1 电子的自旋态与自旋算符
8.1.1 电子自旋态的描述
电子不只是具有空间的三个自由度，还有一自旋自由度

ψ ( r ,  / 2) 


(1)
旋量波函数（二分量） ψ ( r , sz )   
ψ ( r , / 2) 
物理意义：


2
 ( r ,  / 2) 是电子自旋向上( sz   / 2), 而且处在r 处的概率密度。


2
 ( r , / 2) 是电子自旋向下( sz   / 2), 而且处在r 处的概率密度。

2
d
r

(
r
,

/
2
)
是电子自旋向上( sz   / 2)的概率,


2
3
d
r

(
r
,


/
2
)
是电子自旋向下( sz   / 2)的概率。

3
旋量波函数的归一化条件

2
 ( r ,  / 2) 

3
3
 
 
d r ( r , sz )   d r ( ( r ,  / 2), ( r , / 2)) 



sz   / 2
 ( r , / 2) 


2
2
3
  d r[ ( r ,  / 2)   ( r , / 2) ]
  d 3r   1
( 2)
若粒子的哈密顿可表示成空间部分和自旋部分之和，则波函数
可分离变量


ψ ( r , sz )  φ ( r ) χ ( sz )
(3)
自旋态波函数的一般形式
2
a ,b
2
a
χ ( sz )   
b 
分别代表 sz   / 2 的概率。
自旋波函数的归一化条件
(4)
a
2
2
   (a , b )   a  b  1
b 

特例：sz的本征态
简写为

m (sz )
s

本征值
(5)
ms, ms  1 / 2
1 
0
α  χ 1/ 2 ( sz )   , β  χ 1/ 2 ( sz )   
0
1 
(6)
α，β构成一组完备基，任意自旋态波函数可用其展开
a
χ ( sz )     aα  bβ
b 
(7)
则电子的旋量波函数(1)可以写成



ψ (r , sz )  ψ (r ,  / 2)α  ψ (r , / 2) β
(8)
8.1.2 电子自旋算符， Pauli矩阵
1. 自旋算符
自旋角动量的对易关系
sx s y  s y sx  isz

s y sz  sz s y  isx
s s  s s  is
y
 z x x z
  
s σ
引入无量纲的Pauli算符
2
 x y   y x  2i z

则
 y z   z y  2i x
      2i
x z
y
 z x
或
[σ i ,σ j ]  2iε ijkσ k
( 9)
(10 )
(11)
(12)
由于自旋沿任何方向的投影只能取   / 2
则
由(11),(13)得
σ x2  σ y2  σ z2  I
σ z  σ yσ zσ y  2iσ yσ x
 n  1
(13)
则有
σ yσ zσ y  σ z  2iσ xσ y
上面两式子相加可得反对易关系  x y   y x  0
反对易关系
由(11),(14)得
σ xσ y σ yσ x  0

σ yσ z σ zσ y  0

σ zσ x σ xσ z  0
σ xσ y  σ yσ x  iσ z

σ yσ z  σ zσ y  iσ x

σ zσ x  σ xσ z  iσ y
(14)
(15)
{ x , y }  0
由(13),(15)可写成
σ α σ β  δαβ  iε αβγ σ γ


 
Pauli算符的厄米性：
练习1 证明
γ
(16)
    
   
(  A)(  B)  A  B  i  ( A  B)
其中A,B是与σ对易的任何两个矢量
  

证明： (  A)(  B ) 
3
a b  
i , j 1
i
j
i
3
j
  ai bi 
i 1
3
 
 A  B  i   ijkai b j k
i , j 1
(i j )
 
  
 A  B  i  ( A  B )
3
a b  
i , j 1
(i j )
i
j
i
j
  2
  2 2  
2
(  p)  p ; (  l )  l    l
显然利用上式子有
练习2 证明
         
σ (σ  A)  A  A  ( A  σ )σ  iA  σ
设A与σ对易
证明：

 
 
  
 (  A)  A   i j Aj i  A   ( ij  i  ijk k ) Aj i  A
i, j
i, j
k

 

  Ai i  i  ijk Aj k i  A  i  ijk Aj k i
i
 
 iA  
另一等号类似证明
ijk
ijk
2. Pauli表象(sz表象，σz表象)
在σz表象中， σz 的矩阵是
1 0 

σ z  
 0  1
a b 
 ，则根据 σ zσ x  σ xσ z
设 σ x  
c d 
得
b   a b 
 a

  

 c  d    c d 
则
0 b

σ x  
 c 0
利用
σ x  σ x 得
c  b
ad 0
则
令
利用
得
0
σ x   
b
0
2
σ x   
b
b  eiα
b

0
2
b  0 b   b
 
  
0  b 0   0
 0
σ x   iα
，则
e
0 
2 1
b 
eiα 

0 
σ y  iσ zσ x
 0
σ y  i iα
 e
e iα  
0
   i(α π / 2 )
0   e
取α=0，则得到Pauli矩阵
e i(α π / 2 ) 

0 
b 1
2
0 1
0  i
1 0 
, σ y  
, σ z  

σ x  
1 0
i 0 
 0  1
1
   ( x  i y ) 则在Pauli表象中有
2
 0 1
 0 0
   
,    

 0 0
 1 0
练习 令
可以证明有
 x   ,  x   ,  y  i ,  y   i
   0,      ,     ,     0
所以
, 
称为自旋z分量的升、降算符
§8.2
总角动量的本征态
1. 总角动量


电子的轨道-自旋耦合 ξ (r )s  l
1
1 dV
ξ (r )  2 2
2 μ c r dr
引入轨道-自旋耦合后，轨道和自旋角动量均不是守恒量，但
它们之和是守恒量。
总角动量
对易关系
令
可证明：
  
  
j  l  s, [ j, s  l ]  0
[ jx , j y ]  ijz , [ j y , jz ]  ijx , [ jz , jx ]  ij y
[lα , sβ ]  0, α , β  x, y, z
2
j  jx2  j y2  jz2
2
[ j , jα ]  0, α  x, y, z
2  
 [l , s  l ]  0
则轨道角动量的平方仍是守恒量
2. 总角动量的本征态
中心力场中电子的能量本征态可选一组相互对易的守恒量完
全集(H, L2, j2, jz)的共同本征函数，而空间角度部分和自旋
部分的波函数可取(L2, j2, jz)的共同本征函数。
2
注： s  sx2  s2y  sz2  32 / 4
在(θ, φ, sz)表象中，设(L2, j2, jz)的共同本征函数为：
  ( ,  ,  / 2)   1 ( ,  ) 
 (9)
 ( ,  , sz )  
  
  ( ,  ,  / 2)   2 ( ,  ) 
(1) ϕ是L2的本征态
令
即
2
l   C
2
2
l 1  C1, l 2  C2
即ϕ1和ϕ2都是l2的本征态，对应的本征值都为C
(2) ϕ是 jz 的本征态，则
即
则
jz  jz
 1    1 0  1 
 1 
lz    
   jz  
 2  2  0  1 2 
 2 
lz1  ( jz   / 2)1
lz2  ( jz   / 2)2
即ϕ1和ϕ2都是lz的本征态，对应的本征值相差 
因此式(9)可写成
 aYlm ( , ) 

 ( , , sz )  
 bYl ,m1 ( , ) 
易见：
(10)
2
l   l (l  1)2, jz  (m  1/ 2)
(3) ϕ是j2的本征态，则
 2  aYlm 
aYlm 
2
  λ 

j 

 bY 
bY
 l ,m1 
 l ,m1 
(12)
(11)
在Pauli表象中有
2 2 2
  2 3 2
j  l  s  2 s  l  l    (σ x l x  σ y l y  σ z l z )
4
2
 l  3 2 / 4  l z

l 

2
 
(13)
2

l 
l  3 / 4  l z 

其中
l  lx  il y
(13)代入(12)，并利用
可得到
lYlm   (l  m  1)(l  m)Yl ,m1

[l (l  1)  3 / 4  m]a  (l  m)(l  m  1)b  λa
(14)


 (l  m)(l  m  1)a  [l (l  1)  3 / 4  ( m  1)]b  λb
方程组(14)有非平庸解得充要条件是
l (l  1)  3 / 4  m  λ
(l  m)(l  m  1)
解得
或写成
(l  m)(l  m  1)
l (l  1)  3 / 4  m  λ  1
0
λ1  (l  1 / 2)(l  3 / 2), λ2  (l  1 / 2)(l  1 / 2)
λ  j( j  1),
j  l  1/ 2
将j=l + ½ 代入方程(14)得
a / b  (l  m  1) /(l  m)
(18)
将j =l- ½ (l≠0) 代入方程(14)得
a / b   (l  m) /(l  m  1)
(19)
将(18), (19)代入(10)，并利用归一化条件可得
对j=l + ½
1  l  m  1Ylm 
 ( , , sz ) 
2l  1  l  mYl ,m1 
(20a )
对j=l - ½ (l≠0)
1   l  mYlm 
 ( , , sz ) 
2l  1  l  m  1Yl ,m1 
(20b)
(4) 量子数的取值范围与本征值
2
l : l (l  1) 2
2
本征值： j : j ( j  1) 2，j  l  1 / 2
jz : m j   ( m  1 / 2 ) 
量子数的取值范围：
在(20a)中
j  l  1 / 2，mmax  l, mmin  (l  1)
m  l,
l  1, , 0,,  (l  1)
m j  m  1 / 2  l  1 / 2, l  1 / 2,, 1 / 2,  (l  1 / 2)
 j,
j  1,,
共2j+1个
1 / 2,,  j
在(20b)中
j  l  1 / 2，l  0, mmax  l  1, (因为m=l时，ϕ=0无意义)
mmin  l
(因为m=-l-1时，ϕ=0无意义)
m  l  1, l  2,   l  1,
l
m j  m  1 / 2  l  1 / 2, l  3 / 2,,  l  3 / 2,  l  1 / 2
则
 j,
j  1, ,  j  1,
共2j+1个
j
概括：
(L2, j2, jz)的共同本征函数是ϕljmj, 本征值分别是
l (l  1)2，j( j  1)2，j  l  1/ 2，m j   (m  1/ 2)，m j   j  j
对
j  l  1 / 2, m j  m  1 / 2
ljm
j
1  l  m  1Ylm 

2l  1  l  mYl ,m 1 
 0
l  m  1 1 
l m

Ylm   
Yl ,m1  
2l  1
lm
 0
1 


j

m
Y
j
j

1
/
2
,
m

1
/
2
1 
j


2 j  j  m j Y j 1 / 2,m 1 / 2 
j


(21a )
对
j  l  1/ 2, l  0, m j  m  1/ 2
ljm
j
1   l  mYlm 

2l  1  l  m  1Yl ,m1 
 0
l  m 1 
l  m 1

Ylm   
Yl ,m1  
2l  1  0 
lm
1 



j

m

1
Y
j
j

1
/
2
,
m

1
/
2
1
j



2 j  2  j  m j  1Y j 1 / 2,m 1 / 2 
j


(21b)
对 l =0的情况，不存在轨道自旋耦合，此时
j  s  1/ 2, m j  ms  1/ 2
相应的波函数是

 Y00 
1 1 
 
0 1 1    
4  0 
 22 0 

0 
1  0

   
 
1
1
 0 
4 1 
 2 2  Y00 
练习1
证明：
    
证明 ljmj 是s  l    l 的本征态，并求出相应 的本征值
2
2 2 2
  32  2
 
j  s  l  2s  l 
 l  2s  l
4
则
2
 
1  2 3 2  2
1
3

( s  l )ljmj  ( j 
 l )ljmj  [ j ( j  1) 2  l (l  1) 2 
]ljmj
2
4
2
4
 l 2
j  l  1/ 2
 2 ljmj ,

2
(
l

1
)


ljmj , j  l  1 / 2

2
求 z在ljmj 态下的平均值
练习2
j  l  1 / 2，m j  m  1 / 2
解： 对
ljm
j
 0
l  m  1 1 
l m

Ylm   
Yl ,m1  
2l  1
lm
 0
1 
j  mj
Y 1 1 
2 j j  2 ,m j  2


 zljm 
j
j  mj
2j
Y
1
1
j  ,m j 
2
2
j  mj
Y 1 1
2 j j  2 ,m j  2

j  mj
2j
Y
1
1
j  ,m j 
2
2

ljm j  z ljm j 
则
j  mj
2j

同理可求
j  l  1/ 2，m j  m  1 / 2
ljm j  z ljm j  
mj
j 1
j  mj
2j

mj
j
lYlm   (l  m  1)(l  m)Yl ,m1
练习3. 证明
证明：  l  lx  il y , [lz , l ]  l
则
lzl  llz  l
lzlYlm  llzYlm  lYlm
所以
又因为
lzlYlm  (m  1)lYlm
lzYl ,m1  (m  1)Yl ,m1
归一化
Yl ,m1  (1)
C
m
2
Y
l ,m1
2
sin dd  1
lYlm  CYl ,m1
并利用
2l  1 (l  m)! m
1
i ( m1)

Pl (cos )e

4 (l  m)!
(l  m)(l  m  1)
C  (l  m)(l  m  1)
可得
即
lYlm  (l  m  1)(l  m)Yl ,m1
同理可证
lYlm  (l  m  1)(l  m)Yl ,m1
角动量
三种角动量的对比及其耦合


S
L
  
J  LS
角量子数
l
s  1/ 2
磁量子数
m
 l , ,l
( 2l  1)
ms
mj
 s, , s
 j , , j
(2 j  1)
对易关系
[ L , L ]  i L
[L2 , L ]  0
力学量完全集 (L , Lz )
2
共同本征函数
Ylm ( ,  )
j  l  1 / 2, l  1 / 2
(2s  1)  2
[S , S ]  i S
[ J , J  ]  i J
[S 2 , S ]  0
[ J 2 , J ]  0
(S 2 , S z )
( L2 , J 2 , J z )  0
1 
 0
 
 
   ,    
0
1
ljm ( ,, Sz )
j
本征方程
L2Ylm ( ,  )  l (l  1) 2Ylm ( ,  )
LzYlm ( ,  )  mYlm ( ,  )
3 2

4
3
S 2   s ( s  1) 2    2 
4

S z  
2

Sz   
2
S 2  s ( s  1) 2 
L2ljmj  l (l  1) 2ljmj
J 2ljmj  j ( j  1) 2ljmj
1
J zljmj  m j ljmj  (m  )ljmj
2
§8.3
碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应
8.3.1 碱金属原子光谱的双线结构
价电子的哈密顿为
 
H  p / 2μ  V (r)  ξ (r)s  l
1
1 dV
ξ (r )  2 2
2 μ c r dr
2
2 2
选守恒量完全集 ( H , l , j , jz ) ，其共同本征函数是
 (r, ,, sz )  R(r)ljm ( ,, sz )
j
代入能量本征方程
2
  1  2 
 
l 
 2
r
 2 2   V ( r )  ξ ( r )s  l ψ  Eψ


 2μ  r r r  r 

2
则得径向方程
j  l  1/ 2
 2 1 d 2 d

l (l  1) 2 l 2
r
 V (r ) 

ξ ( r ) R( r )  ER ( r )

2
2
2 μr
2
 2 μ r dr dr

j  l  1 / 2(l  0)
 2 1 d 2 d

l (l  1) 2 (l  1) 2
r
 V (r ) 

 (r ) R(r )  ER (r )

2
2
2 r
2
 2  r dr dr

对于给定的屏蔽库仑场V(r), 可分别解出上述方程，电子的能量
本征值与量子数(n,l,j)都有关系，是(2j+1)重简并
 V (r)  0 (V ()  0),  V (r )  0,  (r)  0
因此
Enljl 1/ 2  Enljl 1/ 2
即j = l+1/2的能级高于j = l-1/2的能级，但由于轨道-自旋耦合
很小，这两条能级靠得很近。这就是造成光谱双线结构。
能级分裂
E  Enljl 1/ 2  Enljl 1/ 2
随原子序数Z的增大而增大。
Na原子的电子组态：
(1s)2 (2s)2 (2 p)6 (3s)1
3p3 / 2
3p   
3p1/ 2
l 1, s 0 , j 3 / 2 ,1/ 2
3p3 / 2  3s1/ 2 , D2 : 589.963nm
3p  3s  
3p1/ 2  3s1/ 2 , D1 : 589.593nm
8.3.2 反常Zeeman效应
正常Zeeman效应： 在强磁场中原子光谱发生分裂（一般为3条）
的现象，称为正常Zeeman效应。
不考虑电子的自旋，则在外场存在时电子的哈密顿量为
2
eB
H  P / 2  V (r ) 
lz
2 c
选
2
( H , l , lz )
 eBlz
H    z  B 
2 c

为守恒量完全集，其共同本征函数为
 n lm (r, , )  Rn l (r)Ylm ( , )
r
r
相应的能量本征值为
eB
L 
2 c
Enrlm
eB
 En r l 
m  Enrl  mL
2 c
称为Larmor频率
E nr l
就是屏蔽库仑场V(r)中粒子能量本征方程得本征值
 2 2

 2    V ( r )  E


该能级(2l+1)重简并，在外磁场的作用下，能级分裂成(2l+1)条
如Na原子最低两条能级在外场中的分裂
3p
1
0
-1
3s
无外场
有外场
0
m
反常Zeeman 效应
考虑轨道和自旋磁矩与外场的相互作用，若外场很强，不考虑
轨道-自旋耦合，则哈密顿量为
eB
H  p / 2μ  V (r ) 
(l z  2 s z )
2μc
2
2
选守恒量完全集 ( H , l , lz , sz ) ，其共同本征函数是
ψ nlmm ( r ,θ , φ , s z )  ψ nlm ( r ,θ , φ ) χ m ( s z )
s
s
 Rnl ( r )Ylm (θ , φ ) χ ms ( s z )
相应的本征能量为
Enlmms
eB
 Enl 
( m  2ms ), ms  1 / 2
2μc
Enlmms
eB
 Enl 
( m  1).
2μc
显然，与不考虑电子的自旋时的能级相比，能级虽有变化，但
考虑到跃迁规则Δms=0，谱线的三分裂现象没有变化。
若外场很弱，自旋-轨道耦合不能忽略，此时加电子的哈密顿为
  eB
H  p / 2  V (r )   (r )s  l 
(l z  2 sz )
2 c
  eB
eB
2
 p / 2  V (r)   (r)s  l 
jz 
sz
2 c
2 c
2
2 2
若忽略哈密顿中的最后一项，则守恒量完全集是 ( H , l , j , jz )
共同本征函数
 nljm ( r, ,  , sz )  Rnlj ( r )ljm ( , , sz )
能量本真值
Enljmj  Enlj  m j L ,
j
j
L 
eB
2c
无外场时，能级Enlj是(2j+1)重简并；有外场时，能级分裂成
(2j+1)条，偶数条，这就是反常Zeeman效应。
ljmj sz ljm j   mj m j ljm j sz ljm j
j  l  1/ 2
m j / 2 j ,
L ljm j sz ljm j  L 
 m j /(2 j  2), j  l  1 / 2(l  0)
Enljmj
j  l  1/ 2
(1  1 / 2 j ),
 Enlj  m j L 
(1  1 /(2 j  2)), j  l  1 / 2(l  0)
钠黄线的反常Zeeman效应分裂
mj
§8.4
自旋单态与三重态，自旋纠缠态
1. (S2, Sz)的共同本征函数
设有两个电子自旋记为s1和s2，令两自旋之和为
  
S  s1  s2
显然有
[s1α , s2 β ]  0, α , β  x, y, z
令
[S x , S y ]  iS z , [S y , S z ]  iS x , [S z , S x ]  iS y
2
2
2
2
S  Sx  S y  Sz
则
2
[S , Sα ]  0, α  x, y, z
选(s1z，s2z)为对易自旋力学量完全集，则它们的共同本征
函数为
α (1)α (2), β (1) β (2), α (1) β (2), β (1)α (2)
显然它们也是Sz = s1z+s2z的本征态，本征值分别是
2
  2 2 2
 
S  ( s1  s2 )  s1  s2  2s1  s2
利用
3 2 2
   (σ1x σ 2 x  σ1 y σ 2 y  σ1z σ 2 z )
2
2
σ yα  iβ , σ y β  iα ,
σ xα  β , σ x β  α ,
σ zα  α , σ z β   β
可以证明
,,0,0
2
2

S
α
(
1
)
α
(
2
)

2

α (1)α ( 2)

 2
2

S
β
(
1
)
β
(
2
)

2

β (1) β ( 2)

令
(8)
χ  c1α (1) β (2) c 2 β (1)α (2)
2
2
S χ  λ χ
则
2
S χ   2 (c1  c2 )α (1) β ( 2)   2 (c1  c2 ) β (1)α ( 2)
 λ 2 [c1α (1) β ( 2)  c2 β (1)α ( 2)]
可得
(1  λ )c1  c2  0

c1  (1  λ )c2  0
(11)
上述方程有非平庸解得条件是
解得
1 λ
1
0
1 1 λ
λ  0, 2
代入方程(11)得:
c1 / c2  1; c1 / c2  1
则可得S2的另外两个归一化的本征函数为





1
[α (1) β ( 2)  β (1)α ( 2)]
2
1
[α (1) β ( 2)  β (1)α ( 2)]
2
令S2的本征值记为 S ( S  1) 2
(13)
记(S2,sz)的共同本征函数为 χ SM s , S  1, M s  1,0
的三个态为自旋三重态，而S=0, Ms=0的态为自旋单态
2. 非耦合表象与耦合表象
非耦合表象： (s1z, s2z)的共同本征函数

1
 , 
2
1
 , 
2
1
 , 
2
1

2
耦合表象: (s2, sz)的共同本征函数


1

 χ 00  2  1 

1

 
 χ 10 
1

2

 χ 11   1  2

χ  1 2

 11
2
2
 
 
1
1


2
2


可分离态与纠缠态： 由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果
能够表示为每个粒子量子态的直积，则成为可分离态，反之，称
为纠缠态。
Bell基: (σ1xσ2x，σ1zσ2z) 的共同本征函数组成的基
 
  12 

  
12



  
12


  
12


1
2
1
2
1
2
1
2




1
1
1
1




2
2
2
2
  
1
  
1
  
1
  
1




σ1xσ2x， σ1zσ2z
2
-1
-1
2
1
-1
-1
1
1
1
2
2
 
1
练习1 令 P12  (1   1   2 ) 证明： (a ) P122  1
2
2 2
S 1
P


(

1
)
SM S
(b) P12  S /   1 并由此证明
12 SM S
P12有何物理意义。
证明： (a)

    
   
利用 (  A)(  B)  A  B  i  ( A  B)










(1   2 )  (1   2 )(1   2 )   2   2  i1  ( 2   2 )
 
 3  21   2
所以
2
  2 1
 
  2
1
P  (1   1   2 )  [1  2 1   2  ( 1   2 ) ]
4
4
 
 
1
 [1  2 1   2  3  2 1   2 ]  1
4
2
12
(b)
而
 
1
1
4  
P12  (1   1   2 )  (1  2 s1  s2 )
2
2

2
  2 3 2
 
s  ( s1  s2 )    2 s1  s2
2
2
1
1 2
s
2
 P12  [1  2 (2s  3 )  2  1
2


2
s
P12  sm s  ( 2  1)  sm s  [ s( s  1)  1] sm s

  00 , ( s  0)

 1ms , ( s  1)
显然，P12是两个粒子的自旋交换算符。
练习2 令
证明：
 
1
1
P3  (3   1   2 )  (1  P12 )
4
2
 
1
1
P1  (1   1   2 )  (1  P12 )
4
2
P3 1ms  1ms , P3  00  0
P1 1ms  0,
P1  00  00
显然P3和P1分别是自旋三重态和自旋单态的投影算符。
2
  2 
 
s  ( s1  s2 )  (3   1   2 )
2
 
 
(1   2 ) 1ms  1ms , (1   2 ) 00  300
练习3 利用
证明
证明：
2
2
 
2s
( 1   2 ) 1ms  ( 2  3) 1ms  1ms
 2
 
2s
( 1   2 )  00  ( 2  3) 00  3 00

练习 4 自旋为1/2的二粒子组成的体系，处于自旋单态。设
a, b是空间两个任意方向，粒子1的自旋沿a 方向的分量与粒子2
的自旋沿b方向的分量有确切的关联。证明
   
 
00 (1  a )( 2  b ) 00  (a  b )
证明：  P  1 (1     )，     2 P  1
12
1
2
1
2
12
2


2
2


 (1   2 )  1   2  21   2  4  4P12
  2
 00 (1   2 ) 00  00 (4  4P12 ) 00  0
即

2

00 (1   2 ) 00  0


00 1 00   00  2 00
2
ˆ
注： ( , A  )  0
( Aˆ  , Aˆ  )  0
Aˆ   0
因此
   
   
00 (1  a )( 2  b ) 00   00 (1  a )(1  b ) 00
 

 
 (a  b )  i 00 1 00  (a  b )
 
 ( a  b )