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第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
一、多维随机变量的概念
定义3.1
设Ω是随机试验E的样本空间，
i，i  1，
2，
，n
是定义在Ω上的n个随机变量。将其构成一个n维有序数组
  (1， 2，
， n ).
称为n维随机变量(或称n维随机向量)， i 称为的第i个分量。
二、二维随机变量的分布
定义3.2(教材p74定义)
设(，)为二维随机变量，对任何实数x，y，二元函数
F ( x，y)  P(  x，  y)
称为(，)的联合分布函数，简称(，)的分布函数。
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(教材p75)
P( x1    x2，y1    y2 )  F ( x2，y2 )  F ( x1，y2 )  F ( x2，y1 )  F ( x1，y1 )
y2
y1
x1
x2
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(，)的联合分布函数F(x，y)的性质(教材p75)：
1. F(x，y)关于x，y是不减的；
2. 0  F ( x，y)  1，F(-，y)=F(x， -)=0，F(+ ， + )=1；
3. F(x，y)关于x，y均右连续；
4.
x1  x2，y1  y2，有
F ( x2，y2 )  F ( x1，y2 )  F ( x2，y1 )  F ( x1，y1 )  0
定义3.3(教材p76)
若二维随机变量(，)的所有可能取值能表示成
( xi，y j )，i，j  1，
2，
 的形式，则称(，)为二维离散型随机变
2，
为(，)的分布律或
量，称 pij  P(  xi，  y j )，i，j  1，
概率分布(或称，的联合分布律)。
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(，)分布律的表格表示
 \
x1

xi

y1
p11

pi1






yj

p1 j



pij



二维随机变量(，)的分布函数(教材p76)
F ( x，y) 
p
xi  x
yj y
ij
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二维随机变量(，)的分布律的性质(教材p76)
1.
pij  0；

2.

 p
i 1 j 1
ij
 1.
例1 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7。今各投
两次，用，分别记两人投中的次数。试求：
1) ，的联合分布律；
2) 两人投中的次数相同的概率；
3) 甲比乙投中的次数多的概率。
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例2 (2002年数学三考研试题十一题第1小题)
设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量
 1， 若U  1，
 1， 若U  1，
X ｛
Y ｛
1， 若U  1；
1， 若U  1.
试求X和Y的联合概率分布。
例3 (2001年数学一考研试题十一题)
设某班车起点站上客数X服从参数为(>0)的泊松分布，每
位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1)，且中途下车与否相
互独立。以Y表示在中途下车的人数，求：
(1) 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
(2) 二维随机变量(X，Y)的概率分布。
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定义3.4(教材p77)
设二维随机变量(，)的分布函数是F(x，y)，若存在
非负函数f(x，y)，使对任何实数x，y，都有
y
x
F ( x，y ) 
  f (u，v)dudv

则称(，)是连续型随机变量，称f(x，y)是(，)的概率
密度(密度函数)，或称与的联合概率密度。
概率密度f(x，y)的性质(教材p78)
1. f ( x，y )  0；
2.
  
  f ( x，y)dxdy  1
  
3. 设D是平面的一个区域，点(， )落在区域D的概率
P((， )  D)   f ( x，y )dxdy.
D
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例4. 已知二维随机变量(，)的密度函数为
(6  x  y) / 8， 0  x  2，2  y  4；
f ( x，y) ｛
0，
其它.
1) 设D={(x，y)｜x+y<3}。求P((，)D);
2) 求(，)的分布函数。
思考题(2003年数学一考研试题填空题)
设二维随机变量(，)的密度函数为
6 x， 0  x  y  1；
f ( x，y) ｛
0，
其它.
求：P(    1).
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二维均匀分布
设D是平面上有界区域，其面积为A。若(，)的概率密
度为
1 / A， 若( x，y)  D；
f ( x，y) ｛
0，
其它.
则称(，)服从区域D上的均匀分布。
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二维正态分布(教材p82～83例3)
设(，)的概率密度为
1
1
( x  1 ) 2
f ( x，y ) 
exp{
*[
2
2
2
2
(
1


)

2 1 2 1  
1
 2
( x  1 )( y   2 )
 1 2

( y  2 )2

2
2
]}，  1  0， 2  0，  1，
则称(，)服从参数为 1，2， 1， 2，的正态分布，记为
(，)～N (1，2， ， ， ).
2
1
2
2
第二节、边缘分布
定义3.5 设(，)的分布函数为F(x，Y)，称的分布函数 F (x)
为(，)关于的边缘分布函数，称的分布函数F ( y )为(，)
关于的边缘分布函数。
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边缘分布函数和联合分布函数间的关系：
F ( x)  lim F ( x，y )； F ( y )  lim F ( x，y ).
y  
x  
几何意义
y
x
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离散型随机变量的边缘分布函数
F ( x)  
p
xi  x y j  
F ( y ) 
定义3.6
  pij；
ij
xi  x j 1
 p
xi   y j  y

ij


 p .
y j  y i 1
ij
设(，)为离散型随机变量，分别称

pi  P(  xi )   pij
j 1

和 p j  P(  y j )   pij
i 1
为(，)关于和的边缘分布律。
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联合分布律与边缘分布律的表
 xi
x1
y1

yj

pi 
p11



p j

p
pi1




p1 j

pij







1

p
j 1
1j


i 1


p
ij
i 1
p
j 1
i1
ij
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连续型随机变量的边缘分布函数
x



F ( x)   du  f (u，y )dy；
 y
y

  


F ( y ) 
v)dxdv   dv  f ( x，
v)dx.
  f ( x，
定义3.7(教材p80-81)
设(，)为连续型随机变量，称

f ( x)   f ( x，y)dy


和 f ( y)   f ( x，y)dx

分别为(，)关于和的边缘概率密度。
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结论：设 (，)～N (1，2，1 ， 2， )，则
2
2
～N (1，12 )， ～N (2， 22 ).
第三节、条件分布
问题：设(，)为二维离散型随机变量，其分布律和边缘
分布律分别为
pij  P(  xi，  y j )，i，j  1，
2，


pi   P(  xi )   pij，i  1，
2，

j 1

p j  P(  y j )   pij，j  1，
2，

i 1
P(  x｜
i   yj)  ?
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定义3.8(教材p84)
设(，)为二维离散型随机变量，对于固定的j，若
P(  y j )  0，称 P(  x｜
2，

i   y j )  pij / p j，i  1，
为在 
 y j 条件下的条件分布律；
对于固定的i，若 P(  xi )  0 ，称
P(  y｜
j  1，
2，

j   xi )  pij / pi  ，
为在   xi 条件下的条件分布律。
定义3.9
设对任何>0，有 P( y      y   )  0 ，若
lim P(  x｜y      y   )  lim [ P(  x，y      y   )
 0
 0
/ P( y      y   )] 存在，
则称此极限为在=y条件下的条件分布函数，记为
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F｜ ( x｜y)  F ( x｜y)  P(  x｜  y).
问题：设连续型随机变量(，)的分布函数为F(x，y)，概率
密度函数为f(x，y)，且f(x，y)在点 ( x0，y0 )处连续， 的边缘
密度函数 f (y) 在 y0 处亦连续， f ( y0 )  0. 问：
F ( x｜
0 y0 )  ?
注：假设积分和求导可交换次序，或假定分布函数中两个积
分均一致收敛。
x0
结论：
F ( x｜
0 y0 ) 
 f ( x，y
0
) dx

f ( y 0 )
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定义3.10 设(，)为连续型随机变量，其密度函数为f(x，y)，
 (x)
f
边缘密度函数分别为
和 f (y)。
若 f (y) >0，称
f｜ ( x｜y)  f ( x｜y)  f ( x，y) / f ( y)
为在=y条件下， 的条件概率密度函数(条件密度)。
若
f (x)
>0，称
f｜ ( y｜x)  f ( y｜x)  f ( x，y) / f ( x)
为在 =x条件下， 的条件概率密度函数(条件密度)。
例6
随机点A(，)在一椭圆内的任意位置是等概率的，椭
圆的主半径为a与b，并分别与坐标轴OX和OY相重合。求：
1) 每一直角坐标的概率密度；
2) 它们相互的条件密度。
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注意事项：
1. 二维随机变量的条件分布｜和｜ 均是一维随机变量，
其分段表达式的取值范围中只能出现一个变量。
2. 条件密度f(x｜y)的定义域确定，应是先确定使
f ( y)  0
的y的范围。当y的范围确定后，便将y当作常数，再依据y确
定x的相应区间。不能把x在联合概率密度中的取值范围当作x
在条件密度中的取值范围。
结论：设 (， )～N ( 1， 2， 12， 22， )，
对固定的x，｜～N (  2   2 ( x  1 ) /  1， 22 (1   2 ))；
对固定的y， ｜～N ( 1   1 ( y   2 ) /  2， 12 (1   2 )).
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第四节、相互独立的随机变量
事件A与B相互独立<=>P(AB)=P(A)P(B)
(  x)与(  y)相互独立 
P(ξ  x，  y)  P(  x) P(  y)
定义3.11(教材p90定义)
设F(x，y)，F ( x)，F ( y) 分别是(，)的分布函数和，
的边缘分布函数。若对任何实数x，y，均有
F ( x，y)  F ( x) F ( y)
则称与是相互独立的随机变量(与相互独立)。
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定理3.1(教材p90)
若(，)为连续型随机变量，f(x，y)，
f ( x)，f ( y)
分别是(，)的概率密度和，的边缘密度函数 ，又设f(x，y)，
f ( x)，f ( y)均处处连续。则与相互独立的充要条件是：
f ( x，y)  f ( x) f ( y).
说明：与相互独立当且仅当 f ( x｜y)  f ( x)，f ( y｜x)  f ( y).
定理3.2 (教材p90)
若(，)为离散型随机变量， 与相互独立的充要条件是：
对任何i，j， P(
 xi，  y j )  P(  xi )P(  y j ).
定理3.3
2
2
(

，

)
～
N
(

，

，

，

设
1
2
1
2， ). 与相互独立的
充要条件是：=0。
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例7. 已知(，)的分布函数为
1 
1 x 
1 y
F ( x，y )  2 (  tg )(  tg )，
 2
2 2
3
求证： 与相互独立。
例8(2002年数学一考研试题)
设，是任意两个相互独立的随机变量， 它们的概率
密度分别为 f1 ( x)和 f 2 ( x)，分布函数分别为 F1 ( x)和 F2 ( x)，
( )
(A) f1 ( x)+ f 2 ( x) 必为某一随机变量的概率密度。
(B) f1 ( x) f 2 ( x) 必为某一随机变量的概率密度。
(C) F1 ( x) + F2 ( x) 必为某一随机变量的分布函数。
(D) F1 ( x) F2 ( x) 必为某一随机变量的分布函数。
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说明：二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布、独
立随机变量的概念和结论均可推广到n维随机变量上去，具体
参见教材p93-94。
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第五节 两个随机变量的函数的分布
(1， 2，
， n ) 是n维随机变量，
y  g ( x1，x2，
，xn )
，n ) 是一维随机变量，
是n元连续函数，则   g (1，2，
结论：设
称为1， 2，
， n 的函数。
设(，)的密度函数为f(x，y)， g(x，y)为连续函数，
则=g (，)为一维连续型随机变量，其分布函数为
F ( z)  P( g (，)  z)。
设Dz  {( x，y｜
) g ( x，y)  z}，则
F ( z)  P( g (，)  z)  P((，)  Dz )
  f ( x，y ) dxdy 
Dz
 f ( x，y)dxdy
g ( x，y )  z
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由f ( z)  F( z) 即可求出的密度函数。
1. 和的分布(教材P95公式5.1-5.4)
设(，)的密度函数为f(x，y)， 求= +的密度函数。
f ( z ) 




 f ( x，z  x)dx   f ( z  y，y)dy.
若与相互独立， 则= +的密度函数为
f ( z ) 




 f ( x) f ( z  x)dx   f ( z  y) f ( y)dy.
这两个公式一般称为 f (x) 与
f (y) 的卷积公式。
例1. 设与相互独立，  ～N(0，1)， 服从(-b，b)上的
均匀分布，求= +的密度函数。
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例2.(2003年数学三考研试题十二题)
设随机变量X与Y相互独立，其中X的概率分布为
2 
 1

X～
 0.3 0.7 
而Y的概率密度为f(y)，求随机变量X+Y的概率密度g(u)。
例3.(2001年数学三考研试题十二题)
设随机变量X与Y的联合分布是正方形
G  {( x，y｜
) 1  x  3，
1  y  3}
上的均匀分布，求随机变量U=｜X-Y｜的概率密度p(u)。
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y=x+u
3
y=x-u
u
｛
1
y=x
1
3
2.顺序统计量的分布
， n是相互独立的随机变量，其分布函数分别
设 1， 2，
为 Fi ( x)，i  1，
， n } ，
2，
，n。 M  max{1， 2，
N  min{1， 2，
， n } 。求M和N的分布函数 FM (x) 和 FN (x) 。
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FM ( x)  F1 ( x) F2 ( x)Fn ( x)，
FN ( x)  1  [1  F1 ( x)][1  F2 ( x)][1  Fn ( x)].
特别，若i，i=1，…，n相互独立且服从同一分布F(x)，则
FM ( x)  [ F ( x)] ，FN ( x)  1  [1  F ( x)] .
n
n
， n }   )
说明：若要求 P(max{1，
，n }   )或 P(min{1，
均宜用对立事件来处理。
例4. 设 1，
， n 相互独立，且均服从[0，]上的均匀分
布。
n  max{1，
， n } ，求 n( n ) 的分布。
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3. 独立随机变量的可加性
1) 设 i～ (i ) ，且相互独立，i=1，2，…，m.则
m
m
 ～ (  ).
i 1
i
i
i 1
2)设 i～B(ni，p) ，且相互独立，i=1，2，…，m.则
m
m
 ～B( n ，p).
i 1
i
i 1
i
3) 设i～(i， )，且相互独立，i=1，2，…，m.则
m
m
 ～( ， ).
i 1
i
i 1
i
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4). 设 i～N (  i， i
2
)
ai，bi 为常数，
，且相互独立，
i=1， 2，…，m.则
m
 (a 
i 1
i i
m
 bi )～N ( (ai i  bi )， a  ).
i 1
2
i
2
i
以上性质分别称为泊松分布、二项分布、-分布、正态分
布的可加性。
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