Transcript 第四节相互独立的随机变量

§3.4 相互独立的随机变量
一.二维随机变量
二.n维随机变量
三.小结
一. 二维随机变量
定义 设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机
变量( X , Y )的分布函数及边缘分布函数.若对于
所有的x , y有
P{ X  x, Y  y}  P{ X  x}P{Y  y}
即
F ( x, y)  FX ( x )FY ( y)
则称随机变量X和Y是相互独立的。
说明
相互独立性有如下等价关系：
(1)若(X,Y)是离散型随机变量，X与Y相互独立
对(X,Y) 的所有可能取值(xi,yi),都有
P{ X  xi , Y  y j }  P{ X  xi }P{Y  y j }
即
pij  pi  p j
(2)若(X,Y)是连续型随机变量，X与Y相互独立
对一切x,y， f(x,y)＝fX(x)fY(y)几乎处处成立。
注意 (1)在判断X和Y相互独立时，首先由(X,Y)的
概率密度求出关于X和关于Y的边缘分布，再
确定其独立性。
(2) 联合密度决定边缘密度. 一般讲, 边缘密度不能
决定联合密度. 但当X与Y相互独立时，两个边缘密
度的乘积就是联合密度。也就是说当
X与Y相互独立时，边缘密度也能确定联合密度。
(3) 由§3.2例3知,二维正态分布f(x,y)fX(x)fY(y)；
若(X,Y)服从二维正态分布，则
它们相互独立＝0。
例1. 已知(X,Y)的联合分布律,问X与Y是否相互独立？
X
Y
1/2
1
2
-1
2
2
4
0
1
20
20
20
20
1
20
2
20
2
2
2
20
20
4
20
解：求出X和Y的边缘分布律
Y
X
-1
1
1/2
2
1
2
2
P{Y  y j }
 p j
0
4
20
2
20
20
20
2
5
1
20
2
P{ X  xi }
 pi 
2
1
20
1
2
20
4
20
1
5
20
2
5
2
1
4
4
4
因为
pij  pi  p j
所以X
与Y是
相互独
立的。
例2. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8～
12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在
7～9时，设他们两人到达的时间相互独立，求
他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12
小时）的概率。
解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公
室的时间. 则X和Y的概率密度为
1
1
 , 8  x  12
 ,7  y  9
f X ( x)  4
， fY ( y )   2
0, 其它
0, 其它
1
1
 , 8  x  12
 ,7  y  9
f X ( x)  4
， fY ( y )   2
0, 其它
0, 其它
由于X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为
1
, 8  x  12,7  y  9
f ( x, y )  f X ( x ) fY ( y )   8
0, 其它
画图
(x,y)的所有可能结果是长方形 [8  x  12,7  y  9]
1
所求概率即为P{| X  Y | }
12
满足上述条件的点为图中直线
1
x y
12
与直线
1
x y 
12
x y 
9
1
12
x y
1
12
G
7
之间的部分．
1
P{| X  Y | }
12
 
G
8
1
1
f ( x , y )dxdy   dxdy   dxdy
8 G
8
G
1
  (G的面积)
8
12
x y
SG  SABC  SA'B'C
9
1
12
A C’
x y
1
12
C
B’ G
2

1  13  1  11 
    
2  12  2  12 
2
7
1

6
1
1 1 1
 P{| X  Y | }   
12 8 6 48
B
8
12
例3. 设(X,Y)的分布函数为
1  e 0.01 x  e 0.01 y  e 0.01( x  y ) , x  0, y  0
F ( x, y)  
0, 其它
问:(1) X与Y是否相互独立？
(2)求P{X120,Y120}.
解: (1) X与Y的边缘分布函数为
1  e 0.01 x , x  0
FX ( x )  F ( x ,  )  
,
0, x  0
1  e 0.01 y , y  0
FY ( y )  F (, y )  
0, y  0
对一切x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y),故X与Y相互独立.
(2)由于X与Y相互独立
P{ X  120, Y  120} 
P{ X  120}P{Y  120}
 [1  P{ X  120}][1  P{Y  120}]
 [1  FX (120)][1  FY (120)]
e
2.4
 .0907
二.n维随机变量
1.定义： n维随机变量(X1, X2, …, Xn)的分布函数为
F (x1, x2, …, xn)=P{X1 x1, X2 x2, …, Xn  xn},其中
x1, x2, …, xn为任意实数。若存在函数f(x1, x2, …,
xn)>0,使得对任意的实数x1,x2,…,xn，有
F ( x1 , x2 ,..., xn )  
xn

xn1
 
...
x1

f ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn
称f(x1, x2, … ,xn)为(X1,X2,…, Xn)的概率密度函数。
边缘密度函数：
关于X 1 , FX 1 ( x1 )  F ( x1 , , ,..., );
关于X 1 , X 2 , FX 1 , X 2 ( x1 , x2 )  F ( x1 , x2 , , ,..., )
2. 若f(x1,x2,…,xn)为(X1,X2,…,Xn)的概率密度函数。
则(X1,X2,…,Xn)关于X1,关于(X1,X2 )的边缘概率密
度为
FX 1 ( x1 )  



 
...


FX 1 , X 2 ( x1 , x2 )  



 
f ( x1 , x2 ,..., xn )dx2dx3 ...dxn
...


f ( x1 , x2 ,..., xn )dx3dx4 ...dxn
3. 若对于所有的x1,x2,…,xn ，有
F ( x1 , x2 ,..., xn )  FX1 ( x1 )FX 2 ( x2 )...FX n ( xn )
称X1,X2,…,Xn 是相互独立的。
若对于所有的x1,x2,…,xm , y1,y2,…,yn有
F ( x1 , x2 ,..., xm , y1 , y2 ,..., yn )  F1 ( x1 , x2 ,..., xm )F2 ( y1 , y2 ,..., yn )
其中F1,F2,F依次为随机变量(X1,X2,…,Xm) (Y1,Y2,…,Yn)
和(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的分布函数，则称随机变
量(X1,X2,…,Xm)和 (Y1,Y2,…,Yn)是相互独立的。
4. 定理：设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…,Yn)相互独立,则
Xi(i=1,2,…m )和Yj (j=1,2,…,n)相互独立。若h,g是连
续函数,则h(X1,X2,…,Xm)和g(Y1,Y2,…,Yn)相互独立。
思考
设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
Y
1
2
3
1
1
6
1
9
1
18
2
1
3


X
试确定常数 ，  使得随机变量 X 与Y 相互独立．
解：随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
Y
1
2
3
pi
1
1
6
1
9
1
18
1
3
2
1
3


p j
1
2
X
1
9

1
18
1
3
  

如果随机变量 X 与Y 相互独立，则有
pij  pi p j
 i  1， 2； j  1， 2， 3
由此得
1
1 1

 P X  1， Y  2   P X  1  PY  2      
3 9
9

2
得 
9
；
1
1  1



 P X  1， Y  3  P X  1  PY  3      
18
3  18

1
得  ．
9
2
1
当   ，   时，联合分布律及边缘分布律为
9
9
Y
1
2
3
pi
1
1
6
1
9
1
18
1
3
2
1
3
2
9
2
3
p j
1
2
1
3
1
9
1
6
X
1
可以验证，此时有
pij  pi p j
 i  1， 2； j  1， 2， 3
2
1
因此当   ，   时，X 与Y 相互独立．
9
9