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第六章 动态经济模型：自回归 模型和分布滞后模型 第一节 引言 第二节 分布滞后模型的估计 第三节 部分调整模型和适应预期模型 第四节 自回归模型的估计 第五节 阿尔蒙多项式分布滞后 第六节 格兰杰因果关系检验 第一节 引言 很多经济过程的实现需要若干周期的时间，因此 需要在我们的计量经济模型中引入一个时间维，通 常的作法是将滞后经济变量引入模型中。让我们用 两个简单的例子说明之。 例1． Yt = α+βXt-1 + ut, t = 1,2,…,n 本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，比较一 般的情况是： Yt = α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut, t = 1,2,…,n 即Y的现期值不仅依赖于X的现期值，而且依赖于X的 若干期滞后值。这类模型称为分布滞后模型，因为X 变量的影响分布于若干周期。 例2．Yt = α+βYt-1 + ut, t = 1,2,…,n 本例中Y的现期值与它自身的一期滞后值相联系， 即依赖于它的过去值。一般情况可能是： Yt = f (Yt-1, Yt-2, … , X2t, X3t, … ) 即Y的现期值依赖于它自身若干期的滞后值，还依赖 于其它解释变量。 在本例中，滞后的因变量（内生变量）作为解释变 量出现在方程的右端。这种包含了内生变量滞后项 的模型称为自回归模型。 动态经济模型 我们上面列举了模型中包含滞后经济变量的两种 情况。第一种是仅包含滞后外生变量的模型，第二 种是包含滞后内生变量的模型。在两种情况下，都 通过一种滞后结构将时间维引入了模型，即实现了 动态过程的构模。 第二节 分布滞后模型的估计 我们在上一节引入了分布滞后模型： Yt =α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut (1) 在这类模型中，由于在X和它的若干期滞后之间 往往存在数据的高度相关，从而导致严重多重共线 性问题。因此，分布滞后模型极少按（1）式这样的 一般形式被估计。通常采用对模型各系数βj施加某 种先验的约束条件的方法来减少待估计的独立参数 的数目，从而解决多重共线性问题。这方面最著名 的两种方法是科克(Koyck)方法和阿尔蒙(Almon)方 法。 一、科克分布滞后模型 科克方法简单地假定解释变量的各滞后值的系数 （有时称为权数）按几何级数递减，即： Yt X t X t 1 X t 2 ...... u t 2 (2) t 1, 2, ..., n 其中 0<λ<1 这实际上是假设无限滞后分布，由于0<λ<1，X 的逐次滞后值对Y的影响是逐渐递减的。 （2）式中仅有三个参数：α、β和λ。但直接估 计（2）式是不可行的。这是因为，首先，估计无 限多个系数不可行。其次，从回归结果中很可能得 不到β和λ的唯一估计值。 估计科克模型的方法 幸运的是，我们有同时解决上述两方面问题的方 法。它们是： • 非线性最小二乘法 • 科克变换法 非线性最小二乘法 非线性最小二乘法实际上是一种格点搜索法。 首先定义λ的范围（如0-1），指定一个步长（如 0.01 ） ， 然 后 每 次 增 加 一 个 步 长 ， 依 次 考 虑 0.01,0.02,……0.99。步长越小，结果精确度越高， 当然计算的时间也越长。由于目前计算机速度已不 是个问题，你可以很容易达到你所要求的精度。 非线性最小二乘法步骤 （1） 对于λ的每个值，计算 Zt=Xt+λXt-1+λ2Xt-2+…+λPXt-P (3) P的选择准则是，λP充分小，使得X的P阶以后 滞后值对Z无显著影响。 （2）然后回归下面的方程： Yt =α+βZt + ut (4) （3） 对λ的所有取值重复执行上述步骤，选择回归 上述（4）式时产生最高的R2的λ值，则与此λ值相 对应的α和β的估计值即为该回归所得到的估计值。 科克变换法 回到科克模型: Yt X t X t 1 X t 2 ...... u t 2 (2) t 1, 2, ..., n 第二种方法是采用科克变换，（2）式两端取一期 滞后，得： Yt-1 =α+βXt-1 +βλXt-2 +βλ2Xt-3 +…+ ut-1 两端乘以λ，得： λYt-1 =λα+βλXt-1+βλ2Xt-2 +βλ3Xt-3 +…+λut-1 (5) （2）-（5），得 Yt-λYt-1 =α(1-λ)+βXt + ut-λut-1 (6) 所有的X滞后项都消掉了，因此 Yt =α(1-λ)+βXt + λYt-1 + ut-λut-1 (7) （7）式称为自回归模型，因为因变量的滞后作为 解释变量出现在方程右边。这一形式使得我们可以 很容易分析该模型的短期和长期动态特性（短期乘 数和长期乘数）。 短期乘数和长期乘数 在短期内（即期），Yt-1可以认为是固定的，X的变动 对Y的影响为β（短期乘数为β）。从长期看，在忽略 扰动项的情况下，如果Xt趋向于某一均衡水平 X , 则Yt和 Yt-1也将趋向于某一均衡水平 Y , Y (1 ) X Y 这意味着 Y (8) 1 X (9) 因此，X对Y的长期影响（长期乘数）为β/(1-λ)，若 λ位于0和1之间，则β/（1-λ）>β，即长期影响大 于短期影响。 从实践的观点来看，科克变换模型很有吸引力， 一个OLS回归就可得到α、β和λ的估计值。这显 然比前面介绍的格点搜索法要省时很多，大大简化 了计算。 可是，科克变换后模型的扰动项为 ut-λut-1 ， 这带来了自相关问题（这种扰动项称为一阶移动平 均扰动项）。并且，解释变量中包含了Yt-1 ，它是 一个随机变量，从而使得高斯—马尔柯夫定理的解 释变量非随机的条件不成立。此问题的存在使得 OLS估计量是一个有偏和不一致估计量。这可以说 是按下葫芦起了瓢。我们将在第四节中讨论科克模 型的估计问题。 第三节 部分调整模型和适应预期模型 有两个著名的动态经济模型，它们最终可化成与 上一节（2）式相同的几何分布滞后形式，因此都 是科克类型的模型。它们是： • 部分调整模型 （Partial adjustment model, PDM） • 适应预期模型 （Adaptive expectations model, AEM） 一、部分调整模型 在部分调整模型中，假设行为方程决定的是因变 量的理想值（desired value）或均衡值Yt* ，而不 是其实际值Yt： Yt* =α+βXt+ut （1） 由于Yt*不能直接观测，因而采用 “部分调整假 说” 确定之，即假定因变量的实际变动（Yt–Yt* –Y ）,与其理想值和前期值之间的差异（Y 1 t t-1 ） 成正比： Yt – Yt-1=δ（Yt* - Yt-1） (2） 0≤δ≤1, δ称为调整系数。 （2）式 Yt – Yt-1=δ(Yt* - Yt-1) (2） 可改写为： Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1 (3） 从（3）式可看出，Yt是现期理想值和前期实际值 的加权平均 。δ的值越高，调整过程越快。如果 δ=1，则Yt=Yt*,在一期内实现全调整。若δ=0，则 根本不作调整。 (1）式 Yt* =α+βXt+ut 代入（3）式 Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1 ，得到 Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut （4） 用此模型可估计出α、β和δ的值。 与科克模型类似，这里也存在解释变量为随机变 量的问题（Yt-1）.区别是科克模型中,Yt-1与扰动项 （ut-λut-1）同期相关，而部分调整模型不存在同期 相关。在这种情况下，用OLS法估计，得到的参数估 计量是一个一致的估计量。 不难看出，（4）式 Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut （4） 与变换后的科克模型的形式相似，我们也不难通过对 （4）式中Yt-1进行一系列的置换化为几何分布滞后的 形式: （4）式两端取一期滞后，得 Yt 1 X t 1 (1 )Yt 2 u t 1 (5) 将此式代入（4）式，得到（为简单起见，省略扰动 项）： Yt [1 (1 )] X t (1 ) X t 1 (1 ) Yt 2 2 我们可以用同样的方法置换Yt-2，以及随后的Yt-3, Yt-4,…,直至无穷，结果是将Yt表示为X的当前值和滞 后值的一个滞后结构，系数为科克形式的几何递减权 数，具体形式为： Yt [ X t (1 ) X t 1 (1 ) X t 2 ......] t 2 其中 t u t (1 ) u t 1 (1 ) u t 2 ...... 2 令λ=1-δ，β’=βδ，则得 2 Yt X t X t 1 X t 2 ... t 与上节（2）式形式完全一样。 (6) 例 林特纳（lintner）的股息调整模型 J．Lintner建立的股息调整模型是应用部分调整模 型的一个著名实例。 在对公司股息行为的研究中，Lintner发现，所有 股份公司都将其税后利润的一部分以股息的形式分配 给股东，其余部分则用作投资。 当利润增加时，股息一般也增加，但通常不会将增 加的利润都用作股息分配，这是因为： （1）利润的增加可能是暂时的； （2）可能有很好的投资机会。 为了建立一个描述这种行为的模型，Lintner假设各 公司有一个长期的目标派息率γ，理想的股息Dt*与现 期利润Πt有关，其关系为 Dt*=γΠt 而实际股息服从部分调整机制 D t ( D t D t 1 ) U t * 其中Ut为扰动项。因此 D t D t 1 ( D D t 1 ) U t * t t D t 1 U t 即 D t t (1 ) D t 1 U t 使用美国公司部门1918—1941年数据，得到如下回 归结果： Dˆ t 352 . 3 0 . 15 t 0 . 70 D t 1 各系数在1%显著水平下都显著异于0。 从回归结果可知，（1-λ）的估计值为0.70，因而 调整系数λ的估计值为0.30，即调整速度为0.30。由 于Πt的系数是γλ的估计值，除以0.30，则得到长 期派息率（γ）的估计值为0.50。 . 二、适应预期模型 1、在模型中考虑预期的重要性 预期（expectation）的构模往往是应用经济学家 最重要和最困难的任务，在宏观经济学中更是如此。 投资、储蓄等都是对有关未来的预期很敏感的。如 果政府实施一项扩张政策，这将影响工商界人士有 关未来经济总状况的预期，特别是关于盈利能力的 预期，因而影响他们的投资计划。 例如，如果存在很可观的失业，则政府支出增加 被认为是有益的，并将刺激投资。另一方面，如果 经济正接近充分就业，则政府的扩张政策被认为将 导致通货膨胀，结果是工商界的信心受挫，投资下 降。 2、适应预期模型 由上所述，可知在模型中考虑预期的重要性。不 幸的是，在宏观经济领域，不存在令人满意的直接 计量预期的方法。作为一种权宜之计，某些模型使 用一种称为适应预期过程的间接方法。 适应预期过程是一种简单的学习过程，其机制是， 在每一时期中，将所涉及变量的当前观测值与以前 所预期的值相比较，如果实际观测值大，则将预期 值向上调整，如果实际观测值小，则预期值向下调 整。调整的幅度是其预测误差的一个分数，即： X X e t e t 1 (Xt X e t 1 ) 0 1 (8) （8）式可写成 X X t (1 ) X e t e t 1 0 1 (9) 上式表明，X的预期值是其当前实际值和先前预期 值的加权平均。γ的值越大，预期值向X的实际发 生值调整的速度越快。 适应预期和部分调整之间当然有很多明显的类 似之处，可是从适应预期模型的最初形式导出仅 包含可观测变量的模型（可操作模型）不象在部 分调整模型的情况那么简单。 假设你认为因变量Yt与某个变量X的预期值Xte有关， 则可写出模型 Yt X t u t e (10 ) 若假定Xte 用适应预期机制确定，这就是一个适应 预期模型，其中解释变量Xte是不可观测的，必须用可 观测变量取代之。 我们用“降阶”法来解决这个问题。如果（9）式 成立，则对于t-1期，它也成立，即： X e t 1 X t 1 (1 ) X e t2 (11 ) 将（11）式 代入（9）式 X e t 1 X t 1 (1 ) X e t2 X t X t (1 ) X t 1 ，得 e e X t X t (1 ) X t 1 (1 ) X t 2 e 2 e 我们可以用类似的方法，消掉（12）式中的 X 这一过程可无限重复下去，最后得到： X t [ X t (1 ) X t 1 (1 ) X t 2 ...] e 2 (12 ) e t2 , (13 ) 将（13）式 X te [ X t (1 ) X t 1 (1 ) 2 X t 2 ...] 代入（10）式 Yt X u t ，得 e t Yt [ X t (1 ) X t 1 (1 ) X t 2 ...] u t 2 (14) 不难看出，此式与上节中科克分布（2）的形式相 同。该模型的参数可用上一节介绍的非线性方法估 计。对（14）式施加科克变换，将简化模型的数学 形式，但由于与科克模型同样的理由，不宜直接用 OLS法估计。施加科克变换的适应预期模型为： Yt X t (1 )Yt 1 ( u t (1 ) u t 1 ) 3、例子：Friedman的持久收入假说 1957年，弗里德曼对传统消费函数提出批评， 提出了自己的消费模型。在他的模型中，第i个消 费 者 在 第 t 期 的 消 费 与 持 久 性 收 入 （ permanent income）YitP 有关，而不是与当期的收入Yit 有关。 持久性收入是一种长期收入概念，它表示在考虑了 各种可能的波动的情况下，某人大体上可以依靠的 收入。 持久收入是根据最近的经验和有关未来的预期而 主观决定的，由于是主观的，因而无法直接计量。任 何一年中的实际收入可能高于或低于持久收入，取决 于该年中的特别因素。实际收入和持久收入之差称为 暂时性收入 (transitory income)，记为YitT ， 我们有： Y it Y it Y p T it (15 ) 他以同样方式区分了持久性消费、实际消费和暂 时性消费的概念。持久性消费是与持久性收入的水 平相对应的消费水平。实际消费可能与持久消费有 差异，原因是出现了某些特殊的未预料到的情况 （如未预料到的医疗费用），或者是冲动性购买的 结果。二者之差称为暂时性消费，记为CitT: C it C it C it p T (16 ) YitT和CitT被假定为具有0均值和常数方差的随机 变量，它们相互独立，且与YitP和CitP无关。 弗里德曼进一步假定持久消费与持久收入成正比： C P it Y P it (17 ) 上式中持久收入YitP不可观测，为解决这一问题， 弗里德曼假设持久收入遵从适应预期过程，也就是说 ，如果某人的现期收入高于（或低于）其先前的持久 收入概念，则他将增加（或减少）后者，增加（或减 少）的幅度是二者之差乘以λ： Y P it (Y it Y P it 1 ) (18 ) λ一般位于0和1之间。因此人们在实际收入增加时 将调整他们的持久收入概念，但不会做全额调整， 这是因为认识到实际收入的变动或许有一部分是由 于收入的暂时分量变动的结果。 （18）式可改写为： Y it Y it 1 (Y it Y it 1 ) P 即 Y P it P Y it (1 )Y P P it 1 (19 ) ( 20 ) 此式表明，在第t年，消费者将持久收入估计为 实际收入和以前的持久性收入概念的加权平均。 如果λ接近于1，则该消费者将绝大部分权重给了 实际收入，YP 迅速向Y调整，若λ接近0，则很小 部分权重给了实际收入，调整过程将很缓慢。 将（17）式 C P it Y P it (17 ) 代入（16）式 C it C 我们有： p it C it Y C P it T it C (16 ) T it ( 21 ) 至此，我们得到了实际消费和持久收入之间的关系 式，即消费函数的弗里德曼模型。式中CitT起着扰动 项的作用。 为了估计这个模型，弗里德曼用（20）式（适应 预期机制）将持久收入表示成实际收入的现期值和 各期滞后值： Y P it Y it (1 )Y P it 1 Y it (1 )Y it 1 (1 ) Y 2 P it 2 Y it (1 )Y it 1 (1 ) Y it 2 (1 ) Y it 3 2 3 ( 22 ) 若0<λ<1，这就是一个合理的假设，现期收入的权数 最大，上一年次之，随着时间往回推，影响逐年衰减 。最后，权数变得非常之小，使得无需考虑该年之前 那些过去值。 弗里德曼采用的估计方法是我们前面介绍过的非 线性方法，即首先试位于0和1区间内的大量λ值， 为每个λ值计算相应的持久收入时间序列，然后用 消费对每个持久收入数据集回归，根据R2选出最佳 λ值。 为了与传统消费函数相比较，弗里德曼用美国 1905—1951（战争期间除外）的人均实际消费和人 均可支配收入数据进行了回归。在格点搜索计算中， 他将持久收入计算为现期收入和16个滞后收入项的 加权平均值，λ的最优值为0.37，得到消费函数中 β的估计值为0.88。 第四节 自回归模型的估计 上两节中，我们讨论了下列三个模型： 科克模型 Yt (1 ) X t Yt 1 ( u t u t 1 ) (1) 部分调整模型 Yt X t (1 )Yt 1 u t (2) 适应预期模型 Yt X t (1 )Yt 1 ( u t (1 ) u t 1 ) (3) 这三个模型具有一种共同的形式，即： Y t 0 1 X t 2 Y t 1 V t (4) 这种解释变量中包括因变量的滞后值的模型称为 自回归模型。由于在解释变量中包含了因变量的滞 后值,我们就可以动态地考察该变量在若干周期中的 变动,因此称为动态模型。 在自回归模型（4）中，由于随机解释变量的存 在和序列相关的可能性这双重原因，OLS法不能直 接应用，因此我们必须研究这类模型的估计问题。 一、自回归模型的估计问题 OLS法的应用，要求解释变量Xt为非随机的。在自 回归模型中，由于Yt-1作为解释变量，这一条件已无 法满足，这是因为，由于 Y t 0 1 X t 2 Y t 1 V t 因此： Y t 1 0 1 X t 1 2 Y t 2 V t 1 这表明，Yt-1 是随着随机扰动项Vt-1 的变动而变 动的，即Yt-1部分地由Vt-1决定，因而Yt-1是随机变量。 1. 解释变量为随机变量时OLS估计量的统计性质 由第五章，当X为非随机量这一条不满足时 （1）若每一个Xt都独立于所有的扰动项ut，即 cov(Xs,ut)=0, s=1,2,…,n t=1,2,…n 则OLS估计量仍为无偏估计量。 （2）若解释变量Xt独立于相应的扰动因素ut，即随 机解释变量与扰动项同期无关 ： Cov(Xt,ut)=0, t=1,2,…,n 则OLS估计量为一致估计量。 （3）若上述两条均不满足，则OLS估计量既是有偏 的，又是不一致的。 2、自回归模型的估计问题 在自回归模型的情况下，第（1）条已无法满足，因 为Yt-1显然可以表示为Vt-1,Vt-2,…,V1等的函数，因而依 赖于Vt-1和所有早期的扰动因子。 现在让我们来看是否有可能满足解释变量与扰动项 同期无关的条件，从而得到一个一致的估计量。 在自回归模型（4）的情况下： Yt 0 1 X t 2Yt 1 V t 也就是要求Yt-1独立于Vt,或 Cov(Yt-1,Vt)=0 不难看出，只要扰动项Vt是序列独立的（即自回 归模型（4）的各期扰动项相互独立），我们就可以 假定Yt-1独立于所有未来的扰动因子（包括Vt），在 这种假定下，Yt-1与Vt无关，我们对（4）式应用OLS 得到的参数估计量是一致估计量。 让我们回到本节开始时列出的三个模型，看看我们 关于Yt-1独立于所有未来的扰动因子，特别是Yt-1与Vt 无关的假定是否能成立。 在科克模型和适应预期模型中，扰动因子序列独立 的条件不成立，以科克模型为例，扰动项 Vt = ut-λut-1 假定ut满足标准假设条件，则容易证明 E (V tV t 1 ) E [( u t u t 1 )( u t 1 u t 2 )] E [ u t u t 1 u t u t 2 u 2 2 该式非0，即Vt序列相关。 2 t 1 u t 1u t 2 ] 2 我们还不难证明 Cov (Yt 1 , V t ) Cov [Yt 1 , ( u t u t 1 )] 2 即Yt-1与Vt相关。适应预期模型的情况与此类似。 因此，对于科克模型和适应预期模型，应用OLS 法不仅得不到无偏估计量，而且也得不到一致估计 量。也就是说，即使样本容量无限增大，参数估计 量也不趋向于其总体值。因此，不宜采用OLS法估计 上述两种模型。 但是，部分调整模型不同，在该模型中， Vt=δut ，若ut 满足标准假设条件，则Vt 也满足。因 此，可用OLS法直接估计部分调整模型，将产生一致 估计值。 综上所述，OLS法可用于部分调整模型的估计，并 提供一致的估计值。而科克模型和适应预期模型，则 由于其扰动项存在序列相关，用OLS进行估计得到的 估计量既是有偏的，也是不一致的。 二、工具变量法（IV法，Instrumental Variable） OLS法不能应用于科克模型和适应预期模型的原 因是解释变量Yt-1 与扰动项Vt 相关，如果这种相关 能够被消除的话，我们就可以用OLS得到一致估计 值。如何实现这一点呢？利维顿（Liviatan）提出 的工具变量法是一种解决方法。 工具变量法的基本思路是当扰动项u与解释变量X 相关时，设法找到另一个变量Z，Z与X高度相关，而 与扰动项u不相关，在模型中，用Z替换X，然后用 OLS法估计，变量Z称为工具变量。 只要工具变量的选取能够保证Z与X高度相关，而与 u不相关，则我们得到的将是一致估计量。Z与X的相 关程度越高，这种替代的效果就越好。我们下面回到 科克模型和适应预期模型，研究工具变量的选取。 我们的模型为 Y t 0 1 X t 2 Y t 1 V t 这里X是唯一的外生变量，而Y的行为部分地依赖 于X的行为，Yt-1的取值部分地取决于Xt-1的数值。因 此，这里Xt-1就是一个比较理想的工具变量，即用滞 后外生变量作为滞后内生变量的工具： Zt=Xt-1 , t=1,2,…,n 来估计 Yt 0 1 X t 2 Z t V t t 1, 2 ,..., n 在实践中，自回归模型还可以用极大似然法估计， 得到的估计量是一致估计量。 当然，对于本节所涉及的三种模型，由于它们都 是几何滞后模型，因而都可以用前面介绍的非线性 方法进行估计，该方法尽管费时，但没有估计问题。 第五节 阿尔蒙多项式分布滞后 （Almon Polynomial Distributed Lags） 科克分布假定滞后解释变量的系数按几何级数 递减。对于很多应用问题来说，这是一种令人满 意的近似，但对于另一些应用问题，这种假设就 未必符合现实情况。例如，在某些情况下较现实 的假设是，因变量对解释变量变动的响应是，开 始小，然后随时间变大，尔后再次衰减，如下图 所示。 t 滞后的权数 阿尔蒙滞后分布的基本假设 阿尔蒙滞后分布为这类行为的构模提供了灵活 的选择，同时使待估计的参数数目大大减少。 基本假设是，如果Y依赖于X的现期值和若干期 滞后值，则权数由一个多项式分布给出。由于这个 原因，阿尔蒙滞后也称为多项式分布滞后。最简单 的例子是二次和三次多项式的情况，如下图所示： 图2 二次函数 图3 三次函数 一般情况下，在分布滞后模型 Yt 0 X t 1 X t 1 m X t m u t 中，假定： i a 0 a1i a 2 i a p i 2 p 其中p为多项式的阶数，如图2中p=2，图3中p=3。 也就是用一个p阶多项式来拟合分布滞后，该多项 式曲线通过滞后分布的所有点。 由用户选择最大滞后周期m和多项式阶数p。 例：若你根据一实际问题设定下面的模型： Yt 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 3 X t 3 4 X t 4 u t (1) 这表明，你所选择的最大滞后周期m=4，模型中共 有6个参数。若决定用二次式进行拟合，即p=2，则 i a 0 a1i a 2 i 2 我们有： 0 a0 1 a 0 a1 a 2 2 a 0 2 a1 4 a 2 3 a 0 3a1 9 a 2 4 a 0 4 a 1 16 a 2 代入原模型，得 Y t 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 3 X t 3 4 X t 4 u t 4 i X t i u t i0 4 (a a1i a 2 i ) X t i u t 2 0 i0 4 4 a 0 X t i a1 iX i0 令： i0 4 a 2 i X t i u t 2 t i i0 Z0t=∑Xt-i, Z1t=∑iXt-i, Z2t=∑i2Xt-i 显然，Z0t,Z1t和Z2t可以从现有观测数据中得出， 使得我们可用OLS法估计下式： Yt a 0 Z 0 t a1 Z 1 t a 2 Z 2 t u t (2) （2）式中有4个参数，比（1）式的6个少了两个， 估计出， a0,a1,a2 的值之后，我们可以转换为βi的 估计值,公式为： ˆ i aˆ 0 aˆ 1 i aˆ 2 i 2 应用阿尔蒙滞后的关键在于如何选择最大滞后周期 m和多项式的阶数P。 在实践中，人们期望m尽量小一些，如果有10年的 数据，通常滞后取二至三期。 对于P，我们可直接由（2）式用t检验法检验 H0: aP = 0,如果接受原假设，我们就可以去掉aP，然后用 （P-1）阶来估计（2）式，如果H0: aP = 0被拒绝， 我们可以试（p+1）阶，并检验 H0: aP+1= 0，等等。 一般说来，采用高阶多项式，拟合效果要好一些， 但出现多重共线性问题的可能性要比二阶、三阶多项 式大。一般情况下，三次多项式是一个不错的选择。 *第六节 格兰杰因果关系检验 (Granger Causality Test) 相关并不意味着必定存在因果关系。然而，许多经济 变量之间存在单向或双向的影响关系。例如，宏观经 济学经常会问到的一个问题是：是GDP“引起”货币供 给M，还是货币供给M “引起” GDP？ 格兰杰因果关系检验法要检验的就是这类的因果关 系是否存在，比如说，X是否为Y的因？检验思路是， 用当前的Y对Y的若干期滞后及X的若干期滞后回归， 然后检验X的这些滞后变量作为一个整体是否改善了回 归结果，如果回答是肯定的，则X被称为Y的格兰杰原 因 （X Granger causes Y）。 值得注意得是，这种因果关系往往是双向的， X 是Y的格兰杰原因，Y又是X的格兰杰原因。 格兰杰因果关系检验要求进行以下两个回归： m Yt m i X t i i 1 Y i i 1 i t i u 1t (1) i 1 m Xt Y m t i i 1 下面分四种情形讨论： i X t i u 2t (2) 1. 如果（1）式中诸X滞后项的系数整体统计上异于0， 而（2）式中诸Y滞后项的系数整体统计上为0，则 表明有从X到Y的单向因果关系； 2. 如果（2）式中诸Y滞后项的系数集统计上异于0， 而（1）式中诸X滞后项的系数集统计上为0，则表 明有从Y到X的单向因果关系； 3. 如果X和Y的滞后项的系数集在两个回归中都是统 计上异于0的，则表明存在X与Y的双向因果关系； 4. 如果X和Y的滞后项的系数集在两个回归中都是统 计上为0，则表明X和Y之间不存在因果关系。 格兰杰因果关系检验的具体做法与我们在第四章 中介绍的涉及多个系数的联合假设检验类似，即首先 进行约束回归和无约束回归，然后用得到的两个残差 平方和计算F检验量，进行检验。 例如，假设我们要检验X是不是Y的格兰杰原因。 原假设H0：X不是Y的格兰杰原因 备择假设Ha： X是Y的格兰杰原因 事实上，我们要检验的原假设就是： H 0 : 1 2 ...... m 0 要检验原假设是否成立，我们分别做包含与不包含 X滞后项的回归（无约束回归与约束回归），记前者 的残差平方和为RSSU，后者的残差平方和为RSSUR， 计算F统计量： F ( R SS U R R SS U ) / m R SS U /( N k ) 式中，m为X的滞后项的个数，n为观测值个数，k 为无约束回归中待估计参数的个数。 如果计算的F值大于给定的显著性水平α下的F 临界值Fα(m, n-k)，则拒绝原假设，认为X是Y的格 兰杰原因。