Transcript 高等代数精品课程教学实验课件六

《高等代数》数学实验
(实验六)
问题提出
在实际应用中常常遇到这种情况：已经测得
一组实际数据，找一条光滑曲线通过这些点或和
这些点有满足要求的误差，比较简单实用的方法
就是多项式插值和曲线拟合。多项式插值和曲线
拟合是数值分析的重要内容，是多项式理论的直
接应用。
实验目的
1、掌握多项式插值的原理和方法;
2、了解曲线拟合的一些方法;
3、学会用Mathematica求解多项式
插值和曲线拟合。
预备知识
前 进
1、拉格朗日插值多项式
2、曲线拟合
3、最小二乘法
1、拉格朗日插值多项式
返 回
给定数环R里n+1个互不相同的数 x1, x2 ,, xn 1
以及任意n+1个不全为零的数 y1 ，y2 ，…，yn 1 ，
那么在R[x]上存在一个n次多项式：
yi ( x  x1 )( x  xi 1 )(x  xi 1 )( x  xn 1 )
f ( x)  
i 1 ( xi  x1 )( xi  xi 1 )(xi  xi 1 )( xi  xn 1 )
n 1
这就是拉格朗日插值多项式。
2、曲线拟合
返 回
曲线拟合是根据数据和某类函数（如：
线性函数、二次函数等）在某些点处的函
数值，按照某种准则（一般是最小二乘
法），得到该函数的近似函数图像的过程。
3、最小二乘法
返 回
最小二乘法的原理：给定平面上一 组点( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 )，
… ，( xn , yn ) 。 求
f (x ) ，
使
2 
达到最小值。

f i  yi
2
实验内容与要求
1、掌握多项式插值的方法；
2、掌握样条插值的方法 ；
3、掌握线性拟合、二次拟合、多项
式拟合和指数拟合等方法。
命令详解（一）
函
数
意
义
Fit[data,funs,vars]
用变量vars函数funs拟
合数据data
Fit[{f1,f2,…},{1,x},x]
线性拟合
Fit[{f1,f2,…},{1,x，x^2 },x]
二次曲线拟合
Fit[data,Table[x^I,{I,0,n},x]
N次多项式拟合
Exp[Fit[Log[data], {1,x},x]
指数拟合
InterpolatingPolynomial[{f1,f2,…
},x]
求fi值的拉格朗日插值
多项式
命令详解（二）
InterpolatingPolynomial[{x1,f1},…,{ {xn 求{xi,fi}值的拉格朗日插值
,fn}},x]
多项式
InterpolatingPolynomial[{{x1,{f1,d f1,dd 求给定导数值的拉格朗日插
f1,…,}}]
值多项式
Interpolation[{f1,f2,…}]
求自变量取整数值的近似插
值函数
Interpolation [{x1,f1},…,{ {xn,fn}]
求点x1处值f1的近似插值函
数
Interpolation [{{x1,{f1,d f1,dd
f1,…,}}]
求给定导数值的近似插值函
数
Interpolation [{x1, y1,f1,…},…}]
指定网格点上的函数值
SplineFit[pnts,type]
对点集pnts生成类型type的样
条插值
操作演示（一）
实例演示
例1 （见 P66第5题）求一个次数小于4的多项
式 f (x)，使 f (2)  3 ，f (3)  1，f (4)  0，f (5)  2
操作演示（二）
实例演示
例2 （见 P66第6题）求一个2次多项式，使它

在 x  0, , 处与函数Sinx 有相同的值。
2
操作演示（三）
实例演示
例3 求一个多项式函数，使它在 x  0,1,2,3,4,5,6
处与 sin x有相同的值
操作演示（四）
实例演示
例4 给出前20个素数，对这组素数作线性拟合
操作演示（五）
实例演示
例5 对例4给出的数据,作二次多项式拟合
作业
1、构造拉格朗日插值函数
x
y
-1.8 -1.5
1
3
-1
-0.5
0
1
1.2
3
3.5
4
2
3
5
7
7
8