Transcript 第四章放宽基本假定的模型4

§4.4
随机解释变量问题
一、随机解释变量问题
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
三、随机解释变量的后果
四、工具变量法
五、案例
一、随机解释变量问题的含义
• 对于模型
Yi   0  1Y1i   2 X 2i     k X ki  i
基本假设:解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量。如果存在一个或多个
随机变量作为解释变量，则称原模型出现随机解释变量问题。
• 在解释变量为确定性变量的假定下，解释变量与随机误差项独立，从
而意味着：
cov( x jt , t )  0 ( j  1, 2,..., k; t  1, 2,..., n)
• 当解释变量为随机变量时，解释变量有可能会与随机误差项产生相关。
具体而言，可能有三种情况：（不妨设X2为随机变量）
1.
随机解释变量与随机误差项独立(Independence)
cov( X 2t , t )  E( X 2t  X 2 )( t )  E( x2t t )  0
( t  1, 2, ..., n)
2. 随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneously
uncorrelated)，但异期相关。
cov( X 2t , t )  E( x2t t )  0
( t  1, 2, ..., n)
cov( X 2t , t  s )  E( x2t t  s )  0 s  0
3. 随机解释变量与随机误差项同期相关(contemporaneously
correlated)。
cov( X 2t , t )  E( x2t t )  0
( t  1, 2, ..., n)
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
•
在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。
但是在单方程计量经济学模型中，一般都将解释变量认为是确定
性的，而不去考虑其随机性。
•
于是随机解释变量问题主要发生于用滞后被解释变量作为模型的
解释变量的情况。
◎这是缘于经济活动的连续性，被解释变量的现期值往往会受到若
干前期值的影响。因此模型需要包含被解释变量的滞后期变量。
例1：耐用品存量调整模型

耐用品的存量Qt由前一个时期的存量Qt-1和当期收入It共同决定：
Qt=0+1It+2Qt-1+t
t=1,T
这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。
• 但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量
Qt-1只与t-1相关，与t不相关
• 属于上述的第2种情况：同期无关而异期相关。
例2：合理预期的消费函数模型

合理预期理论认为消费Ct是由对收入的预期Yte所决定的：
Ct   0  1Yt e  t
预期收入Yte与实际收入Y间存如下关系的假设
Yt e  (1  )Yt  Yt e1
容易推出
Ct   0  1 (1  )Yt  1Yt e1  t
  0  1 (1   )Yt   (Ct 1   0  t 1 )  t
  0 (1   )  1 (1   )Yt  Ct 1  t   t 1
其中：Ct-1是一随机解释变量，且与 (t-t-1)高度相关。
• 属于上述第3种情况：同期相关。
三、随机解释变量的后果

在对OLS估计量的小样本性质（无偏性和有效性）的证明过程中使用
了解释变量为非随机变量，从而X与μ不相关的假定。

计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机扰动项相关的话
，如果仍采用OLS法估计模型参数，将影响到参数的所具有的优良性
质。

为便于理解随机解释变量对参数性质的影响，先介绍估计量在大样
本下的渐进统计性质
◎主要包括：渐进无偏性和一致性
1、渐进无偏性
记
ˆn 为样本容量为n时参数θ的估计量，如果满足：
lim E (ˆn )  
n 
则称 ˆn 为θ的渐进无偏估计量
2、一致性
对上述
ˆn 如果满足： p lim ˆn
n 
则称 ˆ
n
为θ的一致估计量

（plim表示概率极限）
可以证明：
ˆn 是 的一致估量  lim E (ˆn )   AND lim var(ˆn )  0
n 
n
即：一致估计量一定是渐进无偏的，并且在真实值附近离散的程度随样
本容量的增加而逐渐趋于0
注意：
• 上述渐进统计性质仅在大样本条件下才有意义，而在小样本下不起
作用。
# 随机解释变量的后果－直观理解
（a）正相关
（b）负相关
Yˆ  ˆ0  ˆ1 X
Yˆ  ˆ0  ˆ1 X
拟合的样本回归线可能低估截
距项，而高估斜率项。
拟合的样本回归线可能高估
截距项，而低估斜率项。
#
随机解释变量的后果－理论分析
•以对一元线性回归模型为例分析不同情况下，随机解释变量问题对参数
性质的影响。
Yt   0  1 X t  t
( X t  X ) t
xt  t


ˆ
 1 
参数β1的OLS估计量为：  1   1 
2
2
(
X

X
)
x
 t
 t
1、如果X与相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。
E ( ˆ1 )  1
x

 E(
)
x
t
t
2
t
1
 E (  kt t )   1
2、如果X与同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是
一致的。
xt  t

ˆ
E ( 1 )  1  E (
)   1  E (  kt t )   1
2
 xt

kt的分母中包含不同期的X；由异期相关性知：kt与t相关，因此
E(ˆ1 )  1
• 但是
 xt  t )
P lim ˆ1   1  P lim(
n 
n 
 xt 2
1
 xt  t )
n  n
 1 
1
P lim(
xt 2 )

n  n
cov( X t ,  t )
 1 
 1
Var ( X t )
P lim(
3、如果X与同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。
•
从（2）的证明中可以看出。
注意：

由上述分析可见，当随机解释变量与随机误差项相关时（异期相关
或同期相关），OLS估计量将存在偏误，造成模型全面的失准。

特别地，对于存在滞后被解释变量作为解释变量的模型，滞后被解
释变量最低限度都会与误差项异期相关，因此对于此类模型必须要解
决随机解释变量问题。

如果异期相关，增加样本容量是解决问题的一个良好办法，但是对
于同期相关，增加样本容量也无济于事。
四、工具变量法
1、工具变量法的含义

所谓的工具变量法（instrumental variable method）是指：
当随机解释变量X与随机误差项µ相关时，寻找另一个与随机解释变
量
X高度相关，但与随机误差项μ不相关的变量Z，并在模型的估计过
程
中用Z“代替”X去完成参数估计的一种方法。
2、工具变量的选取
• 工具变量是在模型估计过程中作为工具使用，以替代与随机误差项
相关的随机解释变量。被选择为工具变量的变量必须满足以下条件：
(1) 与所替代的随机解释变量高度相关
(2) 与随机误差项不相关
(3) 与模型中的其它解释变量不相关（为什么？）
(4) 如果同时使用多个工具变量，则工具变量间不相关
•此外，通常要求工具变量最好是具有明确经济含义的外生变量，而非
另外的随机变量。
3、工具变量的应用
• 工具变量的应用要点在于：在模型的估计过程中代替X进行参数估计。
#
以一元线性回归模型为例说明这一含义。
◎考虑一元线性回归模型如下：Yi   0  1 X i  i
用OLS估计模型，需要构造一个正规方程组。
 Y  n    X
XY  X  X
i
0
i
i
1
0
i
i
1
2
i
(*)
◎这一正规方程组相当于用1与Xi去乘模型两边、对i求和、再略去i
与Xii项后得到的。
在基本假定下，由于：
cov( X i , i )  0
这意味着在大样本下，有：
1
1
( X i  X )  i   xi  i  0

n i
n i
从而，略掉Xii项是合适的。
但当X随机，且与μ相关时，上式并不成立，所构造的正规方程组
是无效的。
◎ 如果选择Z为X的工具变量，在上述估计过程用对(*)式改用Zi乘以模
型两边并求和，则有：
Z Y   Z
i i
0
i
 1  Zi Xi   Zi i
由于Cov(Zi,i)=E(zii)=0 ，即在大样本下，有：
1
1
( Z i  Z ) i   zi i  0

n i
n i
此时可以略去Zii而得到一个有效的正规方程组：
 Y  n    X
ZY   X  Z X
i
0
i i
1
0
i
i
1
i
i
(#)
解此正规方程组可得到：
1
( Z  Z )(Y  Y )


,
 ( Z  Z )( X  X )
i
i
i
0
 Y  1 X
i
由于Z与μ的无关性，保证了在大样本下正规方程组（#）的有效性，从
而所获得上述参数估计大样本下满足相应的性质要求，具体而言，具有
一致性。
• 这 种 求 模 型 参 数 估 计 量 的 方 法 即 为 工 具 变 量 法 (instrumental
variable method) ， 相 应 的 上 述 β~ 估 计 量 称 为 工 具 变 量 法 估 计 量
（instrumental variable (IV) estimator）。
特别地，对于多元线性回归模型（矩阵形式）：
Y=X+ 
假设X2与随机项相关，其工具变量为Z，则采用工具变量法（用工具变量
Z替代X）得到的正规方程组为：
Z Y  Z Xβ
参数估计量为：
~
1

β (Z X) ZY
其中:
 1
X
 11
Z   Z1

 

 X k1
1
X 12


Z2

X k2

1 
X 1n 

Z n  称为工具变量矩阵


X kn 

4、工具变量法估计量是一致估计量
•一元回归中，工具变量法估计量为
1 
 z y   z Y   z (   X
z x z x
z x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
i
两边取概率极限得：
~
0
P lim(1 )  1 
i
 i )
i
=1 
z 
z x
i
i
i
i
P lim 1n  zi i
P lim 1n  zi xi
基于工具变量Z选取要求，有：
1
P lim  z i  i  cov( Z i ,  i )  0
n
~
则有： P lim(1 )  1
1
P lim  z i xi  cov( Z i , X i )  0
n
即在大样本下IV参数估计量具有一致性
5、对工具变量法的说明
（1）在模型估计方面，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模
型的参数估计过程中用工具变量“代替”模型中的随机解释变
量
◎ 实际上，工具变量法估计过程等价于一种两步OLS回归：
1) 用X关于工具变量Z进行回归，得到X’
2) 用Y关于X’进行回归。
◎ 所以工具变量法仍是用Y对X的回归，而非Y对Z的回归。
（2）在参数性质方面:
◎大样本下，工具变量法估计量具有一致性，
◎小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。
1
E(
 z i xi
1
 z i  i )  E ( z x ) E ( z i  i )  0
 i i
特别地，由于使用工具变量，有可能产生较高的标准差，从而不能保
证参数估计值的渐进方差一定能够最小，即不能保证参数的渐进有效
性。
（3）在实际应用过程中，一方面，寻求到一个既与X高度相关，又与
μ无关的工具变量并非易事。一般可以用Xt-1作为原随机解释变
量Xt的工具变量。
另一方面，也有可能对同一个X找到多个符合要求的工具变量。
此时选择的工具变量不同，参数估计值不一定一致，具有随意性。
选择哪一个工具变量是一个技巧。解决的策略之一是广义矩估计
（GMM）。
（4）如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必
须分别为他们找到相应的工具变量进行替代。
但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序将不影
响估计结果(Why？)。
（5）OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。
五、案例
（中国居民人均消费函数）
例4.4.1
在例2.5.1的中国居民人均消费函数的估计中，采用OLS估
计了下面的模型：
CONSP   0  1GDPP 
•
由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国内生产总值
（GDPP）相互影响，因此，容易判断GDPP与同期相关（往往是
正相关）
•
因此：OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计
斜率项 ）。
•
OLS估计结果：
(13.51) (53.47)
R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
•
如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：
(14.84)
(56.04)
R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5

工具变量法估计量，对OLS估计量对截矩项的低估和斜率项的高估作
出了修正，而且各项检验指标也都有进一步的修正。