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§4.4 差分方程建模
一、差分方程简介
以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0表示第一周期初，
t=1表示第二周期初等。 记yt 为变量y在时刻t 时的取值，则
称 yt  yt 1  yt 为yt 的一阶差分，称
 yt  ( yt )  yt 1  yt  yt  2  2 yt 1  yt
2

为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。
由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最
高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成
不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
2
 yt  yt  yt  0 也可改写成 yt  2  yt 1  yt  0


Slide 2

满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分
方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶
数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数，
则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差
分方程

yt  2  yt  0
t
t

yt  sin 与 y t  cos 均是它的特解，而
2
2


yt  c1 sin t  c2 sin t
2
2则为它的通解，其 中c1，c2为两个任

易见

意常数。类似于微分方程，称差分方程

a0 ( t ) yt  n  a1 ( t ) yt  n1    an ( t ) yt  b( t )

为n阶线性差分方程， 当 b(t )≠0时称其为n阶非齐次线性差
分方程，而


Slide 3

a0 ( t ) yt  n  a1 ( t ) yt  n1    an ( t ) yt  0
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。
若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分
方程，即n阶常系数线性差分方程可分成

a0 yn t  a1 yn t 1    an yt  b( t )
的形式，其对应的齐次方程为

a0 yn t  a1 yn t 1    an yt  0
(1)
t

容易证明，若序列 y 与 y
(1)
( 2)
yt  c1 yt  c2 yt

( 2)
t

（4.15）
（4.16）

均为方程（4.16）的解，则

也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明，
齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（4.15）也成立。


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方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：
（步一）先求解对应的特征方程
n
n 1
（4.17）
a0   a1    an yt  0
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(4.16)的通解
情况1 若特征方程（4.17）有n个互不相同的实根

,…,
，则齐次方程（4.16）的通解为
1
n
t
t
C1，1    C n n (C1,…,Cn为任意常数)

情况2 若λ 是特征方程（4.17）的k重根，通解中对应
k 1
t
(C1    C k t )
于λ的项为

C为任意常数，i=1,…,k。
i
情况3 若特征方程（4.17）有单重复根   a  i
C1  cos t  C2  sin t

2
2


arctan
为λ的幅角。
   为λ的模，


通解中对应它们的项为


t

t


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情况4 若

  a  i 为特征方程（4.17）的k重复根，则通
解对应于它们的项为

( C1    Ck t

k 1

)  cos t  ( Ck 1   C2k t
t

k 1

)  sin t
t

C i 为任意常数，i=1,…,2k。

（步三） 求非齐次方程 (4.15)的一个特解 y t .若yt为方程(4.16)
的通解,则非齐次方程 (4.15)的通解为 yt  yt
求非齐次方程（4.15）的特解一
般要用到 常数变易法，计算较繁。
对特殊形式 的b(t)也可使用 待定
系数法。


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例4.13 求解两阶差分方程

yt 2  yt  t

解 对应齐次方程的特征方程为 2  1  ，其特征根为
0
1, 2   i ，对应齐次方程的通解为 yt  C1 cos

原方程有形如
1

at 的特解。代入原方程求得
b


2

t  C 2 sin



t

2

1

a ， b   ，故原方程的通解为 C cos  t  C sin  t  1 t  1
1
2
2
2
2
2
2
2

在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，
在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要
讨论解的稳定性。对 差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程
的通解中任意常 数C1,…,Cn如何取值 , 在 t   时总
有 yt  0 ,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不
稳定 的.根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程(4.15)稳定的
充要条件为其所有特征根的模均小 于1。


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例4.14（市场经济的蛛网模 型）
在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该
商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另
一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格
决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致
商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的
积极性，导致商品生产量的下降。
在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的
函数：
（1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲
线称为供应曲线。
（2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其
曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的
形状如图所示。


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P
记t时段初市场上的供应量 (即上
P0
一时段的生产 量)为xt ，市场上
该商品的价格 为Pt 。商品成交的
价格是由需求曲线决定的， 即 P2
P*
1
Pt  g ( x t )
P1
*
,Mt将趋于平衡点M ,
随着 t  
即商品量将趋于平衡 量x*,价格
将趋于平衡价 格P*。图中的箭线
o
反映了在市场经济下该商品的供
应量与价格的发展趋势。
P
但是，如果供应曲线和需求曲
线呈图①中的形状，则平衡点
M*是不稳定的，Mt将越来越远
离平衡点。

①

供应曲线

M0

M2
M*

需求曲线

M1

x1 x* x2 x0

x

M 1 M3
M2
o

②

x


Slide 9

但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图②中的形状，则平衡点
M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供
应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供
求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性
的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型。

不难看出，在 图①中平衡点
M*处供应曲线的切线斜率大于
图①和图②的区别在哪里，
需求曲线切线斜率的绝对值，
如何判定平衡点的稳定 性呢？
而在图②中情况恰好相反。


Slide 10

现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是
否正确。我们知道，平衡 点M*是否稳定取决于 在M*附近供、
需曲线的局部性态。为此， 用M*处供、需曲线的线性近似
来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。
设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为
P  P  b( x  x )

P  P  a( x  x 和
)
*

*

*

*

式中，a、b分别为供
应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线 在M*处切线斜率的绝对值。
根据市场经济的规律，当供应量 为xt时，现时段的价格
*
*
Pt 1  P  b( xt  x )，又对价格 Pt 1 ，由供应曲线
Pt 1  P  a( xt 1  x ) 解得下一时段的商品量
*

*

x t 1  x 
*

1
a

( Pt 1  P )  x 
*

*

1
a

[ P  b( x t  x )  P ]
*

*

*


Slide 11

x 
*

b
a

( x t  x ) 由此导出一阶差分方程：
*

b *

x t 1  x t   1   x
a
a

b

（4.18）

此差分方程的解在 (b/a)<1时是稳定的，从而证实了我们的
猜测。注意 到a和b的实际含义，上述结果在经济学上可作
如下解释： 当a>b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于
生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步
趋于稳定；反之， 若a商品供售市场易造成混乱 .
如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价
格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不
应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可
以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，
若t 时段的商品量为 xt 时，仍有


Slide 12

Pt 1  P  b( xt  x （4.19）
)
1
*
*
x

x

(
P

P
)
但t+1时段的商品量则不再为
t 1
t 1
a
1 Pt 1  Pt
*
*
而被修正为 xt 1  x  (
 P ) （4.20）
*

*

a

2

由（4.19）式得 Pt  P *  b( xt 1  x * ) （4.21）
将（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得

2 x t 1 

b

xt 

b

x t 1  (1 

b

*

) x （4.22）

a
a
a
（4.22）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为
2 
2

b
a

其特征根为



b
a

0


Slide 13

2

b
b
b
不难发现，生产者管理方式的
    8
a
a
a
这一更动不仅使自己减少了因

4
价格波动而带来的损失，而且
r
b
2
记 r  。若 r大大消除了市场的不稳定性。
 8r  0 ，则 max 1 , 2   2   2
4
a
生产者在采取上述方式来确定
此时差分方程（4.22）是不稳定的。
各时段的生产量后，如发现市
若 r 2  8r  0场仍不稳定（b≥2a），可按类
，此时特征根 1, 2为一对共轭复数，
似方法试图再改变确定生产量
r
1
2
的方式，此时可得到更高阶的
1, 2 



(
r

8
r

r
i) 。
，
1, 2
2
差分方程。对这些方程稳定性
4
条件的研究很可能会导出进一
由线性差分方程稳定的条件，
当r<2即b<2a时（4.22）式
是稳定的，从步稳定市场经济的新措施。
而M*是稳定的平衡点。


Slide 14

例4.15 国民经济的稳定性
国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费
资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。
现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析
一下国民经济的稳定性问题。
记yt为第t周期的国民收入，Ct为第t周期的消费资金。Ct的值决
定于前一周期的国民收入，设 C t  ayt 1 ,0  a  1 。
再生产的投资水 平It取决于消费水平的变化量，设
I t  b(C t  C t 1 ), b  0
政府用于公共设施的开支在一个不太大的时期内变动不大，设
为常数G。故由 yt  C t  I t  G 可得出
yt  ayt 1  b(C t  C t 1 )  G 。将 C t 1  ayt  2及C t  ayt 1 代入


Slide 15

yt  a(1  b) yt 1  abyt  2  G
（4.23）
（4.23）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为
2
  a(1  b)  ab  0 ，相应特征根为

1

a (1  b )  ab  1
2

2

（4.24）
成立时才是稳定的。 （4.24）式可用于预报经济发展趋势。
4

现用待定系数法求方程 （4.23）的一个特解
代入（4.23）式，得

C

y。令
t

G
1 a

故当（4.24）式成立时，差分方程 （4.23）的通解为
y t   (C1 cos t  C 2 sin t ) 
t

其中ρ为 1, 2 的模，ω为其幅角。

G
1 a

yt  C


Slide 16

例如，若取

1

1

a， b
4
2

易见，此时关系式 （4.12）成立，又若 取y0=1600，y1=1700，
G=550，则由迭代公式

yt  a(1  b) yt 1  abyt  2  G


9
8

y t 1 

3
8

yt  2  550

求得
y2=1862.5, y3=2007.8, y4=2110.3, y5=2171.2, y6=2201.2,
y7=2212.15, y8=2213.22, y9=2210.3,…。
易见

yt 

G
1 a

 2200


Slide 17

例4.16 商品销售量预测

(实例)某商品前5年的销售量见表 。现希望根据 前5年的统
计数据预测 第6年起该商品在各季度中的销售量。
年份
从表中可以看出，该商品在
前5年相同季节里的销售量呈增
销售量
长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
季度
最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，
一种办法是应 用最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数
据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以
1
11
12
13
15
15
后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量
2
16
18
20 (1)
24
25
大体按线性增长，可设销售量
b
3
25
26
27yt  at 30
32
由 4
12 5
15
17
 5  5 15 
114

 ty

t

a

t 1




t

  yt 

5  t  1  t  1



1
 t  5   t 
t 1
 t 1 
5

5

2

2


Slide 18

b  y  at


1 5
1 5 

 y   y t ,t   t 

5
5
t 1
t 1



求得
a=1.3， b=9.5。
(1)
根据 yt  1.3t  9.5 预测第六年起第一季度的销售量 为
(1)
(1)
y
y6 =17.3， 7 =18.6，…
如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销
售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以
第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第t年第
一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：
yt  a0  a1 yt 1 或 yt  a0  a1 yt 1  a2 yt  2 等等。

上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合
理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立
二阶差分方程 yt  a0  a1 yt 1  a2 yt为例，为选取a
2
0,a1,a2使
5


t 3

[ y t (a0  a 1 yt 1  yt  2 )] 最小，解线性方程组：
2


Slide 19

5

 5

 5

 3a 0  
  y t 1 
 a1  
  yt  2 
a 2   yt
t 3
 t 3

 t 3


5
5


 5

 5


2

  y t 1 
a0  
  y t 1 
 a1  
  y t 1 y t  2 
 a 2   y t 1 y t
t 3

 t 3

 t 3

 t  3
 5
5

 5

 5

2

  yt  2 
a0  
  y t 1 y t  2 
a1  
  y t 1 
a 2    yt  2 yt

t 3

 t 3

 t 3

 t  3

即求解

3a0  40a1  36a2  44

40a0  538a1  483a 2  591
36a  483a  434a  531
0
1
2


得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二阶差分方程为
yt  8  yt 1  3 yt  2


Slide 20

虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个
巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量
的预测值 y6=21，y7=19，…等。
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽
然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测
时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第
七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，
如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出
的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异 应当
是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差
分方程。为此，将季度编号 为t=1,2,…,20，令
yt  a0  a1 yt 4 或 yt  a0  a1 yt 4  a2 yt 8 等，利用全体数
据来拟合，求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例，为
求a0、a1、a2使得 20
f (a0 , a1 , a 2 )   [ yt  (a0  a1 yt  4  a 2 yt  8 )]

2

t 9

最小


Slide 21

求解线性方程组
20

 20

 20

12a 0  
  yt  4 
a1  
  yt 8 
a 2   yt
t 9
 t 9

 t 9


20


 20 2 
 20


y
a

y
a

y
y





  t  4  0   t  4  1   t  4 t  8 
a 2 

 t 9

 t 9

 t  9
 20

 20

 20 2 

  yt  8 
a0  
  yt  8 yt  4 
a1  
  yt 8 
a 2 


 t 9

 t 9

 t  9

即求解三元一次方程组

20

y

t 4

yt

t 8

yt

t 9
20

y
t 9

12a0  229a1  209a2  249

229a0  4789a1  4376a 2  5193
209a  4376a  4009a  4747
0
1
2


解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程
yt  0.6937  0.8737 yt 4  0.1941 yt 8 （t≥21）
根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预
测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。


Slide 22

例4.16 人口问题的差分方程模型
在§3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模
型——Malthus模型和Verhulst模型（又称Logistic模型）。
前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时
效果较好。
1、离散时间 的Logistic模型
在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化
的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的
繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。
人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何
方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范
围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十
分自然地提了出来。


Slide 23

建立离散模型的一条直接途径是 用差分代替微分。从人口问
题的Logistic模型 dP
P


 aP  a P  aP  1 

dt
N



可导出一阶差分方程 Pt 1  Pt  aPt (1 
Pt

Pt

N  (a )
a

) （4.25）

N

(4.25)式中右端的因子 (1  ) 常被称为阻尼因子。 当Pt＜＜
N
N时，种群增长接 近Malthus模型；当Pt接近N时，这一因子
将越来越明显地发挥阻尼作用， 若Pt＜N，它将使种群增长
速度 在Pt接近N时变得越来越慢，若 P＞N，它将使种群呈负
增长。


a

Pt （4.26）
（4.25）式可改写为 Pt 1  (a  1) Pt  1 


记



a
Pt 1  (a  1), xt   1 
Pt 
(a  1) N



xt 1  bxt (1  xt ) f ( xt ),

(a  1) N



,于是(4.26)式又可改写为

t  0,1,2, 

（4.27）


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虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，
其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。
b 1
*
差分方程（4.27）有两个平衡点， 即x*=0和 x 
。类
b
似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定
性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得
b 1
*


1
到确定（
时不能确定除外）。例如，对 x 
，
b
讨论 xt 1  f ( xt ) 在x*处的线性近似方程
xt 1  x  f ( x )( x  x )
*

*

t

*

可知，当   f ( x * )  2  b  （即
1  b  3）时平衡点
1
b 1

是稳定的，此时

b
Pt 

(a  1) N
a

x t （
N

 xt  x 
b 1
*

b 1
b



a

）

a 1

若当   2  b  1 ，则平稳点 b 是不稳定的，（这与对
一切a，p*=N均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。