第五讲、Ramsey Model
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Transcript 第五讲、Ramsey Model
R-C-K增长模型
陈斌开 中央财经大学经济学院
问题的提出
在索洛模型中,储蓄率s被假定为外生参数,储蓄率
的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水
平。当时,与最优储蓄(相对应于最优资本存量和
最优消费)相比会出现“过度储蓄”(即“过度积
累”)的情况,而一个高于黄金率的储蓄率被证明
是动态无效的。当时,只有在给定在当前消费与未
来消费之间的权衡参数的条件下,才能判断增加储
蓄率的合理性。
Ramsey-Cass-Koopmans模型
1.模型的基本假定
2.模型中决策主体的行为
3.模型的动态学
4.参数变化的影响
5.收敛速度
6.政府行为
7.模型总结
模型说明
基本思想:
储蓄率事实上是由家庭在约束条件下最大化一
生效用来决定的;
是否储蓄是在当期消费与未来消费之间作出选
择,其中蕴含着一个两难:增加当期消费会增加当
期效用,但减少储蓄又意味着未来可能消费的减少;
家庭会根据目标函数进行动态最优决策,产生
一个有效折衷,产生储蓄、消费的最优时间路径。
模型说明
索洛模型主要从生产角度研究平衡增长路径,
空间是一维的;
R-C-K模型从生产者、家庭两个角度研究增
长路径,空间是二维的。
循环图
租让资本,获取利息
提供劳动,赚取工资
购买产品,进行消费
家庭
厂商
相互拥有
销售产品,获得利润
雇佣劳动,支付工资
租用资本,支付利息
本章概要
与索洛模型相似:
本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生的。
与索洛模型不同:
模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互作用
中引出资本存量的演化,因而,储蓄不再是外生的。
在R-C-K模型中,经济总量的动态学由微观层次的
决策决定。
1.模型的基本假定
厂商
大量厂商,每一厂商具有同索洛模型相同
的生产函数Y=F(K,AL) ;
要素市场、产品市场都是完全竞争的;
A外生以速率g增长;
厂商最大化利润。
1.模型的基本假定
家庭
大量相同家庭(数量H),每一家庭规模以速
率n增长(长生不老且没有新家庭加入)。
家庭每一成员在每一时点上供给1单位劳动,将
所拥有资本均租给厂商,家庭拥有企业,因此,
企业产生的利润归于家庭。
K 0
家庭最初资本持有量为: H
没有折旧
1.模型的基本假定
家庭在每一时点上将其收入用于消费和储蓄,
比例取决于最大化一生效用的目标。
家庭效用函数:
Lt
t
U e u C t
dt
t 0
H
C t :t时每一家庭成员的消费;
u :即期效用函数
Lt :总人口
:贴现率
家庭效用函数
存在大量相同的家庭(H),家庭的规模以n的速率增长。家庭
拥有K(0)/H的初始资本。假设没有折旧。在每个时点上,
家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配,以便最大化其终身
效用。家庭的效用函数为:
U e u(C (t ))
0
t
L (t )
H (t )
dt
式中,C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费。u( )是瞬时
效用函数。L(t)是经济中的总人口,因此,L/H等于每个家
庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总瞬时效用。
ρ是时间偏好率,表示获得效用越晚价值越低。 ρ越大,则
相对于现期消费,家庭对未来的消费估价越小。
ρ的说明——贴现
价值贴现
效用贴现
贴现公式:以价值为例
离散时间贴现公式:
假定当期有V 元资金投资于某项资产,
一期过后将得到R元总收入,
则这R元收入的现值为V元,
贴现率为r =(R- V)/ V,
即:R=V(1+r)或者V=R/ (1+r )
离散时间
离散时间贴现总公式:
Rt
V=
(t 1, 2, )
( 1+r1 ) ( 1+r 2 ) ( 1+r t )
其中( 1+r1 ) ( 1+r 2 ) ( 1+r t ) 为贴现因子。
连续时间
连续时间贴现公式:
W (t t ) W (t )
r ( t ) = lim
t 0
dW (t ) dt
W (t )
.
W (t )
W (t )
W (t )
t
连续时间的贴现因子
r (t ) d ln W (t ) / dt
求解这个微分方程,得到:
t
ln W (t ) ln W0 r ( )d
0
得到:
t
r ( )d
0
W (t ) W
0e
t
r ( )d
0
W
0 W (t )e
t
其中,
r ( )d 为贴现因子。
0
连续时间的贴现因子(2)
可以将贴现因子记作R(t ),
t
即:R(t )= r ( )d
0
如果r ( t ) 为常数r,则贴现因子:
R( t ) =r t
此时:
rt
W
W
(
t
)
e
0
1.模型的基本假定
即期效用函数采用常相对风险厌恶的效用
函数:
C t
U C t
1
0, 1
1
即期效用函数
风险厌恶:
U Ct 0,消费的边际效用递减
风险偏好:
U Ct 0,消费的边际效用递增
风险中性:
U Ct 0,消费的边际效用不变
效用函数与风险态度
即期效用函数
相对风险厌恶系数(反映了效用函数的凹性)
定义为:
U C U C
C C
CU C
U C
即期效用函数
边际效用为正;
当
趋于1,效用函数可以简化为lnC
C 1
1
lim
1 1
1
e 1 ln C ln C
lim
1
1
ln C
跨期替代弹性
跨时期无差异曲线
j
时
期
的
消
费
Cj
斜率
MRS
u C j
u Ci
时期i的消费数量 Ci
跨期替代弹性
d ln Ci C j
d ln MRS
d ln Ci C j
d ln u Ci u C j
d Ci C j u Ci u C j
Ci C j
d u Ci u C j
不变的跨期替代弹性
1
C (t )
根据u[C (t )]
,
1
1
得:u '(C ) C ,u ''(C ) C
则: 1/
瞬时效用函数采取如下形式:
1
C (t )
u (C (t ))
, 0
1
由于该函数的消费替代弹性为1/θ,因此被称为不变跨期替
代弹性效用函数。
边际效用弹性(其绝
对值就是相对风险厌
恶系数):消费每增
加1%,边际效用下降
的百分比。
du(c) c
cu(c)
dc u(c) u(c)
θ越高,随着消费的增加,边际效用就下降的越快,家
庭就越不愿意消费的波动。
瞬时效用函数性质总结
边际效用为正,边际效用递减。
相对风险厌恶系数(跨期替代弹性)为常数。
跨期替代弹性为常数。
考虑有效劳动的家庭效用函数
定义每单位有效劳动的平均消费为c(t),有:
A(t ) A(0)e
gt
C(t ) A(t )c(t )
考虑有效劳动的家庭效用函数
C t c t At
C t
1
1
1
A t c t
1
1
A 0 e c t
1
gt
A 0
1
e1 gt
1
c t
1
1
考虑有效劳动的家庭效用函数
L 0 nt
U e u C t
e dt
t 0
H
1
1 1 gt c t
t
e A0 e
t 0
1
t
A0
1
L 0
1 g n t c t
e
dt
t
0
H
1
B
B e
t 0
L 0 nt
e dt
H
c t
dt
1
1
t
1
2.模型中决策主体的行为
厂商:
厂商使用资本和劳动力,按其边际产品付酬,销售
所生产的产品,由于是完全竞争市场,而且规模
报酬不变,所以获得零利润。
新古典生产函数:Y F ( K , AL)
Y
Y
根据欧拉定理:Y
K
AL
K
( AL)
2.模型中决策主体的行为
资本的边际产品
F K , AL
f (k )
K
有效劳动的边际产品:
f k kf k
2.模型中决策主体的行为
资本的边际产品为资本的真实报酬率,也即
真实利率,在t时为:
r t f k t
一个工人在t时的劳动收入等于A乘以有效劳
动的边际产品:
At wt
wt f k t k t f k t
没有新家庭,长生不老,
按不变增长率 n 增长:在
t 时期有 Lt / H 个成员,
即 L0e nt / H
家庭(H 个)
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
消费
产品市场
(完全竞争)
购
买
产
品
提
供
产
品
储蓄
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
每
人
提
供
1
单
位
劳
动
作出储蓄—消费决策
当期收入
将
全
部
资
要素市场
本
(完全竞争)
租
给
厂
商
付出工资,
一个家庭获得:
Lt
At f k t k t f k t
H
付资本报酬,一个家庭获得:
K t
f k t
H
厂商(很多)
厂商的行为
厂商
竞争性厂商获得零经济利润。
在竞争市场,且假设没有折旧,因此资本
报酬率等于其边际产品:
r (t ) f (k (t ))
劳动的真实工资等于其边际产品:
W (t ) A(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
每单位有效劳动的真实工资:
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
2.模型中决策主体的行为
家庭
Lt
t
目标函数: maxU e u C t
dt
H
t 0
约束条件:一生消费的现值不能超过其初始
财富加上一生劳动收入的现值。
预算约束
e
R t
t 0
Lt
C t
dt
H
K 0
Lt
R t
e
At wt
dt
H
H
t 0
Rt
t
r d
0
表示在期间0,t 上以连续复利计算的结果
预算约束
按照有效劳动数量进行正规化:
e
t 0
R t
At Lt
ct
dt
H
A0L0
At Lt
R t
k 0
e
wt
dt
H
H
t 0
预算约束的集约形式(有效劳动)
由于
At Lt A0L0e n g t
At Lt
A0L0
At Lt
R t
R t
t 0 e ct H dt k 0 H t 0 e wt H dt
t 0
t 0
R t
n g t
e
c
t
e
dt k 0
R t
n g t
e
w
t
e
dt
预算约束的极限形式
e
R t
t 0
At Lt
A0L0
At Lt
ct
dt k 0
e R t wt
dt
H
H
H
t 0
K 0
At Lt
e R t wt ct
dt 0
H
H
t 0
K 0 s R t
At Lt
lim
e
wt ct
dt 0
s
H
t 0
H
K s
K 0
At Lt
e R s
e R s R t wt ct
dt
H
H
H
t 0
s
约束条件可以表示为:
K s
0
s
H
lim e R s e n g s k s 0
lim e R s
s
目标函数
U
e t
t 0
C t Lt
dt
1 H
1
1
c
t
1
e t A0 e 1 gt
1
t 0
A0
1
B e t
t 0
L0e nt
dt
H
L0
t 1 gt nt c t
e e
e
dt
H t 0
1
1
ct
dt
1
1
1 L0
B
A
0
,
n
1
g
,
假定
0
H
2.模型中决策主体的行为
使用拉格朗日函数法求解
t 0
e t
c(t )1
dt
1
R ( t ) ( n g ) t
k (0) t 0 e
e
w(t )dt t 0 e R (t ) e( n g )t c(t )dt
The fist-order condition for an individual c(t) is:
Be t c(t ) e R (t ) e( n g )t 0
c
t
e c(t )
e
R (t ) ( n g )t
e
ln t ln c(t )
ln R(t ) (n g )t
ln 0 r ( )d (n g )t
t
两边对t求导
c(t )
r (t ) (n g )
c(t )
c(t ) r (t ) n g r (t ) g
c(t )
( n (1 ) g )
c(t ) r (t ) n g
c(t )
c(t )
r (t )
C (t ) c(t )
g
[
g]
c(t )
C (t ) c(t )
C (t ) r (t )
C (t )
经济含义:当且仅当资本的边际生产力(r)大于效用的贴现率(ρ)时,
人均消费的增长率才会增加。换句话说,人均消费或人均储蓄的增
长率是由资本的边际生产力和效用的贴现率这两个变量内生决定的。
此即个人储蓄或资本积累的内生性。
2.模型中决策主体的行为
ct r t g
ct
为单位有效劳动消费的增长率
人均消费的增长率:
r t
资本报酬率大于贴现率,消费增长率大于0;
厌恶风险程度越高,消费对资本报酬率与贴现率差
额的反应越小。
家庭最优化
家庭在预算约束限制下,选择消费的路径来最大化其终身效
用(通过构造拉格朗日函数计算)。
每单位有效劳动消
费的最优增长率:
c(t )
r (t ) g
c(t )
每个工人的消费C(t)等于
A(t)c(t),其增长率为:
欧拉方程
(t ) r (t )
C
C (t )
该式意味着,如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费
的速率,每个工人的消费将上升。
3.模型的动态学
c的动态学
ct r t g f k t g
ct
f k t g,则c 0, 此时决定的k记为k *
f k t g,则c 0, 此时k k *
f k t g,则c 0, 此时k k *
3.模型的动态学
c 0
c
c 0
c 0
k*
k
3.模型的动态学
k的动态学
k 实际投资 持平投资
f k t ct n g k t
k 0时的c,由f k t n g k t 给定
c随k递增,直到黄金资本水平,然后递减。
c f k t n g k t , k 0
c f k t n g k t , k 0
3.模型的动态学
c
k 0
k 0
k 0
k
3.模型的动态学
两条线交点的k低于黄金资本水平的k
f k g
f k GR n g
*
0, n 1 g 0
g n g
3.模型的动态学
c 0
c
k 0
c 0
k 0
c 0
k 0
k 0
k 0
c 0
c 0
k*
k
3.模型的动态学
利用相图,可以研究c、k初始值给定,经济
的增长路径
k初始值已经给定,关键在于c的初始值如何
确定。
3.模型的动态学
c 0
c
A
E
k 0
B
C
F
D
k(0)
k*
k
3.模型的动态学
上述所有轨迹都满足描述c、k动态变化的方
程
哪一条是真正可能的,取决于家庭的预算约
束和资本存量不能为负两个条件。
3.模型的动态学
从F以上点出发,都必然使得k为负;
从F以下点出发:
超过黄金规则水平后
从而:
R s n g s
e
e
f k n g
上升
k s 也上升
lim e R s e n g s k s
s
3.模型的动态学
唯一可能路径:
c 0
c
E
k 0
k
鞍状路径(saddle path)
鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本
存量的稳态、资本存量非负和家庭预算约束
的要求。对于任意k0,c0必须等于鞍点路径
上的相应值,并沿着鞍点路径收敛到均衡点
E。
消费初值c的确定
c(t ) f ' k ((t )) g
c(t )
积分:
t
c(t ) c0 e 0
r ( s ) g
ds
初值c0由预算约束决定,是内生变量。
平衡增长路径
一旦收敛到E,就进入平衡增长路径,此时c、
k都不变,即s、y不变,经济行为因此与索洛
模型相同
K、Y、C以增长率n+g增长;
人均资本、人均收入、人均消费以增长率g增
长
平衡增长路径
均衡点E(c*,k*)的解为:
f ' (k*) g
c* f (k*) (n g )k *
平衡增长路径
变量
K
含义
资本存量
绝
L
劳动力
n
对
A
知识或技术
g
量
AL
有效劳动
n+g
Y
总产出
n+g
F(cK,cAL)=cF(K,AL)
C
总消费
n+g
C=ALc
k(K/AL)
K/L
相
y(Y/AL)
对
Y/L
量
c(C/AL)
平衡增长速度
n+g
有效劳动的平均资本
0
人均资本
g
有效劳动的人均产出
0
人均产出
g
有效劳动的人均消费
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
储蓄率
0
s
备注证明
k=K/AL
k=k*
y=f(k)=Y/AL
c=c*
s=(y-c)/y
平衡增长路径总结
经济行为一旦收敛于稳态点,它就等同于处
于平衡增长路径上的索洛经济的行为。
每单位有效劳动的资本、产出与消费不变;
总量以n+g的速率增长;每工人产出、资本与
消费以g的速率增长。
索洛模型与拉姆齐-凯斯-库普曼斯模型的
平衡增长路径之间的惟一显著的差异是,在
后者不可能出现动态无效率。
结 论
将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于
平衡增长路径的描述。因此,索洛模型关于
经济增长的驱动力的解释不依赖于储蓄率为
常数的假定。即使储蓄率是内生的,外生的
技术进步依然是人均产出持续增长的唯一根
源。
经济的动态学总结
消费的
动态学
c(t ) r (t ) g
c(t )
k*小于资本的黄金律水
平:
资本的
动态学
c 0
c
由ρ-n-(1-θ)g>0得到:
ρ+θg >n+g
c*
k(t ) f (k (t )) c(t ) (n g )k (t )
稳定臂
稳态
k 0
练习:推导相
位图和上述结
论。
非稳定臂
k*
kG
c与k的动态学:系统是鞍点路径稳定
k
修正的黄金资本存量
经济不会收敛于产生最大可持续c水平的增长
路径
所以,k*被称为修正的黄金规则资本存量
修正的黄金资本存量
定理1:在拉姆齐模型中,人均资本存量k收敛于k*,且低于
索洛模型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金
资本存量”。
定理2:拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的
平衡增长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时,追求跨期最优
化的家庭将降低储蓄,使k收敛于k*,且k*<k(gold)。
定理3:经济不收敛于产生最大c(即c(gold))的平衡增长路
径,而是收敛于一个较低的水平c*。
【证明】c*<c(gold)的前提是,它表明贴现率较高,家庭和个
人更重视现期消费,而不是未来消费。
4.参数变化的影响
R-C-K模型当中的参数:
参数变化对均衡的影响
g , n, ,
贴现率下降
c / c [ f (k ) g ] /
c 0
f (k *) g
c
c 0
E’
k 0
E
ρ表示家庭对现期与未来消费之
间的偏好。ρ下降意味着k*上升。
k*
ρ下降与索洛模型中的储蓄率上升相似。 c在冲击时刻发生向下
跳跃,然后与k一起逐渐上升到其初始水平之上。与索洛模型不
同的是,在该模型中,储蓄在调整过程中将发生变化。
k
ρ下降的效应
贴现率变化
c 0
c
E*
E
k 0
A
k*旧
k*新
k
ρ下降的效应(消费者偏好的变化)
e e
t
偏好于将来消费
t
时,未来效用的现值增加
现在消费倾向下降
储蓄倾向上升,这相当于索洛模型中储蓄率的上升
5. 收敛速度
泰勒一级展开式:
一元函数:
f x f x* f
*
x
x
x x*
二元函数:
f x1 , x2
f x , x 2 f1
*
1
*
x*1 , x*2
x1 x f 2
*
1
x*1 , x*2
x
2
x
*
2
R-C-K的动态方程
f k g
c t
c t
k t f k t c t n g k t
应用泰勒一阶展开式
c c k k * , c c*
c
k
c
k k c
*
k k
*
c c
*
c c
*
0
c
k
c
*
k
k
c
c
k k
c c
c
k
k
*
*
k k k k ,c c
k
k
c
c
c c c
k k k
*
*
*
*
*
*
*
0
k
k
k
k k c
*
k k *
*
c
c
c c*
收敛速度
c f (k *)c*
k
c f (k *) g
0
c
k
f (k *) (n g ) ( g ) (n g )
k
k
1
c
收敛速度
(c c *)
f (k *) c*
(k k *)
(k k *) (k k *) (c c*)
(c c*) f (k *) c* k k *
c c*
c c*
(k k *)
c c*
k k*
k k*
收敛速度:取近似路径
(c c*) (k k *),
在稳态点取鞍形路径的近似路径(直线),
从而为常数,与时间t 无关,则:
移项:c c*= (k k *)
两边对于时间t 求导:
(c c*) (k k *)
从而:
(c c*) (c c*) (k k *) (k k *)
收敛速度
(c c*) (k k*)
(c c*)
f ( k *) c*
c c*
c c*
f ( k *) c*
k k*
(k k *)
k k*
收敛速度
2
f ( k *) c*
0
2 4 f (k*)c *
2
1
4 f (k *)c *
2
1
0
2
k, c趋近其稳态值的路径
k d ln k t k
1
dt
k
*
*
ln k t k 1t ln k 0 k
*
*
k t k e k 0 k
1t
*
*
k t k e k 0 k
*
1t
k, c趋近其稳态值的路径
c t c e c 0 c
*
1t
*
R-C-K模型与索洛模型收敛速度的比较
索洛模型:
k (t ) k (k (0) k )e
*
*
(1 k )( n g ) t
(1 k )(n g )
R-C-K模型:
k (t ) k* (k (0) k*) e
1
4 f (k *)c *
2
2
t
调整速度
模型的动态方程:
在平衡增长路径(c*,k*)附近进
行线性近似:
c f (k ) g / c
c
k f (k ) c (n g )k
c
c
c
k
k k*
c c*
k k*
c c*
f ( k * )c *
系数矩阵的特征根为
(c c*) kc (k k*)
k
k
k c (c c*) k (k k*)
0
c
c
1
r1,2
2 4 f (k *)c * /
2 2
n (1 ) g
c cc
k k
c
cc
A k
c
c
k
k
k
c cc c * kc k *
k c * k k *
k
k c
c
k
k
k
0
1
f ( k *) c*
根号内的表达式为正,因此得到两个不等实根,系统为鞍
点路径稳定。其中的负根即为变量c、k向稳态收敛的速率。
6. 政府行为
政府购买被用于公共消费而非公共投资
政府购买的资金来源是税收
将单位有效劳动的政府购买记为G(t),相应税
收也为G(t)
假定政府购买:1)不影响私人消费的效用;
2)不影响将来的产出;
3)由现在的增税而融资。
政府行为
平衡预算
赤字预算
政府购买的影响
动态方程:只影响资本方程,不影响消费方
程
k f k t ct Gt n g k t
ct f k t g
ct
政府购买的影响:永久变动
c 0
c
k 0
E
E*
k
政府购买的影响:暂时变动
c 0
c
k 0
E
E*
k
真实利率效应
案例:英国战争与利率
7.模型的主要结论
结论与索洛模型基本相同
不存在大于等于黄金规则资本水平的平衡增
长路径,无法实现消费的最大化。
R-C-K模型总结
Ramsey-Cass-Koopmans模型:(1)问题描述
求解社会最优化问题: Max U0 u(Ct )e t dt 。其中:
(1)社会瞬时效用函数为
Ct
t 0
C1
CRRA 型: u (C)
,其中 0 ,为相对风险规避参数,消费的跨时替代弹性
1
c 1 / ;
(2)个人消费的时间偏好率为 。将 C c A L L 代入上式,社会最优
化问题可以表述为:
c1t
Max U 0 {
exp[ (1 )(n g L )]t}dt
c
1
t 0
s.t.:(1)
dk
f (k t ) c t (n g L )k t
dt
t
(2) NPC(非蓬齐条件): lim k t exp{0 [f ' (k v ) (n g L )]dv} 0
t
U 0 积分收敛要求 1 n g L 。
RCK模型:(2)问题求解
根据蒋中一(1999)求动态最优的方法,由收入约束条件
dk
f (k t ) c t (n g L )k t
dt
c1t
exp[ (1 )(n g L )]t}dt ,直接写出汉密尔顿方程:
和目标函数 Max U 0 {
c
1
t 0
c1t
H (c t , t )
exp[ (1 )(n g L )]t t [f (k t ) c t (n g L )k t ]
1
动态最优的一阶条件为:
①
H
0 ,即 c t exp[ (1 )(n g L )]t t
c t
②
H
c
,即欧拉方程。利用①式整理得到: c f ' k t n g L
k t
c
横截性条件为:③ lim t k t 0
t
①~③式构成动态最优的充要条件。
RCK模型:(3)解的经济学含义
①式 c t exp[ (1 )(n g L )]t t :左面是 t 时刻一单位消费品的边际效用的贴现值;根
据投资约束条件
dk
f (k t ) c t (n g L )k t ,等式右边则是当前看来 t 时刻一单位资本品
dt
的影子价格,两者相等就意味着消费和投资之间达到了平衡。
c
②式 c f ' k t n g L 即为拉姆齐最优储蓄规则,它给出了最优化条件下一国
c
消费(或储蓄)的动态变化路径。
③式 lim t k t 0 中 t 是 t 时刻一单位资本品在当前的影子价格, t k t 就是 t 时刻资本存量
t
的现值。横截性条件意味着无限远期资本的价值应当渐近地趋于零,否则一个正的资本品
终值就可以被转而用于消费,以提高总效用水平,这与“最优”相矛盾。此外可证,由非
t
蓬齐条件 lim k t exp{0 [f ' (k v ) (n g L )]dv} 0 可以推得上述横截性条件,即 NPC 是横截
t
性条件的充分条件。
RCK模型:(4)最优化条件下消
费和投资的变动路径
重写消费和投资动态方程:
c
c f ' k t n g L 和 k f (k t ) c t (n g L )k t
c
RCK模型:(4)最优化条件下的消费和投资
由
c
dk
c f ' k t n g L 和
f (k t ) c t (n g L )k t
c
dt
得到资本积累的“修正的黄金律”水平: k * f 1 ' [ (n g L )] ;
资本积累的“黄金律”水平仍为 f ' (k gold ) n g L
c
c
0
c
D
B
k 0
c0
D’
D
k
D’’
O
k0
k*
k gold
A
RCK模型:(5)参数变动对稳态的影响
1→2:消费的时间偏好率 和相对风险规避参数 上升;
1→3:人口增长率 n 、技术进步率 g L 和资本折旧率 上升。
RCK模型:(6)参数变动对转移动态的影响
RCK模型:(7)收敛时间
c
在稳态附近做动态方程 k f (k t ) c t (n g L )k t 和 c f ' k t n g L
c
k
k k*
c
c c*
的一阶泰勒展开,得到资本和消费变化过程的线性近似:
和
,
c
c
k
k
其中
2 4
2
0 , f ' (k * ) (n g L ) , c c*f ' ' (k * ) 。
与 Solow-Swan 模型中的分析非常类似,稳态点附近的收敛速度和初始状态距离稳态
| k k* |
的差距
正相关,因此 RCK 模型同样预言了条件收敛;此外收敛过程中的经济增长
k
率还和 | | 的大小有关。设生产函数为 CD 型,n 0.01, g L 0.02, 0.05, 2 / 3 ,再设定
0.02 和 c 1 3 / 7 ,计算得到 | | 约为 2.9%,收敛的半衰期约为 24 年。
一般地,由于 RCK 模型中储蓄率是居民最优化选择的结果,在收敛过程中储蓄率是
变化的。当期初经济离其稳态较远时,收敛过程具有“大道性质”
(turnpike property)
,
很快接近于稳态,收敛速度较 Solow-Swan 模型要快得多。
Ramsey-Cass-Koopmans模型能解释增长吗?
RCK模型的成功之处:
将储蓄率内生化,部分地解释了国家之间储蓄率的差异;
同样预言了条件收敛,而非绝对收敛;
RCK是当前宏观经济学中的一个基础模型(a benchmark
model),其建模思想和分析框架得到了广泛的应用。例
如用来分析财政政策对资本积累和经济增长的影响,分析
开放经济下的消费和投资,甚至可以用来分析技术冲击和
经济波动(布兰查德和费希尔,1998)。
Ramsey-Cass-Koopmans模型能解释增长吗?
RCK模型的问题:
模型预测的收敛速度过快,无法解释国家之间增长率的巨
大差异;(Romer,2000)
假定生产函数为CD型,要得到与实际情况比较相近的结果,
α要在0.75左右,这与通常观察到的α≈1/3不符;(巴
罗和萨拉伊马丁,2000)
仍然无法解释各国收入水平的巨大差异。
仍假定技术进步率外生,没有解决经济增长的核心问题。