Transcript 第五讲、Ramsey Model

R-C-K增长模型
陈斌开 中央财经大学经济学院
问题的提出

在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率
的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水
平。当时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和
最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积
累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明
是动态无效的。当时，只有在给定在当前消费与未
来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储
蓄率的合理性。
Ramsey-Cass-Koopmans模型
1.模型的基本假定
2.模型中决策主体的行为
3.模型的动态学
4.参数变化的影响
5.收敛速度
6.政府行为
7.模型总结
模型说明

基本思想：
储蓄率事实上是由家庭在约束条件下最大化一
生效用来决定的；
是否储蓄是在当期消费与未来消费之间作出选
择，其中蕴含着一个两难：增加当期消费会增加当
期效用，但减少储蓄又意味着未来可能消费的减少；
家庭会根据目标函数进行动态最优决策，产生
一个有效折衷，产生储蓄、消费的最优时间路径。
模型说明
 索洛模型主要从生产角度研究平衡增长路径，
空间是一维的；
 R-C-K模型从生产者、家庭两个角度研究增
长路径，空间是二维的。
循环图
租让资本，获取利息
提供劳动，赚取工资
购买产品，进行消费
家庭
厂商
相互拥有
销售产品，获得利润
雇佣劳动，支付工资
租用资本，支付利息
本章概要
与索洛模型相似：
 本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生的。
与索洛模型不同：
 模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互作用
中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再是外生的。
 在R-C-K模型中，经济总量的动态学由微观层次的
决策决定。
1.模型的基本假定
 厂商
大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同
的生产函数Y=F(K,AL) ；
 要素市场、产品市场都是完全竞争的；
 A外生以速率g增长；
 厂商最大化利润。

1.模型的基本假定
 家庭




大量相同家庭（数量H），每一家庭规模以速
率n增长（长生不老且没有新家庭加入）。
家庭每一成员在每一时点上供给1单位劳动，将
所拥有资本均租给厂商，家庭拥有企业，因此，
企业产生的利润归于家庭。
K 0
家庭最初资本持有量为： H
没有折旧
1.模型的基本假定
 家庭在每一时点上将其收入用于消费和储蓄，
比例取决于最大化一生效用的目标。
家庭效用函数：

Lt 
 t
U  e u C t 
dt

t 0
H
C t ：t时每一家庭成员的消费；
u ：即期效用函数
Lt ：总人口
：贴现率
家庭效用函数
存在大量相同的家庭（H），家庭的规模以n的速率增长。家庭
拥有K（0）/H的初始资本。假设没有折旧。在每个时点上，
家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以便最大化其终身
效用。家庭的效用函数为：

U   e u(C (t ))
0
 t
L (t )
H (t )
dt
式中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费。u( )是瞬时
效用函数。L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家
庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总瞬时效用。
ρ是时间偏好率，表示获得效用越晚价值越低。 ρ越大，则
相对于现期消费，家庭对未来的消费估价越小。
ρ的说明——贴现
 价值贴现
 效用贴现
贴现公式：以价值为例
离散时间贴现公式：
假定当期有V 元资金投资于某项资产，
一期过后将得到R元总收入，
则这R元收入的现值为V元，
贴现率为r =（R- V）/ V,
即：R＝V（1＋r）或者V＝R/ （1+r ）
离散时间
离散时间贴现总公式：
Rt
V=
(t  1, 2, )
( 1+r1 ) ( 1+r 2 ) ( 1+r t )
其中( 1+r1 ) ( 1+r 2 ) ( 1+r t ) 为贴现因子。
连续时间
连续时间贴现公式：
W (t  t )  W (t ) 

r ( t ) = lim
t 0
dW (t ) dt

W (t )
.

W (t )

W (t )
W (t )
t
连续时间的贴现因子
r (t )  d ln W (t ) / dt
求解这个微分方程，得到：
t
ln W (t )  ln W0   r ( )d
0
得到：
t
r ( )d

0
W (t )  W
0e
t
r ( )d

0
W
0  W (t )e

t
其中，
 r ( )d 为贴现因子。
0
连续时间的贴现因子（2）
可以将贴现因子记作R(t ),
t
即：R(t )＝ r ( )d
0
如果r ( t ) 为常数r，则贴现因子：
R( t ) =r t
此时：
 rt
W

W
(
t
)
e
0
1.模型的基本假定
 即期效用函数采用常相对风险厌恶的效用
函数：
C t 
U C t  
1
  0,  1
1
即期效用函数
 风险厌恶：
U Ct   0，消费的边际效用递减
 风险偏好：
U Ct   0，消费的边际效用递增
 风险中性：
U Ct   0，消费的边际效用不变
效用函数与风险态度
即期效用函数
 相对风险厌恶系数（反映了效用函数的凹性）
定义为：
U C  U C 

C C
CU C 

U C 

即期效用函数
 边际效用为正；
 当
趋于1，效用函数可以简化为lnC
 C 1
1 

lim

 1 1  
1 

 e 1  ln C  ln C  

 lim
 1
1


 ln C
跨期替代弹性
跨时期无差异曲线
j
时
期
的
消
费
Cj
斜率
 MRS 
u  C j 
u  Ci 
时期i的消费数量 Ci
跨期替代弹性

d ln  Ci C j 

d ln MRS

d ln  Ci C j 

d ln u  Ci  u  C j 
d  Ci C j  u  Ci  u  C j 
Ci C j

d u  Ci  u  C j 


不变的跨期替代弹性
1
C (t )
根据u[C (t )] 
，
1

 1
得：u '(C )  C ，u ''(C )   C
则：  1/ 
瞬时效用函数采取如下形式：
1
C (t )
u (C (t )) 
,  0
1
由于该函数的消费替代弹性为1/θ，因此被称为不变跨期替
代弹性效用函数。
边际效用弹性（其绝
对值就是相对风险厌
恶系数）：消费每增
加1％，边际效用下降
的百分比。
du(c) c
cu(c)


 
dc u(c) u(c)
θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家
庭就越不愿意消费的波动。
瞬时效用函数性质总结
 边际效用为正，边际效用递减。
 相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）为常数。
 跨期替代弹性为常数。
考虑有效劳动的家庭效用函数
 定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：
A(t )  A(0)e
gt
C(t )  A(t )c(t )
考虑有效劳动的家庭效用函数
C t   c t  At 
C t 
1
1
1
 A  t  c  t  

1
1
 A  0  e  c  t 

1
gt
 A 0
1
e1  gt
1
c t 
1
1
考虑有效劳动的家庭效用函数
L  0  nt
U   e u C t 
e dt
t 0
H
1


1 1  gt c  t 
 t
  e  A0 e
t 0
1


 t

 A0
1
L 0 
   1  g  n t c  t 
e
dt

t

0
H
1

B

 B e
t 0
 L  0  nt
e dt

 H
c t 
dt
1
1
t
1
2.模型中决策主体的行为

厂商：
厂商使用资本和劳动力，按其边际产品付酬，销售
所生产的产品，由于是完全竞争市场，而且规模
报酬不变，所以获得零利润。
新古典生产函数：Y  F ( K , AL)
Y
Y
根据欧拉定理：Y 
K
AL
K
( AL)
2.模型中决策主体的行为
 资本的边际产品
F K , AL 
 f (k )
K
 有效劳动的边际产品：
f k   kf k 
2.模型中决策主体的行为
 资本的边际产品为资本的真实报酬率，也即
真实利率，在t时为：
r t   f k t 
 一个工人在t时的劳动收入等于A乘以有效劳
动的边际产品：
At wt 
wt   f k t   k t  f k t 
没有新家庭，长生不老，
按不变增长率 n 增长：在
t 时期有 Lt  / H 个成员，
即 L0e nt / H
家庭（H 个）
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
消费
产品市场
（完全竞争）
购
买
产
品
提
供
产
品
储蓄
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
每
人
提
供
1
单
位
劳
动
作出储蓄—消费决策
当期收入
将
全
部
资
要素市场
本
（完全竞争）
租
给
厂
商
付出工资，
一个家庭获得：
Lt 
At  f k t   k t  f k t 
H
付资本报酬，一个家庭获得：
K t 
f k t 
H
厂商（很多）
厂商的行为
厂商
竞争性厂商获得零经济利润。
在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本
报酬率等于其边际产品：
r (t )  f (k (t ))
劳动的真实工资等于其边际产品：
W (t )  A(t ) f (k (t ))  k (t ) f (k (t ))
每单位有效劳动的真实工资：
w(t )  f (k (t ))  k (t ) f (k (t ))
2.模型中决策主体的行为
 家庭


Lt  
 t
目标函数： maxU   e u C t 
dt
H
t 0


约束条件：一生消费的现值不能超过其初始
财富加上一生劳动收入的现值。
预算约束

e
 R t 
t 0
Lt 
C t 
dt
H

K 0 
Lt 
 R t 
  e
At wt 
dt
H
H
t 0

Rt  
t
r  d


0
表示在期间0，t 上以连续复利计算的结果
预算约束
 按照有效劳动数量进行正规化：

e
t 0
 R t 
At Lt 
ct 
dt
H

A0L0
At Lt 
 R t 
k 0
 e
wt 
dt
H
H
t 0

预算约束的集约形式（有效劳动）
 由于
At Lt   A0L0e n g t
At Lt 
A0L0
At Lt 
 R t 
 R t 
t 0 e ct  H dt  k 0 H  t 0 e wt  H dt





t 0
t 0
 R t 
 n  g t


e
c
t
e
dt  k 0 

 R t 
 n  g t


e
w
t
e
dt

预算约束的极限形式

e
 R t 
t 0
At Lt 
A0L0 
At Lt 
ct 
dt  k 0
  e  R t  wt 
dt
H
H
H
t 0


K 0
At Lt 
  e  R t  wt   ct 
dt  0
H
H
t 0

 K 0  s  R t 
At Lt  

lim
 e
wt   ct 
dt  0
s 
H
t 0
 H

K s 
K 0
At Lt 

 e R s 
  e R  s  R t  wt   ct 
dt
H
H
H
t 0
s
 约束条件可以表示为：
K s 
0
s 
H
 lim e  R  s e n  g s k s   0
lim e  R  s 
s 
目标函数

U

e  t
t 0
C t  Lt 
dt
1 H
1
1



c
t
1
  e  t  A0 e 1 gt
1
t 0


 A0
1

 B  e  t
t 0
 L0e nt
dt

 H
L0
 t 1  gt nt c t 
e e
e
dt

H t 0
1

1
ct 
dt
1
1


1 L0 




B

A
0
,




n

1


g
,
假定


0


H


2.模型中决策主体的行为
使用拉格朗日函数法求解

t 0
   e  t
c(t )1
dt
1


 R ( t ) ( n g ) t

  k (0)  t 0 e
e
w(t )dt  t 0 e  R (t ) e( n g )t c(t )dt 

The fist-order condition for an individual c(t) is:

 Be  t c(t )     e R (t )  e( n g )t  0
c
t
e c(t )

 e
 R (t ) ( n  g )t
e
ln    t   ln c(t )
 ln   R(t )  (n  g )t
 ln    0 r ( )d  (n  g )t
t
两边对t求导
c(t )
  
 r (t )  (n  g )
c(t )
c(t ) r (t )  n  g   r (t )     g


c(t )


(     n  (1   ) g )
c(t ) r (t )  n  g  

c(t )

c(t )
r (t )  
C (t ) c(t )
g
[

 g]
c(t )

C (t ) c(t )
C (t ) r (t )  


C (t )

经济含义：当且仅当资本的边际生产力(r)大于效用的贴现率(ρ)时，
人均消费的增长率才会增加。换句话说，人均消费或人均储蓄的增
长率是由资本的边际生产力和效用的贴现率这两个变量内生决定的。
此即个人储蓄或资本积累的内生性。
2.模型中决策主体的行为
ct  r t     g


ct 


为单位有效劳动消费的增长率
人均消费的增长率：
r t   


资本报酬率大于贴现率，消费增长率大于0；
厌恶风险程度越高，消费对资本报酬率与贴现率差
额的反应越小。
家庭最优化
家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效
用(通过构造拉格朗日函数计算)。
每单位有效劳动消
费的最优增长率：
c(t )
r (t )    g

c(t )

每个工人的消费C(t)等于
A(t)c(t)，其增长率为：
欧拉方程
 (t ) r (t )  
C

C (t )

该式意味着，如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费
的速率，每个工人的消费将上升。
3.模型的动态学
 c的动态学
ct  r t     g f k t     g


ct 


f k t     g，则c  0, 此时决定的k记为k *
f k t     g，则c  0, 此时k  k *
f k t     g，则c  0, 此时k  k *
3.模型的动态学
c  0
c
c  0
c  0
k*
k
3.模型的动态学
 k的动态学
k  实际投资 持平投资
 f k t   ct   n  g k t 
k  0时的c，由f k t   n  g k t 给定
c随k递增，直到黄金资本水平，然后递减。
c  f k t   n  g k t , k  0
c  f k t   n  g k t , k  0
3.模型的动态学
c
k  0
k  0
k  0
k
3.模型的动态学
 两条线交点的k低于黄金资本水平的k
 
f  k    g
f k GR   n  g
*
   0,   n  1   g  0
   g  n  g
3.模型的动态学
c  0
c
k  0
c  0
k  0
c  0
k  0
k  0
k  0
c  0
c  0
k*
k
3.模型的动态学
 利用相图，可以研究c、k初始值给定，经济
的增长路径
k初始值已经给定，关键在于c的初始值如何
确定。
3.模型的动态学
c  0
c
A
E
k  0
B
C
F
D
k(0)
k*
k
3.模型的动态学
 上述所有轨迹都满足描述c、k动态变化的方
程
 哪一条是真正可能的，取决于家庭的预算约
束和资本存量不能为负两个条件。
3.模型的动态学
 从F以上点出发，都必然使得k为负；
 从F以下点出发：
超过黄金规则水平后
从而：
 R  s   n  g s
e
e
f k   n  g
上升
k s 也上升
 lim e  R s e n g s k s   
s 
3.模型的动态学
 唯一可能路径：
c  0
c
E
k  0
k
鞍状路径(saddle path)
 鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本
存量的稳态、资本存量非负和家庭预算约束
的要求。对于任意k0，c0必须等于鞍点路径
上的相应值，并沿着鞍点路径收敛到均衡点
E。
消费初值c的确定

c(t ) f ' k ((t ))     g

c(t )

积分：
t

c(t )  c0 e 0
r ( s )    g

ds
初值c0由预算约束决定，是内生变量。
平衡增长路径
 一旦收敛到E，就进入平衡增长路径，此时c、
k都不变，即s、y不变，经济行为因此与索洛
模型相同
 K、Y、C以增长率n+g增长；
人均资本、人均收入、人均消费以增长率g增
长
平衡增长路径
 均衡点E(c*,k*)的解为：
f ' (k*)    g
c*  f (k*)  (n  g )k *
平衡增长路径
变量
K
含义
资本存量
绝
L
劳动力
n
对
A
知识或技术
g
量
AL
有效劳动
n+g
Y
总产出
n+g
F(cK,cAL)=cF(K,AL)
C
总消费
n+g
C=ALc
k(K/AL)
K/L
相
y(Y/AL)
对
Y/L
量
c(C/AL)
平衡增长速度
n+g
有效劳动的平均资本
0
人均资本
g
有效劳动的人均产出
0
人均产出
g
有效劳动的人均消费
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
储蓄率
0
s
备注证明
k=K/AL
k=k*
y=f(k)=Y/AL
c=c*
s=(y-c)/y
平衡增长路径总结
 经济行为一旦收敛于稳态点，它就等同于处
于平衡增长路径上的索洛经济的行为。
 每单位有效劳动的资本、产出与消费不变；
总量以n+g的速率增长；每工人产出、资本与
消费以g的速率增长。
 索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的
平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在
后者不可能出现动态无效率。
结 论
 将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于
平衡增长路径的描述。因此，索洛模型关于
经济增长的驱动力的解释不依赖于储蓄率为
常数的假定。即使储蓄率是内生的，外生的
技术进步依然是人均产出持续增长的唯一根
源。
经济的动态学总结
消费的
动态学
c(t ) r (t )    g

c(t )

k*小于资本的黄金律水
平：
资本的
动态学
c  0
c
由ρ-n-(1-θ)g>0得到：
ρ+θg >n+g
c*
k(t )  f (k (t ))  c(t )  (n  g )k (t )
稳定臂
稳态
k  0
练习：推导相
位图和上述结
论。
非稳定臂
k*
kG
c与k的动态学：系统是鞍点路径稳定
k
修正的黄金资本存量
 经济不会收敛于产生最大可持续c水平的增长
路径
所以，k*被称为修正的黄金规则资本存量
修正的黄金资本存量
定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于
索洛模型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金
资本存量”。
 定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的
平衡增长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优
化的家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*<k(gold)。
 定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路
径，而是收敛于一个较低的水平c*。
【证明】c*<c(gold)的前提是，它表明贴现率较高，家庭和个
人更重视现期消费，而不是未来消费。

4.参数变化的影响
 R-C-K模型当中的参数:
 参数变化对均衡的影响
g , n,  ,
贴现率下降
c / c  [ f (k )    g ] / 
c  0
f (k *)    g
c
c  0
E’
k  0
E
ρ表示家庭对现期与未来消费之
间的偏好。ρ下降意味着k*上升。
k*
ρ下降与索洛模型中的储蓄率上升相似。 c在冲击时刻发生向下
跳跃，然后与k一起逐渐上升到其初始水平之上。与索洛模型不
同的是，在该模型中，储蓄在调整过程中将发生变化。
k
ρ下降的效应
 贴现率变化
c  0
c
E*
E
k  0
A
k*旧
k*新
k
ρ下降的效应（消费者偏好的变化）
  e  e
t
偏好于将来消费
 t
 时，未来效用的现值增加
现在消费倾向下降
储蓄倾向上升，这相当于索洛模型中储蓄率的上升
5. 收敛速度
 泰勒一级展开式:
 一元函数：
f  x   f  x*   f 
*
x

x

x  x* 
 二元函数：
f  x1 , x2 
 f  x , x 2   f1
*
1
*

x*1 , x*2

 x1  x   f 2
*
1

x*1 , x*2
 x
2
x
*
2

R-C-K的动态方程

f  k      g
c t 
c  t  


k  t   f  k  t    c  t    n  g  k  t 

应用泰勒一阶展开式
c  c k  k * , c  c*

c

 k
c
k  k    c
*
k k
*
c  c 
*
c c
*
0
c

k
c
*
k

k

c

c




k k
c c
c
k
k
*
*
k  k k  k ,c  c 
k

k

c

c
  c c c 


  k k k 
*
*
*
*
*
*
*
0
k

k
k
k  k    c
*
k k *
*
c

c

c  c* 
收敛速度
 c f (k *)c*


k
 c f (k *)     g
0


c
k
 f (k *)  (n  g )  (    g )  (n  g )  
k
k
 1
c
收敛速度

（c  c *）
f (k *) c*

(k  k *)

（k  k *）  (k  k *)  (c  c*)

（c  c*） f (k *) c* k  k *

c  c*

c  c*

（k  k *）
c  c*

k  k*
k  k*













收敛速度：取近似路径
  (c  c*) (k  k *)，
在稳态点取鞍形路径的近似路径（直线），
从而为常数，与时间t 无关，则：
移项：c  c*= (k  k *)
两边对于时间t 求导：


(c  c*)   (k  k *)


从而：
(c  c*) (c  c*)  (k  k *) (k  k *)
收敛速度
  (c  c*) (k  k*)

(c  c*)
f ( k *) c*


c  c*

c  c*
f ( k *) c*


k  k*


（k  k *）

  
k  k*
收敛速度
  
2

f ( k *) c*

0
   2  4 f (k*)c * 
2
1
4 f (k *)c * 
2
  1      
  0
2


k, c趋近其稳态值的路径
k d ln  k  t   k 

 1
dt
k
*
*
 ln  k  t   k   1t  ln  k  0   k 
*
*

 k  t   k  e  k  0   k 
1t
*
*
 k  t   k  e  k  0   k 
*
1t
k, c趋近其稳态值的路径
c  t   c  e c  0   c 
*
1t
*
R-C-K模型与索洛模型收敛速度的比较
 索洛模型：
k (t )  k  (k (0)  k )e
*
*
 (1 k )( n  g  ) t
  (1  k )(n  g   )
 R-C-K模型：
k (t )  k* (k (0)  k*) e
1
4 f (k *)c * 
2
      

2


t
调整速度
模型的动态方程：
在平衡增长路径（c*,k*）附近进
行线性近似：
c   f (k )    g  /  c
c 
k  f (k )  c  (n  g )k

c
c

c
k
k k*
c  c*
k k*
c  c*
f ( k * )c *

系数矩阵的特征根为

(c  c*)  kc (k  k*)
k
k

k  c (c  c*)  k (k  k*)
 0

c
c
1
r1,2  
 2  4 f (k *)c * / 
2 2
    n  (1   ) g
 c   cc
k    k
   c
 cc
A   k
 c
c
k
k
k
  c    cc c *  kc k *
     k c *  k k *
k
 k   c

c
k
k
k
 0

  1
f  ( k *) c*


根号内的表达式为正，因此得到两个不等实根，系统为鞍
点路径稳定。其中的负根即为变量c、k向稳态收敛的速率。



6. 政府行为
 政府购买被用于公共消费而非公共投资
 政府购买的资金来源是税收
 将单位有效劳动的政府购买记为G(t)，相应税
收也为G(t)
假定政府购买：1）不影响私人消费的效用；
2）不影响将来的产出；
3）由现在的增税而融资。
政府行为
 平衡预算
 赤字预算
政府购买的影响
 动态方程：只影响资本方程，不影响消费方
程
k  f k t   ct   Gt   n  g k t 
ct  f k t     g

ct 

政府购买的影响：永久变动
c  0
c
k  0
E
E*
k
政府购买的影响：暂时变动
c  0
c
k  0
E
E*
k
真实利率效应
案例：英国战争与利率
7.模型的主要结论
 结论与索洛模型基本相同
 不存在大于等于黄金规则资本水平的平衡增
长路径，无法实现消费的最大化。
R-C-K模型总结
Ramsey-Cass-Koopmans模型：（1）问题描述

求解社会最优化问题： Max U0   u(Ct )e t dt 。其中：
（1）社会瞬时效用函数为
Ct
t 0
C1 
CRRA 型： u (C) 
，其中   0 ，为相对风险规避参数，消费的跨时替代弹性
1 
c  1 /  ；
（2）个人消费的时间偏好率为  。将 C  c  A L L 代入上式，社会最优
化问题可以表述为：
c1t
Max U 0   {
 exp[  (1  )(n  g L )]t}dt
c
1


t 0

s.t.:(1)
dk
 f (k t )  c t  (n  g L  )k t
dt
t
(2) NPC(非蓬齐条件）： lim k t exp{0 [f ' (k v )  (n  g L  )]dv}  0
t 
U 0 积分收敛要求   1  n  g L  。
RCK模型：（2）问题求解
根据蒋中一（1999）求动态最优的方法，由收入约束条件
dk
 f (k t )  c t  (n  g L  )k t
dt
c1t
 exp[  (1  )(n  g L )]t}dt ，直接写出汉密尔顿方程：
和目标函数 Max U 0   {
c
1


t 0

c1t
H (c t ,  t ) 
 exp[  (1  )(n  g L )]t   t [f (k t )  c t  (n  g L  )k t ]
1 
动态最优的一阶条件为：
①
H
 0 ，即 c t   exp[  (1  )(n  g L )]t   t
c t
②
H
c
   ，即欧拉方程。利用①式整理得到：   c f ' k t       n  g L 
k t
c
横截性条件为：③ lim  t k t  0
t 
①～③式构成动态最优的充要条件。
RCK模型：（3）解的经济学含义
①式 c t   exp[  (1  )(n  g L )]t   t ：左面是 t 时刻一单位消费品的边际效用的贴现值；根
据投资约束条件
dk
 f (k t )  c t  (n  g L  )k t ，等式右边则是当前看来 t 时刻一单位资本品
dt
的影子价格，两者相等就意味着消费和投资之间达到了平衡。
c
②式   c f ' k t       n  g L  即为拉姆齐最优储蓄规则，它给出了最优化条件下一国
c
消费（或储蓄）的动态变化路径。
③式 lim  t k t  0 中  t 是 t 时刻一单位资本品在当前的影子价格， t k t 就是 t 时刻资本存量
t 
的现值。横截性条件意味着无限远期资本的价值应当渐近地趋于零，否则一个正的资本品
终值就可以被转而用于消费，以提高总效用水平，这与“最优”相矛盾。此外可证，由非
t
蓬齐条件 lim k t exp{0 [f ' (k v )  (n  g L  )]dv}  0 可以推得上述横截性条件，即 NPC 是横截
t 
性条件的充分条件。
RCK模型：（4）最优化条件下消
费和投资的变动路径
重写消费和投资动态方程：
c
  c f ' k t       n  g L  和 k  f (k t )  c t  (n  g L  )k t
c
RCK模型：（4）最优化条件下的消费和投资
由
c
dk
  c f ' k t       n  g L  和
 f (k t )  c t  (n  g L  )k t
c
dt
得到资本积累的“修正的黄金律”水平： k *  f 1 ' [    (n  g L )] ；
资本积累的“黄金律”水平仍为 f ' (k gold )  n  g L  
c
c
0
c
D
B
k  0
c0
D’
D
k
D’’
O
k0
k*
k gold
A
RCK模型：（5）参数变动对稳态的影响
1→2：消费的时间偏好率  和相对风险规避参数  上升；
1→3：人口增长率 n 、技术进步率 g L 和资本折旧率  上升。
RCK模型：（6）参数变动对转移动态的影响
RCK模型：（7）收敛时间
c
在稳态附近做动态方程 k  f (k t )  c t  (n  g L  )k t 和   c f ' k t       n  g L 
c
k
k  k*
c
c  c*
的一阶泰勒展开，得到资本和消费变化过程的线性近似：   
和  
，
c
c
k
k
其中  
   2  4
2
 0 ，   f ' (k * )  (n  g L  ) ，    c  c*f ' ' (k * ) 。
与 Solow-Swan 模型中的分析非常类似，稳态点附近的收敛速度和初始状态距离稳态
| k  k* |
的差距
正相关，因此 RCK 模型同样预言了条件收敛；此外收敛过程中的经济增长
k
率还和 |  | 的大小有关。设生产函数为 CD 型，n  0.01, g L  0.02,   0.05,   2 / 3 ，再设定
  0.02 和  c  1   3 / 7 ，计算得到 |  | 约为 2.9%，收敛的半衰期约为 24 年。
一般地，由于 RCK 模型中储蓄率是居民最优化选择的结果，在收敛过程中储蓄率是
变化的。当期初经济离其稳态较远时，收敛过程具有“大道性质”
（turnpike property）
，
很快接近于稳态，收敛速度较 Solow-Swan 模型要快得多。
Ramsey-Cass-Koopmans模型能解释增长吗？

RCK模型的成功之处：
 将储蓄率内生化，部分地解释了国家之间储蓄率的差异；
 同样预言了条件收敛，而非绝对收敛；
 RCK是当前宏观经济学中的一个基础模型（a benchmark
model），其建模思想和分析框架得到了广泛的应用。例
如用来分析财政政策对资本积累和经济增长的影响，分析
开放经济下的消费和投资，甚至可以用来分析技术冲击和
经济波动（布兰查德和费希尔，1998）。
Ramsey-Cass-Koopmans模型能解释增长吗？

RCK模型的问题：
 模型预测的收敛速度过快，无法解释国家之间增长率的巨
大差异；（Romer，2000）
 假定生产函数为CD型，要得到与实际情况比较相近的结果，
α要在0.75左右，这与通常观察到的α≈1/3不符；（巴
罗和萨拉伊马丁，2000）
 仍然无法解释各国收入水平的巨大差异。
 仍假定技术进步率外生，没有解决经济增长的核心问题。