Transcript 第二讲、索罗增长模型

索洛增长模型
陈斌开 中央财经大学经济学院
索洛模型
（一）模型的基本假定
（二）模型的动态学
（三）参数变化的影响
（四）收敛问题
（五）模型的主要结论
（一）模型的基本假定
1.关于生产函数的假定
Y t   F  K t , A t  L t  
K t ：资本存量；
A t ：知识水平；
L t ：劳动力
产量取决于三个变量：资本、劳动、知识；
 A和L以相乘形式影响Y

（一）模型的基本假定
 规模报酬不变
F cK , cL   cF  K , L 
c0
 这意味着：
a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）；
b 其他因素，如自然资源等不重要。
（一）模型的基本假定

根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集
形式：
1
 K

F
,1  
F  K , AL 
AL
 AL 
y  f k 

y 为单位有效劳动的平均
产量；
k 为单位有效劳动的平均
资本量。
其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有
效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL·f(k)
（一）模型的基本假定
 进一步假设：
f  k   0
边际报酬递减
f   k   0
满足稻田 ( Inada ) 条件：
lim f  k   
k0
lim f  k   0
k
保证经济增长路径不发散
（一）模型的基本假定
f( k)
k
新古典生产函数——新古典增长理论
第一，每种投入的边际产品为正且递减。
 第二，规模报酬不变。
 第三，稻田条件：

lim F K  lim F L  
满足这三个条件的
生产函数被称为新
古典生产函数。
因此，索洛增长模
型又被称为新古典
增长模型。
K 0
L 0
lim F K  lim F L  0
K 
L 
（一）模型的基本假定
 通常使用CD生产函数（索洛）：

Q  AL K
A  0
0 1
0  1

 ：劳动的产出弹性；
 ：资本的产出弹性；
   ：决定规模报酬性质；
替代弹性：1
（一）模型的基本假定

满足索洛模型的CD函
数形式为：

Y t  F ( K t , At L t )  K ( A L )
y
Y
 F(
AL
f '( k )  0,
K

1 
;
,1)  k ; 0    1
AL
f ''( k )  0
（一）模型的基本假定
2.关于投入品的假设
资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、
知识以不变速度（外生）增长：
L t   nL t 
 t   gA t 
A
则可得到：
L t   L 0 e
A t   A 0 e
nt
gt
指数增长
 假设时间t是连续的（非离散的）

 （1）劳动力的增长： L ( t ) / L ( t )  [ dL ( t ) / dt ] / L ( t )  n
 （2）知识的增长：

A ( t ) / A ( t )  [ dA ( t ) / dt ] / A ( t )  g
 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为
外生参数，表示不变增长速度
有效劳动的增长
 劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增
长，其增长率为：
d  A ( t ) L ( t )  dt
A (t ) L (t )

A ( t ) L ( t )  A ( t ) L ( t )
A (t ) L (t )

A ( t )
A (t )

L ( t )
L (t )
 g  n
（一）模型的基本假定
 资本的增长（投资）：
K t   sY t    K t 
s ：储蓄率（外生）；
 ：折旧率（外生）。
索洛经济

经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A
是生产的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时
刻都处于充分就业的均衡状态，储蓄总是等于投资；

生产的规模报酬不变；

技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于哈罗德型
（劳动密集型）；

生产函数的集约形式满足新古典假设；

人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，
人口和知识呈指数增长。
（二）模型的动态学
 k的动态变化
d  K t  A  t  L  t  
dk

k t  

dt
dt
K t 
K t 
 t   L t  A t 




A
t
L
2
A t  L t   A t  L t 



K t 
A t  L t 

K t 
A t  L t  L  t 
sY t    K t 
A t  L  t 
L t 


K t 
A t  L t  A t 
 k  t n  k  t  g
 sf  k t    n  g   k t 
A t 
（二）模型的动态学
 索洛模型的核心公式：
k t   sf  k t    n  g   k t 
 单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之
差：
sf  k  ：单位有效劳动的平均投资
n 
g   k  t 
：持平投资，使k保持现有水平所
必需的投资
经济解释
k( t ) =sf ( k( t ) ) - ( n+g+  ) k( t )
是索洛模型的基本微分方程，
它 表 明 k( t ) 是 k 的 方 程 。
含 义 说 明 ： 人 均 实 际 投 资 sf ( k( t ) )
用于两个方面：一是“ 资本的深化” ，
即 k( t ) ， 二 是 “ 资 本 的 广 化 ” （ 持 平 投 资 ） ，
即 （ n+g+ ） k( t ) 。
（二）模型的动态学
n 
g   k  t 
每单位有效劳动
平均投资
sf  k 
k
*
k
（二）模型的动态学
 k的相图（三维空间在平面的投影）

k (t )
k
k*
k
稳态
定义“ 稳态” ：一种其中各种变量
都 以 不 变 速 度 增 长 的 情 况 ， 即 k( t ) =0。
当 sf ( k( t ) ) ( n+g+  ) k( t ) 时 ， k( t )
0（ 资 本 存 量 增 加 ）
当 sf ( k( t ) ) ( n+g+  ) k( t ) 时 ， k( t )
0（ 资 本 存 量 减 少 ）
当 sf ( k( t ) ) ＝ ( n+g+ ) k( t ) 时 ， k( t ) ＝ 0
（ 实 际 投 资 与 持 平 投 资 相 等 。 无 论 k从 何 处 开 始 ， 它 都 收 敛 于 k* ）
趋势定理
 在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资
本k=k(0)，那么就有 lim k ( t )  k * 。
t
（二）模型的动态学：平衡增长路径
 k=k*时各变量的变动：
A , L 按固定增长率增长；
K ( 等于 ALk )：以速率 n  g 增长；
Y ：以速率 n  g 增长；
（二）模型的动态学
 k=k*时各变量比例的变动：
Y / K ：不变；
Y / L ：以速率 g 增长；
K / L ：以速率 g 增长。
证明
 K的增长率：
k ( t )
k (t )

K ( t )
K (t )

L ( t )
L (t )

A ( t )
A (t )

K ( t )
K (t )
 (n  g )
Y的增长率
规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按
照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：
 AL
Y  F K K  F AL
，

其中 F K 是资本的边际生产力，F  是有效劳动的边际
生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 n  g
K ( t )  ( n  g ) K ( t )
( A L ) (t )  ( n  g ) A (t ) L (t )
在增长，所以，
。
AL

Y的增长率
 从以上可推导：
Y ( t )
Y (t )


 ( A L )(t )
F K K ( t )  F AL
Y (t )

 A ( t ) L ( t )]( n  g )
[ F K K ( t )  F AL
Y (t )
 总产出的增长率也是 n  g

Y ( t )( n  g )
Y (t )
 n g
人均产出增长率
d Y (t )
dt L ( t )

Y ( t )
L (t )

Y ( t ) L ( t )
L (t ) L (t )

( n  g )Y ( t )
L (t )

Y (t )
L (t )
n  g
Y (t )
L (t )
 人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。
 注意区分人均产出与人均有效劳动产出。
平衡增长路径
在索洛模型中，无论从任何一点出发，
经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径
上，每个变量的增长率都是常数，且是外生
决定的。特别是，在该路径上，人均产出的
增长率仅取决于技术进步率。
变量
K
含义
资本存量
平衡增长速度
绝
L
劳动力
n
对
A
知识或技术
g
量
AL
有效劳动
n+g
C
k(K/AL)
K/L
相
对
量
y(Y/AL)
Y/L
c(C/AL)
k=K/AL
n+g
总产出
Y
备注证明
F(cK,cAL)=cF(K,AL)
n+g
总消费
有效劳动的平均资本
人均资本
有效劳动的人均产出
人均产出
有效劳动的人均消费
n+g
C=(1-s)Y
0
g
0
y=f(k)=Y/AL
g
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
c=(1-s)f(k)
（三）参数变化的影响
 索洛模型中，主要参数有：
n, g ,  , s
 政策最有可能影响的是储蓄率
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）；
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平；
3.储蓄率增加的影响程度分析（定量）。
1.储蓄率增加的影响方向分析
y
y

new
(n  g   )k
s new  f (k )
s old  f (k )

y o ld

k old

k new
k
1.储蓄率增加的影响方向分析
 如果两个国家除了储蓄率外，其他一切都相
同，则储蓄率高国家的收入水平会永远高于
储蓄率低国家，差距为：
Y2
Y1

   f k 
k  f k 
ALf k
*
2
*
2
ALf
*
1
*
1
1.储蓄率增加的影响方向分析
s
t0
t
k,y
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
ln K
ln Y
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
ln （ Y /L ）
t0
t
Y /L
的增长率
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
Y /K
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
 储蓄率的一个永久增加：



导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平；
在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响；
造成Y/L增长率的暂时性增长；
储蓄率的变化有水平效应（Level Effect），但没有
增长效应（Growth Effect） ，在该模型中只有技术
进步率有增长效应。
1.储蓄率增加的影响方向分析
 对消费的影响（c为每单位有效劳动的平均消
费）
c
t0
t
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
 储蓄率越高，人均收入水平会越高
 收入的目的毕竟是消费，收入本身不是最终
目的
 从消费最大化角度来确定一个最优储蓄率，
相对应的人均资本，就是资本的黄金规则水
平
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
 在稳态下，消费等于：
   n  g   k
c  f k
*
*
c
*
k
*
 

c
*
*
s
*
 f  k  n  g  
    n  g   
 fk
*
k
*
s , n , g ,  
s
定性分析
k * ( s, n, g ,  )
s
0， 因 此
c *
s
的符号取决于
f '( k * ( s , n , g ,  )) 与 ( n  g   )的 大 小 。
当 k *  k * gold ， f '( k * ( s , n , g ,  ))
c *
( n  g   )，
s
0
k * gold ， f '( k * ( s , n , g ,  ))
c *
( n  g   )，
s
0
当 k*
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
稳态人均
n  g   k *
产量
f k
k
*
*

2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平


消费最大，也即资本黄金规则的条件：
也即：
*
f k   n  g  
f  k   n  g  
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
y
f (k)
c2 *
E
c
c1 *

g
δk
i=s2f(k)
i=sgf(k)
i=s1f(k)
0
k1 *
k

g
k2 *
k
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
储蓄率提高，消费减少（储
蓄率高于黄金规则水平）
c
t0
t
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
储蓄率降低，消费增加（储
蓄率高于黄金规则水平）
c
t0
t
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
储蓄率提高，消费增加（储
蓄率低于黄金规则水平）
c
t0
t
2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平
储蓄率降低，消费降低（储
蓄率低于黄金规则水平）
c
t0
t
黄金律和动态无效率
过度储蓄的
经济被称为动态无
效率，因为降低储
蓄率不仅提高了稳
态消费，也提高了
转移过程中的消费，
即原来的人均消费
路径在所有时点都
位于另一条可行的
路径之下。
(n+g+δ)k
f(k)
c1 *
cg *
0
k g*
s1f(k)
sgf(k)
k 1*
k
动态无效率区域
（四）收敛问题
 收敛速度
 绝对收敛与相对收敛
收敛速度的定性分析

定 义 k 的 增 长 率  k  k / k  sf ( k ) / k  ( n  g   )

当 sf ( k ( t ))> ( n  g   ) k ( t )时 ，k ( t )>0 ；

当 sf ( k ( t ))< ( n  g   ) k ( t )时 ，k ( t )<0 ；
结论



k
 k  s   f '( k )  f ( k ) k  / k
0
这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大。
其他变量的收敛速度
 可以证明索洛模型中的其他变量X的均衡动态
增长率与k保持比例或线形关系，例如：


 y  y / y  f ' ( k ) k / f ( k )  [ kf ' ( k ) / f ( k )]  k  
K  k  n  g
K
k
结论（索洛模型的收敛性）
 每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一
收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者
说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率
就越快。
“转型动态原理”
 经济体低于稳态越多，将会增长越快；经济
体高于稳态越多，将会增长越慢。
绝对收敛与相对收敛
 对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同
质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛
的概念。
 绝对收敛：不同经济体；
 相对收敛：同质经济体。
绝对收敛
 不同的经济体：穷国比富国增长快。
 绝对收敛假说。
相对收敛

一个经济离其自身的稳态值越远，增长就越快。

相对收敛假说。

k
 k  s   f '( k )  f ( k ) k  / k
0
（五）经济增长的计量分析

趋同问题
——鲍莫尔(W. Baumol, 1986)

投资与人口增长对产出的影响
——曼昆、罗默和韦尔(G. Mankiw, D.
Romer, D. N. Weil, 1992)
鲍莫尔(W. Baumol, 1986)
Y 
Y 
Y 
ln 
 ln 
 a  b ln 
i



 N  i ,1979
 N  i ,1870
 N  i ,1870
Y 
Y 
Y 
ln 
 ln 
 8 . 457  0 . 995 ln 



 N  i ,1979
 N  i ,1870
 N  i ,1870
图形表示
德朗(J. B. De Long, 1988)
*
Y 
Y 
ln 
 ln 



 N  i ,1979
 N  i ,1870
*
Y 
a  b ln 
 i

 N  i ,1870
*
Y 
Y 
ln 
 ln 
 ui


 N  i ,1870
 N  i ,1870
图形表示
（六）索罗模型与经济增长核心问题
物质资本与经济增长

根 据 C -D 生 产 函 数 ， y  f ( k )  k ，
一 般  = 1/ 3, 设 穷 国 为 y *, 若 y / y *  10,
则 k / k *  10
1/
与事实不符。
 1000。
（六）索罗模型与经济增长核心问题
 物质资本与经济增长

根 据 C -D 生 产 函 数 ， y  f ( k )  k ，
 1
r  f (k )   k
'
 1
 y

一 般  = 1/ 3, 设 穷 国 为 y *, 若 y / y *  1 0,
 1
则 r / r*  10


1
100
与事实不符。
。
（六）增长核算
增长核算方法（growth accouting）的提出
 索洛（1957）：《技术进步与总量生产函
数》。
 阿布拉莫维茨（M.
Abramovitz，1956）：
《1870年以来美国的增长源泉与产出趋势》。
增长核算方法
由 索 洛 的 总 量 生 产 函 数 ： Y ( t )  F ( K ( t ), A ( t ), L ( t ))
两 边 对 时 间 t求 导 ， 得 ：
Y (t ) 
Y
K
K (t ) 
Y
L
L (t ) 
Y
A
A (t )
增长核算方法
上 式 两 边 同 除 以 Y ( t )， 并 记 ：
   (t ) 
 Y K (t )
 K Y (t )
，    (t ) 
 Y L (t )
 L Y (t )
即为资本的产出弹性，为劳动的产出弹性
即 得 到 总 产 出 的 增 长 率 Y ( t ) / Y ( t )：
Y (t )
  (t )
Y (t )
其 中 R (t ) 
K (t )
K (t )
  (t )
L (t )
 R (t )
L (t )
 Y A (t ) A (t )
 A Y (t ) A (t )
称为索洛余数。
索洛余量的含义
索洛余量（solow’ residual）：TFP（全
要素生产率）的增长率，除生产要素量的增
加之外的其他因素导致的经济增长率，有时
可以简化为技术进步。
特例：完全竞争+规模报酬不变经济
规模报酬不变的生产函数：
Y  F K K  F AL A L 
因此，
1
Y K
K Y

Y
K
Y L
L Y
K 
Y
L
L
   ，
代入索洛余数式，整理可得：
Y (t )
Y (t )

 K (t )
L (t ) 
  (t ) 

  R (t )
L (t )
K
(
t
)
L
(
t
)


L (t )
总产出增长率、资本增长率、劳动增长率都可以
通过统计数据直接测定，如果是完全竞争经济，
要素按照其边际生产力大小获得相应的报酬。因而，
产出资本弹性正是资本收益占产出的比例（
据此，就可以计算索洛余数了。
 Y K (t )
 K Y (t )
），
例子：计算索洛余值
例 如 ： 某 年 度 国 民 收 入 增 长 率 7% ， 资 本 增 长 5% ，
人 口 增 长 2% ， 产 出 资 本 弹 性 为1 / 3， 经 济 的
规模报酬不变。
 K (t ) L (t ) 
Y (t ) L (t )
解：

  (t ) 

  R (t )
Y (t ) L (t )
 K (t ) L (t ) 
R ( t )  4%
计算TFP的结果
 Solow（1957）：80%
 Denison（1967）：30%
 Jorgenson
and Griliches（1967）：24%
案例：亚洲“四小龙”的增长奇迹

亚洲“四小龙”：韩国、新加坡、香港、台湾

增长率：1966～1990年实际人均收入一直维持7％左
右的增长率

核算结论：亚洲“四小龙”的增长源于生产要素的
投入增加，而不是全要素生产率（技术）的进步。
所以，亚洲“四小龙”的增长可能不能持久。
关于东亚增长奇迹的争论
 杨(Alwyn
Young)在1994年的一篇论文“数字
事实：东亚经济增长的经验统计”中应用增
长核算详细分析了东亚经济增长的源泉，指
出过去三十多年来，香港、新加坡、韩国和
台湾经济的不寻常的增长，几乎完全归因于
投资的增长、劳动投入的增加和劳动素质的
提高，而技术进步和其他影响索洛留数的因
素并没有发挥多大的作用。
关于东亚增长奇迹的争论
美 国 经 济 学 家 保 罗 · 克 鲁 格 曼 (Paul
Krugman) 认为，“亚洲取得了卓越的经济增
长率,却没有与之相当的卓越的 生产率增长。
它的增长是资源投入的结果,而不是效率的提
升。” “如果用全要素生产率来衡量技术进
步的话,亚洲各国的技术进步几乎为零，根本
就没有什么东亚奇迹。”1997年东亚的金融
危机证实了克鲁格曼的结论？
总结：增长因素分析法
对生产函
数进行全
微分可以
得到产出
增长率的
决定公式
Y ( t )  F ( K ( t ), A ( t ) L ( t ))
Y
Y
K
K
L
K
L
R
R为索洛余值
L
K L 1
生产率增长率等
于产出增长率减
去劳动力增长率
Y
Y

L
L
K(
K
K

L
L
) R
索洛模型总结
Solow-Swan模型：（1）核心方程
Solow-Swan 模型假定一个国家有外生不变的储蓄率 s，则经济整体的资本积
累方程为： K
 I  K  s  F(K , A L L )  K
，这是一个会计恒等式。根据前面的假定，
可以将其改写为集约形式（intensive form）的“有效人均资本积累方程”:
k  s  f ( k )  ( n  g L   ) k
，这是 Solow-Swan 模型的核心方程。
推导过程：由 K  I   K  s  F ( K , A L L )   K
左 边
K

d ( k  A L L ) / dt
A LL
（其中 K / A L L
A LL
k

，有
K
A LL
k  A L L  kL  A L  kA
A LL
L
Y
 s
 L
A LL

K
 s  f (k )  k
。
A LL
A L
L

 k(
 )  k  k  ( n  g L ) k
AL
L
为有效人均资本存量）
。上式移项即得 k
 s  f (k )  (n  g L  )k
。
Solow-Swan模型：
（2）经济稳态和“黄金律”下的最优资本存量
（1）k * 是对应于 k
(n  g L  )k
y
0
的“稳
态”有效人均资本存量；
（2）k gold 是“使稳态有效人
f (k )
均消费水平 c * 达到最大时”
E
sf ( k )
的资本积累水平，称为资本
s gold f ( k )
积 累 的 “ 黄 金 律 ”， 可 证
f ' ( k gold )  n  g L  
（3） k * > k gold ，存在“资本
O
k
k gold
k
*
过度积累”，该国经济是“动
态无效”的。
Solow-Swan模型：
（3）条件收敛、
收敛速度和时间
在稳态点附近做 k
k
 
kk
k
 s  f (k )  (n  g L  )k
的一阶泰勒展开，得到资本增长率的近似方程：
*
。显然，
（1）一国初始状态偏离自身的稳态越远，即 |
k
kk
*
| 越大，收敛速度越
k
快。也就是说，一个国家与其自身稳态相比越落后，经济增长就越快。这就是新古典增长
理论的“条件收敛”假说，它预言各国经济的增长率与其自身的相对发展水平成反比。
（2）
||
的大小决定了经济向稳态收敛所需要的时间。当总量生产函数为 CD 形式时有：
   ( n  g L   )( 1   ) 。根据巴罗和萨拉伊马丁（2000）提供的“半衰期”公式 0 . 69 / |  | ，
当 n  g L
  1    为
4%时，缩短初始状态与稳态之间的差距的一半，大约需要 18 年。
Solow-Swan模型：（4）基本结论
*
1.
经济达到稳态时
f (k )
k
*

有效人均消费水平为 k *
2.
黄金资本存量水平 k gold
n  gL 
，相应的稳态有效人均资本存量、有效人均产出和
s
 k (n , g L , , s ) 、 y
*

f
 1'

*
 
(n  g L  )
*
 f (k )
和c*
*
 (1  s )  f ( k )
。
，一般情况下经济达到稳态时，可能存在过
度储蓄或储蓄不足的问题，政府可以采取相应的政策调整或鼓励储蓄，使储蓄率
s  s gold
3.
4.
以最大化 c * ，实现社会福利最优。
一国经济在向其自身稳态收敛的转移动态过程中，决定经济增长速度的因素包括：
经济偏离自身稳态的程度，人口增长率、技术进步和资本折旧的速度，以及生产函
数的劳动产出弹性，等等。
最后从长期来看，当经济已经达到并处于稳定状态时，各个有效人均变量不再发生
变化， K、Y 和 C 等表示经济总水平的变量则以外生的、不变的速率 n  g L 增长。
索洛模型的总结和评论






1．主要结论
（1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路
径上，每个变量的增长率都是常数。
（2）条件收敛：在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有
更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。
（3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有
技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
（4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金
律”增长。
（5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；
储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作
用缓慢。
对索洛模型的总结和评论
2．批评
 未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步
（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是
长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假
定的增长”来解释增长的。

附录：边际产出
由规模报酬不
变可以得到
资本的边际产出
F ( K , AL )  AL  F ( K / AL ,1)  AL  f ( K / AL )
MP K 
有效劳动的边际产出
劳动的边际产出
 F ( K , AL )
K
MP AL 
MP L 

 ALf ( K / AL )
K
 F ( K , AL )
 AL
 F ( K , AL )
L
 f ( k )
 f ( k )  k f ( k )
 A[ f ( k )  k f ( k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出。
每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)。