Transcript Arrow-Debreu证券

第三章
Arrow-Debreu
经济
本章内容






Arrow-Debreu 证券市场
状态价格
市场的完全性
参与者的优化
市场均衡
小结
3.1 Arrow-Debreu 证券市场

状态ω或有要求权：
当状态为ω时支付为1而在其他状态下支
付为0的证券。
定义3.1
状态ω或有要求权支付分布：
0,

0,
1,
0,

0,
状态或有证券
或
Arrow-Debreu证券
状态1
状态ω-1
状态ω
状态ω+1
状态Ω
1 ω(·)是
解析式：
示性函数
x(ω′)=1 ω(ω′)
3.1 Arrow-Debreu 证券市场(续)

给每一个状态定义相应的状态或有要求权，
即N= Ω 。由所有可能的状态或有证券，也就
是他们的完全集合所构成的证券市场就叫做
Arrow-Debreu 证券市场。
市场结构：
X
A D
1


 0


0

0




1





0


0


0  I


1 
3.2 状态价格
•状态价格：
状态ω或有证券在1期只有当状态为ω时
才支付1单位的消费品，因而它的价格也
叫做ω的状态价格，记为 
•状态价格的性质：
  
状态价格
为正的
原因
（3.1）
3.3 市场的完全性
记 x  [c11;...;c1;...c1] 为1期的任一
消费计划。
 记   [c11;...c1;...c1]
为各状态的或有证
券的持有量，即或有证券的组合。
 则该组合的支付为:
X  X AD [c11;...;c1;...c1]  [c11;...;c1;...c1]  x
 该支付的成本为：

 T  c1

3.3市场的完全性（续）

定义3.2
如果市场中的任一有限消费计划都可以通
过有限成本的可交易证券的组合来融资，
那么我们就称这个证券市场是完全的
（complete）。
在Arrow-Debreu证券市场上，它能给参
与者的不同消费计划融资，提供了最大的
灵活性，所以该市场的完全的。
P 34 例3.1
1
状态1或有要求权问题：如何由例
状态2或有要求权
3.1中的或有证券
0
实现例3.2的消费
计划？
P 36 例3.2
1
2
1
无风险债券支付
0
参与者的消费计划
1
1
只由无风险债券构成的市场是不完全的。
3.4 参与者的优化
给定证券市场以及状态价格，分析每一个参与者的优化问题。
记：e—禀赋, U—效用函数
在给定条件下，我们认为参与者的1期禀赋就是他对这些证
券的初始持有量。故，组合   e11;; e1 ;e1  所带来的支付与
参与者在1期的禀赋完全一样：
 e11 


A D
X     e1    
e1 
 :复制组合（replicating portfolio）,它复制了给定的一个支付e1
3.4 参与者的优化（续）
• 组合  的市场价值为  T ，且可在市场上交易。
则，参与者的禀赋市场价值为：
w  e0   e1
T
（3.2）
w：金融财富（financial wealth）或财富（wealth）
• 参与者有现金：w  e0
e 
T
1
用于现在消费c0和
状态或有证券的组合θ以得到未来消费c1= θ。
• 参与者的预算约束，即现在和将来消费的总成本不能超过
其总财富：
T
T
0
1
0
1 （3.3）
c  c  w  e  e
3.4 参与者的优化（续）

• 扩展价格向量   [1; ] ，把1单位0期消费品的价格 0
当做他的第一个元素。用0期消费作为计价单位，则 0  1
• 预算约束可改写为：
T
T
 c  e
T
 (e  c)  0
或
1 
• 当消费集为 R ，则优化问题可变为：
max
cC
s.t.
U (c )
T
 (e  c )  0
c0
（3.4）
3.4 参与者的优化（续）
•定理3.1
令 C  R1 且U(·)在C上连续。优化问题（3.4）有解。
T
T
证明：在预算集内的消费计划是 B(e,{I , })  {c  0 : ˆ c  w  ˆ e}
1 
因为 0  1  0 且   0, 可确定 B(e,{I , }) 是 C  R 中的
闭集。
令 m 为 ˆ 中的最小元素，它严格为正。对于B中任何一
个消费计划，它的任何一个元素都不会超过 w / m ，因此，
1 
B有界。同时B是闭集。而定义在 C  R 上的连续函数
U（c）有界闭集上可以取得最大值。（Weierstrass定理）
3.4 参与者的优化（续）
• 最优消费/组合计划存在，我们进一步研究它如何依赖于交易
证券的价格？
• 假设，效用函数可微，由不满足性公理知：
（3.5）
0U  0,
U  0,
  
其中，U 称为边际效用（marginal utility）
•不满足性意味着标记效用为正，记为 U  0
其向量形式为：
  0U 
 U 
DU   1 
  


 U 
和DU>>0
3.4 参与者的优化（续）
定理3.2
假定DU>>0。那么问题（3.4）的解满足如
下条件：

 iU   i  i ,
T
 (e  c )  0
i ci  0
i  0,1,  , 
i  0,1,  
（3.6a）
（3.6b）
（3.6c）
其中，  0, i  0, i  0,1,,  是由（3.6）确定的系数。
3.6（b）是预算约束，3.6（c）是非负约束
P39 例3.3
Lucas经济树，1期概率相等两状态：a，b。状态价格分别是
a 和 b 。一参与者的禀赋为（e0;e1a;e1b）。其对数效用函数
为：U (c , c , c )  log c  1 (logc  log c )
0
1a
1b
0
1a
1b
2
在给定条件下，他的总财富是 w  e0  a e1a  be1b
他的优化问题是：
max
c0 , c1 a , c1b
s.t.
1
log c0  (logc1a  log c1b )
2
w  (c0  a c1a  b c1b )  0
c0 , c1a , c1b  0
P39 给定效用函数形式，当消费水平趋近于
例3.3(续)
0是，边际效用趋近于无穷。因此，参
与者的最有消费在每一时期且每一状态
都严格为正。即，最有消费总是在R1+Ω
的内部而不是边界上，因而非负性约束
不起作用。故，μi=0(i=0,a,b)。因此
可以求c.
其一阶条件为：
1    0
c0
1 1
(
)   a   a
c
2 1a
1 1
(
)   b  b
c
2 1b
c0  a c1a  b c1b  w
ui ci  0
i  0, a, b
1
c0 

1 1
c1a 
 21a
1 1
c1b 
 21b
μi=0(i=0,a,b)
2

w
1
c0  w
2
1 w
c1a 
4 a
1 w
c1b 
4 b
财富分配
3.4 参与者的优化（续）

在参与者优化问题中，如果达到最优时非负
约束不起限制作用，则最优解就叫做内部解
（interior solution）。

如果非负约束起限制作用，则最优解叫做边
角解（cornor solution),它在消费集的边界上。
3.4 参与者的优化（续）
假设存在内部解，我们可以把一阶条件写成如下形式：

DU k (ck )  k
(3.7)
对于参与者来说，在
,
λk由预算约束决定。这意味着 k 和 不同时期和状态间转
 0U k (ck )  k0  k
移消费是无差异的。
 U k (ck )  k
因此，
 U k (ck )
 
 0U k (ck )
1
 0U k  (3.8)U k

（3.8）式是在Arrow-Debreu证券市场中进行交易的参与者达
到最优化的条件。描述的是达到最优时，在1期状态ω下消费的边
际效用与0期消费的边际效用之比等于ω的状态价格。
3.5 市场均衡思考：
满足这样条件
Arrow-Debreu经济的均衡是使如下条件成立的状态价格集合
的均衡解是否
存在？
{ :   }
1.给定状态价格，每一参与者达到最优化：
ck (ek ,  )  Arg max
s.t.
U k ( ck )
ck , 0   T ck ,1  ek , 0   T ek ,1
(1)
(2)
ck  0
定理3.3 对于定义2.5中给出的，存在Arrow-Debreu
Argmax表示最大化
2.证券市场出清：
证券市场的经济来说，均衡总是存在的。
问题的解
 ck ,0 (ek , )   ek ,0
k
c
k ,1
k
k
(ek ,  )   ek ,1
k
3.5 市场均衡（续）
均衡的性质之一：
均衡时，参与者根据市场价格选择最优的消费/
组合计划。他在1期任意状态下的相对边际效用等
于状态价格。并且，所有参与者在市场出清价格下
达到他们的最优。即：
U k (ck )
U k  (ck  )
  
, k , k , 
 0U k (ck )
 0U k  (ck  )
（3.9）
在任何状态下，所有参与者的相对边际效用都相等。
P 42
例 3.4
考虑一经济，在1期有2个概率相等的状态a和b。
经济中有参与者1和2，他们具有的禀赋分别为：
200
0
e1： 100
e2： 0
0
50
1
二者的对数效用函数： U (c)  log c0  (log ca  log cb )
2
在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。
求解均衡步骤：（1）参与者最优化（2）市场出清
P42
例 3.3（续）
（1）参与者最优化
T
记   [a ;b ] —状态价格，w  ˆ e —每个参与者财富
其中， ˆ  [1;  ]
最优化问题为：
1
max
log c0  (logca  log cb )
c
2
s.t.
c0  a ca  b cb  w
由例3.3知，
ck ,o
1
 wk ;
2
其中，
ck ,a
w1  100,
1 wk

;
4 a
ck ,b
1 wk

,
4 b
w2  200a  50b
k  1,2
P 42
例 3.4（续）
（2）市场出清
有两个交易证券，每一市场都应出清：
c1,a  c2,a
1 100 1 200a  50b


 200
4 a
4
a
c1,b  c2,b
1 100 1 200a  50b


 50
参与者2与参与者1
4 b
4
b
均衡价格的解为
a  1 4 和 b  1
的现期财富相同，
为100，虽然他们的
初始禀赋非常不同。
参与者2的财富为 w2  (200)(1 4)  (50)(1)  100
P 42
例 3.4（续）
将均衡价格和财富值带入优化问题的解中，可得均衡配置为
c1  c2  [50;[100;25]]
对于均衡配置，每一个参与者的相对边际效用为
1
(1 ck , ) c
 U k (ck ) 2
wk 2
k ,0



 0U k (ck )
(1 ck , 0 )
2ck , 2wk (4 )
1 4,   a
   
 b
1,
这对于二个参与者来说是一样的
3.5 市场均衡（续）
均衡的性质之二：
Arrow-Debreu经济均衡相对于其他所有资源配置方
式来说，它是最优的。
定理3.4
对于定义2.5中给出的，存在Arrow-Debreu证券市
场的经济来说，均衡达到的资源配置是Pareto最优的。
3.5 市场均衡（续）
定理3.4证明(反证法)：
记： {ck , k  1,, K} —均衡配置

—均衡状态价格
市场出清条件：
K
K
c  e
k 1
k
k 1
k
K
K
k 1
k 1
ˆT  ck  ˆT  ek
（3.10）
( ˆ  0)
现假定均衡配置（c）不是Pareto最优的，而是另外一个分配：
{ak , k  1, K}
 ck , k  且对某一参与者k有 ak  ck 。
使得：ak ～
3.5 市场均衡（续）
c, 那么  T a   T c 。
如果 a 
～
T
T
a

c
,

a


c
假设不然，即存在a使得 ～ 而且
这意味着a不比c差，但成本较小。
ˆT (c  a)  0



记ε为从c转换到a所节约的成本。则
设用ε来够额外的消费计划d>>0。
T
T
因为a+d>>a,由不满足性以及 ˆ (a  d )  ˆ c
有：a  d  a  c 但是不可能的，因为c是预算集中的最优选择。
T
T
a

c

a


c
（1） ～
必然有
（2）如果 ak  ck ，必然有  T ak   T ck ，即ak在k的预算集之外。
否则，给定 ˆ, k 不应该选择ck。
3.5 市场均衡（续）
由（1）和（2）可以有如下结果：
ˆ
K
T
a
k 1
k
 ˆ ak  ˆ
T
K
T
a
k  k
k
 ˆ
K
T
c
k 1
k
 ˆ
K
T
e
k 1
k
这与（3.10）矛盾，所以均衡配置 {ck , k  1,, K}
必是Pareto最优的
定理3.4也称为福利经济学第一定理（First Theorem of
Welfare Economics）。它说的是完全的、无摩擦证券市
场使得参与者可以达到资源在不同时期和不同状态下的Pareto
最优配置。这个结果为证券市场所达到得资源配置作用以及它
所带来的效率提供了理论基础。
本章小结
N=Ω
（1）状态ω或有要求权
0,

0,
1,
0,

0,
（2）Arrow-Debreu市场
状态1
状态ω-1
状态ω
状态ω+1
X A D
1


 0


0
 0  0
    
 1  0  I

   
 0  1
Arrow-Debreu市场，
均衡总是存在的，
状态Ω
（3）状态价格  配置总是最优的。
（4）市场的完全性
 (  0 )
个人
优化
U k (ck )
 
 0U k (ck )
优化问题
市场均衡
市场效率
1）每个参与者最优化
U k (ck )
 U (c )
    k  k  , k , k , 
 0U k (ck )
 0U k  (ck  )
K
K
2）市场出清ˆ  ck  ˆ  ek
T
T
k 1
k 1
( ˆ  0)