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生产者理论
• 目标：获得单个厂商供给曲线
• 方法：利润最大化
– 厂商的利润为π＝PQ-wL-rK，服从约束为生
产函数Q=f(L,K)（第6章）
– 令Q=Q0，求取C(Q)（第7章）
– π＝PQ-C(Q)，求得最优Q（第8章）
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第8讲
生产函数
2
生产函数
• 厂商关于某种商品(q)的 生产函数 表示了
资本(k) 和劳动 (l)不同组合所能生产的最
大的商品数量
q = f(k,l)
3
边际产品
• 为了研究单一投入的变动，我们将在保持
其他投入要素不变的情况下，增加一单位
某一要素所增加的产出量称为边际产品
q
资本的边际产品  MPk 
 fk
k
q
劳动的边际产品  MPl 
 fl
l
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边际生产率递减
• 一种要素的边际产出取决于投入的要素量
• 一般而言，我们假设边际生产率递减
MPk  2f
 2  fkk  f11  0
k
k
MPl  2f
 2  fll  f22  0
l
l
5
边际生产率递减
• 由于边际生产率递减，19世纪经济学家托马
斯.马尔萨斯担心人口增长会对劳动生产率
产生不良影响。
• 但是一段时间内，劳动的边际产出还取决于
其他要素（例如资本）投入的变动。
– 我们必须考虑 flk，其始终大于 0
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平均产出
• 我们经常使用平均产出衡量劳动生产率
产出
q f (k , l )
APl 
 
劳动投入 l
l
• 注意 APl 还取决于所用的资本量
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两种投入生产函数
• 假设厂商的生产函数可被表示为
q = f(k,l) = 600k 2l2 - k 3l3
• 为得到 MPl和APl, 我们必须先设定k的值
令 k = 10
• 产出函数就变为
q = 60,000l2 - 1000l3
8
两种投入生产函数
• 边际产出函数为
MPl = q/l = 120,000l - 3000l2
随 l 增加递减
• 这就意味着 q 有最大值:
120,000l - 3000l2 = 0
40l = l2
l = 40
• 即劳动投入超过 l = 40时，产出将减少
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两种投入生产函数
• 为得到平均产出, 我们假设k=10并进行求
解
APl = q/l = 60,000l - 1000l2
• APl 达到最大值当
APl/l = 60,000 - 2000l = 0
l = 30
10
两种投入生产函数
• 事实上, 当l = 30时,无论APl还是 MPl 均等
于 900,000
• 所以, 当 APl 为最大值时, APl与MPl相等
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等产量曲线图
• 为更好地表示一种投入对另一种可能的
替代关系，我们引入等产量曲线图
• 一条产量线表示生产给定产量产出 (q0)
所需k和l 的不同组合
f(k,l) = q0
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等产量曲线图
• 每条等产量线代表一个产出水平
– 越往右上方平移，产出越高
k 每期
q = 30
q = 20
l 每期
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边际技术替代率(RTS)
• 等产量线的斜率表示l 可以在多大程度上
替代k
k 每期
kA
- 斜率 = 边际技术替代率 (RTS)
RTS > 0 随着劳动投入的增多
递减
A
B
kB
q = 20
l 每期
lA
lB
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边际技术替代率(RTS)
• 边际技术替代率表示在保持产出不变的
情况下，即在同一条等产量线上，劳动
可以在多大程度上替代资本。
 dk
RTS (l 替代 k ) 
dl
q  q0
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边际技术替代率和边际产出
• 对生产函数进行全微分:
f
f
dq   dl 
 dk  MPl  dl  MPk  dk
l
k
• 在同一条等产量线上 dq = 0, 所以
MPl  dl  MPk  dk
 dk
RTS (l 替代 k ) 
dl
q  q0
MPl

MPk
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边际技术替代率和边际产出
• 由于 MPl 和MPk 均非负, RTS 也为正 (或0)
• 但是，单单假设边际产出递减往往并不能
推导出边际技术替代率递减。
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边际技术替代率和边际产出
• 为了证明等产量线为凸, 我们希望得到
d(RTS)/dl < 0
• 因为 RTS = fl/fk
dRTS d (fl / fk )

dl
dl
dRTS [fk (fll  flk  dk / dl )  fl (fkl  fkk  dk / dl )]

dl
( fk ) 2
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边际技术替代率和边际产出
• 在一条等产量线上 dk/dl = -fl/fk ，且存在
Young定理 (fkl = flk)
dRTS (fk2fll  2fk fl fkl  fl 2fkk )

3
dl
( fk )
• 由于我们已假设 fk > 0, 所以分母为正
• 由于 fll 和 fkk 均被假设为负, 如果fkl 为正的
话，那么分子为负
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边际技术替代率和边际产出
• 直觉上,fkl 和flk 应该相等且为正
– 如果工人们有更多的资本，他们就能有更多的
产出
• 但是有些生产函数中，超出一定投入界限
后，fkl < 0
• 当我们假设边际技术替代率递减时，我们
便认为MPl 和 MPk 递减足够快以抵补任何
可能的负的交叉生产率效应。
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递减的边际技术替代率
• 假设生产函数为
q = f(k,l) = 600k 2l 2 - k 3l 3
• 对于这种生产函数而言
MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2
MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3
– 当kl < 400时， k 和 l 的边际生产率将为正
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递减的边际技术替代率
• 因为
fll = 1200k 2 - 6k 3l
fkk = 1200l 2 - 6kl 3
这一生产函数就意味着k 和 l 足够大时，
边际生产率递减
– fll 和 fkk < 0 如果 kl > 200
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递减的边际技术替代率
• 对任一生产函数求二阶交叉导数得
fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2
仅当 kl < 266时，为正
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递减的边际技术替代率
• 所以，对于这一生产函数而言，在k 和 l能
保证边际生产率递减的区域内，边际技术替
代率均为递减
– 若k and l 较大，则递减的边际生产率就足以抵
消fkl 为负的影响，以保证等产量线的凸性。
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规模报酬
• 产出会对所有投入的增加做何反应？
– 假设所有投入都翻番，产出是否会翻番？
• 规模报酬从亚当斯密时代就进入了经济
学家们的视野。
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规模报酬
• 斯密发现，当投入翻番时会有两种力量
发生作用
– 生产中劳动分工的进一步细化和专业化
– 效率降低，因为企业规模变大会导致管理难
度增加
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规模报酬
• 如果生产函数给定为 q = f(k,l)，所有的投
入都乘以某个正常数 (t >1), 则
对产出的影响
规模报酬
f(tk,tl) = tf(k,l)
不变
f(tk,tl) < tf(k,l)
递减
f(tk,tl) > tf(k,l)
递增
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规模报酬
• 对同一生产函数，可出现在一定投入水平
规模报酬不变，而在其他水平上递增或递
减
– 经济学家提及规模报酬时隐含一个认知：将
投入变动限制在一个微小范围内，来考虑产
出的变动
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规模报酬不变
• 规模报酬不变的生产函数对于投入是一
阶齐次的
f(tk,tl) = t1f(k,l) = tq
• 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次
的。
– 如果一个函数是k 阶齐次的，那么其导数就
是k-1阶齐次的
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规模报酬不变
• 任何投入的边际生产率取决于资本和劳
动之比(而不是这些投入的具体水平)
• k 和 l 之间的边际技术替代率仅仅取决于
k 和 l之比，而不是运行规模
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规模报酬不变
• 生产函数是位似的
• 从几何上看,所有的等产量线均是彼此的
射线扩展
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规模报酬不变
• 沿着一条从原点出发的射线 ( k/l不变), 所
有等产量线上的RTS都是相同的
k 每期
随着产出扩张，等产量线
均匀排列
q=3
q=2
q=1
l 每期
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规模报酬
• 规模报酬可被扩展为n 种投入的生产函数
q = f(x1,x2,…,xn)
• 如果所有的投入均乘以一个正常数t, 可以
得到
f(tx1,tx2,…,txn) = tkf(x1,x2,…,xn)=tkq
– 如果 k = 1, 规模报酬不变
– 如果 k < 1, 规模报酬递减
– 如果 k > 1, 规模报酬递增
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替代弹性
• 替代弹性 () 衡量沿着一条等产量线，RTS
变动一个百分点， k/l 变动多少个百分点
%(k / l ) d (k / l ) RTS  ln( k / l )




%RTS dRTS k / l
 ln RTS
•  值永远为正，因为 k/l 和 RTS 同向变动
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替代弹性
• 当我们从点A 移至点B，RTS 和 k/l 均会
发生变化
 是这些比例变化的比值
k 每期
 衡量等产量线的曲率
RTSA
A
RTSB
(k/l)A
(k/l)B
B
q = q0
l 每期
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替代弹性
• 如果 较高, RTS 的变动没有k/l大
– 等产量线会相对平坦
• 如果 较低, RTS 的变动会比 k/l 的变动
大
– 等产量线会相对陡峭
•  沿着一条等产量线变动，或随着生产规
模变化而变动都是可能的
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替代弹性
• 将替代弹性扩展至多投入情形，会导致一
些复杂的状况
– 如果我们将两种投入间的替代弹性定义为两
种投入之比的百分比变化除以RTS 的百分比
变化，我们必须保持产出和其他投入不变
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线性生产函数
• 假定生产函数为
q = f(k,l) = ak + bl
• 此生产函数为规模报酬不变
f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l)
• 所有的等产量线都是直线
– RTS 是常数
–=
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线性生产函数
资本和劳动为完全替代的
k 每期
随着 k/l 变动，RTS 保持不变
斜率 = -b/a
q1
q2
=
q3
l 每期
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固定比率生产函数
• 假定生产函数为
q = min (ak,bl) a,b > 0
• 资本和劳动必须按照固定比率使用
– 厂商总是沿着一条k/l等于常数的射线经营
因为 k/l 是常量,  = 0
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固定比率生产函数
资本和劳动之间不能替代
k/l 固定等于 b/a
k 每期
=0
q3
q3/a
q2
q1
l 每期
q3/b
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柯布-道格拉斯生产函数
• 假定生产函数是
q = f(k,l) = Akalb A,a,b > 0
• 这个生产函数可以具有不同的规模报酬特征
f(tk,tl) = A(tk)a(tl)b = Ata+b kalb = ta+bf(k,l)
– 如果 a + b = 1  规模报酬不变
– 如果 a + b > 1  规模报酬递增
– 如果 a + b < 1  规模报酬递减
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柯布-道格拉斯生产函数
• 柯布-道格拉斯生产函数是对数线性的
ln q = ln A + a ln k + b ln l
– a 是产出相对于投入 k 的弹性
– b 是产出相对于投入 l 的弹性
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CES 生产函数
• 假定生产函数为
q = f(k,l) = [k + l] /   1,   0,  > 0
–  > 1  规模报酬递增
–  < 1  规模报酬递减
• 对于此生产函数
 = 1/(1-)
–  = 1  线性生产函数
–  = -  固定比率生产函数
–  = 0  柯布-道格拉斯生产函数
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广义里昂惕夫生产函数
• 假定生产函数为
q = f(k,l) = k + l + 2(kl)0.5
• 边际生产率为
fk = 1 + (k/l)-0.5
fl = 1 + (k/l)0.5
• 所以,
fl
1  ( k / l )0 . 5
RTS  
fk 1  ( k / l )  0 . 5
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技术进步
• 生产方法随时间改变
• 随着高级生产技术的发展，生产同样的
产出所需的投入量变小
– 等产量线内移
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技术进步
• 假定生产函数为
q = A(t)f(k,l)
其中 A(t) 代表除了 k 和 l 以外，影响q
的因素
– A 随时间的变动表示了技术进步
• A 可以看成是时间 (t)的函数
• dA/dt > 0
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技术进步
• 将生产函数对时间微分可得
dq dA
df (k , l )

 f (k, l )  A 
dt
dt
dt
dq dA q
q  f dk f dl 

 

  

dt
dt A f (k , l)  k dt l dt 
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技术进步
• 两边除以q
dq / dt dA / dt f / k dk f / l dl





q
A
f (k , l ) dt f (k , l ) dt
dq / dt dA / dt f
k
dk / dt f
l
dl / dt




 

q
A
k f (k , l )
k
l f (k , l )
l
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技术进步
• 对于任意变量 x, [(dx/dt)/x] 是 x 的增长率
– 记作 Gx
• 则我们可将上式写成增长率的形式
f
k
f
l
Gq  GA 

 Gk  
 Gl
k f (k , l )
l f (k, l )
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技术进步
• 因为
f
k
q k


  eq,k
k f (k, l ) k q
f
l
q l


  eq,l
l f (k , l ) l q
Gq  GA  eq,kGk  eq,lGl
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柯布-道格拉斯生产函数中的技
术进步
• 假定生产函数为
q = A(t)f(k,l) = A(t)k l 1-
• 如果我们假设技术进步率为指数形式 ()
那么
A(t) = Ae-t
q = Ae-tk l 1-
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柯布-道格拉斯生产函数中的技
术进步
• 取对数对时间 t 微分，得到增长方程
 ln q  ln q q q / t



 Gq
t
q t
q
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柯布-道格拉斯生产函数中的技
术进步
(ln A  t   ln k  (1   ) ln l )
Gq 
t
 ln k
 ln l
 
 (1   ) 
   Gk  (1   )Gl
t
t
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要点回顾:
• 如果仅有一种要素可变，那么可以获得
单一要素与产出之间的关系
– 边际生产率是增加一单位投入所带来的产
出
• 假定随着投入增加而递减
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要点回顾:
• 可以利用等产量曲线图说明整个生产函
数
– 等产量线的斜率是边际技术替代率 (RTS)
• 它表示当产出不变时，一种要素如何替代另一种
要素
• 是两种投入边际生产率之比
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要点回顾:
• 通常假定等产量线的凸性
– 遵循递减的 RTS
• 这个假设不能完全从边际生产率递减中推出
• 必须考虑一种要素投入的变化对于其他投入边际
生产率的影响
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要点回顾:
• 生产函数的规模报酬表示了产出如何对于
要素的同比率变化作出反应
– 如果产出和要素同比率变化，为规模报酬不
变
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要点回顾:
• 替代弹性 () 衡量了一种要素替代另一
种要素的难易程度
– 高的  意味着等产量线接近直线
– 较低的  等产量线接近 L-形
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要点回顾:
• 技术进步会使整个生产函数和等产量曲
线图移动
– 技术改进可能来自于使用更有效率的投入，
也可能是更好的经济组织方式
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