Transcript 22几何光学（选讲）
第二十二章 几何光学 几何光学是基于光的直线传播现象来研 究光在透明媒质中传播、在两种媒质的交界 面上反射、折射和成像规律及其应用的科学。 几何光学不考虑光的本性，其基本定律是 实验现象的总结，再运用几何定理的推证方 法，导出不同条件下的应用公式。 几何光学是光学仪器设计的理论基础。 本章内容 Contents chapter 22 几何光学的基本定律 basic law of geometric optics 光在平面上的反射和折射 reflection and refraction of light at plane boundary 光在球面上的反射和折射 reflection and refraction of light at spherical boundary 薄透镜成像 formation of image with thin lens 几种常见的光学仪器 simple optical instrument 第一节 basic law of geometric optics 光线与光束 光线 表示光的能量传播方向的几何线。 光束 由许多光线组合在一起的集合。 几何光学的三条最基本的实验定律： 1. 光的直线传播定律 2. 光的独立传播定律 3. 光的反射和折射定律 直线传播定律 1. 光的直线传播定律 光在均匀媒质中沿直线传播。 屏 极小的 点状光源 不透明物 屏 几 何 投 影 实物阴影实验 分层均匀媒质，每层中的各段光线为 直线。各层光线的连接可形成一条折线。 物 小孔 像 小孔成像实验 连续不均匀媒质，视为无限多层无限薄 的均匀媒质层构成，折线可演变成某种曲线。 独立传播定律 2. 光的独立传播定律 两束光或多束光相遇时，并不因其它光束的 存在而改变原来的方向。 观察者 A 和 B 分别 看到光源 S2 和 S1 ， A S1 B S2 不会因为 这两个光源发出的 光线或光束相交 而受到影响。 反、折射定律 3. 光的反射和折射定律 设媒质 1 和媒质 2 都是均匀的透明媒质，而且都是各向同性媒质。 两 媒质的分界面为平面。一入射光线（入射线）从媒质1射到分界面的O点。 法线 入射面 入射角 i1 反射线 折射线 折射角 i2 入射线与法线构成的平面 入射面 入 射 线 入 i 1 入射线与法线的夹角 从O点反射回原媒质的光线 反射线与法线的夹角 从O点折入媒质 2 的光线 折射线与法线的夹角 射 角 反 射角 媒质1 媒质2 线 射 反 i1´ n1 O 线 折射 反射角 i1 从O点作垂直于分界面的直线 法 线 n2 i2 折射角 各向光学同性媒质，是指沿各个方向其光学性质都相同的媒质，例如，空气、水、玻璃等非晶体物质。 续 （1）光的反射定律 法 线 入射面 i1´ = i1 入 射 线 入 i 1 反射线在入射面内； 反射角等于入射角， sin i1 sin i2 媒质1 n1 O 媒质2 的正弦与折射角的正弦之比是 折射角 入射媒质 的折射率 n1 = c v1 n2= c v2 一个取决于两媒质的光学性质 和光的波长的常量，而与入射 角和折射角的大小无关。 n2 i2 n2 = n1 折射线在入射面内；入射角 线 射 反 i1´ 线 折射 （2）光的折射定律 射 角 反 射角 折射媒质 的折射率 真空中光速 入射媒质中光速 真空中光速 折射媒质中光速 折射率表 真空的折射率等于1 常见透明媒质的折射率 右表中给出 媒 质 折射率 一些最常见透明 空 气 1.0003 媒质对钠黄光 水 1. 33 ( 波长 为 589.3 酒 精 1. 36 nm ) 的折射率 光学玻璃 常用值。 金刚石 1.49 1.79 2. 42 两种媒质的折射率之比称为相对折射率。其中，折射率相对较大的媒质 称为光密媒质；折射率相对较小的媒质称为光疏媒质。例如，水相对与空气 是光密媒质，而相对于玻璃则为光疏媒质。 可逆性原理 在几何光学的光路中，当光线的方向返转时， 它将逆着同一路径传播。 这个原理其实是从几何 光学的基本实验定律中总 结出来的。 它是我们在几何光学中 分析具体光路和论证具体问 题时经常需要用到的一个基 本原理。 成像问题 在几何光学中，大量的实际应用问题是研究成像问题。 在一般情况下，对于任意光束结构和任意曲面形状的成 像问题是非常复杂的。 下面我们在结合几何光学基本实验定律应用的同 时, 介绍有关同心光束近轴成像方面的基础知识。 即：将一个发光点看成是几何学上的点，而且它到成像 系统光轴的垂直距离比较近，由它发出的光束都与该点同 心；并假设媒质的分界面可以看成是理想的平面或球面。 我们就讨论这种同心光束经平面、球面、或平面和球面系 统的反射或折射后的成像规律。 第二节 reflection and refraction of light at plane boundary 平面反射 1. 平面反射镜成像 若一反射面为理想平面，只考虑 其反射成像的几何特性, 称为平面反射镜成像。 发光点P（物）所发出的同心 光束中的每一条光线，在镜面反 射时都服从反射定律，反射光束 中的每一条光线的延长线必交于 同一点 P ´，该点到镜面的距离 s´= s 且同在一直线上。 眼睛看到镜中的像 P ´ ，不是 光线真正由此发出，称为 虚像。 物 P s M s´ P´ 虚像 平面反射镜成象 平面镜成像中的物与虚像，具有 镜面对称性。 镜面对称性 镜面对称性的空间概念 用 x y z 直角坐标系代表一个三维物体，若 z 轴垂直 并指向镜面，则原点 o 的镜像 o´在同一轴线上与 o 到 镜面的距离相等， z´ 轴亦垂直并指向镜面。 x´和 y´轴分别与 x 和 y x´ 轴同向，轴上个点到镜 z´ 面的距离相等， o´ y´ 像中的各线 段亦与物的 x z 对应线段相 等。 M o y 镜面对称性 例 试证明，某人欲从直立的平面镜中看到自己站立的全 身像，该镜子的长度至少要等于他身高的一半。 M 人 - 镜距 S ，要看到 T E d 自己镜像中的头顶 T ´ T´ E´ A B 到脚尖 G ´ ，只需用 到镜子的 AC 段。 h l C 根据镜像对称性质，和 相似三角形原理得 D G d E ´T ´ AB = = 2 2 则 及 BC = d AC = AB + BC = 2 S E ´G ´ = 2 + l 2 S l 2 G ´ h = 2 此关系式与人- 镜距离 S 无关。若用一个长度等于某人身高一半的直立平面镜，只要将镜子的 下缘安放在眼-地距离一半的高度上，无论此人走近或远离镜子，他都能看到自己的全身像。 全反射 2. 全反射 当光线从光密媒质（设其 折射率为 n1 ）射向光疏媒 质（设其折射率为 n2 ， 且 i2 n2 A n1 i2 = 90° B C D i1 i1 ic n2 < n1 ）时，由折射定律 得 n2 sin i2 sin i1 = n1 P 因 n2 < n1 ，则 i1 大于某个值时，在界面上光的能量全部反 射回原媒质 n1中 ，这种现象称为 全反射 或 内反射。当 i1大 到刚好开始发生全反射时的入射角称为 全反射临界角，用 ic 表示， ic 满足下述关系 n2 sin iicc = n （ n2 < n1 ） 这时的折射角 i2 = 90° 1 例 全反射概念可帮助我们理解某些在水中所观察到的奇异现象。下面的例题是其中之一。 某人在游泳池水面下方 d =1.0 m 处仰视天空，求（1）他在水中看 到整个天空视场所张的平面角； （2）他的视场在水面上所对圆面的直径。 （水的折射率为1.33） 。 A´ B´ 从水向空气入射 时的全反射临界角 空气 A 1 n0 ic = arcsin = arcsin 1.33 n = 48.8 º n0 n B d ic ic 水 E （1）看到整个天空视场所张的平面角 2 ic = 97.6 º （2）场视在水面上所对圆面的直径 2 r = 2 d tan ic = 2. 24 m 若水面分别有两浮球A 和B，则此水下观察者所看到的这两个浮球将分别在E A´ 和 E B´ 的方向上。他看到整个天空的景象，都缩影在一个直径不大的圆面之中。 全反射棱镜 全反射原理在光学技术中有许多重要的应用，下面举两个典型的例子。 （1）全反射棱镜 利用光在棱镜的一个表面上发生全反射，而改变 光的传播方向或改变象的方向的棱镜，称为全反射棱镜。 B 制造全反射棱镜 等腰直角 C 全反射棱镜 的玻璃折射率，一般 为 1.5 ~1.7，光从玻 璃到与空气的界面上 角 ic 约为 41.8° ~ B A A 反射时的全反射临界 C 36.0° ，因图中棱镜 内的各条光线在空气 界面的入射角i1 均为 45°，大于全反射临 界角 ic ，都能发生全 反射。 （a） 在一个表面（AB） 上发生全反射 （b） 在两个表面（AC ） 和 （CB） 上发生全反射 角反射镜 全反射棱镜的另一种形式 角反射镜 或 后向反射镜 现代红外光或激光测距作业中 A 常用的一种全反射棱镜，称为角反 射镜或向后反射镜。它是一个玻璃 四面体，其中顶角C是三个直角棱 面的交点，第四个棱面ABD 与顶 B C 角C的中线垂直。入射光对着棱面 ABD入射，经三个相互垂直的棱面 相继全反射后沿入射相反的方向返 回。用单个或一组角反射镜作为合 D 作目标放置在预定地点（甚至月球 上），就可以将测站射来的光束沿 路反射回测站，只要角反射镜的加 工满足设计要求，即使入射光并不绝对严格垂直于棱面 ABD 入射，也能收到 一定能量的反 射光信号。 光学纤维 （2）光学纤维 光 线 在 光学 纤 维 入射端 媒质 n0 内发生全反射的临 i0 n2 介 质 包 层 n1 界条件是 n2 （ n2 < n1 ） sin iicc = n1 因 iicc = 2 玻璃丝芯线 - i1 n0 sin i0 = n1 sin i1 = n1 n2 n0 i0 n2 cos cos i sin ( 1 = - i1 ) = n1 2 则 n2 < n1 n1 1 – cos cos2² i1 = i1 ic n1² - n2² 入射角小于 i0 的入射光线，在光学 得 1 i0 = arcsin n 0 n1² - n2² 纤维内都能满足全反射条件而不断向前 传播, 从光学纤维的一端传到另一端。 平面折射 1. 光通过平行媒质层时的折射 对 n1 和 n2 媒 质 的 分 界面应用折射定律得 对 n 2 和 n3 媒 质 的 分 界面应用折射定律得 联立解得 n1 sin i2 = n sin i1 2 n1 n2 sin i3 = n sin i2 3 n2 n1 sin i3 = n sin i1 3 n3 i1 i2 i2 i3 结果表明: (1) 从平行媒质层出射光线的折射角 i3 , 只取决于入射光线的入射角i1以及入射和出射空 间媒质的折射率 n1 和 n3 , 其间的平行媒质层并没有改变出射光线的折射方向 。 (2) 若 n3 = n1 ，则 i3 = i1 。例如当光线以某一入射角i1入射于处在空气中的平板玻璃时, 则从平板玻璃出射的光线的折射角 i3 = i1 , 即出射光线与入射光线平行。 至于出射光的位置则与平行媒质层的厚度和折射率有关,需要根据光路的具体条件进行计算。 棱镜主截面 2. 光在棱镜主截面内的折射 与棱镜各棱正交的横截面称为棱镜的主截面。 三棱镜主截面的形状是三角形。 设某三棱镜的折 θ 射率为 n ，其周围是 M 空气 ，设棱镜的主截 B i1 面中一个顶角的大小 为θ ，入射光线 A B 偏 向 角 C δ1 δ2 r2 r1 N δ i2 n D A 在主截面以任一入射 角 i1 入射于棱镜，经 棱镜折射后从C 点出射，出 射光线 CD 的方向与入射光线 A B 的方向之间的夹角 δ 称为偏向角。 最小偏向角 实验和数学理论计算表明,当入射线和出射线的位置 对于棱镜成对称时, 即 r1 = r2 = θ / 2 θ i1 = i2 = (θ +δm ) / 2 时, 偏向角δ 具有最 小值, 称为最小偏向 角, 用 δm 表示。 最小 偏 向 角 M i1 A B δ1 δ2 r1 C r2 N δm i2 n D 应用折射定律得 n= sin i1 sin r1 = sin ( θ + δm ) 2 sin θ 2 θ 和δm通常可用分光计进行测量, 由于在最小偏向角时,偏向角的变化 最小, 测量的准确度较高, 折射率可 以测定到六位有效数字。 平面折射成像 3. 平面折射成像 假设有两种折射率分别为 n 和 n′ 的透明媒质,其分界面(折射面)为平 面,如图中的AB 所示。若取一垂直于分界面的直线为轴, 轴上有一点状 物体P处在媒质n中, P到分界面的垂直距离为 p , 我们要讨论的是,由于 光的折射, 物点P 的像的位置将会在哪里? A n 由P发出的某一 条光线以入射角 i 射 i′ 向分界面并折射到 媒质n′中, 假定 n′﹥ n , 其折射角为 i′ 。 P′ u′ P s′ n′ i′ i h u s B 则折射线的延长线 与轴线的交点 P′即 由图中的几何关系不难看出, u = i 及 u = i′ 应 为物点 P 的像。 用折射定律得 n sin i = n′sin i′ 近轴成像 3. 平面折射成像 A n sin i = n′sin i′ n 又因 i′ tan u = h / s = tan i 及 u′ P s′ P′ tan u′= h / s′= tan i ′ n′ i′ i h u s B 因此 , 在一般情况下, 计算P′点的位置 s′ 的表达式是比较复杂的,它与 n、 n′、 s 和 u ( 或 i ) 都有关。只有当 u ( 或 i ) 很小 的情况下, 则 u ′ ( 或 i ′) 也很小, 称为近轴 (或旁轴) 光线折射成像。 此时，可用近似关系式 tan i ≈ sin i 及 tan i ′ ≈ sin i ′ , 则上述计算可简 化为 n h s h = n′ s′ 则 s′= n′ s n 这是单平面近轴光线折射成像时, 像点位置 s′的近似计算公式。 计算公式 3. 平面折射成像 单平面近轴光线折射 成像时, 像点位置 s′的近似计算公式 s′= n′ s n A n i′ P′ u′ P s′ n′ i′ i h u s B ( 1 ) 它只适用于小入射角情况下折射成像位置的近似计算 ; ( 2 ) 式中规定 n 是入射光线所在媒质的折射率, n′是折射光 线所 在媒质的折射率 ; ( 3 ) 像点′P 的位置是折射光线的逆向延长线与轴线的交点,光线 实际并非由′ P 发出, 像的 性质为虚像。公式中的物和象到折射面的距 离分别为 s 和 s′, 这里我们只用此公式计算其大小 。 例 如下图中(a) 所示 , 在水深为 s 处有一物体P, 若在空气中近轴方向 观察水中的该物体, 求其视觉深度 s′。如下图中(b)所示, 离水面高度为s 处有一物体P, 若在水中近轴方向观察空气中的该物体, 求其视觉高度 s′ 。 P′ 空气 折射 s P n′ =1.00 s P n = 1.33 s′ P′ s′ 折射 n′ =1.33 水 水 入射 入射 空气 n =1.00 (b) (a) (b) (a) (b) 两种情况都可应用近轴光线折射成像式 求像点位置 s′。 (a) (a): 入射在 n = 1.33 , 折射在 n′ =1.00 物体的视觉深度 (b): 入射在 n =1.00 , 折射在 n′= 1.33 物体的视觉高度 第三节 reflection and refraction of light at spherical boundary 球面反射成像 球面镜 凹镜 镜的反射面是球面的一部分。 副轴 反射面为球面的凹面。 凸镜 反射面为球面的凸面。 顶点 镜面上的中心点 O。 主轴 凹镜 副轴 曲率中心 曲率半径 主轴 副轴 球面的球心 C。 球面的半径 R。 凸镜 主轴 通过顶点和曲率中心的直线 CO。 只通过曲率中心 C 而不通过顶点 O 的直线。 凹镜反射成像 1. 凹镜反射成像 平行 于主轴 并且接近主轴 的入射光线,经凹镜反射后交 B A O C F 于镜前主轴上的一点 F称为 , 实主焦点, 简称 实焦点。 焦点到顶点的距离 f 称为 焦距 。 f R 因入射光线 AB∥ CO , 而且 CB 为 B 点的法线 ,BF 为反射光线, ∠ABC ＝∠BCF ＝∠CBF , CF ＝ FB 。当 AB 接近主轴时, FO≈ FB , 此时可以认为 FO ＝ CF ＝ 1 CO 2 故 即 凹镜公式 如果将一点状物体放在主轴的某点 P 上, 为了求出该物点的像在主轴上位置, B 可通过 P 向凹镜作一条 入射光线 PB , 其反射光 C P 线与主轴的交点 P′即为 f 像的位置。图中 CB 是镜 p′ R 面上 B 点处的法线,也就 p 是 三 角 形 △ PBP′ 中 ∠PB P′的平分线, 则 PC PB = B P′ C P′ 当∠BPO 很小时, 也就 是说,当入射光线满足近轴 条件时, 上式可写成 O F P′ PO = P′ O 展开得 PC p– R p = p′ R – p′ 即 P′ C p + p′ p p′ 1 1 1 = + p f p′ = 2 R 改写成： 称为 凹镜公式。 共轭点 凹镜公式 B 1 1 1 = + p f p′ P C f p′ 公式中p称为物距,是物体到 镜面顶点的距离 ,当实物在 镜面前时,或者在镜面前存在 O F P′ R p 一个由其它镜产生的实像时, 值。 p′称为像距, 是象到镜面顶点的距离 , 实像取正值, 虚像取 p 总取正 负值。f 为焦距, 因凹镜的焦点是实焦点, 其焦距 f 取正值。 根据光路的可逆性原理可知, 若将P 点处的物体改放在其像的 P ′点处, 则这时的像必在P点 。存在P与P ′这种关系的两个点, 称为 共 轭点。 作图法 下面介绍使用 作图法 直观地表示凹镜反射成像的性质、位置和放 大率 。在近轴条件下, 可灵活运用下述三条原则进行作图求解: (1) 平行于主轴的入射线 , 其反射线必通过焦点 ; (2) 通过焦点的入射线 , 其反射线与主轴平行 ; (3) 通过曲率中心的入射线 , 其反射线与入射线共线而反向。 例如图 (a) , 已知一垂轴物体 AP 位 A B 于曲率中心 C 之外, 可对A点应用作图 原则 ( 1 ) 和 ( 2 ) 所得到的交点 A′即为 (a) P C P′ A′ A点的像, 对应于轴上点P 的像为P′, 于 p′ 是获得一个倒立的 实像P ′A′ 。 又如图 (b) , 已知一垂轴物体 AP 位于 焦点 F 内, 可对 A 点应用作图原则 ( 1 ) p A′ (b) A 和 ( 3 ) 它们在镜面后方的延长线的交点 A ′即为 A 点的像, 对应于轴上点 P 的像 为 P′, 于是获得一个正立的 虚像 A′ P ′。 O F C F B P O p P′ p′ 放大率 (a) (b) 为了证明这个式子， 我们只要从 P ′A′ = M= PA A 向镜面顶点O 作一入射光线,其反射 p′ p ′ ′ 线(或反射线的逆向延长线)必通过 A ′ 点, ∠AOP = ∠A OP ′,则 △AOP 与 A B △A OP ′相似, 对应边成比例。 作图法和计算法的原理及所得的结果 (a) P C P′ A′ 是一样的,而且都是在近轴条件下才成 O F p′ 立的。平行于主轴的远轴和近轴入射光 p 经球面镜反射后并不会聚于同一焦点, 这是球面镜的一个天然的缺陷。除非不 A′ (b) A 用球面镜而改用抛物面镜。但由于工艺 上的原因,球面比抛物面容易加工,因此 C F B P O P′ 通常球面光学器件用得较多,在设计和 使用时,都要尽量考虑满足近轴条件。 p p′ 凸镜成像 2. 凸镜反射成像 平行于主轴并且接 近主轴的入射光线, 经凸镜反射后是发散 B O F 的，但其逆向延长线 与主轴可交于一点 F , 称为凸镜的 主焦点 , 凸镜的主焦点是 虚焦点。 f R ∠CBF ＝∠BCF , BF ＝ FC ，在近轴条件下, BF≈ OF , 1 可得 OF ＝ FC ＝ 2 OC 因 即 C 原理 若在凸镜前方位于主轴上有一个物点 P , 如下图所示, 通过 P 可作入 射光线 PB , 其反射线的逆向延长线与主轴的交点 P′是物点 P 在主轴 上的虚像。从图中的几何关系可以看出, BC 既是法线又是∠ PBP′的外 角∠ EBP′的平分线, 可得 E B PC PB = P′ C P′ B 当∠BPO 很小时, 也就 O P p p′ f 是说, 当入射光线满足近 R 轴条件时, 上式可写成 展开得 PO PC = P′C P′O 即 p p′ = p+ R R – p′ P′ C F p - p′ = pp′ 1 = f 2 R 上式可改写成 1 1 = p p′ 1 f 凸镜公式 式 1 1 = p p′ 1 f 称为 凸镜公式 应 用此式进 行运 算时 , p 、p′、和 f 都应以绝对 E B 值代入。但在几何光学中, 为了将球面镜(包括凸镜和 O P 凹镜)公式使用同一种表示 p 形式, 都表示为 P′ F C p′ f R 1 1 + p p′ 1 f 2 R 此式是 球面镜反射公式的普遍表达形式 , 应用此公式时, 对于实像, p′为正值; 对于虚像, p′为负; 对于实焦点, f 和 R 为正, 对于虚焦点, f 和 R 为负, 或者说, 如果从反射面到曲率中心的方向, 与反射光的方向 相同时, R 为正, 否则为负。这样就可同时包容凸镜和凹镜两种情况了。 特点与应用 凸镜成象的一个显著的特点是: 不论物体放在凸镜前任何位置, 所得到的象总是缩小正立的虚象。 用 作图法可以 求出凸镜反 B A A′ 射成象的这种特点, 如右图所 示, 欲求位于凸镜前任一物距 O P s 的垂轴物体 AP 的象, 可通 过 A 点作一平行于主轴的入 s P′ F s′ f R C 射光线 AB , 其反射光线 的逆向延长线必通过虚焦点 F , 而通过 A 点向 曲率中心 C 的方向作一入射光线, 其反射光线必与入射光线共线,此反 射光线的逆向延长线 与 BF 的交点 A′即为 A 点的象点, 相应的垂轴点 P′即为 P 点的象点,于是得到了一个缩小正立的虚象 A′ P′, 象距为 s′ 其放大率 M = s′/ s 。汽车驾驶员用来观察车后情况的凸面反射镜, 不 论远近, 得到的总是缩小正立的虚象。 例 已知一球面凹镜的曲率半径为60cm , 一高度为2cm的物体在镜前 40cm处, 求 (1) 此物的像距与象高,, 此象是实像还是虚像? 并用作图法 画出光路草图。 (2) 如果物体在镜前15cm处,其它条件不变,结果又如何? (1) 由 1 1 1 + = f p p′ = 2 R (1) R = 60 cm , p = 40 cm , 则像距为 p′= 放大率 则 M= Rs = 120 (cm) 2s R p′ 120 h′ = = p 40 h C h′ 像距 p′为负值, M= Rs = 2s R B O F p p′ (2) 30 (cm) C p′ p = = h′ h F 30 15 A′ B A 则象为虚像。 h′ = h h P A′ = 3 若 p= 15cm , 则像距为 p′= 放大率 P′ 得放大的倒立实像。 h′= 2 h = 6 (cm) (2) A O P P′ 2 负值表示虚像。 得放大的正立虚像。 p p′ 例 如果将上题的凹镜改成凸镜, 其它条件不变, 果如何? 1 1 1 + = f p p′ 由 = 2 R 凸镜的曲率半径为负值, 用 R = p′= 解得 M= 1 p′ 1 + 40 (1) A h 60 cm 代入计算 17.1 (cm) p′ h′ = = p h 17.1 = 40 1 15 (2) p′= M= + = 10.0 (cm) h′ p′ = = p h 10.0 = 15 C O P 虚像 P′ p′ 得缩小正立虚像 (2) 0.43 缩小虚像 2 60 B A′ h P O h′ P′ p p′ 虚像 0.67 缩小虚像 F p A 1 s′ A′ h′ 2 60 = (1) B 得缩小正立虚像 C F 球面折射成像 假设有两种折射率分别为 n 和 n′ 的透明媒质,其分界面(折射面)为球面, 球面的曲率为C , 曲率半径为 R , 如图所示。我们将要讨论, 在媒质 n 中, 物距为 p的轴上点状物体P, 由于光的折射, 在媒质 n′ 中的成像规律。 由P点作入射光线 PB , 其 折 射 光 线 与 n i 轴线的交点P′则为P 点的像。由图中的 i u P 和 f 分别作为 △PBC B h f O D R n′ i′ u′ C p′ p 和△P BC 的外角可知 i=u+f ， f = u′+ i′ 由折射定律有 n sin i = n′sin i′ 在近轴条件下, i、i′ 都很小,可用角量(弧度)代替正 n i = n′ i′ 弦 将 i = u + f 和 i′= f - u′ 代入得 n u + n′ u′ = ( n′ - n ) f P′ 原理 n u + n′ u′= ( n′ - n ) f 另一方面, 在△PBD、△P′ BD 和 △CBD 中, 设 BD = h , OD = δ , 则 tan u = h p +δ tan u′= , 在近轴条件下, δ 很 h p′- δ n i 小,可以忽略, u、 u′ 、 φ 也都很小,可用角量 u P (弧度)代替正切, 得 , B h f O D R , u′= h p′ , f= n′ i′ u′ C p′ p h u= p h R-δ tan f = h R 将上述结果代入式 n u + n′= ( n′- n ) f 后消去 h 得 n′ n n n′ = + p p′ R P′ 球面折射成像公式 这是球面折射的普遍公式。无论 n＞n n′ n n n′ p + p′ = R 还是 n ＜n ,公式都有同样的形式。但在应用 公式时, 必须注意根据成像的虚实和球面曲率中心的方位去取像距 p′ 此 和曲率半径 R 的正负。球面折射公式的符号规则为 ( 1 ) 若从折射面到曲率中心的方向与折射光的方向相同, 则R为正, 否则为负。 ( 2 ) 若像P ′位于从球面折射光线行进方向的那一侧 , 像距 p′为正, 否则为负。 ( 3 ) 若物P 位于入射到球面的光线的那一侧, R A y n′ C O P p R A n i (a) 物距 p 为正, 否则为负。 y P′ y′ i′ A′ p′ (b) A′ n P′ C i y′ P n′ i′ p′ p 例如,图中( a ) : R为正, p′ 为正, p为正。( b ) : R为负, p′ 为负, p 为正。 放大率 前面我们讨论过平面折射成像问题, 其实, 平面折射成像可看成是 球面折射成像 R = ∞ 时的一种特例, 这时有 n′ n = 0 + p p′ 或 n′ n p p′ = 下面, 我们进一步推导球面折射成像的放大率表达式。以上页图 ( a )为例, 从 垂轴物体 y 的端电点 A 发出的光线, 在通过曲率中心 C 的方向上为一直线, 在顶 O 处入射的光线, 其折射光线的方向服从折射定律,此两条光线的交点 A′即为像 y ′的 端点。在近轴条件下有 tan i = tan i′ = 再由折射定律 联立解得 y p ≈ sin i y′ ≈ sin i′ p′ , y y y′ n′ p = p′ 则 球面折射成像的横向放大率表达式 为 n n′ C i (a) n sin i = n′ sin i′ n R A O P y′ i′ p y′ M = y = P′ A′ p′ n p′ n′ p 例 已知折射率为 n = 1.00 与 n′ = 1.50 两种媒质的分界面为球面, 球 面曲率半径为 R = + 4 0cm , 在媒质 n 中有一物距为 p = + 2 0cm 的轴上物 点P, 求其像距 p′, 此像是实像还是虚像? 并画出光路草图。 n′= 1.50 n = 1.00 因已知条件为: 物在媒质 n 中, 且物 距 p 为正, 以 P′ P R p 及R为正。可判定球面曲率 C p′ 中心C 在从球面折射光线行 由球面折射公式可得 进方向的那一侧, 如图所示。 n′ n + p p′ = 将已知数据代入得 1.50 = p′ 0.50 40 p′为负故象为虚像, n′ - n R n′ = p′ 0.50 2.00 1.00 = = 40 20 n n′ - n - p R 1.50 40 则 p′ = - 4 0 (cm) 像点 P′是折射光线的逆向延长线与轴线的交点 。 例 已知折射率为 n = 1.50 与 n ′ = 1.00 两种媒质的分界面为球面, 球 面曲率半径为 R = - 10cm , 在媒质 n 中有一物距为 p = + 40cm 的轴上物 点 P, 求其象距 p′, 此象是实像还是虚像? 并画出光路草图。 由于 R 为负值, 故球面曲率 中心 C 在从球面折射光线行进 P 方向的那一侧, 如图所示。由 则 C R n′ n R 1.00 1.00 1.50 - 10 p′ = n′ p′ 0.5 1.50 + 40 = 10 p′为负表明像的性质为实像, p′ n 换成 n′ , 及 n′ 换成 n , 如右图所示 , 在应用球面折射公 式对该图解题时, 也只需相应地将 n 换成 n′, 及 n′ 换成 n, 其它的一切都不变, 即换成 n = p′ n n′ R = n′ n R n p 0.5 40 1.5 = 40 得 p′ = 8 0 (cm) 像点 P′是折射光线与轴线的交点 。 注: 如果本题的一切数据都不变,仅仅是将折射率的标识符 n′ + p P′ p 球面折射公式得 n n′ + p p′ = n′= 1.00 n =1.50 n = 1.00 n′ =1.50 P C P′ R p p′ 第四节 formation of image with thin lens 凸透镜 一个透明物体的两个界面如果都是球面, 或者一个界面是球面, 另一 个界面是平面, 称为 透镜。中央部分比边缘部分厚的透镜称为 凸透镜, 凸透镜具有会聚光线的性能, 又称为会聚透镜, 如图所示。按截面形状 可分为 ( a ) 双凸、( b ) 平凸和 ( c ) 凹凸三种类型。 (a) 凸透镜 F (b) 平凸 双凸 C1 凹凸 C1 R2 (c) R1 R2 ＝∞ C2 R1 R2 R1 C1 C2 凹透镜 中央部分比边缘部分薄的透镜称为 凹透镜, 凹透镜具有发散光线的性 能, 又称为发散透镜, 如图所示, 按截面形状可分为 ( a ) 双凹、( b ) 平 凹和 ( c )凸凹三种类型。 凹透镜 R2 R1 (a) C2 C1 F 双凹 (b) 平凹 R2 (c) C2 R1 ＝∞ R1 凸凹 R2 C2 C1 设透镜前后两个球面的曲率半径分别为 R1 和 R2 , 球面曲率中心分别为 C1 和 C2 , 通过两 球面曲率中心的直线称为透镜的 主光轴 简称 主轴。如果透镜的厚度远小于两球面的曲率 半径, 这种透镜就称为 薄透镜。下面我们将要讨论在近轴条件下, 薄透镜成像的基本规律。 基本原理 P1′ P B2 B1 n C2 p R1 R2 n′ O1 O2 p1′ p2 d n C1 p′ 如图所示, 设透镜的折射率为 n′ (例如玻璃等) , 率半径的大小别为 R1 和 R2 , P′ 其两个折射面曲 相应的曲率中心分别在 C1 和 C2 。若透 镜处 在折射率为 n 的媒质(例如水或空气等)中, 轴上一点状P 到第一折射面 的顶点 O1 的距离为 p , 从 P 发出的一条近轴光线 PB1 入射于第一折 射面, 进入透镜时沿某一方向产生折射, 折射光线为 B1B2 , 再从第二 折射面折射出透镜，出射光线与轴线的交点P ′即为透镜对物点P 所生成 的像。 第一步 为了定量求出像距 p′与物距 p、曲率半径 R1、R2 和折射率 n 、n′ 的关系式, 可将上述全过程分成两个步骤: 第一步, 分析第一个折射面所成的像, 如下图所示。 第一折射面所 成的像是在折射光线 B1B2 逆向延长线与轴线的交点 P1′处 , 它是一 个虚像, 像距的大小为 p1′。 B1 n n′ R1 P1′ P O1 C1 p p1′ 应用球面折射公式得 n p + n′ - n n′ = R1 p1′ 第二步 第二步, 将第一折射面所成的虚像 P1′作为第二折射面的物, 物距大小 为 p2 , 它所成的像位于P ′, 像距为 p′ , 如下图所示。图中的入射和折射 空间的折射率为n′和 n , 应用球面折射公式 得 n′ n n′ + n = p2 p′ R2 B2 n′ R2 O2 C2 P1′ p1′ p2 n P′ p′ d 因P1′对第一折射面为虚像, 像距 p1′为负; 而对第二折射面是物, 它位于 入射到球面的光线的那一侧, 物距 p2 为正。 此外对于薄透镜, 透镜厚度 d 远小于 R1 和 R2 , 也远小于 p2 和 p1′, 可取 p2 = - p1′, 代入上式得 n′ + n p1 p′ = n n′ R2 联立 n p + n′ p1′ n′ + n p1 p′ = n′ n R1 = n′ n R2 将上面两式相加, 得 n p 即 + n p′ 1 R1 1 ) R2 1 1 ) ( R 1 1 ) R2 = ( n′ n ) ( n′ 1 + 1 ( n = p′ p 是含透镜结构参数R1、R2 和n′的薄透镜成象的普遍表达式, 其中p 和p′ 分别为物距和像距, n 为薄透镜周围空间媒质的折射率, 如果处在空气 中, n ≈ 1 则有 1 + 1 p′ p = ( n′ 1 ) ( 1 R1 1 ) R2 透镜制造者方程 ′ ′ 距 f , 薄透镜焦 距 f 被定义为: 当轴 薄透镜有一个重要的参量称为焦 上点物的物距 p = ∞时点像的像距s ′; 或者, 当轴上点像的像 距 p =′ ∞ 时 点物的物距 p 。因此 , 又可表示为 1 f 1 = ( n′ 1 ) ( R 1 1 ) R2 透镜制造者方程 上式给出了薄透镜的焦距 f 与结构参数 R1、R2 和 n′的定量关系, 这是设计和制造薄透镜的理论依据, 因此, 该式通常又称为透镜制造者 方程。该方程对于各种类型的凸、凹薄透镜都成立, 但应注意基本的 符号法则: 假设光从透镜左方入射, 对于曲率中心C 在透镜右側的球面, 其曲率半径 R 取正值; 对曲率中心 C 在透镜左側的球面,其曲率半径R 取负值。同学们可根据这一法则, 结合各种类型的凸、凹玻璃薄透镜 ( n′＞ 1 ) 可以验证, 计算结果,所有凸透镜的焦距 f 都是正的, 所有凹 透镜的焦距 f 都是负的。因此, 通常又将凸透镜称为正透镜, 凹透镜称 为负透镜。 高斯公式 1 + 1 p′ p 1 f = ( n′ 1 1) ( R 1 1 ( 1) R1 = ( n′ 1 ) R2 1 ) R2 将上面两式联立, 可解得 1 p + 1 p′ = 1 薄透镜公式 f （高斯形式） 上式称为 薄透镜公式 ,又称为薄透镜方程的高斯形式。该公式对凸、 凹透镜都成立。对于凸透镜, f 为正 ; 对于凹透镜, f 为负。对于实像 , p′为正 ; 对于虚像, p′为负。 对于实物 , p 为正; 对于虚物, p 为负。有 关虚物的概念,将在薄透镜组合中介绍。 焦距 在几何光学中, 通常将像在无穷远处时的轴上物点称为透镜的第一 主焦点; 称无穷远处的轴上点物所成的像点为第二主焦点,如下图中的 F 点和F′点所示。对应的焦距分别用 f 和 f ′表示。在同一媒质中,薄 透镜的 f ′= f 。 F 如果物体与第一主焦点F 之 间的距离为 x, 像与第二主焦 点F′之间的距离为 x′, 。应用 f (a) 透镜公式不难得出 1 x+f + 1 x′ + f F′ = 1 f′ f (b) 牛顿公式 将上式 1 x+f + 1 = x′ + f x x′ = 1 f f 2 通分并约简后得 （牛顿形式） 上式称为透镜方程的牛顿形 式 。若物处在第一焦点外, x F1 P F2 P′ 为正; 在第一焦点外，x 为负。 若像落在第二焦点外, x′为正; 在第二焦点内 x′为负。 f x p f x′ p′ 透镜制造者方程、透镜公式的高斯形式和 牛顿形式， 是薄透镜近轴 成像的三个常用公式。它们都是基于近轴条件下的球面折射原理而导 出的, 但各以不同的形式描述薄透镜近轴成像的基本规律, 可用于解决 不同情况下单透镜近轴成像的问题。在应用每个公式时, 都应注意它们 的符号规则。 光焦度 薄透镜焦距的倒数 1 / f 称为薄透镜的 光焦度Φ , 即 Φ = 1 f 光焦度Φ 表示透镜会聚或发散光线的本领, 光焦度的单位为 屈光度, 用 D 表示。1D = 1m -1 。日常生活中所谓眼镜的度数 , 等于屈光度 D 乘以 100 。 例如, 200 度的眼镜,其透镜的焦距为 0.5m , 光焦度Φ = 2D 。与焦距的正负值相对应,凸透镜的光焦度 为正值, 凹透镜的光焦度为负值。 作图法 透镜的主轴、主焦点和光心是透镜的主要特征线和点。 所谓光心是主 轴上的一个特殊点, 通过这一点的光线射出透镜时与射入透镜时的方向 平行, 薄透镜光心可认为就是透镜 的中心 O 。薄透镜成像的作图法, 可遵循下述三条原则: Q y P (1) M F1 f Q′ f s s′ 通过主焦点 ; 与主轴平行; P′ y′ O (3) (2) (1) 平行于主轴的光线,折射后 (2) 通过主焦点的光线,折射后 F2 (a) Q y P (1) (2) (3) Q′ y′ F1 P′ (3) 通过光心的光线,按原方向 无偏折行进。 s′ s f (b) 图 22–22 薄透镜成象作图法 F2 O f 续 下图 (a) 、(b) 分别为凸透镜和凹透镜成像作图法的一个例子,图中 光线的编号对应于作图法三原则的序号。垂轴物体 PQ 的长度为 y, 像 P Q′的长度为 y , 通过物的轴外点Q 按作图法三条原则中的任意两条,可 得到两对应光线的交点, 此交点 Q y 就是Q 的像点Q ′ 。 作图法与透镜公式是一致的。以 P (1) F1 y′ y = P′ y′ (2) f Q′ f s p′ p △MOF2 与 △ P′Q′F2 相似, 以及 MO =y,则 y′ p′ f = y f F2 O (3) 凸透镜为例, 图(a)中△POQ与△ P′O Q ′相似, M s′ (a) Q y P (1) (2) (3) Q′ y′ F1 P′ 两式联立解得 f ( p + p′ ) = p p′, 即 1 p 1 1 + = f p′ F2 O s′ s f (b) f 放大率 此外,我们还可以得到, 薄透镜成像的放大率 ( 像长与物长之比 ) 等于像距与物距之比, 即 y′ y M = = p′ p Q y P 或 M = p′ f y′ y = f = (1) M F1 (2) x′ f f Q′ f s s′ (a) Q M = P′ y′ O (3) 应用牛顿公式可得 x′ = f F2 f x y P (1) (2) (3) Q′ y′ F1 P′ s′ 上述两式是薄透镜横向放大率的常用 表达式。 F2 O s f (b) f 物像变化关系图解 凸透镜成像的物像变化关系图解 F2 以凸透镜为例,说明作图法 F1 可直观地表示像的性质和像距 p ′随物距 p 的变化规律。 当 p =∞ 时, 在 p′= f 处得一点像; 当 ∞＞ p＞ 2 f 时, 在 f ＜ p′＜ 2 f 处得一缩小的倒立实像; 当 p = O F2 y 2f y 2f F1 O F2 F1 2 f 时, 在 p′= 2 f 处得一等大的 y 倒立实像; 当 f ＜ p ＜ 2 f 时, 2f F1 2f y F1 2f y′ O F2 2f O 在 p′＞ 2 f 处得一放大的倒立 实像; 当 p = f 时不成像; 当 p ＜ y′ y′ F2 2f F2 2f O f 时, 像与物在透镜同侧, 得一 放大的正立虚像。 y′ 2f y F1 O 物平面 我们已经知道,透镜的主轴是通 焦平面 过光心垂直于透镜的直线。除主轴 外,其它通过光心的直线都称为副轴。 主轴 通过主焦点垂直于主轴的平面称为 焦平面。在近轴条件下, 一束平行光 沿某一方向入射于透镜时,其会聚点 应在该方向的副轴与焦平面的焦点P O (a) 焦平面 P F1 主轴 ′上, 如图 ( a ) 所示。这一性质能够 镜后的偏折方向,方法就是作出一条 平行于该入射方向的副轴,找出该副 轴与焦平面的 交点P ′, 则待求入 射光通过透镜后的偏折光线必通过 P ′点。 O (b) 帮助我们找到沿任一方向入射的光 线(例如图a中的任一条虚线)通过透 F2 P′ 物平面 P 主轴 像平面 O F2 (c) 焦平面、物平面与像平面 P′ 像平面 根据光的可逆性原理, 我们 还可以知道, 在近轴条件下, 焦平面 焦平面上任一点 P 发出的任 F2 P′ 一条光线,通过透镜后必然都 主轴 平行于通过 P 点的副轴, 如图 O (a) 焦平面 ( b ) 所示。这些基本方法,在 分析光学的许多具体的近轴 问题时常会用到。 P F1 主轴 O 近轴成像时, 物体所在的垂 直于主轴的平面称为物平面, 对应的像所在的垂直与主轴 的平面称为像平面, 如图 ( c ) 所示。用作图法(图中实线)可 求出物点 P 的像点 P ′, 则从P 发出的其它光线(虚线)折射后 也通过 P ′点。 (b) 物平面 P 主轴 像平面 O F2 (c) 焦平面、物平面与像平面 P′ 像差 简单的球面薄透镜有许多缺点, 实际上它所成的像往往不能反 映原物的真实面貌, 这种现象称为像差。例如, 主轴上的一个物点通 过透镜中央部分与通过透镜边缘部分所成的像并不在主轴的同一 点上, 这种现象称为球差。主轴外的一个物点通过透镜中央部分与 通过透镜边缘部分所成的像, 在同一象平面上得不到同一个像点, 而 是得到一个类似慧星形状的亮斑,此现象称为慧差。一束平行白光 垂直通过透镜而聚焦时, 白光中各种颜色的光的焦距并不相等,紫光 的焦距最短, 此现象称为色差。等等。像差的限制或消除有专门的 方法, 这里不作详细介绍。 例 一薄透镜的玻璃折射率为 n′= 1.50 , 其两个折射面的曲率半 径分别为不是 R1= + 40cm , R2= - 10cm , 求 (1) 在空气中该透镜的焦距 f 值,凹透镜还是凸透镜? (2) 物距为+20cm的轴上点物的像距; (3) 如果该透 镜是浸没在折射率 n = 1.33 的水中,则上述两问的答案又如何? (1) 应用透镜制造者方程， 得 1 1 = ( n′ 1 ) ( R f 1 = ( 1.5 1 )( f = 1 + 40 40 2.5 1 ) R2 5 1 ) = 0.5 × 40 - 10 = 16 (cm) = 2.5 40 结果为正, 是凸透镜 (2) 应用薄透镜方程的高斯形式， 得 1 1 = f p′ 1 + 1 1 = p′ p f 1 1 1 1 = = p 16 20 80 解得 p ′ = 80 (cm) 实像 续 (3) 当透镜处在折射率为 n 的媒质中时, 焦距 f n 为 1 1.50 )=( R2 1.33 1 n′ 1 ( 1 ( ) = n R1 fn 1 1 = p′n f 1 1 = p 62.5 1 20 1 ) 5 0.64 = 40 40 , 1 29.4 , = p′ = f n = 62.5 (cm) 29.4 (cm) 虚像 讨论: 如果已知一透镜在空气中的焦距为 f , 可以不必知道其曲率半 ′ 径 R1 和 R2 , 但必须知道透镜材料的折射率 n , 才能求出它在折射率为 n 媒质中的焦距 f n , 这是因为将两式 1 = ( n′ f 1 )( fn f 1 R1 = 1 )和 R2 ( n′ - 1 ) ( n′ - 1 ) n 1 1 1 n′ ( ) 相除得 ) =( 1 fn n R2 R1 , fn = n ( n′ - 1 ) f n′ - n 透镜组合 薄透镜的组合通常是指两个或两个以上的薄透镜的主光轴重合在一 条直线上的光学系统, 又称为光具组。详细研究光具组成像的性质和规 律在应用光学中有一套专门的研究方法。 本课程只从薄透镜近轴成像的基本原理出发, 介绍分析光具组成像 的一种最基本的方法: 逐步分析法 , 即前一个薄透镜所成的像作为后一 个薄透镜的物, 如此逐个透镜进行求解, 最后求得透镜组合所成的像。 应用这种方法时, 同样要遵守单透镜成像时凹透镜的焦距为负值、虚 像的像距为负值的符号规则, 并且要注意下述有关实物和虚物的含义及物 距的符号规则: 若前一个透镜所成的像在后一个透镜的前方, 则将这个像 作为后一个透镜的 实物 , 它到后一个透镜的距离(物距)取正值。若前一个 透镜所成的像在后一个透镜的后方, 则称这个像为后一个透镜的 虚物 , 它 到后一个透镜的距离 (物距) 取负值。 作图法 LA LB yB′ yA′ yA pA fA p′A pB d fB p′B 设某透镜组合由两个薄凸透镜 LA 和 LB 组成 ,它们相距为 d, 焦 距分别为 fA 和 fB , 在 LA 的前方距离为 pA 处有一长度为 yA 的垂 轴物体, 如图所示, 可应用作图法, 先求出 LA 所成的像 yA′, 然后， 以该像作为透镜 LB 的物, 在本例中由于 yA ′在 LB 的前方, 被看作 LB 的实物, 再用作图法求它的像 yB′ , 这个像就是该透镜组合所成 的像。 像距计算 LA LB yB′ yA′ yA pA fA p′A pB d LA单独成相时有 LB 以 yA′ 为实物成像时有 fB p′B 1 1 1 = + p′A fA pA 1 1 1 1 = 1 + = + p′B ( d – pA′ ) pB fB p′B 两式联立解得透镜组合所成的像到末端透镜 LB 的距离为 d ( pA fA ) fA p A fB ( d – p′A ) fB pB = = fB p′B = pB fB ( d fB ) ( pA fA ) fA pA ( d – p′A ) fB 放大率计算 LA LB yB′ yA′ yA fA pA p′A pB d fB p′B 从图中的有关三角形相似关系不难看出,透镜 LA 的成像放大率为 MA = yA′ yA 透镜LB 的成像放大率为 MB = yB′ yA′ 透镜组合的的成像放大率为 M = yB′ yA = MA MB 此式表明, 透镜组合的放大率, 是各透镜放大率的乘积。 组合光焦度 上述讨论表明, 透镜组合系统成像的位置、相的性质和放大率与各透 镜的焦距、透镜间的距离、最前端物体的位置等因素有关, 设计不同的 参数可得到不同需要的像, 构成不同用途的简单光学仪器。在实际应用 中为了改善像质,还常需要用到两个或多个透镜紧贴在一起的透镜组合。 在实际应用中为了改善像质,还常需要用到两个或多个透镜紧贴在一 起的透镜组合, 这种透镜组合的等效焦距, 很容易根据各透镜的焦距算 出。例如, 将焦距为 fA 和 fB 的两个薄透镜紧贴在一起所构成的组合的 等效焦距为 f , 令中的 d =0 , 所推导出结果，正好是透镜组合的等效焦 距 f 的 1 / f 表达式, 即 1 f 将其表成光焦度, 得 = 1 1 + pB′ pA 1 + = fA 1 fB Φ = ΦA + ΦB 此式表明, 两个相距为零的薄透镜组合的光焦度等于各透镜的 光焦度之和。 例 一凸透镜 LA 将一垂轴物体 yA 生成一倒像 yA′ 位于焦距大小 为 3.00cm 的凹透镜 LB 的后方 2.00cm 处, 求 (1) 该透镜组合最后所成的像 yB′ 的位置; (2) 凹透镜 LB 的成象放大率。 LB LA yA yA′ fB yB′ pB p′B (1) 对凹透镜LB 应用透镜公式 1 1 = ′ + 1 pB pB fB 凹透镜焦距取负值, fB = 3.00cm , y′A 是 LA 生成的像,位于LB 的后方, 是LB 的虚物, 其物距 pB 应取负值, pB = 2.00cm , 1 1 = p′B 3.00 + 1 2.00 解得 pB′ = 6.00 (cm) 例 一凸透镜 LA 将一垂轴物体 yA 生成一倒像 yA′ 位于焦距大小 为 3.00cm 的凹透镜 LB 的后方 2.00cm 处, 求 (1) 该透镜组合最后所成的像 yB′ 的位置; (2) 凹透镜 LB 的成象放大率。 LB LA yA yA′ fB yB′ pB p′B (2) 对凹透镜LB 的成象放大率 MB = yB ′ p′B = yA′ pB = 6.00 2.00 = 3.00 用本题原理可测量凹透镜的焦距,先用一个凸透镜成像 yA′, 再插入凹透镜 得一放大的像 yB′ , 设法测得数据处 pB′ 和 pB , 用透镜公式求出 fB 。 第五节 simple optical instrument 简单光学仪器 眼球结构简图如下。 眼球直径约 2.3 cm 。 前房（液体区） 视网膜（含视觉神经） 角膜 黄斑（视觉最敏锐） 晶状体 光轴 后房（液体区） 视轴 瞳孔 巩膜 （控制瞳孔大小） 睫状肌（控制晶状体曲率） 前房液和后房液的折射率约为1.336 , 晶状体的平均折射率约为1.437 。 通常可粗略地将眼睛看成是一个平均焦距为1.5cm 凸透镜的成像系统。 眼睛与眼镜 前房（液体区） 视网膜 （含视觉神经） 角膜 晶状体 黄斑（视觉最敏锐） 光轴 视轴 后房（液体区） 瞳孔 巩膜 （控制瞳孔大小） 睫状肌 （控制晶状体曲率） 在视网膜上能生成一缩小的倒立实相, 然而, 我们感觉到的却是正像, 这是由于我们对环境的长期感受习惯所养成的一种识别本能的原因。 在明亮条件下, 眼睛的调节作用所能看清楚最远和最近的两点, 分别称为 远点 和 近点。正常眼的远点在无限远处,近点因年龄的不同 有较大差异, 一般青壮年正常眼的近点约在 10cm 到 15cm 处。物体 离开眼睛 25 cm 处成像在视网膜上最清晰, 而且视觉不易疲劳,此距离 称为 明视距离。 近视眼 远点变近的眼睛称为近视眼。这是由于眼轴过长或角 膜曲率过大等原因造成的, 在眼内肌肉放松时,无限远的物体不能成像于视 网膜上,而是成像于视网膜前方, 如下图 ( a ) 所示, 只有将物体从无穷远向 眼睛移近到某一距离时, 才能成像于视网膜上, 如图 (b ) 所示。 设某近视眼的远点到眼睛的距离 为 p远 , 此时远点上的物体才能成像在 视网膜上, 其象距为 p′, 眼睛的焦距为 f眼, 则 1 1 1 = + p远 f眼 p′ 为了将近视眼的远点矫正到无限远 处, 借助一透镜与眼睛构成一透镜组合, (a) 远点 p′ p远 (b) 设透镜组合的焦距为 f 合 , 如图( c )所示 , 1 = 1 f合 8 得 + 1 p′ (c) 近视眼镜 1 1 1 与 = + p远 f眼 p′ 1 = f眼 1 f合 Φ合 1 = 1 f合 1 p远 Φ眼 = + 8 将 1 相减，得 p′ 若其以光焦度的形式表示, 得 1 p远 设透镜的焦距为 f镜 , 其光焦度为Φ镜= 1/ f镜 , 并忽为略透镜与眼睛的距离, 则 Φ合 Φ眼 = (Φ镜+ Φ眼) 得 Φ镜 1 = = f镜 Φ眼 = 1 s远 (a) 远点 1 s远 p′ p远 此式表明, (1) 近视眼镜的焦距和光焦度为负 (b) 值, 应选用凹透镜; (2) 近视眼的光焦度可通过 测试近视眼的远点来进行配置。 例如, 远点距离 p远 = 1.25m, 则 f镜= -1.25m , Φ镜 = - 0.8 屈光度, 凹透 眼镜片的度数为 - 80度。 若要进行更精确的计算则需考虑透镜与眼睛的距离。 (c) 远视眼 近点变远的眼睛称为远视眼。通常, 远视眼的近 点到眼睛的距离大于正常眼的明视距离 (25cm)。这是由于眼轴过短或晶 状体离视网膜太近等原因造成的, 即在眼内肌肉放松时, 无限远的物体不 能成像于视网膜上, 而是成像于视网膜后方, 如图 ( a ) 所示 设某远视眼的近点到眼睛的距 离为 p近 , 此时近点上的物体才能成 像在视网膜上, 其像距为 p′, 眼睛的 焦距为 f 眼 , 如图 ( b ) 所示, 则 1 1 1 = + p近 f眼 p′ 为了将远视眼的近点矫正到正常 (a) 近点 p′ p (b) 近 眼的明视距离 p明 = 25cm 上, 借助一透 镜与眼睛构成透镜组合, 设透镜组合的 焦距为 f 合 , 如图 ( c )所示 , 得 1 = f合 1 1 + p明 p′ p′ p 明 (c) 远视眼镜 将上述两 式相减 得 Φ合 1 f合 Φ眼 = 1 1 = p明 f眼 1 p明 1 p近 若以光焦度的形式表示, 得 1 p近 设透镜的焦距为 f镜 , 其光焦度为Φ镜= 1/ f镜 , 并忽为略透镜与眼睛的距离, 则 1 1 Φ合 Φ眼 = (Φ镜+ Φ眼) Φ眼 = p p近 明 1 1 1 Φ镜 = = f镜 p近 p明 p 明 故 Φ镜 0 。 其中, p近 (a) 近点 p′ p (b) 近 结果表明, (1) 远视眼镜的焦距和光焦度为 正值, 应选用凸透镜; (2) 远视眼镜的光焦 度可根据将远视眼的近点矫正到正常眼 的明视距离的原理来配置。 p′ p 明 (c) 例如 , 近点距离 p近 = 0.50m, 正常眼的明视距离 p明 = 0.25m ,则 f镜= 0.50m, Φ镜= 2.00屈光度, 凸透眼镜片的度数为200度。 若要进行更精确的计算同样需考虑透镜与眼睛的距离。 散光眼 散光眼是由于复杂的角膜曲率异常所导致的另一种视 力缺陷。如果角膜的各个部分的曲率都不同, 则从角膜各部分入射 的光线就不能同时在视网膜上生成清晰的像, 这种眼称为非正规散 光眼,是极难甚至无法矫正的。如果角膜的曲面可找出两组相互垂直 的曲线, 其中一组具有最大的曲率半径, 另一组具有最小的曲率半 径,称为正规散光眼, 这种散光眼不能同时看清在同一平面上相互垂 直的线状结构物体, 当看清其中一种方向结构时, 则与之垂直的另 一种方向的结构就变得模糊, 这种缺陷可通过配置适当的柱面型眼 镜加以矫正。 放大镜 最简单的放大镜是一个 单独的凸透镜。放大镜的作用 y α 是帮助人们增大被观察物体的 p明 视角。所谓视角,是物体两端 对人眼光心所张的角度。能够 帮助人们增大被观察物体的视 角的光学仪器的种类很多。如 y′ L y β F 果不用仪器单凭肉眼直接观察 时,物体的视角为α ,用了仪器 观察到物体的虚像的视角为β , 则仪器的放大率为 M = p′ b a p f F′ f 放大率 对于放大镜的情况是:(1)通常习惯将物体置于放大镜的焦平面附近并 略靠放大率一側的位置进行观察;(2) 直接观察的物体和通过放大镜观察 到的放大正立虚像到眼睛的距离, 都以明视距离 s明= 25cm 作为共 y 同的距离标准, 如图所示。 α p明 直接观察时,若视角很小, 则 α≈ y / p明。通过放大镜L观察时, 在近轴条件下, β ≈ y / p ≈ y′/ y′ L p′ ≈ y / f ,因此,放大镜的放大率 y β F 为 M = = b a y/f = y / p明 p明 f = 25 f p′ p f F′ f 式中 f 为放大镜的焦距,单位为 cm 。 科学与安全性 值得指出的是: (1) 放大镜的放大率公式是一个近似式, 但它具有较大的实际 意义。放大镜的含义除了我们通常熟悉的阅读用放大镜外, 在许多助 视仪器中的目镜,也是起着放大镜的作用。因此,上述公式也是简单目 镜的放大率公式。将物体置于放大镜的焦平面附近观察作为放大镜的 标准工作状态,其好处不但能获得较大的放大率, 更重要的是由于在 焦平面附近, 物体上各点发出的光通过放大镜折射后成为近似的平行 光,眼球可在肌肉放松的情况下将这些平行光聚焦在视网膜上得到清 晰的像, 不易引起视觉疲劳, 表明助视仪器使用的科学性和安全性。 (2) 由于球面透镜成像质量受近轴条件的限制, 放大镜的放大率 实际上不能太大。常见的单透镜放大镜的放大率只有几倍。放大率超 过 10 的放大镜需要采用透镜组合系统等方法减小像差, 才能获得较 好的成像质量和实用效果。 显微镜 显微镜是一种可获得较大放大率的透镜组合光学系统,实际的显 微镜结构比较复杂,通常可将其简化为两个凸透镜的组合,如图所示。 Lo 为短焦距的凸透镜,靠近观察物体, 称为物镜。Le 靠近观察者眼睛的 凸透镜, 称为目镜, 其作用相当于前面讲过的放大镜。 显微镜的工作状态是: (1) 被观察的物体y 放在物镜 Lo的焦平面附近,物距 s ≈ fo ; (2) y 的倒立实相像 y′位于 目镜 Le 的焦平面附近,两透镜 间的焦点 Fo 与 Fe 之间的距 Lo y Fo′ Fo fo fo′ p p′ Δ Le Fe′ Fe y′ y′ ′ fe′ p′ ′ 离Δ ≈ p′ - fo′ ; (3) 目镜处于放大镜的标准工作状态, p′ ′ 为明视距离 p明 = 25cm。 光学筒长 在上述工作状态的前提下,我们推导显微镜的放大率公式。 Le Lo y 物镜Lo的 Fo fo fe Fe fo′ Δ y fo′ 目镜Le的 放大率 fe ′ y ′′ y′ Fe′ y′ p 放大率 Mo= Fo′ p′ Δ Me = p ′′ p′′ p明 fe fe′ 根据透镜组合的放大率是各透镜放大率的乘积可得, 显微镜的放大率为 M 显微镜 = M o M e = Δ fo′ p明 fe ′ Δ 25 = fo′ fe′ 式中 fo′ 和 fe ′ 分别为物镜和目镜的焦距, Δ 是显微镜的镜筒内两透 镜焦点之间的距离, 称为 显微镜的光学筒长, 单位均为cm 。 放大率 Le Lo y F′ o Fo fo fo′ p′ Δ Fe fe Fe′ y′ p fe ′ y ′′ p ′′ 显微镜的放大率 M 显微镜 = M o M e = Δ fo′ p明 fe ′ Δ 25 = fo′ fe′ Δ 越大, 或 fo′ 和 fe′ 越小, 则显微镜的放大率越大。 例如： 若 fe′= 2.5cm , fo′= 2.0cm , Δ = 16.0 cm 的显微镜, 其放 大率约为 80 倍。 若 fe′= 2.5cm , fo′ = 0.4cm , Δ = 18.5 cm 的显微镜, 其 放 大率约为 463 倍。 望远镜 常见的两类望远镜: 折射式望远镜 和 反射式望远镜。 fo′ 远方物体 图(a)由两个凸透镜组成, 物镜Lo的 α Fo′ Fe y′ α Fo 的第二焦点Fo′与目镜的第一焦点Fe β β Fe′ fo 相重合,观察到物体的像是倒立的 fe′ s 开 ( a ) 开普勒折射式望远镜 普勒 望远镜。 图(b)中的物镜Lo是焦距较长的凸 透镜,目镜 Le是焦距较短的凹透镜, ′ 与目镜的第二 ′ 物镜的第二焦点 F ′ Fo 焦点Feo 相重合,观察到物体的像 是正立的虚像,这种望远镜又称为 伽利略 望远镜。 Le y 焦距较长,目镜 Le的焦距较短,物镜 虚像,这种望远镜又称为 fe Lo 远方物体 fo′ Lo y Le β α Fo Fo′ Fe′ Fe fo s fe ( b ) 伽利略折射式望远镜 fe ′ β 折射式 以开普勒望远镜为例, 导出折射式望远镜的放大率公式。 由于物体 y 距离物镜 Lo 很远, 通过物镜所成的像 y′ 可 fo′ 远方物体 α a≈ α Fo Fo′ Fe y′ fo 光心对物体的张角为 y p Le y 认为是在物镜的第二焦平面上, 是一个缩小的倒立实像。物镜 fe Lo β Fe′ fe′ s y′ = fo′ β 这一张角可近似看成眼睛直接观察物体时的视角。 调节目镜 Le 到物镜的距离, 使目镜的第一焦点 Fe 与近物镜的第二焦点 Fe′ 重合, 即物镜所成的像 y′ 落在目镜的第一焦平面上, 这时 y′上各点的光线经目镜折射后都成为 一组平行光线(图中只画出了对应于箭头顶点的一组平行光线), 在眼球肌肉放松的 情况下，这些平行光线经眼睛聚焦在视网膜上生成一个清晰的像, 眼睛对 这个像的张角 b 就是用了望远镜以后对被观测物体的视角 , 其大小为 于是 , 望远镜的放大率为 M 望远镜 b = a = fo′ fe′ 上式表明 , 望远镜的放大率约等于物镜焦距与目镜焦距之比。 b ≈ y′ fe′ 双筒望远镜 我们常见的双筒望远镜也是一种折射式望远镜, 它在物镜与目镜之 间, 用了一组全反射棱镜将倒像转换成正像, 如下图所示 。 这种望远镜又称为棱镜望 远镜。它的优点是除了能成 物镜 正象之外,还由于光线在镜 筒中往返了3次, 物镜焦距 远方物体 全反射 棱镜组 约为镜筒的3倍,用较短的镜 目镜 筒也能争取较大的放大率, 例如,6-15倍的棱镜望远镜 仍然便于携带。此外,两物 物镜 全反射 棱镜组 目镜 镜的中心距离可做到比人的 双眼距离大一倍左右,增强 了景物的立体感。 双筒望远镜中的转象棱镜 反射式 曲面反射式物镜 右图是反射式望远镜的几种典型结构形式,它们 平面反射镜 的物镜都是反射式的凹面镜, 可以是球面凹镜或抛 物面凹镜。反射式物镜可以免除折射式物镜由于折 目镜 (a) 射而产生的色差, 如果是抛物面反射式凹镜还可以 免除球差。来自远方物体的光线经物镜的凹面反射 曲面反射式物镜 全反射棱镜 后而发生会聚, 目镜的位置有不同的设计方案, 其 中图 ( a ) 是利用一个平面反射镜将会聚光束反射 目镜 到一側, 然后用目镜进行观察, 这种结构称为牛顿 曲面反射式物镜 反射望远镜。图 ( b )是利用一个全反射棱镜将会聚 光束反射到一側, 然后用目镜进行观察。图 ( c )是 (b) 曲面反射镜 目镜 利用一个曲面反射镜将会聚光束沿轴向反射到物镜 中部的一个开孔处, 然后用目镜进行观察。 (c) 反射式望远镜物镜的直径可以做得比较大, 许多大型的天文望远镜是反射式望远镜, 直径有的大到 5m 甚至 6m 。目前在太空中运行的哈勃望远镜, 也是反射式望远镜。 日常生活中常见的光学仪器还有很多, 如照相机、电视摄象机、投影仪等等,而且应 用高科技成果, 使这些仪器的功能和自动化程度都越来越高, 在此不一一介绍。 作业 HOME WORK 22 - 9 22 - 1 2 22 - 1 6 22 - 19 22 - 22