Transcript 命题公式

第3章 命题与谓词逻辑基础
本章主要内容：
•命题逻辑
•谓词与量词
•谓词公式及其解释
•谓词公式的等价与蕴涵
•谓词公式的标准形式
3.1 命题逻辑
一个命题是一个或真或假不能两者都是的断言。
断言是指一陈述语句。
简单地说，命题是指一句有真假意义的陈述句。
命题为真，记为 T
命题为假，记为 F
一个命题P如果是真值未指定任意命题，称P为命题变元。
命题变元用 P, Q, R…表示；
如果P是一个真值已经指定的命题，称为命题常元。
命题常元只有 T 和 F。
3.1.l 命题联结词（逻辑联结词、逻辑运算符）
复合命题：单个命题通过联结词联结构成的新命题。
常用的5种联结词：
¬




否定 合取 析取 蕴涵
等值
复合命题与原命题的真值关系
P
Q
¬P
PQ
PQ
PQ
PQ
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
T
T
F
F
F
T
T
T
F
T
T
F
F
T
3.1.2 命题公式及其解释
原子公式：单个命题变元、单个命题常元称为原子公式。
命题公式：由如下规则生成的公式称为命题公式：
1. 单个原子公式是命题公式。
3. 若A ,B是命题公式，则~A , AB , AB , A B , A  B是公式。
3. 所有命题公式都是有限次应用1、2得到的符号串。
命题公式的解释：给命题公式中的每一个命题变元指定一个真假值，
这一组真假值，就是命题公式的一个解释。用I表示。
例如：公式G= (AB) C 的一个解释是：
I1(G) = A/T, B/F, C/T
在解释I1(G)下G为真。
永真公式与永假公式：如果公式在它所有的解释I下，其值都为T，则称
公式G为恒真的；如果其值都为F，则称公式G为恒假的（不可满足的）。
注意：关于五个联结词的约定：
* 结合力的强弱顺序： ¬， ， ， ， 
* 联结词相同时，从左至右运算。
解释的个数：
如果一个公式G中有n个不同的原子公式（或简称原子），则
G有2n个不同的解释，于是G在2n个解释下有2n个真值。如果将这些真
值和它们的解释列成表，就是G的真值表。
3.1.3 等价命题公式
如果两个命题公式所含原子公式相同，且在任一解释下，两个命题公
式的值相同，则称这两个命题公式为等价命题公式或等价公式。
常用的等价公式有：
1. (P  Q)= (P  Q)  (Q  P)
P Q
PQ
QP
(P  Q)  (Q  P)
PQ
T T
T
T
T
T
T F
F
T
F
F
F T
T
F
F
F
F F
T
T
T
T
3.(P  Q)=(¬P  Q)
3. ¬(¬P)= P
4.交换律：P  Q=Q  P
P  Q=Q  P
5.结合律：P (Q  R)=(P  Q)  R
P  (Q  R)=(P  Q) R
6.分配律：P (Q R)=(P  Q)  (P  R)
P  (Q  R)=(P Q)  (P R)
7.泛界律：P  F=P ,
P  T=P
P  F=F ,
P  T=T
8.互余律：P  ~P=T,
P  ~P=F
9.德 • 摩根定律：~(P  Q)=~P  ~Q
~(P  Q)=~P  ~Q
证明两个公式等价，可用真值表，也可用基本公式。
P  Q=~Q  ~P
例如 要证明公式
[证]
P  Q =~ P  Q
=~ P ~ (~ Q )
=~(~Q) ~P
=~Q ~P
若要证明公式
[证]
P  P  Q=P
P  P  Q = P ( P  Q)
= P  (Q  ~Q) ( P Q)
= (P  Q)  (P~ Q) ( P  Q)
=( P  Q) ( P  ~Q)
= P (Q ~ Q)
=P
3.1.4 永真蕴涵式
若命题公式G  H是恒真的，称其为永真蕴涵式。记为GH，
读做“G蕴涵H”，也称“G是H的逻辑结果”。
常用的永真蕴涵式：
1. P  P  Q
[证]
P  P  Q = ~P  (P Q)
= ~P  P Q
=TQ=T
3. P  Q  P
[证]
P  Q  P =~(P  Q)  P
= ~P  ~Q P
=T ~Q= T
3. P  (P  Q)  Q
4.( P  Q)  ~Q  ~P
5. ~P (P  Q)  Q
6.(P  Q) (Q  R)  (P  R)
7.( P  Q) ( (Q  R) ( P  R))
8.((P  Q) ( R  S))  (P  R  Q  S)
9.(( P  Q) ( Q  R)) ( P  R)
公式的标准形式：范式
析取范式 (disjunctive normal form,DNF) ：一个由原子和原
子的非组成的析取式，如果与给定的命题公式A等价，则称它
是A的析取范式。记作：
A=A1  A2 ...  An
n1
其中， A1 ,A2, ... An 是原子或是原子非的合取式。
合取范式 (conjunctive normal form,CNF) ：一个由原子和原
子的非组成的合取式，如果与给定的命题公式A等价，则称它
是A的合取范式。记作：
A=A1  A2 ...  An
n1
其中， A1 ,A2, ... An 是原子或是原子非的析取式。
注意：1. 任何一个命题公式豆科仪转化成它的析取范式或合取范式;
2. 一个公式的析取范式和合取范式都不是唯一的；
3. 运算符最少的范式称为最简范式。
3.2 谓词与量词
在命题演算中，基本元素是原子命题，而不考虑命题的内部结构和成分。
在形式逻辑中有一个三段论法：
P:“所有的人都会犯错误”
Q:“张三是人”
R:“张三会犯错误”
R应该是P和Q的逻辑结论。但在命题逻辑中无法准确表达这三个
命题的逻辑关系。
因为
( P  Q )  R 不是恒真的。如：取解释:I=P/T,Q/T,R/F
则公式为假值F. 就是说解释I 弄假了此公式。
为准确表达此类公式，必须引进谓词和量词的概念。
3.2.1
谓词
先看几个命题：
1.
3是质数
x是质数
F(x)
2.
王二生于武汉市
x生于武汉市
G(x,y)
3.
7=23
x=y  z
H(x,y,z)
称“3”、“王二”、“武汉市”、“7”、“2”、“3”为个体;
代表个体的变元称为个体变元；
刻画个体性质或个体之间关系的词叫谓词。
“是质数”、“生于”、“…=... ...”都是谓词。
3.2.2 量词
量词分为全称量词和存在量词。
符号“”表示全称量词。符号“”表示存在量词。
x读作“对一切x”,或“对每一x”，或“对任一x”。x是所作
用的个体变元。
 x读作“存在一个x”,或“对某些x”，或“至少有一x”。x是
所作用的个体变元。
再看前面的三段论法：
P:“所有的人都会犯错误”
x(M(x) R(x))
Q:“张三是人”
R:“张三会犯错误”
M(“张三”)
R(“张三”)
在谓词前加上x,叫做变元被全称量化；
在谓词前加上 x,叫做变元被存在量化。
量化的目的是约束变元。
3.2.3 约束变元、自由变元、改名规则
量词的辖域
约束出现
自由出现
改名规则：在同一公式中，一个变元既以约束出现，有以自由出
现。就需要对变元改名。改名规则是：
1. 变元若要改名，则该变元在量词及其辖域中的所有出现均须一起
更改，其余部分不变；
2. 变元改名时所选用的符号，必须是量词辖域内未出现的符号。一
般还应是公式中未出现的符号。
3.3 谓词公式及其解释
在定义谓词公式前,先介绍“符号”的概念： “项”的定义；原子的定义：
符号： 常元符号
变元符号
函数符号
谓词符号
关于项的定义：
1. 常元符号是项；
2. 变元符号是项；
3. 若f是n元函数符号，t1,…, tn 是项， 则f( t1,…, tn )是项；
4. 所有项都是有限次使用1,2,3生成的符号串。
原子的定义：若P(x1,…, xn)是n元谓词符号， t1,…, tn 是项， 则P(t1,…, tn)
谓词公式（公式）的定义：
1. 原子公式是公式；
2. 若H,G是公式，则~H , H  G , H G , H G , H  G是公式；
3. 若G是公式，x是G中的自由变元，则xG  xG是公式；
4. 所有公式都是有限次应用1、2、3得到的符号串。
解释的定义：
公式G的一个解释I，是由非空集D和下列对G中常元符号、函数符号、
谓词符号的一组指定组成：
1.对每个常元符号，指定D中一个元素。
2.对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定Dn到D的一个映射。
3.对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定Dn到{T,F}的一个映射。
[例2.1]给以下公式指定一个解释：
1.  x P(f(x))  Q(x,f(a))
2. x(P(x)  Q(x,a))
可指定如下解释I：
如果存在I使G为T值，则称G
可满足，简称I满足G;若I使G
为F值，称I不满足G，或称I弄
假G。
如果不存在解释I满足公式G，
公式G成为不可满足的。如果
公式G的所有解释I都满足G,
公式G称为恒真的。
D={1,2}
a/1
f(1)/2 f(2)/1
P(1)/F
P(2)/T Q(1,1)/T
Q(1,2)/T
Q(2,1)/F
在此解释I下，公式 x P(f(x))  Q(x,f(a))为T值。
而公式x(P(x)  Q(x,a))在此解释下为F值。
Q(2,2)/T
3.4 谓词公式的等价与蕴涵
两个谓词公式等价：
设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同的个体域，
若D上的任何一个解释，P与Q都有相同的值，则称公式P
和公式Q在D上是等价的。
谓词公式的蕴涵：
设P与Q是两个谓词公式，如果PQ是恒真的，则称P
蕴涵Q。且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记作
PQ。
显然，若Q是P的逻辑结论，则对P,Q的任意一个解释I,
如果P在I下为真，那么Q在I下也为真。反之亦然。
三段法的证明：
P:“所有的人都会犯错误”
x(M(x) R(x))
Q:“张三是人”
M(“张三”)
R:“张三会犯错误”
R(“张三”)
需要证明R是(P  Q)的逻辑结论。即证明PQ R 为恒真。
证：设I是P,Q,R的一个解释（I指定“张三”为始量），且I满
足（P Q),即I满足x(M(x) R(x))  M(“张三”)，所以I满
足R(“张三”）。
否则，R（“张三”）在I下为假，于是（M(“张三”)
R(“张三”)）在I下为假，故x(M(x) R(x))在I下为假，
矛盾。所以R(“张三”)在I下为真。
3.5 谓词公式的标准形式
3.5.1 前束范式
一个谓词公式，如果量词非否定地放在全式的开头，而量词的辖域都
延伸到整个谓词公式，则称这样的公式为前束范式。
一般地，谓词逻辑中的公式G如果有如下形状：
Q1x1,…Qn xn M(x1,…,xn)
则称G为前束范式。
其中Qi是xi或xi, i =1,…,n，M(x1,…,xn)是不含量词的公式。
Q1x1,…Qn xn称为首标，M称为母式。如：
xyz(P(x,y ) Q(x,z))
xyzP(x,y,z)
都是前束范式。
利用改名规则、量词否定公式和量词辖域扩张公式等，可把任一谓词
公式化成前束范式。例如：
~x(P(x) xQ(x))
=~x(~P(x)  xQ(x))
=x(P(x)  ~xQ(x))
= x(P(x)  x~Q(x))
= x(P(x)  y~Q(y))
xy(P(x)  ~Q(y))
[例3.2]将公式xy(z (P(x,z)  P(y,z)) uQ(x,y,u))化为前束范式：
解：
xy(z (P(x,z)  P(y,z)) uQ(x,y,u))
= xy(~z (P(x,z)  P(y,z))  uQ(x,y,u))
= xy(z (~P(x,z)  ~P(y,z))  uQ(x,y,u))
=xyzu (~P(x,z)  ~P(y,z))  Q(x,y,u))
将任意谓词公式化为前束范式的四个步骤：
•步骤1：使用以下基本等价公式，将G中的和删去：
F  H=(F  H) (H  F)
F  H=~F  H
•步骤2：使用~(~F)=F，摩根定律及以下等价公式，将谓词公式中的所有
否定号~放在原子之前：
~xG(x)=x~G(x)
~xG(x)=x~G(x)
•步骤3：如果需要，则将约束变量改名。
•步骤4：利用等价公式将所有量词提到公式的最前面。
3.5.2 Skolem范式
Skolem范式是谓词逻辑中公式的又一种标准形式。
设公式G的形式如下：
Q1x1,…Qn xn M(x1,…,xn)
其中Qi是xi或xi, i =1,…,n，M(x1,…,xn)是不含量词的公式。
将上式中的M(x1,…,xn)化为等值的和取范式，然后将所有的存在量词消
去，便可得到公式G的Skolem范式。
消去G中的存在量词的方法如下：
设Qrxr (1 r  n )是第一个出现在Q1x1,…, Qrxr ,…,Qn xn M(x1,…,xn)中的存
在量词，即Q1x1,…, Qr-1xr-1 均为全称量词。
若r=1，即Qrxr 左边没有全称量词，则取异于M(x1,…,xn)中所有常量符号的
常量符号C,并用C代表M(x1,…,xn)中的xr，然后在首标中Qrxr。
若1r  n，即Qrxr左边有全称量词Qs1 xs1 ,…,Qsm xsm
而m1，1  s1s2...s mr，则取异于出现在M中的所有函数符号的m元
函数符号f(xs1,…,xsm)，用f(xs1,…,xsm)代表出现在M中的所有xr,然后在首标
中删除存在量词Qrxr。
[例3.3]将公式G=xyz((~P(x,y)Q(x,z)) R(x,y,z))化成Skolem范式。
解：先将M(x,y,z)化成合取范式：
M(x,y,z)= ((~P(x,y)  Q(x,z))  R(x,y,z))
= (~P(x,y)  R(x,y,z)) (Q(x,z)  R(x,y,z))
G= xyz((~P(x,y)  R(x,y,z)) (Q(x,z)  R(x,y,z)))
消去y得到：xz((~P(x,f(x))  R(x,f(x),z)) (Q(x,z)  R(x,f(x),z)))
消去z得到：x ((~P(x,f(x))  R(x,f(x),g(x))) (Q(x,g(x))  R(x,f(x),g(x))))
此式就是公式G的Skolem范式。
[例3.4] 将公式G=xyzuvwP(x,y,z,u,v,w)化成Skolem标准型。
解：消去x,因为其左边没有全称量词，于是引入常量a代替
P(x,y,z,u,v,w) 中的所有x,得： yzuvwP(a,y,z,u,v,w)
消去u，因为其左边有全称量词yz，于是引入一个二元函数f(y,z)代替
P(a,y,z,u,v,w)中的所有u，得： yzvwP(a,y,z,f(y,z),v,w)
消去w ，因为其左边有全称量词 yzv，于是引入一个三元函数g(y,z,v)，
代替P(a,y,z,f(y,z),v,w)中的所有w。最后得到的Skolem 标准型为：
yzvP(a,y,z,f(y,z),v,g(y,z,v))
注意：1.公式的Skolem 标准型与原公式并不等值；
2.公式的Skolem 标准型与原公式在不可满足的意
义上相等。
3.5.3 子句与子句集
若干文字的一个析取式成为子句。如：
P(x,y)  ~Q(x,y,z)  R(u)
没有文字的子句成为空子句。只有一个文字的子句成为单元子句。
将公式G化为Skolem 标准型，其母式M已为合取范式，M中的没一个合
取项都是一个子句，M中这些子句的集合用S表示，称为公式G的子句集。
从公式G得到子句集S的方法是：先从公式G得到Skolem 标准型，然后
去掉全称量词，最后用符号“，”代替符号“”。外层括号用{}。
如公式：G=xyz((P(x,y)  R(x,y,z)) (Q(x,z)  R(x,y,z)))
G的Skolem标准型为：x ((P(x,f(x)) R(x,f(x),g(x))) (Q(x,g(x))  R(x,f(x),g(x))))
G的子句集S为： {(P(x,f(x))  R(x,f(x),g(x)))，(Q(x,g(x))  R(x,f(x),g(x)))}
子句集中S中的每一个子句中的变量都是由全称量词约束着。
对任一公式G都可以建立其对应的S子句集。这样对公式的讨论就可
以用对集合的讨论来代替。
引进子句集S的目的就是要简化对A1  A2  A3B的证明，而证明A1  A2
 A3B只需证明G= A1  A2  A3  ~B的子句集不可满足即可。
定理
设S是公式G的子句集。于是，G是不可满足的，当且仅当S是不可
满足的。
子句集概念的推广：
设G= G1 ...  Gn ，Si是Gi化为Skolem范式后其木式给出的子句集，
i=1,2,…n。令S=S1...  S n。于是G是不可满足的，当且仅当S是不可满
足的。也称S是个G的子句集。