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第五章: 等值演算与推理
第一节：等值式与置换规则
第二节：前束范式
第三节：推理理论
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第五章: 等值演算与推理
 主要内容
 一阶逻辑等值式与基本的等值式
 置换规则、换名规则、代替规则
 前束范式
 自然推理系统NL 及其推理规则
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第五章: 等值演算与推理
第一节：等值式与置换规则
第二节：前束范式
第三节：推理理论
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5.1 等值式与置换规则
等值式：公式A，B的等价式A↔B为永
真式
符号：AB，也称A逻辑恒等于B
等价定义：对任意解释I
I ² A 当且仅当 I ² B
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5.1 等值式与置换规则
第一类等值式：命题逻辑的重言式的代
换实例
理由：重言式的代换实例都是永真式
例
x F(x)    x F(x)
F(x)  G(x)   F(x)  G(x)
¬¬AA
A B  ¬ A  B
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5.1 等值式与置换规则
 第二类等值式：
1. 消去量词等值式
给定有限个体域 D={a1,a2,…,an}
x A(x)  A(a1)  A(a2) …  A(an)
x A(x)  A(a1)  A(a2)  …  A(an)
2. 量词否定等值式
x在公式A(x)中自由出现
x A(x)  x  A(x)
x A(x)  x  A(x)
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5.1 等值式与置换规则
 例：设个体域为D＝{a, b, c}，将下面公式
的量词消去
1. x F(x)  y G(y)
 (F(a)  F(b)  F(c))  (G(a)  G(b)  G(c))
2. (x F(x)  y G(y))
 x  F(x)  y  G(y)
 ( F(a)   F(b)   F(c)) 
( G(a)   G(b)  G(c))
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5.1 等值式与置换规则
 第二类等值式：
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
x在公式A(x)中自由出现，但不在B中自由出现
(1a) x (A(x)  B)  x A(x)  B
(1b) x (A(x)  B)  x A(x)  B
(1c) x (A(x)  B)  x A(x)  B
(1d) x (B  A(x))  B  x A(x)
(2a) x (A(x)  B)  x A(x)  B
(2b) x (A(x)  B)  x A(x)  B
(2c) x (A(x)  B)  x A(x)  B
(2d) x (B  A(x))  B  x A(x)
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5.1 等值式与置换规则
 第二类等值式：
4. 量词分配等值式
x在公式A(x)和B(x)中自由出现
(1) x (A(x)  B(x))  x A(x)  x B(x)
(2) x (A(x)  B(x))   x A(x)  x B(x)
(3) x (A(x)  B(x))  x A(x) x B(x)
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5.1 等值式与置换规则
下列等值式不成立！
x在公式A(x)和B(x)中自由出现
(1) x (A(x)  B(x))  x A(x)  x B(x)
提示：任意实数或者是有理数或者是无理数
或者任意实数是有理数或者任意实数是无理数
(2) x (A(x)  B(x))  x A(x)  x B(x)
提示：存在实数既是有理数又是无理数
存在实数是有理数或者存在实数是无理数
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5.1 等值式与置换规则
 置换规则：给定φ(A)
 A  B ，则φ(A)  φ(B)
 换名规则：
 x A(x)  x’ A(x’)，x’不在A中出现
 x A(x)  x’ A(x’)，x’不在A中出现
 代替规则
 A(x)  A(x’)，x’不在A中出现
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实例
例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值
(1) 没有不犯错误的人
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.
x(F(x)G(x))
或
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
 x(F(x)G(x))
 x(F(x)G(x))
量词否定等值式
置换
 x(F(x)G(x))
置换
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实例
(2) 不是所有的人都爱看电影
解 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.
x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
 x(F(x)G(x))
 x(F(x)G(x))
 x(F(x)G(x))
量词否定等值式
置换
置换
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例
 例：消除既是约束出现又是自由出现的变项
1. x F(x,y,z)  y G(x,y,z)
 t F(t,y,z)  y G(x,y,z)
 t F(t,y,z)  w G(x,w,z)
2. x (F(x,y)  y G(x,y,z))
 x (F(x,t)  y G(x,y,z))
 x F(x,y)  t G(x,t,z)
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5.1 等值式与置换规则
 证明:
¬ x y (F(x)  G(y)  H(x,y)) 
x y (F(x)  G(y)  ¬ H(x,y))
证明： ¬ x y (F(x)  G(y)  H(x,y))
 x ¬ y (¬(F(x)  G(y))  H(x,y))
 x y ((F(x)  G(y))  ¬ H(x,y))
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5.1 等值式与置换规则
 给定D={a,b,c},消去下列公式的量词
 x (F(x)  y G(y))
 x F(x)  y G(y)
 (F(a)  F(b)  F(c))  (G(a)  G(b) 
G(c))
 x y F(x,y)
 y (F(a,y)  F(b,y)  F(c,y))
 (F(a,a)  F(b,a)  F(c,a))  (F(a,b) 
F(b,b)  F(c,b))  (F(a,c)  F(b,c) 
F(c,c))
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5.1 等值式与置换规则
 给定解释I如下：
D={2, 3}
a* = 2
f*(2) = 3, f*(3) = 2
F*(2) = F, F*(3) = T
G*(2,2)=G*(2,3)=G*(3,2)=T,
G*(3,3)=F
 L*(2,2)=L*(3,3)=T,
L*(2,3)=L*(3,2)=F





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5.1 等值式与置换规则
 求下列各式在I下的真值：
 x (F(f(x))  G(x, f(x)))
 (F(f(2))  G(2, f(2)))  (F(f(3)) 
G(3, f(3)))
 (F(3)  G(2, 3))  (F(2)  G(3, 2))
 (T  T)  (F  T)
 T
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第五章: 等值演算与推理
第一节：等值式与置换规则
第二节：前束范式
第三节：推理理论
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5.2 前束范式
 前束范式：一阶逻辑公式满足




量词都出现在公式最前面
量词的辖域一直延伸到公式末
形如Q1x1Q2x2…Qkxk B
Q为或，B不含量词
 例：下列为前束范式
 x y (F(x)  G(y)  ¬ H(x,y))
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5.2 前束范式
 前束范式存在定理：一阶逻辑任何公式都存
在等值的前束范式
1.
2.
3.
4.
将公式中的联接词、换为、、
利用量词否定等值式把深入到原子公式前
利用约束变元的换名规则
利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的
最前面
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5.2 前束范式
 例：求下面公式的前束范式
 x
 x
 x
或者
 x
 x
 x
F(x)   x G(x)
F(x)  x  G(x)
(F(x)   G(x))
F(x)   y G(y)
F(x)  y  G(y)
y (F(x)   G(y))
直观上为什么等价？
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5.2 前束范式
 例：求下面公式的前束范式




x
x
x
x
F(x)   x G(x)
F(x)  x  G(x)
F(x)  y  G(y)
y (F(x)   G(y))
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5.2 前束范式
 例：求下面公式的前束范式
x F(x,y)  y G(x,y)
P80,12(4)
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5.2 前束范式
 前束合取范式：
 Q1x1Q2x2…Qkxk ((A1  A2  … An) 
(B1  B2  … Bn)  …  (C1  C2 …
Cn))
 定理：任何一个一阶逻辑公式均可以转化成
与其等值的前束合取范式
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5.2 前束范式
 例：下列公式化为前束合取范式







x(yP(x)  zQ(z,y)  ¬yR(x,y))
x(P(x)  zQ(z,y)  ¬yR(x,y))
x(¬(P(x)  zQ(z,y))  ¬yR(x,y))
x(¬P(x)  z¬Q(z,y)  y¬ R(x,y))
x(¬P(x)  z¬Q(z,y)  w¬ R(x,w))
x z w(¬P(x)  ¬Q(z,y)  ¬R(x,w))
x z w((¬P(x)  ¬R(x,w)) 
(¬Q(z,y)  ¬R(x,w)))
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第五章: 等值演算与推理
第一节：等值式与置换规则
第二节：前束范式
第三节：推理理论
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5.3 推理理论
逻辑(语义)蕴涵：给定A1,…,Ak和B
符号：{A1,…,Ak} ⊨ B
对任意赋值v:
• 如果v(Ai)=T,则v(B)=T
• 或者存在Ai使得v(Ai)=F
称由前提A1,…,Ak 推出结论B的推理是有效的
B为有效结论
定理：{A1,…,Ak} ⊨ B 当且仅当
A1 … Ak  B 为重言式
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5.3 推理理论
例：证明 xA(x) ⊨ xA(x)
证明（反证法）：设xA(x) ⊭ xA(x)
存在个体域D的赋值I，
I(xA(x))=T，I(xA(x))=F
由于I(xA(x))=T，存在aD，A(a)=T
故存在aD，A(a)=F
由于I(xA(x))=F，I(xA(x))=T
矛盾！
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5.3 推理理论
例：证明
xA(x)xB(x) ⊭ x(A(x)B(x))
证明（构造法）：构造I如下D={a,b}
F^*(a)=T，F^*(b)=F
G^*(a)=F，G^*(b)=T
I(xF(x))=F，I(xF(x)xG(x))=T
容易验证I(x(F(x)G(x))=F
所以xF(x)xG(x) ⊭ x(F(x)G(x))
所以xA(x)xB(x) ⊭
x(A(x)B(x))
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5.3 推理理论
 自然推理系统Nℒ
①
②
③
④
⑤
字母表
合式公式
空公理集合
推理规则集
关于量词的规则集
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推理定理
 第一组 命题逻辑推理定理的代换实例
如, xF(x)yG(y)  xF(x)
 第二组 基本等值式生成的推理定理
如, xF(x) xF(x), xF(x) xF(x)
xF(x)xF(x), xF(x)  xF(x)
 第三组 其他常用推理定律
(1) xA(x)xB(x)  x(A(x)B(x))
(2) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
(3) x(A(x)B(x))  xA(x)xB(x)
(4) x(A(x)B(x))  xA(x)xB(x)
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5.3 推理理论
全称量词消去规则(UI)
x A(x)
结论：A(y)
x A(x)
结论：A(c)
条件
x不在y和y的辖域内自由出现
A(y)指由A(x)把y代入x得到
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UI条件
设真命题 xy( x  y)
推导如下
1. y( y  y)使用UI规则
该结论是错误的，原因在于
x在y和y的辖域内自由出现
34
5.3 推理理论
存在量词消去规则(EI)，给定前提
Γ={A1,…,An}
x A(x)
结论：A(c)
条件：
c不在Γ的任何公式出现
例：要证明如果行列式有两行或两列成比例则
行列式为零，只须取行列式的任意两行或两列
，设它们成比例，证明行列式为零
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EI条件


xQ
(
x
)


x
Q( x)
设真命题
Q(x)为有理数
推导如下
1.
xQ(x)

2.
x Q(x)
Q ( ) 使用EI规则
3.

4.
Q( ) 使用EI规则
5.
Q( )Q( )
该结论是错误的，原因在于
c不在Γ的任何公式出现
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5.3 推理理论
全称量词引入规则(UG)，给定前提
Γ={A1,…,An}
A(x)
结论：x A(x)
条件：
x不在Γ中任何公式自由出现
思考：假设Γ={F(x), F(x)G(x)}
Γ⊢ G(x)
是否有Γ⊢ x G(x)？
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UG条件
设真命题 xy( x  y)
推导如下
1. y( x  y)使用UI规则
x   使用EI规则
2.
3. x( x   ) 使用UG规则
该结论是错误的，原因在于
x在Γ中任何公式自由出现
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5.3 推理理论
存在量词引入规则(+)
A(y)
结论： x A(x)
条件：
A(c)
结论： x A(x)
y和c分别不在x和x中辖域内自由出现
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5.3 推理理论
 形式推演(语法蕴涵)：给定A1,…,Ak和B
 符号：{A1,…,Ak} ⊢ B
 存在公式序列C1, C2,…,Cn，对每个
i(i=1,…,n),
• Ci是某个Aj或者
• Ci是有序列中前面的公式应用推理规则得到
• Cn=B
 称C1,…,Cn是有A1,…,Ak推B的证明
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推理规则
(1) 前提引入规则
(2) 结论引入规则
(3) 置换规则
(4) 假言推理规则
(5) 附加规则
(6) 化简规则
(7) 拒取式规则
(8) 假言三段论规则
(9) 析取三段论规则
(10) 构造性二难推理规则
(11) 合取引入规则
(12) -规则
(13) +规则
(14) -规则
(15) +规则
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5.3 推理理论
 证明苏格拉底论证
 前提：x(M(x)D(x)), M(s) 结论：D(s)
 M(x)：x是人, D(x)：x是要死的, s：苏格拉底
解：
①
②
③
④
M(s)
x(M(x)D(x))
M(s)D(s)
D(s)
前提引入
前提引入
假言推理
42
5.3 推理理论
 构造下面推理的证明
 前提：¬x(P(x)Q(x)), xP(x)
 结论：¬xQ(x)
解：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
¬¬xQ(x)
xQ(x)
Q(y)
xP(x)
P(y)
P(y)Q(y)
x(P(x)Q(x)
¬x(P(x)Q(x))
前提引入
双重否定律
前提引入
合取引入
+
前提引入
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5.3 推理理论
 构造下面推理的证明
 前提： x(P(x)Q(x)) , ¬Q(a)
 结论： x ¬ P(x)?
解：
① ¬Q(a)
② x(P(x)Q(x))
③ P(a)Q(a)
④ ¬ P(a)
⑤ x ¬ P(x)?
44
5.3 推理理论




讨论A(x)与xA(x)的区别与联系
xA(x)到A(x)：全称量词消去规则
A(x)到xA(x) ：全称量词引入规则
A(x)不是一个命题
• 对x的不同取值对应不同的真值
xA(x)在一个赋值下有唯一真值
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第五章 习题课
 主要内容
 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
 前束范式
 推理的形式结构
 自然推理系统NL
推理定律、推理规则
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基本要求
 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 并能准确而熟
练地应用它们．
 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代替规则．
 熟练地求出给定公式的前束范式．
 深刻理解自然推理系统NL 的定义，牢记NL 中的各条推理
规则，特别是注意使用、+、+、 4条推理规则的
条件．
 能正确地给出有效推理的证明．
47
练习1
1. 给定解释I如下:
(1) 个体域D={2,3}
(2) a  2
(3) f ( x ) : f (2)  3, f (3)  2
(4) F ( x ) : F (2)  0, F (3)  1
G ( x, y ) : G (2,2)  G (2,3)  G (3,2)  1, G (3,3)  0
求下述在I下的解释及其真值:
xy(F(f(x))G(y,f(a)))
解 xF(f(x))yG(y,f(a))
F(f(2))F(f(3))(G(2,f(2))G(3,f(2)))
10(10)0
48
练习2
2.求下述公式的前束范式:
xF(x)y(G(x,y)H(x,y))
解 使用换名规则,
xF(x)y(G(x,y)H(x,y))
 zF(z)y(G(x,y)H(x,y))
 z(F(z)y(G(x,y)H(x,y))
 zy(F(z)(G(x,y)H(x,y)))
使用代替规则
xF(x)y(G(x,y)H(x,y))
 xF(x)y(G(z,y)H(z,y))
 x(F(x)y(G(z,y)H(z,y))
 xy(F(x)(G(z,y)H(z,y)))
49
练习3
3.构造下面推理的证明:
(1) 前提：x(F(x)G(x)), xF(x)
结论：xG(x)
证明：
① x(F(x)G(x))
② F(y)G(y)
③ xF(x)
④ F(y)
⑤ G(y)
⑥ yG(y)
⑦ xG(x)
前提引入
①
前提引入
③
②④假言推理
⑤+
⑥置换
50
练习3(续)
(2) 前提：x(F(x)G(x)), xG(x)
结论：xF(x)
证明：用归谬法
① xF(x)
结论否定引入
② xF(x)
①置换
③ xG(x)
前提引入
④ xG(x)
③置换
⑤ x(F(x)G(x)),
前提引入
⑥ F(c)
②
⑦ G(c)
④
⑧ F(c)G(c)
⑤
⑨ G(c)
⑥⑧析取三段论
⑩ G(c)G(c)
⑦⑨合取引入
51
练习3(续)
(3)前提：x(F(x)G(x)), x(G(x)H(x))
结论：xF(x)xH(x)
证明: 用附加前提法
① xF(x)
附加前提引入
② F(x)
①
③ x(F(x)G(x))
前提引入
④ F(x)G(x)
③
⑤ x(G(x)H(x))
前提引入
⑥ G(x)H(x)
⑤
⑦ F(x)H(x)
④⑥假言三段论
⑧ H(x)
②⑦假言推理
⑨ xH(x)
⑧+
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练习4
4. 在自然推理系统NL 中，构造推理的证明．
人都喜欢吃蔬菜．但不是所有的人都喜欢吃鱼．所以, 存
在喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人．
解 令F(x): x为人，G(x): x喜欢吃蔬菜，H(x): x喜欢吃鱼．
前提：x(F(x)G(x)), x(F(x)H(x))
结论：x(F(x)G(x)H(x))
证明：用归谬法
(1) x(F(x)G(x)H(x))
结论否定引入
(2) x(F(x)G(x)H(x))
(1)置换
(3) (F(y)G(y)H(y))
(2)
(4) G(y) F(y)H(y)
(3)置换
(5) x(F(x)G(x))
前提引入
53
练习4(续)
(6) F(y)G(y)
(7) F(y)  F(y)H(y)
(8) F(y) H(y)
(9) y(F(y) H(y))
(10) x(F(x) H(x))
(11) x(F(x) H(x))
(12) 0
(5)
(4)(6)假言三段论
(7)置换
(8)+
(9)置换
前提引入
(10)(11)合取
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