Transcript 第一节二维随机变量

第三章 多维随机变量及
其分布
概述
将一维随机变量加以扩充，得到二维
和多维随机变量。二维和多维随机变量与
一维随机变量有着相似的性质。但因为各
变量间的交互作用，它们的分布更变化多
端并且更加有趣，事实上，二维和多维随
机变量无非是同时在各个方向上运算一维
随机变量的分布。
§3.1 二维随机变量
一、二维随机变量及其分布
二、二维离散型随机变量
三、二维连续型随机变量
四、n维随机变量的分布函数
五、小结
二维随机变量
在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或以
上的随机变量来描述. 例如，研究某地区学龄前儿童
前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高 X 、
体重 Y , 这里，X 和 Y 是定义在同一样本空间
S  {某地区的全部学龄前儿童}
上的两个随机变量. 在这种情况下，我们不但要研究
多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之
间的统计相依关系，因而需考察它们的联合取值的统
计规律，即多维随机变量的分布.
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们
重点讨论二维随机变量.
一 二维随机变量及其分布
定义: 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 S  {e },
设 X  X (e ) 和Y  Y (e ) 是定义在 S 上的随机变量。由
它们构成的一个向量 ( X ,Y ) ，叫做二维随机向量，
或二维随机变量。
X(e)
e
S
Y(e)
注意
⑴ 二维随机变量也称为二维随机向量；
⑵ 我们应把二维随机变量
 X， Y    X e ， Y e 
e S 
看作一个整体，因为X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上, 二维随机变量( X ,Y )可看作平面上的随机点．
二维随机变量的例子
⒈ 考察某地区成年男子的身体状况，令
X：该地区成年男子的身高；
Y：该地区成年男子的体 重．
则 X， Y 就是一个二维随机变量．
⒉ 对一目标进行射击，令：
X：弹着点与目标的水平距离；
Y：弹着点与目标的垂直距离；
则 X， Y 就是一个二维随机变量．
⒊ 考察某地区的气候状况，令：
X：该地区的温度；Y：该地区的湿度．
则 X， Y 就是一个二维随机变量．
⒋ 考察某钢厂钢材的质量，令：
X：钢材的含碳量； Y：钢材的含硫量；
则 X， Y 就是一个二维随机变量．
定义
设( X ,Y ) 是一个二维随机变量,对于任意实数 x, y ,
二元函数
F  x， y   P{( X  x )  (Y  y )}  PX  x， Y  y
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数,或称为随
机变量 X 和Y 的联合分布函数.
二元分布函数的几何意义
如果将 ( X ,Y ) 看成是平面上的
随 机 点 ， 分 布 函 数 F ( x, y) 表 示 点
( X ,Y ) 落在无限的矩形区域
“    X  x ,  Y  y ”内的概率。
设：x1  x 2 ，y1  y2 ，则
Px1  X  x 2 ， y1  X  y2 
 F  x 2 ， y2   F  x 2 ， y1   F  x1 ， y2   F  x1 ， y1 
y
y2
y1
o
(x1 , y2)
(x2 , y2)
(X, Y )
(x1 , y1)
x1
(x2 , y1)
x2
x
分布函数的基本性质：
(1) F (x , y) 是变量 x , y 的不减函数，即
对于任意固定的 y , 当 x1< x2时，F ( x1 , y )  F ( x 2 , y );
对于任意固定的 x , 当 y1< y2时，F ( x , y1 )  F ( x , y2 );
(2) 0  F ( x , y )  1, 且
对于任意固定的 Y , F (  , y )  0;
对于任意固定的 X ,F ( x , )
F ( , )  0;
 0;
F ( , )  1.
(3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即
F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.
(4) F ( x 2 , y2 )  F ( x 2 , y1 )  F ( x1 , y1 )  F ( x1 , y2 )  0.
y
y2
y1
o
(x1 , y2)
(x2 , y2)
(X, Y )
(x1 , y1)
x1
(x2 , y1)
x2
x
二
二维离散型随机变量
若二维随机变量( X ,Y )的取值是有限对或可列无穷
对, 则称 X， Y 为二维离散型随机变量．
X 的取值为
设  X， Y 二维离散型随机变量，
x1， x2， ， xi， 
Y 的取值为
则称
y1， y2， ， y j， 
Pij  P X  x i， Y  y j 
i，j  1， 2， 
为二维离散型随机变量 X， Y 的(联合)分布律．
 X， Y 的联合分布律也可以由下表表示
Y
X
x1
y1
y2
…
yj
…
p11
p12
…
p1 j
…
x2
p21
p22
…
p2 j
…



xi
pi1
pi 2
pij
…




…
二维
离散
型随
机变
量的
联合
分布
律

性质
1. pij  P{ X  xi， Y  y j }  0 ( i , j ), ( i , j  1,2,)
2.
pij  1

i， j
【例1】 将一枚均匀的硬币抛掷 3 次,令：
X：
“3 次抛掷中正面出现的次数”；
Y：
“3 次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝
对值”
。求( X ,Y ) 的联合分布律。
3
1，2，3；Y 的可能取值 1，
解 X 的可能取值 0，
1
PX  0， Y  1 0； PX  0， Y  3  ；
8
3
PX  1， Y  1 ；
PX  1， Y  3  0；
8
3
PX  2， Y  1  ； PX  2， Y  3  0；
8
1
PX  3， Y  1  0； PX  3， Y  3 ．
8
随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为
X
0
1
2
3
1
0
3
8
3
8
0
3
1
8
0
1
8
Y
0
【例2】设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个数中等可能地
取值，
另一个随机变量Y 在1 ~ X 中等可能地取一整
数。试求( X ,Y ) 的分布律。
解 { X=i,Y=j }的取值情况: i=1,2,3,4，
j 取不大于 i 的正整数
P{ X  i ,Y  j }  P{Y  j | X  i }P{ X  i }
1 1
  , 其中 i  1,2,3,4,
i 4
j  i.
X
Y
1
2
1
2
3
4
1
4
1
8
1
12
1
16
0
1
8
1
12
1
16
1
16
1
16
3
0
0
1
12
4
0
0
0
P { X  i ,Y  j }
1 1
  ,
i 4
三 二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如
果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有
F ( x, y) 
y
x
  f (u, v )dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y )
称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y
的联合概率密度。
概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10
2
0
f ( x, y)  0 ;


  f ( x, y )dxdy  F (,  )  1 ;
2

F ( x, y)
0
3 若f ( x , y )在点( x , y )连续，则有
 f ( x , y ).
xy
40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在G
内 的概率为：P{( X ,Y )  G }   f ( x , y )dxdy.
G
在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式
P{(X,Y)G}的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)
为顶的柱体体积
【例3】 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 具 有 概 率 密 度
ce ( 2 x  y ) , x  0, y  0
f ( x, y)  
0, 其它
(1)求常数 c ；(2)求分布函数 F ( x , y ) ;
(3)求概率 P {Y  X }；
(4) 设 D 为 平 面 上 x  y  3 所 确 定 的 区 域 ， 求
P{( X ,Y )  D}.
解 (1)
1





  f ( x , y )dxdy
0 0
ce
( 2 x  y )
c
dxdy 
2
得 c=2.
(2) F ( x , y ) 
y
x
 
 2e ( 2 x  y ) , x  0, y  0
f ( x, y)  
f ( x , y )dxdy
0, 其它
y
x
( 2 x  y )

dxdy, x  0, y  0
     2e


0, 其它
 1  e  2 x（
（
) 1  e  y )，x  0, y  0

0, 其它
y
x y
(3)将(X,Y)看成平面上随机点的坐标
P{Y  X }  P{( X ,Y )  G }


G f ( x , y )dxdy


0 y
2e ( 2 x  y ) dxdy  1 / 3
Y-型
G
x
(4) P{( X ,Y )  D} 
3

0

3

0
3
dx 
3 x
0
D f ( x , y )dxdy
2e ( 2 x  y ) dy
x y3
[2e ( 2 x  y ) ]03 x dx
0 [2e
x
 [2e
x
 2e
( x  3 )
 2e
]dx
( x  3 ) 3
0
 2e 6  4e  3  2
]
D
x
五、小结
1. 二维随机变量及其分布
思考
1. 将两个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中．
令：X：放入1号盒中的球数；
Y：放入2号盒中的球数．
试求 X， Y 的联合分布律．
2. 设二维随机变量 X， Y 的密度函数为
ce  3 x  4 y 
f  x， y   
0

x  0，y  0
其它
⑴ 求 常数c；
⑵ 求  X， Y 的联合分布函数；
⑶ 求 P0  X  1， 0  Y  2．
3. 设二维随机变量 X， Y 的密度函数为
 2 1
x  xy 0  x  1，0  y  2
f  x， y   
3

0
其它
2
y
x=1
y=2
试求概率 P X  Y  1  ．
1
O
x
1
x+y=1
1. 解：X 的可能取值为0，1，2；
Y 的可能取值为0，1，2．
1 1
PX  0， Y  0 2 
3 9
2 2
PX  0， Y  1  2 
9
3
1
1
PX  0， Y  2  2 
3
9
2
2
PX  1， Y  0  2 
9
3
2
2
PX  1， Y  1  2 
3
9
PX  1， Y  2  P  0
1
1
PX  2， Y  0  2 
3
9
PX  2， Y  1  P  0
PX  2， Y  2  P  0
由此得 X， Y 的联合分布律为
Y
X
0
1
2
0
1
9
2
9
1
9
1
2
9
2
9
0
2
1
9
0
0
2. 解：⑴ 由密度函数的性质，得
 
1

 

 c e
0
 
f x， y dxdy  c 
3 x

dx   e
0
0
4 y
 3 x  4 y 
e
dxdy

0
c
dy 
12
y
所以，c  12．
( 2) F x， y   PX  x， Y  y
当 x  0 或 y  0时，F x， y   0 ；
x  0, y  0
x
当 x  0 且 y  0 时，
F x， y   PX  x， Y  y
y
x


 
x
 12 e
0
x
y
0
0
 3u  4 v 
dudv
f u， v dudv  12   e
y
3u
du   e
0
4v

dv  1  e3x 1  e4 y 

 1  e 3 x 1  e 4 y
所以， F x， y   
0


x  0，y  0
其它
⑶．P0  X  1， 0  Y  2．


f  x， y dxdy
0  x 1， 0  y  2
1
 12 
0
2
 3 x  4 y 
e
dxdy

0
1
2
 12 e 3 x dx   e 4 y dy

0
 1 e
1 e 
0
3
8
3. 解：积分区域如图所示，
P X Y  1 ．
f x， y dxdy


y
2
x  y 1
1
2
0
1 x
  dx 
x=1
 2 1 
 x  xy dy
3 

5 3 4 2 1 
65
   x  x  x dx 
6
3
2 
72
0
y=2
1
1
O
x
1
x+y=1