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内容提要
(一)
函数
1. 函数的定义 设 x 和 y 是两个变量，若当变量 x 在非空
数集 D 内任取一数值时，变量 y 依照某一规则 f 总有唯
一确定的数值与之对应，则称变量 y 为变量 x 的函数，
记作 y = f (x).
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2. 函数的几种特性
(1) 有界性
设函数 y = f (x)，在集合D上有定义，若存在正数M，
对于所的 x  D ，恒有| f ( x ) | M ，则称函数 y = f (x) 在D
上是有界的；若不存在满足上述条件的正数 M ，则称
f (x) 在D上是无界的.
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(2) 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 D 关于原点对称，对于任
一 x  D ，则
偶函数：f (−x) = f (x)，图像关于 y 轴对称；
奇函数：f (−x) = − f (x)，图像关于原点对称.
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(3) 单调性
设函数 y = f (x) 在区间(a,b)内有定义，若对于 (a,b)
内的任意两点 x1 和 x2，当x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2) ，则
称函数 f (x) 在 (a，b)内是单调增加的；若对于(a，b)内的
任意两点 x1 和 x2，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2) ，则称函数
f (x) 在 (a,b) 内是单调减少的.
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(4) 周期性
设函数 y = f (x) 在集合D上有定义，若存在正数 a，
对于属于定义域 D 的任意 x，x  a  D ，使 f (x) = f ( x+a )
恒成立，则称此函数为周期函数. 满足这个等式的最小正
数 a 称为函数的周期.
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3.反函数
设 y = f (x) 是 x 的函数，其值域为 R，若对于 R 中
的每一个 y 值，都有唯一确定的且满足 y = f (x) 的 x 值
与之对应，则得到一个定义在 R 上的以 y 为自变量，x
为因变量的新函数，称之为 y = f (x)的反函数， 记作
x=f
–1(
y ).
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4. 分段函数 在自变量的不同变化范围中，函数关系由不
同的式子表达的函数称为分段函数.
5. 基本初等函数 包含常数函数、幂函数、指数函数、对
数函数、三角函数和反三角函数六大类.
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6. 复合函数 设 y 是 u 的函数 y = f (u)，u 是 x 的函
数 u  φ ( x ) ，若 u  φ ( x ) 的值域包含在 y = f (u) 的定义域
中，则 y 通过中间变量u 构成 x 的复合函数，记作
u  f [φ( x)] .
7. 初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算及有
限次的复合而成的函数叫做初等函数.
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(二) 无穷小量与无穷大量
1. 无穷小量 若函数 y = f (x) 在自变量 x 的某个变化过
程中以零为极限，则称在该变化过程中，f (x) 为无穷
小量.
2.无穷大量 若在自变量 x 的某个变化过程中，函数
y
1
f (x)
是无穷小量，即 lim
1
 0. 则称在该变化中，
f ( x)
f (x) 为无穷大量，简称无穷大，记作
lim f ( x)  
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3.无穷小量的性质
性质1. 1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量.
性质1. 2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量.
性质1. 3 常数乘无穷小量仍是无穷小量.
性质1. 4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量.
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4.无穷小量的阶 设α，β是同一变化过程中的两个无穷小
量，
(1) 若 lim
α
β
 0 ，则称α是比β高阶的无穷小量，也称β
是比α 低阶的无穷小量.
(2) 若 lim
α
β
 c ( c 是不等于零的常数)，则称α与β 同阶
无穷小量. 若 c = 1，则称α与β 是等价无穷小量.
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5.极限与无穷小量的关系：
函数 f (x) 以 A 为极限的充分必要条件是：f (x) 可以
表示为 A 与一个无穷小量之和. 即
lim f ( x)  A  f ( x)  A  α，
其中 lim α = 0.
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(三)
极限
1. 数列极限的定义 对于数列{ xn }，若当 n 无限变大时，
xn 趋于一个常数 A ，则称当 n 趋于无穷大时，数列{ xn }以
A 为极限. 记作
lim xn  A
x 
或
2. x→∞时函数的极限
xn  A ( 当x  )
若当 x 的绝对值无限增大时，函
数 f (x) 趋近于一个常数 A，则称函数 f (x) 当 x→∞ 时以 A
为极限，记作
lim f ( x)  A 或 f ( x)  A ( 当x  )
x 
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若当 x > 0 且无限增大时，函数 f (x) 趋近于一个常数
A，则称函数 f (x) 当 x→+∞时以 A 为极限，记作
lim f ( x)  A 或 f ( x)  A ( 当x  ).
x 
若当 x < 0 且绝对值无限增大时，函数 f (x) 趋近于
一个常数 A，则称函数 f (x) 当 x→−∞时以 A 为极限，
记作 lim f ( x)  A 或 f ( x)  A(当 x  -  ).
x - 
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3. x→x0时函数的极限 设函数 y = f (x) 在点 x0 的某个邻
域 (点 x0本身可以除外) 内有定义，若当 x 趋于 x0 ( x ≠ x0 )
时，函数 f (x) 趋于一个常数A，则称当 x 趋于 x0 时，函
数 f (x) 以 A 为极限，记作
lim f ( x)  A 或 f ( x)  A (当 x  x0 ).
x  x0
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设函数 y = f (x) 在点 x0 右侧的某个邻域 (点x0本身
可以除外) 内有定义，若当 x > x0 且趋于 x0 时，函数 f (x)
趋于一个常数 A，则称当 x 趋于x0 时，函数 f (x) 的右极
限是 A，记作

lim f ( x)  A 或 f ( x)  A ( 当 x  x0 ).
x  x0
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设函数 y = f (x) 在点 x0 左侧的某个邻域 (点x0本身可以
除外) 内有定义，若当 x < x0 且趋于 x0 时，函数 f (x) 趋于
一个常数 A，则称当 x 趋于x0时，函数 f (x) 的左极限是 A，
记作
0
lim- f ( x)  A 或 f ( x)  A (当 x  x ).
x  x0
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4. 极限存在的充分必要条件
当 x→x0 时，f (x)以 A 为极
限的充分必要条件是 f (x) 在点 x0 处左、右极限存在且相
等，即
lim f ( x)  A  lim- f ( x)  lim f ( x)  A.
x  x0
x  x0
x  x0
5. 极限的运算法则 若 lim u(x) = A∙lim v(x) = B，则
(1) lim[u ( x)  v( x)]  lim u ( x)  lim v( x)  A  B ；
(2) lim[u ( x)  v( x)]  lim u ( x)  lim v( x)  A  B ；
(3) 当 lim v( x)  0 时，
u ( x) lim u ( x) A
lim

 .
v( x) lim v( x) B
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6. 求极限的方法
(1) 观察法
利用极限的定义来观察并求出极限.
(2) 利用函数的连续性
设 f (x) 是初等函数，定义域为(a，b)，若x 0  ( a， b ) ，
则
lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0
(3) 若函数 y = f (x) 在点 x0 处连续，则可交换函数符
号和极限符号，即
lim f ( x)  f (lim x).
x  x0
x  x0
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(4) 利用无穷小量与有界量乘积仍是无穷小量.
(5) 利用无穷大量的倒数是无穷小量.
(6) 利用两个重要极限.
两个重要极限
lim
x 0
sin x
 1， lim(1 
x 
x
1
1
)  e 或 lim(1  t ) t  e.
x
t 0
x
两个重要极限的推论
lim
x 0
sin kx
x
 k， lim
tan kx
x 0
都可用来求极限.
x
 k， lim(1 
x 
a
)
bx  c
e .
ab
x
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7. 有理分式的极限
(1) 设x→x0 ，当分母极限不为零时，可直接利用函数
的连续性求极限. 当分母极限为零时，又分为两种情况：
若分子极限不为零，则有无穷小量是无穷大量的倒数可知
原式的极限为无穷大；若分子极限为零，则分解因式，消
去无穷小量因子后再求极限.
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(2) x→∞ 时，若a0≠0，b0≠0，则
a 0 x  a1 x
n 1

b0 x  b1 x
m 1

n
lim
x 
m
 0， n  m，

 an  a0
  ， n  m，
 b n  b0
  ， n  m .
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(四) 函数的连续性
1. 函数在点 x0 连续的定义
设函数 y=f (x) 在点 x0 的某
个邻域内有定义，若当x→x0 时，函数 f (x) 的极限存在，
且等于 f (x0)，即
lim f ( x)  f ( x0 )，
x  x0
则称函数 f (x)在点 x0 处连续.
2. 若函数 y=f (x) 在定义域 D 中每一点连续，则称 y=f (x)
是连续函数.
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3. 函数在闭区间连续定义
若函数 y=f (x) 在区间(a，b)内
连续，且
lim f ( x)  f ( a) ， lim f ( x)  f (b) ，
x a
x b
则称函数 f (x) 在闭区间[a，b]上连续.
4. 间断点
若 f (x) 在点 x0 处有下列三种情况之一，则
点 x0 是 f (x) 的间断点.
(1) 在点 x0 处，f (x) 没有定义；
f ( x ) 不存在；
(2) xlim
x
0
f ( x ) 存在，但 lim f ( x )  f ( x 0 ).
(3) 虽然 xlim
x x
x
0
0
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5. 连续函数的运算法则 设函数 f (x) 与 g (x) 在点 x0 处连
f ( x)
续，则f ( x )  g ( x )、
f ( x )  g ( x )、
( g ( x )  0) 在点x0处连续.
g ( x)
设函数 u   ( x ) 在点 x0 处连续，y=f (u) 在点 u 0   ( x 0 )
处连续，则复合函数 y  f [ ( x )] 在点 x0 处连续.
6. 初等函数的连续性
初等函数是连续函数.
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7. 闭区间上连续函数的性质
(1)有界性 闭区间[a，b]上的连续函数是有界的.
(2)最大值和最小值定理
若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上
连续，则它在这个区间上取得最大值和最小值.
(3)介值定理
若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，m 和
M 分别为 f (x) 在[a,b]上的最小值与最大值，则对于
m<c<M，存在  ( a， b ) ，使得
f ( )  c.
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(4)推论
若函数 f (x) 在[a,b]上连续，且 f (a) 与 f (b) 异
号，则存在  ( a， b ) ，使得
f ( )  0.
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(五)
本章知识结构图
几种特性
函数y=f(x)
初等函数
分段函数
单侧极限
极限
lim f ( x )  A
x  x0
( x  )
极限存在的充分必要条件
无穷小与极限存在的关系
无穷小量与无穷大量 无穷小的性质
无穷小与无穷大的关系
运算法则
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函数在开区间上连续
函数在闭区间上连续
连续
lim f ( x )  f ( x 0 )
x  x0
间断点的判定
初等函数的连续性
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