Transcript 1.6初等函数
§1.6
初等函数
一、基本初等函数
1、概念
初等函数是指常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反
三角函数等六类函数的总称。
2、各基本初等函数的表达式、定义域和图形
（1）常量函数：
表达式和定义域
图形
y C, x R
平行于x轴的直线
【1-6-1】
（2）幂函数
表达式
定义域
y x , R
当 0时为常量函数
当 0时有如下几种情形
当
p
时, 若p为奇数或偶数, q为奇数, 则当 0时x R,当 0时x 0
q
当为其他实数时, 若 0, 则x [0, ); 若 0, 则x (0, )
图形特征
任何幂函数的图形均过点（1，1）
【1-6-2】
几个常见幂函数幂函数的图形
y
y x
y x2
y
1
(1,1)
o
1
x
x
1
y
x
【1-6-3】
（3）指数函数
表达式
y a x (a 0, a 1), y e x
定义域
(, )
图形特征
当0 a 1时, 指数函数y a x严格单调递减
当a 1时, 指数函数y a x严格单调递增
所有指数函数的图形均过点（0，1）
【1-6-4】
指数函数
y ax
(a 0, a 1) 的图象
1 x
y( )
a
y ax
(a 1)
(0,1)
【1-6-5】
（4）对数函数
表达式
y loga x(a 0, a 1), y ln x
定义域
x (0, )
图形特征 当0 a 1时, 对数函数y loga x严格单调递减
当a 1时, 对数函数y loga x严格单调递增
所有对数函数的图形均过点（1，0）
【1-6-6】
对数函数
y loga x (a 0, a 1) 的图象
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
【1-6-7】
（5）三角函数
表达式
正弦函数
余弦函数
y cos x
sin x
y tan x
cos x
cos x
余切函数 y cot x
sin x
1
正割函数 y sec x
cos x
1
余割函数 y csc x
sin x
正切函数
定义域
y sin x
正弦函数和余弦函数的定义域为
(, )
正切函数和正割函数的定义域为
{x x k
余切函数和余割函数的定义域为
{x x k , k Z}
2
, k Z}
【1-6-8】
图形特征
六个三角函数都是周期函数，正、余弦函数和正、余割函数的最
小正周期均为：2
正、余切函数的最小正周期均为：
正、余弦函数都是有界函数： sin x
1, cos x 1
正弦函数的图象为
y sin x
【1-6-9】
余弦函数的图象为
y cos x
正切函数的图象为
y tan x
【1-6-10】
余切函数的图象为
y cot x
正割函数的图象为
y sec x
【1-6-11】
余割函数的图象为
y csc x
【1-6-12】
（6）反三角函数 根据三角函数和反函数性质有
反正弦函数
表达式为
定义域为
y arcsin x
x [1,1]
值域为
y [
, ]
2 2
图象为
y arcsin x
【1-6-13】
反余弦函数
表达式为
y arccos x
定义域为
x [1,1]
值域为
y [0, ]
图象为
y arccos x
【1-6-14】
反正切函数
表达式为
定义域为
y arctan x
x (, )
值域为 y (
, )
2 2
图象为
y arctan x
【1-6-15】
反余切函数
表达式为
定义域为
y arc cot x
x (, )
值域为 y (0, )
图象为
y arccot x
【1-6-16】
二、初等函数
1、概念
初等函数是指由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，
并且在其定义域内有统一的解析表达式的函数。
2、幂指函数
是指形如[ f ( x)]g ( x )的函数
幂指函数是属于初等函数，因为它可以看作是由初等函数复合而成。
如
y x e
x
x ln x
y e , u x ln x
u
【1-6-17】
三、隐函数
隐函数是指函数变量的对应关系隐含在一个方程F ( x, y) 0中的函数,
即F ( x, f ( x)) 0
相对应地, 称函数y f ( x)为显函数
若能从方程F ( x, y) 0中解出y f ( x), 则称此过程为隐函数的显化
当然，不是所有的隐函数都可以显化，有些隐函数是很难甚至无法显
化的，如
x
y
cos xy e 1 0
【1-6-18】