Transcript 数学实验

实验三
MATLAB中的极限和微分运算
一、实验目的

熟悉MATLAB软件中关于极限和微分运算的基本
命令，掌握利用MATLAB软件进行求极限和微分
运算的方法。
二、相关知识
在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限和微分
的运算，那时我们根据微积分的原理，学习了一整
套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在我
们尝试用软件来解决这样的问题。
 在MATLAB中，常用的初等函数表示方法如下：

函数名
幂函数
指数函数
功能
MATLAB命令
求x的a次幂
x^a
求x的平方根
sqrt(x)
求a的x次幂
a^x
求e的x次幂
exp(x)
对数函数
函数名
幂函数
指数函数
求x的自然对数
log(x)
求x的以2为底的对数
log2(x)
求x的以10为底的对数
log10(x)
功能
MATLAB命令
求x的a次幂
x^a
求x的平方根
sqrt(x)
求a的x次幂
a^x
求e的x次幂
exp(x)
对数函数
三角函数
求x的自然对数
log(x)
求x的以2为底的对数
log2(x)
求x的以10为底的对数
log10(x)
正弦函数
sin(x)
余弦函数
cos(x)
正切函数
tan(x)
余切函数
cot(x)
正割函数
sec(x)
余割函数
csc(x)
反三角函数
三角函数
反正弦函数
asin(x)
反余弦函数
acos(x)
反正切函数
atan(x)
余弦函数
cos(x)
正切函数
tan(x)
余切函数
cot(x)
正割函数
sec(x)
余割函数
csc(x)
反正弦函数
asin(x)
反余弦函数
acos(x)
反正切函数
atan(x)
反余切函数
acot(x)
反正割函数
asec(x)
反余割函数
acsc(x)
求x的绝对值
abs(x)
反三角函数
绝对值函数
MATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运算，
其调用格式如下：

limit(F,x,a,’left’)
 该命令对表达式F求极限，独立变量x从左边趋于a，
函数中除F外的参数均可省略，’left’可换成’right’。
举例如下：

反正割函数
asec(x)
反余割函数
acsc(x)
求x的绝对值
abs(x)
反三角函数
绝对值函数
MATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运算，
其调用格式如下：

limit(F,x,a,’left’)
 该命令对表达式F求极限，独立变量x从左边趋于a，
函数中除F外的参数均可省略，’left’可换成’right’。
举例如下：
a x
 例1：求极限 S  lim (1  ) 。
x  
x
 解：可用以下程序完成：
 clear
 F=sym(‘(1+a/x)^x’)
 limit(F,’x’,inf,’left’)


结果为exp(a)。其中，语句F=sym(‘(1+a/x)^x’)表示
定义符号表达式
a

1  
x


x
也可用以下的语句来完成：
a
例1：求极限 S  lim (1  ) x 。
x  
x
 解：可用以下程序完成：
 clear
 F=sym(‘(1+a/x)^x’)
 limit(F,’x’,inf,’left’)


结果为exp(a)。其中，语句F=sym(‘(1+a/x)^x’)表示
定义符号表达式
a

1  
x

x
也可用以下的语句来完成：
 clear;
 syms x
%这里是把x先说明成符号。
 F=(1+a/x)^x
%这里的定义形式和前面不同。
 limit(F, x, inf, ’left’) %这里的x本身就是符号，因

此不需要单引号。

MATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求
导函数的运算，其调用格式如下：
diff(fun,x,n)
 其意义是求函数fun关于变量x的n阶导数，n为1时
可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较
为妥当。我们看下面的例：
 clear;
 syms x
%这里是把x先说明成符号。
 F=(1+a/x)^x
%这里的定义形式和前面不同。
 limit(F, x, inf, ’left’) %这里的x本身就是符号，因

此不需要单引号。

MATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求
导函数的运算，其调用格式如下：
diff(fun,x,n)
 其意义是求函数fun关于变量x的n阶导数，n为1时
可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较
为妥当。我们看下面的例：


例2：求函数 y  ln
x2
1 x
的一阶和三阶导数。
解：可用以下程序完成：
 clear;
 syms x
 y=log((x+2)/(1-x));
 dy=diff(y,x)
 为妥当。我们看下面的例：


例2：求函数 y  ln
x2
1 x
的一阶和三阶导数。
解：可用以下程序完成：
 clear;
 syms x
 y=log((x+2)/(1-x));
 dy=diff(y,x)
 dy3=diff(y,x,3)
 pretty(dy3)
 这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它
作用的表达式更符合数学上的书写习惯。

三、实验内容

1．求下列极限，将完成实验的程序写到文件
1
sy31.m中：
arctan x
1 x  x
1） F 1  lim
2） F 2  lim 

x 0
3） F 3  lim
x 0
(
5） F 5  lim
x 1
x 0
x
x ln( 1  x )
sin x
1
1 x

4） F 4  lim
x 
2
1
1 x
3
)
1 x 
arctan x
x

2．求下列函数的导数，将完成实验的程序写到文
件sy32.m中：

1） y1  cos 3 x  cos 3 x

2） y 2  x sin x ln x
xe  1
x

3）
y3 
sin x
x
 4） y  e cos x
，计算
y
2
y  x sin 2 x ，计算 y
(4)
( 20 )

5）

3．完成实验报告，上传实验报告和程序文件
sy31.m、sy32.m。