Transcript 锐角三角函数（第二届初中共同体数学课件(乐山)成都金牛实验

a
sin A 
c
A
b
cos A 
c
c
b
a
tan A 
b
b
cot A 
a
C
a
B
教师寄语
•
锐角三角函数描述了直角三角形中
边与角的关系,它又是一个变量之间
重要的函数关系,既新奇,又富有魅
力,还是高中继续学习的基础，你可
要与它建立好感情噢！
回顾勾股定理


文字语言叙述勾股定理
文字语言：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方

图形语言叙述勾股定理
图形语言：AC2+BC2=AB2

符号语言叙述勾股定理

符号语言：a2+b2=c2

你知道怎么阅读数学资料吗？

实际上，数学资料的阅读过程就
是阅读它的文字语言、符号语言、
图形语言以及它们之间的转换关系.
因此，在阅读数学资料过程中，同
学们一定要注意从这三个角度去分
析和理解内容.
符号
图形
文字
重点1—直角三角形中边角位置关系

直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边
AB称为斜边c，另两条直角边分别为∠A的对边a与∠A的邻
边b
注意几种表达方式的转化
符号
图形
文字
自我测评






1、如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，
①斜边是 PM ；②∠P的对边是 NM，∠P的邻边
是 PN
；
2、Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB
（1）在Rt△ADC中，CD是∠ A 的对边，
是∠ ACD的邻边。∠A的邻边是____
AD
（2）在Rt△ACB中，斜边是 AB 。AC是∠ A 的邻边，
AC是∠ B 的对边。
问题1：
 在Rt△ABC中，当锐角∠A取固定值时， ∠A的对
边与邻边的比值会是一个固定值吗？为什么？

实践出真知
观察图(1)、(2)中的Rt△AC1B1、Rt△AC2B2和
Rt△AC3B3，并完成下列问题。
 （1）、在图1 中
AC2B2
AC3B3
Rt△AC1B1∽Rt△________∽Rt△________
1
B3C3
B1C1
B2C 2
 所以
＝_______＝________= __ _
AC1
2
AC3
AC2
 （2）、在图2 中
AC3B3
AC2B2
Rt△AC1B1∽Rt△_________∽Rt△_______
B2C 2
B
C
B3C3
1
1
1
 所以
＝______＝_______=_______

AC1
AC2
AC3

结论：

在Rt△ABC中，∠A对边与邻边的比值只与锐角∠A的大小有
关，而与直角三角形大小 无关
，即这个比值变化只随∠A的大
小而变化，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边
与邻边的比值是唯一确定的.

我们把这个比值叫做∠A的正切.为了更方便的研究这一特性，
在国际上我们把这个比值用 英文缩写符号表示出来：记做
tanA，

A的对边a
tan
A

即：
A的邻边b
文
字
符号
图形
类比思考，辨析概念
问题2：

对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与斜
边的比值唯一确定，那么邻边与斜边、邻边与对
边的比值又怎么样呢？如何验证这个结论？

认识三角函数
文字语言 定义
B
∠A的对边a
正弦函数
斜边c
∠A的
对边 ∠A的邻边b 余弦函数
斜边c
a
A
∠ A的邻边b
图形语言
C
表示
符号语言
sinA
sin
sin
sin
sin
cosA
∠A的对边a
正切函数
∠A的邻边b
tanA
∠A的邻边b
∠A的对边a 余切函数
cotA
aa
a
A
=
A
=
A = ca
A = cc
cbb
b
cos
A
=
cos
A
=
cos A = cb
cos A = cc
aac
a
tan
A
=
tan
A
=
tan A = ba
tan A = bb
bb
b
cot
A
=
cot
A
=
cot A = ab
cot A = aa
a
sinA、cosA、tanA、cotA这四个函数统称为直角
三角形中锐角Ａ的三角函数．
注意事项：





（1）锐角三角函数都是在直角三角形中定义的；
（2）三角函数的实质是一个比值，因此它没有单位，而这
些比值只与锐角的大小有关与三角形的边无关，同时因为是
比值，所以解题往往使用见比设K法；
（3）sinA、cosA、tanA、cotA都是表达符号，它们是一个
整体，不能拆开来理解；
sin、cos、tan、cot分别表示一个角的不同三角函数，都是
英语缩写符号。
（4） sinA、cosA、tanA、cotA中 A的角的记号“∠”习
惯上省略不写，但对于用三个大写字母和阿拉伯数字表示的
角，角的记号“∠”不能省略，例如sin∠1不能写成sin1。
自我测评
根据图形在空格处填上适当内容
3
3
 （1）sin A=
； tan A= ；
4
5
4
4

cosA= ； ∠A的余切值=__
3
5
3
 （2）cosB= ；
5
4
4

sinB= ； ∠B的正切值=
3
5
学以致用，解决问题
例1、求出下图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角
函 数值．
 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得


BC 8
sin A 

AB 17
cos A 
AC 15

AB 17
BC 8
tan A 

AC 15
AC 15
cot A 

BC 8
4
 例2、在Rt△ABC中，已知sinA=
，求∠A 的
5
正切值.
分析：符号语言---》图形语言-----》文字语言
知识提升
例3、如图，Rt△ACB中，∠C=90°CD⊥AB，
AC=10，AD=6，
 求∠B的正弦值与余弦值.

课堂小结，方法提炼：
通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
 知识 ： 三角函数的概念

通过本节课的学习，你最大的学习体验是什么？
 学习方法：如何阅读数学资料

通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的思
想方法？
 数学思想方法：类比、化归、数形结合

作业布置

1．（必作题）习题册25.1第1，2，3题；

2．（选作题）如图，平面直角坐标系中点P（3，
- 4），OP与x轴的夹角为∠1，求tan∠1的值？
y
O
1
x
P（3,- 4）
思维拓展
你能否求出一次函数y=3x与x轴相交所得锐角的
正切值？
 （1）如果是y=3x-5呢？
 （2）如果改为y=2x+6呢？
 你发现了什么规律 ？能否将任意一次函数
y=kx+b（k≠0，k、b为常数）与x轴相交所得
锐角的正切值用k或者b表示出来？
