Transcript 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 证明

19.2.2 菱形
A
B
O
C
D
创 设 情 境
给你一张矩形纸片，你会利用折纸、剪切的
方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片吗？
学 习 目 标
1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用.
2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.
自 探 共 究
问题：菱形的定义？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定1：
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
探究一
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定
一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根
橡皮筋,做成一个四边形.
思考：（1）任意转动木条，这个四边形总有什么特征？
（2）继续转动木条，观察什么时候这个四边形
变成菱形?
猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在
ABCD 中，AC ⊥ BD
求证： ABCD 是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD;
∴BA=BC
∴
ABCD是菱形
B
A
O
C
D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的判定2：
A
B
符号语言：
∵在
∴
D
C
ABCD中，AC⊥BD
ABCD是菱形
例：如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于
点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证： ABCD是菱形.
D
证：∵ AB=5，AO=4，BO=3
∴AB2=OA2+OB2
∴△AOB是直角三角形
AC⊥BD
∴
ABCD是菱形.
A
O
B
C
探究二
把四根一样长的木条用小钉钉成一个四边形，
观察一下，这是什么四边形？
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
A
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
C
D
B
菱形的判定3： 四条边都相等的四边形是菱形.
A
B
D
C
符号语言： ∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定：
文字语言
判定
法一
判定
法二
一组邻边相等
的平行四边形
是菱形
对角线互相
垂直的平行四
边形是菱形
图形语言
A
D
B
D
O
四边相等的
四边形是菱
形
B
B
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
C
A
判定
法三
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
C
A
符号语言
D
C
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
尝 试 练 习
1.老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
有一组邻边
相等的平行四
边形叫做菱形
对角线互相
垂直的平行四
边形是菱形
有四条边相
等的四边形是
菱形.
2.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
（╳ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形（√ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形
（╳ ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形
（╳ ）
A
B
C
D
3.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱
（2）若AC=BD，则□ABCD是
形；
矩
形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形.
D
C
O
A
B
4.将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中
的虚线剪下，打开即得一个菱形.你知道其中的
道理吗？
拓 展 应 用
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
求证：四边形EFGH是菱形.
E
A
D
证明：连接AC、BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵点E、F、G、H为各边中点
1
1
 EF  GH  BD，FG  EH  AC
2
2
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
F
B
H
G
C
课 堂 小 结
本节课我的成功之处是：……
本节课我的失败之处是：……
我还想探究的是：……
拓 展 应 用
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠
部分ABCD的形状吗？
A
F
∟
B
D
E
C