Transcript 利用折纸得到黄金矩形
第十八章 平行四边形 数学活动 北京市三里屯一中 胡 悦 你们小时候折过纸吗？都折过些什么？ 利用折纸得到60°、30°、15°的角 问题1 ：在一张矩形纸片上，你怎么折 出一个45°的角？ 用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？ 利用折纸得到60°、30°、15°的角 问题2 ：你能通过折纸的方法，折出 30°的角吗？怎样折？ 你能精确折出30°的角吗？ 利用折纸得到60°、30°、15°的角 1.对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折 D 痕EF，把纸片展平； A E F B C 2.再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经 过点B，得到折痕BM，同时，得到线段BN. A E B M D N F C 利用折纸得到60°、30°、15°的角 问题3 ：观察所得到的∠ABM，∠MBN和 ∠NBC，这三个角有什么关系？你能证 明吗？ A E B M D N F C 利用折纸得到60°、30°、15°的角 证明：连接AN. ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称， ∴AN=BN. ∵△ABM与△NBM关于BM轴对称， ∴AB=NB，∠1=∠2. ∴AB=AN=NB， ∴∠ABN=60°， ∴∠1=∠2=30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°. ∴∠3=90°-60°=30°， ∴∠1=∠2=∠3=30°. 利用折纸得到60°、30°、15°的角 在图中，你能找出所有30°的角吗？ 60°的角呢？ 还有其他度数的角吗？ M A E B 还有120 ° 和150 °的角 D G N F C 利用折纸得到60°、30°、15°的角 问题4： 怎样折出15°的角呢？ 利用折纸得到黄金矩形 问题5： 下列矩形中,哪些比较匀称? ③ ① 5×8 ⑦ ④ 8×13 ⑥ 13×21 ② ⑤ ⑧ 21×34 利用折纸得到黄金矩形 ③ ① 5×8 ⑦ ④ 8×13 ⑥ 13×21 ② ⑤ ⑧ 21×34 利用折纸得到黄金矩形 C D BC AB A 21×34 B 21 34 0.618 (精确到0.001) 世界艺术珍品——维纳 斯女神 ，她是公元前一 百多年希腊雕塑鼎盛时 期的代表作，她的上半 身和下半身的比值接近 0.618. 468 289 上海东方明珠电视塔 高468m,上球体到塔 底部的距离大约是 289m.两者之比约为 0.618. 文明古国埃及 的金字塔，形 似方锥，大小 各异.但这些 金字塔底面的 边长与高这比 都接近于 0.618. D 宽与长的比是 5 1 2 约为0.618的矩形叫做 黄金矩形. B A C 点B把线段AC分成两部分,如果 BC AB AB AC 那么称线段AC被点B黄金分割, 点B为线段AC的黄金分割点, BC与AB的比叫做黄金比 (约为0.618 ). , 黄金矩形的美感 • 黄金矩形给我们以协调、均匀的美感.世界 各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效 果，都采用了黄金矩形的设计. 黄金矩形的“迷人面容”——《蒙娜丽莎的微笑》 这幅《蒙娜丽莎的微笑》给了数以万亿计的人们 美的艺术享受，备受推崇.意大利著名画家达•芬奇在 创作中大量运用了黄金矩形来构图.整个画面使人觉 得和谐自然，优雅安宁. 雅典帕德农神庙是古希腊最著名的建筑，因为 其建于古希腊数学繁荣的古典时期. 所以整个神庙 的造型是建立在严格的比例关系上的，体现了以追 求和谐为目的的形式美. • 各国的国旗都为长方形，都是近似的黄金矩形. • 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒 服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对开、 8开、16开、32开等，都是近似的黄金矩形 . • …… 利用折纸得到黄金矩形 问题6： 能否用折纸的方法得到黄金矩形？ 利用折纸得到黄金矩形 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出 一个正方形，然后把纸片展平. 图1 图2 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形， 再把纸片展平. 利用折纸得到黄金矩形 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折倒图3 所示的AD处. 图3 图4 第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，矩形 BCDE就是黄金矩形（图4）. 利用折纸得到黄金矩形 问题7 ：你能说明矩形BCDE为什么是黄 金矩形吗？（提示：设MN=2） 利用折纸得到黄金矩形 证明: 设正方形MNCB中,MN=2， 则NC=BC=2, ∠ACB=90°， ∴AC=1， ∴在Rt△ABC中，AB= 5 . ∵AD=AB= 5 , ∴CD=AD-AC= 5 1, ∴ CD BC 5 1 . 2 即矩形BCDE的宽与长的比为 5 1 2 . 课堂小结 1.通过本节课的学习，你利用折纸可以做什么？ 2.在推理论证的过程中,我们用到了哪些以前学过的知识？ 3.在本节课的学习中,你体会到了哪些数学思想方法？ 折60°、30°、15°的角 折纸 折黄金矩形 轴对称 全等三角形 矩形 直角三角形 作业布置 1.如何利用折纸折出75°的角？ 2.问题7中的矩形MNDE是黄金矩形吗？你能说明吗？