Transcript HPM研究的若干方法与案例

The Joy of Mathematics
发现数学
数学组 徐力
作者简介

西奥妮·帕帕斯（Theoni Pappas）是一
位数学老师和辅导员。1966年，西奥妮-帕
帕斯于伯克利的加利福尼亚大学本科毕业，
1967年拿到斯坦福大学的硕士学位。帕帕
斯孜孜不倦地从事着数学的教学工作，帮
助人们消除与数学相关的优越感和恐惧感。
2000年，她获得了加利福尼亚大学校友会
颁发的“杰出成就奖”。
《数学日历》
（The Mathematics Calendar）
《数学——T-恤衫》
（The Math-T-Shirt）
《你看见了什么》
（What Do You See）
《大家的希腊烹调》
（Greek Cooking for Everyone）
《数学丑闻》
（Mathematical Scandals）
阿基米德
（公元前
287年—公
元前212
年），古希
腊哲学家、
数学家、物
理学家。
（89页）
法国画家Gustave
Courtois (1853-
1923）的作品
《阿基米德之死》
之版画
版画：阿基
米德的最
后时刻
意大利画家Pier
Francesco Mola
(1612-1666)
作品《阿基米德之死》
（1660）
Livy《罗马
史》 1568
版中木刻
画：阿基
米德之死
纸草画：阿基米德之死
法国画家Honoré
Daumier (1808-79)
的木炭画：
阿基米德之死
阿古
基罗
米马
地
德板
之镶
死嵌
画
：
刘易斯.卡罗尔
英国作家数学家。
原名查尔斯·勒特威
奇·道奇森。曾在牛
津大学执教数学
(1855～1881)。他
所著写的《艾丽丝
漫游奇境记》、
《艾丽丝镜中奇遇
记》为世界儿童文
学名著。（58页）
枕头问题集
《Pillow Problems》是卡罗尔记录和解答
的关于算术、代数、几何、三角学、解几、
微积分等。共有72个问题，几乎都是让他
彻夜难眠的。
希腊神话里有一座迷宫：
漫步迷宫几处 –(192页)
这则神话讲的是，从前米
古希腊米诺斯迷宫平面图
诺斯王统治着克里特岛。有
一年，他没有给海神波塞冬
送去允诺的祭物公牛，海神
十分生气，决意报复。他附
体在公牛身上，勾引了米诺
斯王的妻子帕西法厄王后。
不久，王后生下一个牛首人
身的怪物弥诺陶洛斯。为了
避免家丑外扬，米诺斯王让
岛上最优秀的工匠代达罗斯
造了一座迷宫：一所稀奇古
怪的地下房子，走廊离亮处
越来越远，迷宫中通道交错，
无论谁只要一走进去，就再
也找不到出口… …
这个迷宫为了纪念神话故事而建造
The Imprint 纯粹是为了纪念神话故事中的迷宫：
这只巨大的大脚板代表了弥诺陶洛斯的脚。建于1975
年，The Imprint 每年能接待几千的游客。
里面种植向日
葵。每年冬天农
夫们会重新设计
并播种，到了春
天就又长出一个
全新的迷宫图案。
1996年开园时，
有超过85,000多
人试图走出这片
10英亩的迷宫。
——世界上最大的植物迷
宫
位于旧金山的格雷思大教堂迷宫，展现了迷宫所具有
的另一种形式，除了植物树木，建筑用的石头和瓦片也能
建造迷宫。户内与户外的这两个迷宫都位于格雷思大教堂。
Lands End
Labyrinth是海滩
上的迷宫，从这
张图上你可以看
到金门大桥，海
滩全景，天使岛
还有旧金山的轮
廓线，它是在全
世界迷宫爱好者
和精神探寻者当
中著名的宁静而
美丽的地方。
迷人的海滩迷宫
迷宫由超过100
万株玉米造型而成
占地约7.3公顷。
迷宫的“自由女
神”造型从头到脚
总长约 400米，而
矗立在纽约自由岛
上的自由女神像从
头到脚约高34
米 …
这个迷宫是一名英国农夫
汤姆·皮尔西的杰作.
解迷宫的步骤：
-- - 现在是
数学热身时间
数学家的眼睛： “凹”字是一笔可画的。
问曰:
“ 凹 ”字一共有多少笔划 ?
（A）4 （B）5
（C） 6
（D）
1
-- - “凹”字有五笔，其笔顺是: 竖，横
折横，竖，横折，横。
一笔画问题之数学注释：
笔不离纸,一笔但又不
重复地画完一幅图形。
数学的缘起 －
哥尼斯堡七桥问
题 …
（124页）
哥尼斯堡七桥问题
18世纪，东普鲁
士的首府哥尼斯
堡是一座景色迷
人的城市，普莱
格尔河横贯其境，
使这座城市锦上
添花，显得更加
风光旖旋。
问曰： 能不能既不重复又
不遗漏地走遍这七座桥 ？
——这就是闻名遐迩的“哥尼斯
堡七桥问题。”
Leonhard Euler:欧拉
（公元1707-1783年）
说说 Euler :Read Euler, read Euler, he is
the master of us all.
( 读读欧拉，他是我们所有人的老
师 ) --- Pierre-Simon Laplace
德国邮票上的欧拉,
上书欧拉公式 --
Leonhard Euler:
出生于瑞士, 工作
在德国, 俄罗斯。
这是瑞士法郎上的欧拉。
-- 苏联邮票上的欧拉.
Leonhard Euler:（公元1707-1783年）
出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城…
13岁就进巴塞尔大学读书，他从19岁
开始发表论文, 直到76岁，共写下了
886 本书籍和论文，彼得堡科学院为
整理他的著作，足足忙碌了四十七
年．他是科学史上最多产的数学家 …
图画中的数学：既然岛
和半岛是桥梁的连接地点，
两岸陆地也是桥梁的连接
地点，那就不妨把这四处
地方缩小成四个点，并且
把这七座桥表示成七条线。
--- 这样，原来的七桥问
题就抽象概括成了类左的
关系图.
数学之图论一定理：
定理：若一个图是可以一笔画成的图形,
必需满足
1. 图形必须是连通的。
2. 途中的“奇点”个数是0或2。
偶点： 边有偶数个的点 -- 奇点： 边有奇数个的点
…
凹
七桥中的秘密：－
而在七桥问题所成之图形中，没有
一点含有偶数条数（却有 4 个奇点），因
此上故事中的上述的任务是不可能实现的。
欧拉把岛、半岛和陆地的具体属性舍
去，而仅仅留下与问题有关的东西，这就
是四个几何上的“点”；他再把桥的具体
属性排除，仅留下一条几何上的“线”，
然后，把“点” 与“线”结合起来，这
样就实现了从客观事物到图形的转变。这
一种经由具体到抽象的思维方式, 正是数
学的精神所在.
地图的四色问题（152页）
每幅地图
是否可以用
四种不同颜
色着色，使
得有共同边
界的国家都
被着上不同
的颜色？
四色问题大事年表
1852年 德摩根的学生向他提出这个问题
1879年 肯普认为他解决了该问题
1890年 希伍德指出了肯普证明过程中的错
误，并证明了五色定理
1976年 阿佩尔和哈肯给出了一个基于计算
机的一般证明
1994年 该计算机证明被简化，但仍是基于
计算机证明
四色问题
著名的“四色问题”是
与拓扑学发展有关的问题。
四色问题又称四色猜想，是
世界近代数学难题之一。
世界七大数学难题 :
21世纪七大数学难题。2000年, 美国克雷数学研
究所将它们设为“千年大奖问题”，每个难题悬赏
100 万美元征求证明。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
黎曼假设：很多人攻关，没看到希望
霍奇猜想：进展不大
杨-米尔理论：太难，几乎没人做
P与NP问题：没什么进展
波奇和斯温纳顿—戴雅猜想：有希望破解
纳威厄—斯托克斯方程：离解决相差很远
Poincaré 猜想: …
斐波氏的幽灵（222页）
“一对兔子，出生后第二个月开始
有生育能力，每月繁殖一对小兔
子。问一对兔子一年中可繁殖出
多少对兔子？”
1，1，2，3，5，8，13，21，34，
55， 89，144，…
——《计算之书》(1202)
斐波纳契（Fibonacci）
马蹄莲花
（1瓣）
大戟属
（2瓣）
延龄草
（3瓣）
报春花
（5瓣）
翠雀
（5瓣）
大波斯菊
（8瓣）
血根草
（8瓣）
珍珠菊
（13瓣）
金光菊
（13瓣）
金盏花
（13瓣）
大滨菊
（21瓣）
菊花
（34瓣）
意大利艺术家梅兹（Mario Merz,
1925～2003）可谓三十年情系斐
波纳契数列。他把这个数列用于
装饰图灵意大利国家电影博物馆
大楼穹顶（1984）。
更引人注目的是，梅兹还用
这个数列来装饰芬兰Turku一
家核电厂的烟囱（1994）！
德
国
乌
纳
国
际
光
艺
术
中
心
阿姆斯特丹
Schiphol机场
斐氏数列在巴塞罗那
斐波那契数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……
黄金比例
黄金矩形(Golden Rectangle)
黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，
换言之，矩形的长边为短边 1.618
倍。黄金矩形能够给画面带来美感，
令人愉悦。在很多艺术品以及大自
然中都能找到它。 （102页）
回眸 今日的分享：
（1）迷宫
（2）格尼斯堡七桥问题
（3）四色问题
（4）斐波那契数列
当我们在惊叹数学之美的同时 …我们发现
现代数学中一些不简单的理论
背后 都有着很简单的缘起
数学世界的那一枚意境
Vs
我们生活的空间:
We’re ants …