Transcript 圆锥曲线有关弦的问题

圆锥曲线有关弦的问题
如果直线l与圆锥曲线C相交于两个不同点A、B，那么线段AB称为圆锥曲线C
的一条弦，直线l称为圆锥曲线C的一条割线。
一、圆锥曲线的焦点弦
过抛物线 y 2  2 px 的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为
y1 , y2 , 则y1 y2   p 2 . 这是抛物线焦点弦的一个重要性质。
此外，与焦点弦有关的性质还有：
过抛物线焦点弦两端的切线的交点在抛物线的准线上：
过抛物线焦点弦两端的切线互相垂直；
以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切；
过抛物线焦点弦两端切线的交点与抛物线焦点的连线和焦点弦互相垂直。
椭圆与双曲线的焦点弦也有一些性质，请同学们自己归纳总结。
例1、已知抛物线 y  2 px( p  0) 的焦点为F，AB为焦点弦，A，B两点到
2
抛物线准线的射影分别为A`，B`，求证：A`F  B`F
证明:如图  AA` 准线l , BB` l
 AA`// BB `
 A  B  180
0
y
A` 2
而AF  AA`
1
180  A
 1  2 
2
1800  B
同理, 3 
2
0
1800  A 1800  B
 1  3 

 900
2
2
 A`F  B`F
A
o
B`
3F
B
x
例2、过椭圆 3x 2  4 y 2  6 x  9  0 的左焦点作一椭圆的焦点弦AB，求直线
AB的倾斜角为多大时，以弦AB为直径的圆过椭圆的右焦点。
2
2
(
x

1
)
y
解：椭圆化为

 1, 左焦点为F1 (0,0), 右焦点为F2 (2,0).
4
3
设所求直线y=kx，将y=kx代入椭圆，整理，得 (4k 2  3) x 2  6 x  9  0
   (6) 2  36(4k 2  3)  0 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
6
9
则 x1  x2  2
, (1) x1 x2   2
(2)
4k  3
4k  3
y1
y
 2  1
x1  2 x2  2
即 x1 x2  2( x1  x2 )  4  y1 y2  0 而y1  kx1 , y2  kx2
 F2在AB为直径的圆上,  AF2  BF2 则
9
6
9
2
 2 2
 4  k ( 2
)0
再由（1）、（2），得  2
4k  3
4k  3
4k  3
3 7
3 7
3 7
 直线AB的倾斜角为arctg
或  arctg
7
7
7
导评:本题若先写出AB为直径的圆的方程,再把 F2 坐标代入圆方程,求解过程将
解之, 得k  
比较繁杂.这里运用平面几何知识,选择垂直条件,简化了计算.
2
例3、已知抛物线 y  2 px( p  0) 的两条切线互相垂直,两切点分别为A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )
1
| y1  y2 |2
8p
证明：设M ( x`, y`) 由抛物线切线方程, 得MA的方程为yy1  p( x  x1 ) (1)
这两切线的交点为M点,求证: S MAB 
MB的方程为yy2  p( x  x2 )
(1)
y
x  x1
,得 1 
, 即 x( y1  y2 )  x1 y2  y1 x2 .
(2)
y 2 x  x2
y
(2)
A`
M
A
o
F
y1
y2
y1 y2
y
y
 x1 
,x 
,  x( y1  y2 ) 
( y1  y2 )  x  1 2
B
2p
2p
2p
2p
2
p
p
而y1 y2   p 2 ,  x 
  ,即M点在准线上.
2p
2
y1  y2
y1  y2
p y1  y2

k

,
AB
(1)  (2), 得 y 
. M点坐标为( ,
)
x1  x2
2
2
2
2
2
y1  y2
y1
y2
2p
y1  y2
将x1 
, x2 
代入, 得 k AB 
2
2p
2p
y1  y2 而 k MF  p p 
2p
 
2 2
k AB  kMF  1, 故 MF  AB
2
S MAB 
2
1
| MF |  | AB |
2
x
设AA`垂直准线,A`为垂足，由抛物线性质，知
A`AM  MAF , AA`M  AFM  900 , | AM || AM |
所以三角形AA`M和三角形AMF全等。
y  y2
y y
| MF || MA`|| y1  1
|| 1 2 |
2
2
而 | AB | ( y1  y2 )  ( x1  x2 )
2
2
y
A`
A
2
M
2
y
y
 ( y1  y2 )  ( 1  2 ) 2
2p 2p
2
| y1  y2 |2

2p
1 | y1  y2 | | y1  y2 |2
 S MAB  

2
2
2p
1

| y1  y2 |2
8p
o F
B
x
2
2
例4、求证等轴双曲线x  y  1 的两条互相垂直的焦点弦长度相等。
证明：（1）若一条焦点弦垂直于x轴，则另一条焦点弦必为实轴，不难算出通径
与实轴都为2。

（2）如图，若一条焦点弦倾角为 (0    且  )
2
y
设MN : y  tg ( x  2 ) 代入x 2  y 2  1, 整理, 得
M
(1  tg 2 ) x 2  2 2tg 2  x  (2tg 2  1)  0,
| MN | ( x1  x2 )  ( y1  y2 )
2
T
2
o
S
F2
N
 ( x1  x2 )  [tg ( x1  2 )  tg ( x2  2 )]2
2
2
 (1  tg 2 )( x1  x2 ) 2  sec  [( x1  x2 )  4 x1 x2 ]
 2 2tg 2 2
2tg 2  1  2 sec 
2
 sec [(
)  4
]
2
2
| 1  tg 2 |
1  tg 
1  tg 

2
同样另一条焦点弦倾角为 2  

| cos 2 |
2
2
2
类似可得 | ST |



| cos 2(   ) | |  cos 2 | | cos 2 |
2
| MN || ST |
2
x
例5、椭圆长轴 | A1 A2 | 6, 焦距 | F1 F2 | 4 2 , 过椭圆左焦点 F1 作一条直线交椭圆
F2 F1M   (0     ), 问  取何值时，|MN|等于椭圆短轴的长。
于M、N两点，
解法一：如图，建立直角坐标系，则a  3, c  2 2 , b  1
2
y
x
M
 y2  1
9
设直线MN的方程为 y  k ( x  2 2 ) 代入椭圆方 A1
F1 o F2
程，整理，得 (1  9k 2 ) x 2  36 2k 2 x  72k 2  9  0
N
 椭圆方程为
A2
x
设M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), 则
36 2k 2
72k 2  9
x1  x2  
, x1 x2 
.
2
2
1  9k
1  9k
| MN | ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2
 (1  k 2 )[( 
 (1  k 2 )( x1  x2 ) 2  (1  k 2 )[( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 ]
36 2k 2
72k  9
)

4

]
1  9k 2
1  9k 2
2
2
6(k 2  1)

1  9k 2

5
6(k 2  1)
3
3



或


.
由已知,
 2 k  
, 即 tg  
,
2
6
6
1  9k
3
3
2
x x
18 2k
.
解法二：同解法一，设MN中点为D，xD  1 2  
2
2
1  9k
设M、N、D到左准线的射影分别为M`、N`、D`。
则 | MN || MF1 |  | NF1 |  e(| MM `|  | NN `|)  2e | DD `|
2
a2
2
2
9
18
2
k
 2e | xD  |  2 
|

|
2
c
3 2 2 1  9k
6(1  k 2 )

2
1  9k 2
以下同解法一。
y
M`
D`
N`
解法三：设 | F1M | x 则 | F2 M | 6  x, | F1 F2 | 4 2
M
A1
N
D
F1 o F2
A2
x
在MF1 F2中,由余弦定理, 得(6  x) 2  x 2  (4 2 ) 2  8 2 cos   x
1
x 
3  2 2 cos 
| MN | x  y 
 cos   
同理设 | F1 N | y, 得 y 
6
9  8 cos 2 

1
3  2 2 cos 
6
2
2
9  8 cos 
3

5
,   或 
.
2
6
6
导评：此题1983年高考（理科）试题。解法一是一般解法，有普遍性，但计算
量较大；解法二利用椭圆第二定义，比解法一简化了计算；解法三利用椭圆第
一定义结合三角知识，计算量进一步减少，有一定的启发性。
二、圆锥曲线一般弦的问题
Ax2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 的弦, M ( x0 , y0 ) 为弦AB的中点,
设AB为圆锥曲线C：
2 Ax0  D
若弦的斜率k存在，则 k  
, 若圆锥曲线C的一组平等弦的斜率为k，
2Cy0  E
则这些平等弦的中点轨迹方程为 2Ax+2Cky+D+Ek=0.
1 k 2
.
设|AB|=l，令 f ( x, y)  Ax  Cy  Dx  Ey  F , 则l  4 f ( x0 , y0 )
A  Ck 2
2
例6、已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于
P, Q且OP  OQ , | PQ |
10
, 求该椭圆的方程。
2
解 : 设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )
则以线段PQ为直径的圆的方程为 ( x  x1 )( x  x2 )  ( y  y1 )( y  y2 )  0
x2 y2
设椭圆方程为 2  2  1. 与y=x+1联立，求得 x1 , x2 , y1 , y2 ,
a
b
2a 2
2b 2
a 2  b 2  2a 2 b 2
2
2
0
代入圆的方程，得 x  y  2 2 x  2 2 y 
2
2
a b
a b
a b
 OP  OQ ,
圆过原点, 则a 2  b 2  2a 2b 2  0 (1)
10
| PQ |
,
2
10
a 4  b4
10
圆的半径为
,则 2 2 2 
(2)
4
(a  b ) 16
a 2  2  2 2

a 
由(1), (2)得 2 2 或
3
b 
 2
3 b  2

x2 y2
x2 y 2
故椭圆方程为 
 1或 
1
2
2
2
2
3
3
导评：此题是1991年高考（文科）数学试题。常规解法是用韦达定理结合垂直，
两点间距离等关系进行比较繁琐的运算求出含有长、短半轴长为未知数的方程
组,而这里利用圆的方程和性质直接得出方程组.
例7、如图，定长为3的线段AB的两端点在抛物线y  x 上移动，线段AB中点
为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时M点的坐标。
解法一：设 A( x1, y1 ) B( x2 , y2 ), | AB | 3
2
则 x1  y1 , x2  y2 ,
2
2
y
(1)
A
32  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
 ( y2  y1 )  ( y2  y1 )
2
2
oF
2
Mx
 ( y2  y1 ) 2 [( y1  y2 ) 2  1]
(2)
线段AB中点M(x,y)到y轴距离为
x x
y  y2
x 1 2  1
2
2
2
2
1
 [( y1  y2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  1  1]
4
B
1
 {2 ( y1  y2 ) 2 [( y  y ) 2  1]  1}
4
且当 ( y1  y2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  1  3
1
5
x

(
2

3

1
)

由（2），
4
4
5
(3) x取最小值 x0  .
4
 y1  y2  3
5
 x可取得最小值
由
可解得y1 , y2 , 又由(1)可解得x1 , x2 ,
4
 y1  y2   2
5 2
5
2
y1  y2
2

M
点坐标为
(
,
)
或
(
,

)
相应M点纵坐标 y0 

4 2
4
2
2
2
1
1
解法二、抛物线 y 2  x 的焦点为 F ( ,0) ，准线方程为 x   , 设A、B、M到准
4
4
线的射影为C、E、D。
 | AC || AF |, | BD || BF |,
C
1
1
1
3
| ME | (| BD |  | AC |)  (| AF |  | BF |)  | AB |
2
2
2
2
xM | MN | | ME |  | EN |  3  1  5
2 4 4
E
D
当且仅当AB过焦点F时，|MN|最小，因而x最小值可达到。
x A  xB y A  y B
( y A  yB ) 2  2 y A yB 5
 xM 



2
2
2
4
2
A
oF
设线段ME交y轴于N，则
2
y
N
Mx
B
1
而 y A yB   p 2   ,
4
代入上式, 得 ( y A  yB ) 2  2
 yM 
y A  yB
2

2
2
5 2
5
2
 M点坐标为 ( ,
) 或 ( ,
)
4 2
4
2
y
C
A
oF
E
D
N
Mx
B
导评：此题是1987年高考（理科）数学试题。解法一利用平均值定理，不易
想到且计算量较大；解法二利用抛物线定义，计算量比较小，值得推广。