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必修2——第四章 圆与方程 复习
1.课前练习
请认真思考，然后回答：
1、圆的方程有哪几种？各自有什么特点？
2、点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系？如何判断？
3、如何用坐标法解决平面几何问题？
4、怎样在平面直角坐标系的基础上建立空间直角坐标系？
平面直角坐标系与空间直角坐标系中的两点间的距离公式有何异同？
2.新课讲授
例1、设直线
与圆
相交于P、Q 两点，O为坐标原点，若
解： 圆
过原点，并且
，
∴ PQ是圆的直径，圆心的坐标为
又
在直线
∴
上，
，解得
.
，求
的值.
2.新课讲授
2
（1997上海）设圆x +y 2 －4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），
例2、
则直线AB的方程是 .
解法一：已知圆的方程为（x－2）2+y2=9，可知圆心C的坐标是（2，0），
又知AB弦的中点是P（3，1），所以kCP=
=1，而AB⊥CP，
所以k AB =－1. 故直线AB的方程是x+y－4=0.
解法二：设所求直线方程为y－1=k（x－3）. 代入圆的方程，得关于x的
二次方程：（1+k2）x2－（6k2－2k+4）x+9k2－6k－4=0，
由韦达定理：x1+x2=
=6，解得k=－1.
2.新课讲授
2
（1997上海）设圆x +y 2 －4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），
例2、
则直线AB的方程是 .
解法三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A（x1，y1）、
B（x2，y2），则有
， 两式相减，得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0.
又AB的中点坐标为（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2.
∴
=－1，即AB的斜率为－1，故所求方程为x+y－4=0.
2.新课讲授
例3、长 为的线段AB的两端点A和B，分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中
点的轨迹方程.
解：设线段AB的中点坐标为
由
，则 点
，
.
，得
.所以，所求轨迹方程为
.
点评：此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路，先设动点的坐标，再写出题目所满足的几何条件，
然后由所写条件式列出方程，最后化简即得所求轨迹方程.
2.新课讲授
例3、长 为的线段AB的两端点A和B，分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中
点的轨迹方程.
另解：∵
，M是AB中点，x轴⊥y轴， ∴
即线段AB中点M的轨迹是以原点O为圆心 ，
为半径的圆.
∴ 所求轨迹方程为
.
点评：由已知条件分析得出动点的轨迹，再由轨迹写出方程，这种解法类似于数形结合思想，
关键找出图形的重要特征.
2.新课讲授
2
2
例4、 已知圆C：（x－1）＋（y－2）＝25，
直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
解：（1）证明：l的方程可化为（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
，得
∵m∈R，∴
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝
＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）弦长最小时，l⊥AC，由k
AC
＝－
∴l的方程为2x－y－5=0.
点评：本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想.
解题关键是
抓住图形的几何性质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，达
到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.
课堂练习
课本复习参考题A组 2、4、6、8
归纳总结
本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习
中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综
合问题、相交及求交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。
课后作业
课本复习参考题B组 2、3、5、6