Transcript 幻灯片1

圆的方程
掌握圆的标准方程和一般方程.
[理 要 点]
一、圆的定义及方程
定义
平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的集合 限定
条件
(轨迹)
标准
方程
一般
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心：( a，b )，半径
r
x2＋y2＋Dx＋
Ey＋F＝0
r>0
D2＋
D
E
圆心：( － ，－ )，
2
2
E2
半径：1 D2＋E2－4F
2
－>0
二、点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，
若点M(x0，y0)在圆上，则
2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r
；若点
2＋(y －b)2>r2
(x
－a)
0
M(x0，y0)在圆外，则 0
；若点M(x0，
2＋(y －b)2<r2
(x
－a)
0
0
y0)在圆内，则
.
[究 疑 点]
1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？
若D2＋E2－4F＝0，方程表示什么图形？
提示：充要条件是D2＋E2－4F>0，若D2＋E2－4F＝0表
D
E
示点(－ ，－ )．
2
2
2．试探究方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的
充要条件．
A＝C≠0

提示：B＝0
D2＋E2－4AF>0

[题组自测]
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为
(
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：(x，y)点关于(0,0)对称点(－x，－y)，则得
(－x＋2)2＋(－y)2＝5，∴(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
)
2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心
在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为
(
)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：由题知，两切线间的距离即为圆C的直径，所以
1 |4|
半径r＝ × ＝ 2 ，又两切线分别与直线x＋y＝0的交
2
2
点为切点，可得两切点分别为(0,0)，(2，－2)，故圆心
为C(1，－1)，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案： C
3．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，
－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
解析：圆心是AB的垂直平分线和2x－y－7＝0的交
点，则圆心为E(2，－3)，r＝|EA|＝ 4＋1＝ 5，
则圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2＝5.
答案： (x－2)2＋(y＋3)2＝5
4． (2010·山东高考)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的
正半轴上，直线 l：y＝x－1 被该圆所截得的弦长为
2 2，则圆 C 的标准方程为________．
解析：设圆心为(a,0)，a>0 则圆心到直线 x－y－1＝0 的距离
|a－1|
为 d＝
.
2
因为圆截直线所得的弦长为 2 2，根据半弦、半径、弦心距
|a－1| 2
之间的关系有(
) ＋2＝(a－1)2，即(a－1)2＝4，所以 a＝
2
3 或 a＝－1(舍去)，则半径 r＝3－1＝2，圆心为(3,0)．所以
圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
答案： (x－3)2＋y2＝4
[归纳领悟]
圆的方程求法：
1．选择方程的原则：
(1)若条件与半径、圆心坐标有关，选标准式．
(2)若条件与半径、圆心坐标无关选一般式．
2．求法：待定系数法．
(1)利用标准式求a，b，r.
(2)利用一般式求D，E，F.
3．注意适时运用几何知识，利用图形的直观性来分析，
从而减少计算量.
[题组自测]
1．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的距
离的最大值与最小值的差是
A．36
B．18
C．6 2
D．5 2
(
)
解析：圆半径为3 2 ，圆心坐标为(2,2)，它到直线x＋y
|2＋2－14|
－14＝0的距离为
＝5 2 >3 2 ，直线与圆相
2
离，则圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－
14＝0的距离的最大值与最小值的差即为圆的直径6 2.
答案： C
y
的最值．
2．若实数 x，y 满足方程 x ＋y －4x＋1＝0，求
x＋1
y－0
y
解：∵
＝
，
x＋1 x－－1
2
2
y
∴
表示过点 P(－1,0)与圆
x＋1
(x－2)2＋y2＝3 上的点(x，y)的
直线的斜率．
y
由图象知
的最大值和最小值分
x＋1
别是过 P 与圆相切的直线 PA、PB 的斜率．
|CA|
3
2
又∵kPA＝
＝ ＝ ，
|PA|
6 2
|CB|
3
2
kPB＝－
＝－ ＝－ .
|PB|
2
6
y
2
2
即
的最大值为 ，最小值为－ .
2
2
x＋1
3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，
则切线长的最小值为
(
A．1
B．2 2
C. 7
D．3
)
解析：如图所示，设直线上一点P，
切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切
线长，MQ为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝ |PM|2－|MQ|2
＝ |PM|2－1，
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y
＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x
＋1的距离为d，
|3－0＋1|
则d＝ 2
2＝2 2，
1 ＋－1
∴|PM|的最小值为2 2，
∴|PQ|＝ |PM|2－1≥ 2 22－1＝ 7.
答案：C
在本题中试求过圆上点且与直线y＝x＋1距离最小时
的直线方程．
解：设所求直线方程为y＝x＋m，此时与圆相切，
|3＋m|
由d＝r知
＝1，∴m＝ 2－3或－ 2－3(舍去)
2
∴y＝x＋2－ 3.
[归纳领悟]
1．研究与圆有关的最值问题时可借助图形的性质数形结
合求解．
y－b
2．形如Z＝
的形式的最值问题可转化为动直线斜率
x－a
的最值问题．
3．形如Z＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动
点到定点距离的平方的最值问题．
[题组自测]
1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方
程是
(
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
)
解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x 20 ＋y 20 ＝
4，连线中点坐标为(x，y)，
2x＝x ＋4，
0

则
2y＝y0－2
x ＝2x－4，
0

⇒
y0＝2y＋2
，
代入x20＋y20＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
2．(2011·长沙模拟)若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋
y2＝1关于直线y＝x－1对称，动圆P与圆C相外切且与直
线x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是
(
A．y2＋6x－2y＋2＝0
B．y2－2x＋2y＝0
C．y2－6x＋2y－2＝0
D．y2－2x＋2y－2＝0
)
a
解析：圆 C 的圆心为 C(2，－1)．半
|a|
径为 2 ，依题意，C 与原点关
于直线 y＝x－1 对称，
－1
∴ a ＝－1，解得 a＝2，
2
设动圆 P 的圆心坐标为(x，y)，由动圆 P 与直线 x＝－1
相切得，圆 P 的半径为 x＋1，由动圆 P 与 C 外切得 x＋1
＋1＝ (x－1)2＋(y＋1)2，化简得 y2－6x＋2y－2＝0.
答案：C
3．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、
ON为两边作平行四边形MONP，O为坐标原点，求点P
的轨迹方程．
解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
x y
则线段OP的中点坐标为( ， )，线段
2 2
x0－3 y0＋4
MN的中点坐标为(
，
)．
2
2
因为平行四边形的对角线互相平分，
x ＝x＋3，
x x0－3 y y0＋4
0

故 ＝
， ＝
，从而
2
2
2
2
y0＝y－4.
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求P点的轨迹方程为：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但
9 12
21 28
应除去两点：(－ ， )和(－ ， )(点P在OM所在的
5 5
5
5
直线上时的情况)．
[归纳领悟]
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以
下做法：
1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
2．定义法：根据圆、直线等定义列方程．
3．几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
4．代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点
满足的关系式等．
此外还有交轨法、参数法等．不论哪种方法，充分利用圆
与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键．
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看，求圆的方程或已知圆的方
程求圆心坐标、半径是高考的热点，各种题型都有，客观
题突出了“小而巧”的特点．
预测2012年高考结合直线方程，用待定系数法求圆的
方程仍是考查的重点．同时注意方程思想和数形结合思想
的运用．
二、考题诊断
1．(2010·福建高考)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐
标原点的圆的方程为
(
A．x2＋y2＋2x＝0
B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0
D．x2＋y2－2x＝0
解析： ∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴满足题意的
圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0.
答案： D
)
2．(2010·上海高考)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到
直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析：∵x2＋y2－2x－4y＋4＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝1.
|3×1＋4×2＋4|
圆心(1,2)到3x＋4y＋4＝0的距离为d＝
＝3.
2
2
3 ＋4
答案： 3
3．(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与
x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C
的方程为____________．
解析：根据题意可知圆心坐标是(－1,0)，圆的半径等于
|－1＋0＋3|
＝ 2，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋y2＝2.
2
答案：(x＋1)2＋y2＝2
4．(2010·新课标全国卷)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0
相切的圆的方程为________．
解析：由题意可知，原点到直线x＋y－2＝0的距离为
|0＋0－2|
圆的半径，即r＝
＝ 2 ，所以圆的方程为x2＋
2
y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测”