Transcript 易错举例

数与代数的三基分析
与易错分析
长兴古城中学 李野
2011年3月31
数与式
数
与
代
数
方程不等式
函数及其图像
第一板块：数与式
实数
数与式
代数式
实数
基础知识：
（1）有理数及其相关概念。
（2）乘方的概念。
（3）平方根、算术平方根与立方根的概念。
1
例：（中考题）－
的倒数是（ ）
2
1
A． 2
B．2
C．-2
D．1
实数
基本技能：
（1）能用数轴上的点表示数。
（2）会比较实数的大小。
（3）会进行实数的运算。
（4）无理数的估计。
（5）会求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
（6）会用二次根式运算法则进行实数的简单四则运算
（不要求分母有理化）。
例： （中考题）估算
A.5和6之间
19  2 的值是在（
B.6和7之间 C.7和8之间
例： （中考题）4
A．2
的算术平方根是（
B．-2
C．±2
）
D.8和9之间
）
D．16
实数
基本思想方法：
（1）整体思想。
（2）分类讨论。
例：（中考题）当x>2时，化简
( x  2)
2
=________
例：（中考题）若|a|=-a，则a____0。
易错举例
易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误
,相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。
易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质
,灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复
杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律
，从而使运算出现错误。
（－1）2009
错例：计算：
+ 3（tan 60）－1－︱1－
3 ︱+（3.14－）0
．
易错点3：平方根与算术平方根的区别，立方根的意义。
错例： 81 的算术平方根是
（ ）
A.－9
B. 3
C. ±3
D.±9
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代数式
基础知识
（1）代数式的概念。
（2）单项式、多项式、整式、分式的意义。
（3）科学计数法。
（4）平方差公式和完全平方公式。
x3
例：（中考题）使代数式
有意义的x的
x4
取值范围是
。
代数式
基本技能：
（1）会列代数式表示简单的数量关系。
（2）会求代数式的值。
（3）会进行简单的整式的运算。
（4）会推导平方差公式和完全平方公式，并能
用它们进行计算。
（5）会用提公因式法和公式法进行因式分解。
（6）会利用分式的基本性质进行通分和约分。
（7）会进行简单的分式加、减、乘、除运算。
代数式
例:（中考题）1.分解因式：a  2a  a =________。
x 1
例: （中考题）2.当x________时，分式 x 有意义。
例: （中考题）3. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
3
2
1
x y
2x  y
2
A．

1
x  y x  2y
2
B．0.2a  b  2a  b
x 1
x 1

C．
x y x y
ab
a b

D．
a b
ab
a  0.2b
a  2b
代数式
基本思想方法：
（1）整体思想。
（2）分类讨论。
（3）数形结合。
（4）化归思想。
例:（中考题）1.若x-y=3，则2x-2y=_________
例:（中考题）2.将图甲中阴影部分的小长方形变换
到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到
的数学公式是___________．
a+b
a－b
a-b
a
甲
b
b
乙
易错举例
易错点1：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。
x2 1
错例：分式
值为零的条件是
（
）
x 1
A.x≠－1
B.x = 1
C.x = －1
D.x = ±1
A
解析：如果分式 B 的值为零，那么 A  0且B  0 。所
以得x = 1 学生易忽略分母不能为零的条件而错选D
易错点2：分式运算时运算法则和符号的变化出错。
错例：先化简，再求值：1  x
1 x
其中x=tan60°．
2x 

x 

1 x 

，
解析：本题考查了因式分解的方法和分式的四则运算，严格按
照法则和方法进行运算是解题的关键，所以一定要熟练掌握
方法和法则，区分清楚易混点。另外要细心，注意符号的确
定，不要随意的变动正负号。
B
易错点3：规律探索型
D1
D2
D3
D4
A
C
E1
E2
E3
错例：如图，已知 Rt△ ABC ， D1 是斜边 AB 的中点，
过 D1 作 D1E1 ⊥ AC 于 E1 ，连结 BE1 交 CD1 于 D2 ；
过 D2 作 D2 E2 ⊥ AC 于 E2 ，连结 BE2 交 CD1 于 D3 ；
过 D3 作 D3 E3 ⊥ AC 于 E3 ，…，如此继续，可以
依次得到点 D4，D5 ，…， Dn ，分别记 △BD1E1，
…
△BD2 E2，
△BD3 E3，
△BDn En 的面积为 S1，S2，S3 ，… Sn .则 Sn =________ S△ABC （用含 n 的代数
第二板块：方程与不等式
一元一次方程
一元二次方程
方程与不等式
二元一次方程组
一元一次不等式
一元一次不等式组
方程与不等式
基础知识：
(1) 方程、方程的解和解方程的概念。
(2) 方程组、方程组的解和解方程组的概念。
(3) 不等式及不等式的解的概念。
(4) 不等式组及不等式组的解的概念。
（中考题）方程 x(x－1)=0的根是 （ ）
A. 0
B. 1
C. 0，－1
D. 0，1
方程与不等式
基本技能：
1. 会解一元一次方程。
2. 会解一元二次方程。
3. 会根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
4. 会解简单的二元一次方程组。
5. 掌握不等式的基本性质。
6. 会解不等式（组），并用数轴表示解集。
7. 运用方程（组）或不等式（组）解决实际问题。
1
2

例：（中考题）1. 分式方程 x x  1的解是x=_________。
x 1  0
例：（中考题）2.不等式组 
x  3  0
A、x>1
B、x<3
C、1<x<3
的解集是（
D、无解
）
方程与不等式
例：（中考题）3. 为了支援四川人民抗震救
灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾
区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．
①按此计划，该公司平均每天应生产帐篷
顶；
②生产2天后，公司又从其它部门抽调了50
名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革
新等手段使每位工人的工作效率比原计划
提高了，结果提前2天完成了生产任务．求
该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
方程与不等式
y
基本思想方法：
（1）转化思想。
（2）数形结合。
例：（中考题）已知一次函数y=kx+b（k、b是
常数，且k≠0），x与y的部分对应值如图所
示，那么不等式kx+b<0的解集是（ ）
A.x<0 B.x>0
C.x<1
D.x>1
O
1
x
易错举例
易错点1：漏乘（去分母漏乘和去括号漏乘）
易错点2：不等式两边同时除以负数时，容易忘
记变号导致结果出错。
易错点3：移项不变号
易错点4：关于一元一次不等式组解的确定。
易错点5：解分式方程时易忘记检验，导致运算
结果出错。
易错点6：关于一元二次方程的取值范围的题目
易忽视二次项系数不为零导致出错。
错例：已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2 k x  1  0
有实数根，则k的取值范围是________
解析：此题有两处易错，一是：忽视二次项
2
系数1-2k≠0，二是：有实数根是 b  4ac≥0，
2
而不是 b  4ac ＞ 0。
第三板块：函数及其图像
一次函数
（正比例函数）
函
数
及
其
图
像
反比例函数
函数及其图像
基础知识：
(1)常量与变量的概念。
(2)函数的三种表示方法。
(3)一次函数、正比例函数的概念。
(4)反比例函数的概念。
(5)二次函数的概念。
函数及其图像
基本技能：
(1)能确定简单的实际问题中自变量的取值范围。
(2)会求函数值。
(3)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变
量之间的关系 。
(4)会用待定系数法求函数的解析式。
(5)会画函数的图像。
(6)能用函数解决实际问题。
(7)会用图像求方程（组）的解。
函数及其图像
例：（中考题）1.如图：三个正比例函数的图像分别
对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、
c的大小关系是（ ）
A、a＞b＞c
B、c＞b＞a
C、b＞a＞c
D、b＞c＞a
k
例：（中考题）2.已知反比例函数 y 
的图象
x
经过点(1,2)，则函数y=-kx可确定为（
）
1
y x
A．y  2 x B．
2
1
C．y  x
2
D．y
 2x
函数及其图像
y
E
A
B
基本思想方法：
(1)数形结合。
D
(2)转化与化归。
O F
C x
(3)分类讨论。
例：（中考题）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的
正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3
，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺
时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正
半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当
CF为何值时S最小，并求出这个最小值．
易错举例
易错点1：函数自变量的取值范围考虑不周全。
易错点2：在反比例函数图象上求三角形面积，面积
不变成惯性。
错例：如图，在直角坐标系中，点A是X轴正半轴上
的一个定点，点B是双曲线
3
y 
（X>0）上的一个动点，当点的横
x
坐标逐渐增大时，y的面积将会 （ ）
A.逐渐增大 B.不变
C.逐渐减小 D.先增大后减小
y
易错举例
易错点3：二次函数顶点坐标的表示。
2
y

a
(
x

m
)
 n 的顶点坐标是（
错例：抛物线
）
A.(m,n)
B.(-m,n)
C.(m,-n) D.(-m,-n)
2
解析：二次函数 y  a( x  h)  k 的顶点坐标是
（h,k）∴可能误选A答案。
易错点4：比较函数值大小问题考虑不周。
易错举例
易错点5：二次函数实际应用时，y取得最值时，自
变量x不在其范围内。
错例：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元
，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上
涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65
元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每
个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范
围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得
最大利润？最大的月利润是多少元？
解析：此题属于二次函数实际应用题，（2）问中自
变量X一定要是整数。
思考与反思
1.重视学生的反思环节，形成良好而牢固的知识结构
是减少出错的关键
学生在对这类基础题出错归因中，绝大部分认
为是粗心所致。而粗心的背后有各种不同原因，有
的是知识的负迁移，有的是知识点不熟练，有的是
平时解题不规范，有的是审题不严密，有的是心理
问题，有的是书写问题等等。其实究其原因，关键
是自身的知识结构出现问题，所以应经常性地反思
错误，准备一个“病例卡”，对一些易错、易忘、
易犯的问题随时记录，根据具体情况，查漏补缺，
做到知识归类、方法提升，好习惯形成。在形成知
识结构的基础上加深记忆，对经常错的知识点要进
行归类，并加强这方面的强化练习，逐步提高数学
素养，构建学生良好的知识体系。
2.培养学生良好的学习习惯，形成细致而严密的思
维是防止出错的基础
在前面的出错归因中，很多是因为学生考虑
问题不周。这些学生为了节省时间，拿到试卷后
前后浏览一遍，认为一目了然，结果考虑不周，
易混淆的知识点不用说，连本来会做的题目也做
错，追悔莫及。我们知道，数学概念是最精炼、
最严密的。概念教学中，要真正做到字斟句琢，
充分理解每一个字、每一句话的深刻含义。这不
仅可以帮助学生正确理解和掌握书中的基础知识
，还可以从概念的字里行间挖掘出丰富的内容，
从中提炼出数学思想和方法，更重要的是有助于
培养学生的阅读能力、文字表达能力和自主学习
的能力也可以避免审题不细导致失分。
3.培养学生良好的思维品质，自觉抵制思维定势是避
免学生出错的有力保证
思维定式是命题人有意考查学生的另一方面，
也是学生出错的重灾区。因此，在夯实基础的前提
下，教学中要善于将学生从思维定势中解脱出来，
养成多角度、多侧面分析问题的习惯，以培养思维
的广阔性、缜密性和创新性。对于教材中所列举的
例题、习题，不能就题做题，要以题论法，以题为
载体，阐述试题的条件加强、条件弱化、结论开放
、变换结论、与其他试题的联系与区别，其中蕴含
的数学思想方法等，将试题的知识价值、教育价值
一一解剖，达到做一题、会一片，懂一法、长一智
。在中考中，对学生思想方法的考察永远占有非常
重要的地位和作用，而这些数学思想、数学方法，
无一遗漏地在教材的习题中有所体现，因此，能否
深刻体会并领悟这些思想方法，是衡量一个学生数
学素养的重要方面，从思想方法上提炼升华，达到
事半功倍的效果。
祝各位专家和同仁
工作顺利
身体健康！
2011年3月31日