Transcript 印度与阿拉伯数学[1]

代数学
印度与阿拉伯数学
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城
市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”
或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗
毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更
多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后
改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，
形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人
入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷
文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉
檀多时期(5世纪一12世纪)．
4.1.1古代《绳法经》
印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混
杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文
veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫
术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后
来记录在棕榈叶或树皮上．
这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳
的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公
元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问
题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2
的近似值。
耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分
构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。
4.1.2“巴克沙利手稿”
关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也
很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利
(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓
“巴克沙利手稿”．
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与
利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括
一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使
用了一些数学符号 :
（1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜
廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的
数“0”．瓜廖尔数系为：
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发
明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概
念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，
可以与其他数一起运算．
印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人
传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契
《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码
和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的
进步中扮演了重要的角色．
4.1.3
“悉檀多时期的印度数学”
悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为
“宗”，或“体 系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数
学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利
耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，
598—665) 、 马 哈 维 拉 (Mahavira ， 9 世 纪 ) 和 婆 什 迦 罗
(BhaskaraⅡ，1114一约1185)等．
（一）阿耶波多
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他
只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最
突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)，成为
1
今天的习惯，同时他以半径的 3438 作为度量弧的单位，实际是
弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为3º45’的正弦
差值表．
阿耶波多最大贡献是建立了丢
番图方程求解的所谓“库塔
卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，
采用辗转相除法的演算程序，接近
于连分数算法．
(二)婆罗摩笈多
婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和
《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成
就十分可贵．
●比较完整地叙述了零的运算法则
●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表
●获得了边长为 a, b, c, d 的四边形的面积公式（有误）：
S  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d )
[ p  (a  b  c  d ] / 2]
实际上这一公式只 适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意
识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有
一边为零的四边形，得到了海伦公式。
(三)马哈维拉
7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁
荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，
那么9世纪以后发生了改变．
耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(The Ganita-SāraSangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1)
算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5)
三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程
计算，(9)测影计算．
●给出了一般性的组合数 C nk 公式
●给出椭圆周长近似公式：
C  24b 2  16a 2 .
(四)婆什迦罗
婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，
长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最
高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著
作有《天球》和《天文系统之冠》．
《莉拉沃蒂》共有13章：第1章给出算学中的名词术语；第
2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开
平方、立方、开立方等；第3章论各种计算法则和技巧；第4章
关于利率等方面的应用题；第5 章数列计算问题，主要是等差数
列和等比数列；第6章关于平面图形的度量计算；第7至10章关
于立体几何的度量计算；第11章为测量问题；第12章是代数问
题，包括不定方程；第13章是一些组合问题．
●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式
●能够认识并广泛使用无理数
4.2 阿拉伯数学
“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8—15世
纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、
波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作．
在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国
的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨
大贡献．
他们掀起了著名的翻译运动：在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩
笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿
拉伯文；8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》
和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文；9
世纪最著名翻译家伊本·科拉(Tabit ibn Qorra，836—901)翻译
了欧几里得、阿波罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等
人的著作；到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。
4.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米
(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数
学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820
年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉
伯语“al-jabr”，意为还原移项；“wa’l-muqabala”即对消之意．传
入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了
今天的英文“algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为
《代数学》．
书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了
一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同
类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数
学开拓了道路．
《代数学》约1140年被英国人罗伯特(Robert of Chester)译成拉
丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪
意大利代数方程求解方面的突破.
《代数学》分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题．
2
ax
▲第1章讨论“平方等于根”的方程，即  bx
型方程；
2
ax
▲第2章讨论“平方等于数”的方程，即  b
型方程；
ax  b
▲第3章讨论“根等于数”的方程，即一次方程
；
▲第4、5、6章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三
种类型的二次方程：
x 2  px  q, x 2  q  px, x 2  px  q
都给出了相应的求根公式．
花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与
“对消”(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类
型方程．由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的
算术方式，具有明显的代数特征 。
花拉子米的另一本书《印度计算法》(Algoritmi de numero
indorum)也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍
了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法．
正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来，
更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，所以欧
洲一直称这种数码为阿拉伯数码．
该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，其中
Algoritmi是花拉子米的拉丁译名，现代术语“算法”(Algorithm)
即源于此．
（三）奥马·海亚姆与三次方程
波斯人奥马·海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世
纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题
的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算
法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方
程．
奥马·海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数
为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几
何解法。
3
3
2
2
例如解 x  ax  b ，首先将其化为 x  c x  c d (这
2
2
里 c  a, c d  b ， 按照希腊人的数学传统，a, b 是线段，c 2 正
方形，c 2 d 为长方体)。
3
2
2
方程 x  c x  c d 的解就是抛物线
2
圆 y  x(d  x) 交点横坐标x．
x 2  cy 与半
他首先画出正焦弦为c的抛物线，再画出直径为d的半圆
过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解．这一创造，
使代数与几何的联系更加密切．
4.2.2阿拉伯的三角学与几何学
由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三
角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历
表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》
(Sphaerica)等古典著作．
对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿
尔·巴塔尼(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对
欧洲影响最大的天文学家．其《天文论著》(又名《星的科学》)
被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开
普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果．
在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、
余弦、正切、余切．他称正弦为ji va，拉丁语译作sinus，后来
演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为
umbrarecta，意即直阴影．后来演变拉丁语分别为tangent和
cotangent，首见于丹麦数学家芬克(1561—1656)的《圆的几何》
(1583)一书中．
而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abu'lWafa，940—997?)最先引入的．
艾布·瓦法和比鲁尼等人进一步丰富了三角学公式．艾布·
瓦法曾在巴格达天文台工作，其重要的天文学著作《天文学大
全》继承并发展了托勒玫的《大汇编》。其中除一些精细的三
角函数表外，还证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式
等价的关于弦的一些定理，证明了平面和球面三角形的正弦定
理．
比鲁尼曾经得到马蒙(Ma'mun)哈里发的支持，在乌尔根奇建
造天文台并从事天文观测，是一位有146多部著作的多产学者，
其《马苏德规律》一书，在三角学方面有一些创造性的工作．他
给出一种测量地球半径的方法。
比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式
和半角公式，后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sinl’的
值．
如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么
这种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变．
他的天文学著作《伊儿汗天文表》(1271)是历法史上的重
要著作，其中测算出岁差51〞／每年，其《天文宝库》则对托
勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型。
他的《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学
专著．该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理．讨论
球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角
形的6种边角关系(C为直角)：
cosc  cos a cosb; cosc  cot A cot B;
cos A  cos a sin B; cos A  tanb cot C;
sin b  sin c sin B; sin b  tana cot B.
并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概
念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三边可以求三角，
反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角相区别的一
个重要标志．纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪欧洲三角学
的发展起着非常重要的作用．
与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印
度人一样是算术性的．例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒
2
2
等式 sin   cos   1作代数运算而求解，而不是利用几何关系
来推算，这是一种进步．
与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何
方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但
希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出
思想的火花．最重要的例子是他们在评注《几何原本》的过程中，
对第五公设引起了注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里
(ai-Jawhari，约830)、塔比·伊本，库拉(Thabit ibn Qurra，约826--901)、伊本。海塞姆(Ibn al-Haytham,965—1040?)、奥马，海亚
姆以及纳西尔·丁等人。
阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧
洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生产生了一定的影
响．