Transcript 正负开方术（高效次方程数值求解方法）

第五讲 日照东方——中世纪的东方数学
宋元数学
宋元四大家：秦九韶、李冶、杨辉、
朱世杰
一、秦九韶（1202——1261），字道古，四
川岳安人，安徽等地做官。
 《数书九章》共十八卷，二十多万字
 （一）三角形求积公式与海伦公式等价。
 （二）正负开方术（高次方程数值求解方法）
著作《数书九章》，内容有九类：

正负开方术（高效次方程数值求解方
法）





1、背景
（1）《九章》已能用“开方术”解方程x2+Ax=B
（2）《缉古算经》有形如x3+px2+qx=C的方程的
解法
（3）公元十世纪，刘益在《议古根源》（已失传）
中用“正负开方术”解过如
-5x4+52x3+128x2=4096的方程
2、秦九韶将“增乘开方法”推广到解高次方程的
一般情形：
a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0
主要贡献
 方程系数可正可负（常数项必为负）
 贾宪的“增乘开方法”是将试商由下而
上累乘累加后，将最后结果从常数项中
减去，而秦由于规定了“实常为负”，
最后的累乘累加结果及过程统一为加法，
实现了机械化的随乘随加

秦九韶程序
1、大衍类：关于“大衍求一术”有内容。
（中国剩余定理）
 2、天时类：有关历法推算，降雨、降雪
量的计算等。
 3、田域类：土地面积问题。
 4、测量类：勾股重差问题。
 5、赋役类：“均输”及税收等问题。

6、钱谷类：粮谷转运和仓库容积等问题。
 7、营建类：工程施工问题。
 8、军旅类：营盘布置及军需供应等问题。
 9、市易类：粮谷、布匹的交易及利息计
算等问题。
 其中“大衍求一术”（一次同余式组的解
法）、高次方程的数值解法（正负开方术）
是当时世界上数学的最高成就。

大衍求一术

对同余方程组
 N  R1 (moda1 )
 N  R (moda )

2
2
（ai两两互素）


 N  Rn (moda n )
M
)  pM
 其最小正整数解为：N  ( Ri K i
ai


其中 M  a1a2 an， 设
M
Mi 
ai
K i M i  1(modai )




方法是：
用a i 除 M i ，设 M i n i ai  g i
1、若 g i  1，则 K i  1
2、若 gi  1 ，则用 i ，g i 作辗转相除
设：
a
ai  q1 gi  r1
gi  q2 r1  r2
r1  q3r2  r3
rn1  qn rn1  rn
c1  q1
c2  q2 c1  1
c3  q3c2  c1
cn  qncn1  cn2

当 rn

当
 1，且n为偶数时， k i  cn
rn  1 ，且n为奇数时，再作一次相除
rn1  (rn1 1)rn  1
则 ki  cn1
a  27
例1：g  20 ，
cn1  qn1cn  cn1
例2：
孙子问题
N  2(mod3)
N  3(mod5)
N  2(mod7)
N=2×2×35+3×1×21+2×1×15－105p
=233 －210=23
程大位歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团员正
半月，除百零五便得知

例3：七七数之剩一，八八数之剩一，九九
数之剩三，求此数。
请同学们求解。
二、杨辉（公元三十世纪），字谦光。钱塘人。
 主要著作：
 《详解九章算法》 （12卷，1261年）
 《日用算法》（2卷，1262的年）
 《算法通变本末》（3卷，1274年）
 《田亩比类乘除捷法》（2卷，1275的年）
 《续古摘奇算法》（2卷，1275的年）
 广泛引用古算典籍中的材料，使很多古算得以
保存，如“正负开方术”、“增乘开方法”。

杨辉三角（贾宪三角）：用来表二项展开
式的系数，用于开方。
 帕斯卡三角：比杨辉三角晚4百多年。
 杨辉还记载了多种乘、除捷法，还列出各
种纵横图（幻方），并对其构成规律有所
概括。
 洛河图（《周易》中记）
 教育家：教法上主张精讲多练；

习法上主张循序渐近，熟读精思，
融合贯通。

四阶幻方
6
13
4
11
3
12
5
14
9
2
15
8
16
7
10
1
七阶幻方
175
154
161
168
175
182
189
196
175
28
1
2
3
4
5
6
7
28
77
8
9
10
11
12
13
14
77
126
15
16
17
18
19
20
21
126
175
22
23
24
25
26
27
28
175
224
29
30
31
32
33
34
35
224
273
36
37
38
39
40
41
42
273
322
43
44
45
46
47
48
49
322
175
154
161
168
175
182
189
196
175
三、李冶（1192—1279），原名李治，字仁
卿，号敬斋。
 主要著作：《测圆海镜》（12卷，1248年）

《益古演段》（3卷，1259）
 主要成就：
 天元术（天元表未知数列代数方程）。

天元术（天元表未知数列代数方程）
太
元
太
四、朱世杰



朱世杰（13、14世纪），字汉卿，号松庭
著作：《算学启蒙》（1299）
《四元玉鉴》（1303）关于四元高次联
立方程组排列和求解。
主要成就：
 1、四元术：主要用“消元”解方程组
 西方在朱世杰四百多年后，法国数学家别朱
才有高次联立方程组消去一个元的方法，比
朱世杰的水平相差甚远。
 局限：不可能推广到更多元的方程。

令常数太居中，立天元一于下，地元一于左，
人元一于右，物元一于上
太
2、内插法与招差术

背景：古代天算家由于编制历法而需要
确定日月五星等天体的视运动，当他们
观察出天体运动的不均匀性时，内插法
便应运产生。

刘洪（东汉）《乾象历》一次内插公式计算月行度数
刘焯《皇极历》二次内插公式推算日月五星的经行度
数
僧一行《大衍历》中将其推广到自变量不等间距的情
形
郭守敬、王恂《授时历》三次内插公式
朱世杰获得一般高次内插公式




问题：以立方招兵，初招方面三尽，次招
方面转多一尺，……今招十五日……问招
兵几何？
2!
3!
4!
f (n)  n  n(n  1)2  n(n  1)( n  2)3  n(n  1)( n  2)( n  3)4
1
1
1
Δ=27，Δ2=37，Δ3=24，Δ4=6
 上差
二差 三差
下差

数列 33， 43， 53， 63， 73， 83……
 （a1）27，64，125，216，343，512，……
一阶差分 (Δ a1 )37，61，91，127，169，……
二阶差分 (Δ2 a1 ) 24，30，36，42，……
三阶差分(Δ3 a1 ) 6，6，6，……

2!
3!
4!
f (n)  n  n(n  1)2  n(n  1)( n  2)3  n(n  1)( n  2)( n  3)4
1
1
1
3、垛积术：关于高阶等差级数求和的方法与公式。
指出了三角垛公式与贾宪三角之间的关系以及与招
差术之间的联系。
宋元时期其它数学家：沈括、刘益、贾宪、
郭守敬等。
 沈括（1031—1095）字存中，钱塘人。博
学善文，在天文、方志、律历、音乐、医
药、卜算等方面，“无所不通，皆有所论
著”，史上罕见，《梦溪笔谈》是一部科
学价值极高的著作。
 数学方面主要工作：
 “隙积术”—高阶等差级数求和法
 “会圆术”—与方形有关的一些计算

刘益（11世纪）著有《议古根源》，但已
失传，用“正负开方术”讨论一些方程。
 如7x2=9072，－x2+60x=864等
 贾宪（生平不详，著作失传），用“增乘
开方法”给出方程xn=A(n≥2，A>0)的解。
将刘益的“正负开方术”推广到一般高次
方程的求解的重要一步。
 郭守敬（1231-1316）字若思，顺德刑台人。
元代著名天文家、水利学家及数学家。

明清时期

元制：一官、二吏、三僧、四道、五医、
六工、七猎、八民、九儒、十丐
(4)天元术与四元术
李冶: <测圆海镜>(1248)
朱世杰: <四元玉鉴>(1303)
四元术
x  2 y  z  0
 2
2

x

2
x

xy
 xz  4 y  4 z  0

 2
2
2
x

y

z
0

2 x  2 y  u  0

II.印度
(一)达罗毗荼人时期(3000B.C.-1400B.C.)
(二)吠陀时期(10世纪B.C.-3世纪B.C.)
古代<绳法经>(8世纪B.C.-2世纪B.C.)
巴克沙利手稿(2世纪B.C.-3世纪A.D.)
(三)悉檀多时期(5世纪A.D.-12世纪A.D.)
阿耶波多(约476-550)
婆罗摩笈多(约476-550)
婆什迦罗(约1114-1185)
•瓜廖尔石碑(公元876)与零号
婆什迦罗<丽拉瓦蒂>手稿
III.阿拉伯
762A.D. 阿拔斯王朝迁都巴格达
智慧宫,科学文化中心
翻译运动

花拉子米(约783-850)
<代数学>(还原与对消计算概要)
<花拉子米的印度计数法>(ALGORITMI-算法)
二次方程代数求解, 同类项合并与移项

奥马.海雅姆(约1048-1131)
<代数学>
用圆锥曲线的交点解三次方程
古代学术传播路线图
以碗知僧
巍巍古寺在山中
不知寺内几多僧
三百六十四只碗
恰合用尽不差争
三人共食一碗饭
四人共尝一碗羹
请问先生能算者
都来寺内几多僧
答曰：六百二十四僧，
饭碗二百零八只，
羹碗一百五十
——选自《算法统宗》
僧分馒头
一百馒头一百僧
大和三个更无争
小和三人分一个
大和小和得几丁
答曰：大和尚二十五人，
分得馒头七十五个；
小和尚七十五人，
分得馒头二十五个。
——选自《算法统宗》
盐油相换
一斤半盐换斤油
五万白盐载一舟
斤两内除相易换
须教二色一般筹
答曰：各两万斤。
——选自《算法统宗》
五渠灌水
今有池，五渠注之。其一渠开之，
少半日一满；次，一日一满；次，二日
一满；次，三日一满；次，无日一满。
今皆决之，问几何日满池？
答曰：七十四分日之十五
——选自《九章算术》均输章
三女归宁
张家三女孝顺
东村大女隔三朝
小女南乡路远
何日齐至饮香醪
归家探望勤劳
五日西村女到
依然七日一遭
请问英贤回报
答曰：一百零五日同相会
——选自《算法统宗》
三兵巡营
今有内营七百二十步，中营九百
六十步，外营一千二百步。甲、乙、
丙三人值夜，甲行内营，乙行中营，丙
行外营，俱发南门。甲行九，乙行七，
丙行五。 问各行几何周，俱到南门？
答曰：甲行十二周，乙行七周，丙行四周
——选自《张丘建算经》
草曰：置内营七百二十步于左上， 中营九百六十
步于中，外营一千二百步于下。又各以二百四
十约之，内营得三，中营得四，外营得五。别
置甲行九于右上，乙行七于右中，丙行五于右
下，以求整数。以右位再倍，上得三十六，中
得二十八，下得二十。以左上三除右上三十六
得十二周，以左中四除右中二十八得七周，以
左下五除右下二十得四周，是甲、乙、丙行周
数。
环山相会
今有封山周栈三百二十五里，甲、
乙、丙三人同绕周栈而行，甲日行一百
五十里，乙日行一百二十里，丙日行九
十里。问周向几何日会？
答曰：十日六分日之五
——选自《张丘建算经》
船缸均载
三百六十一只缸
任君分作几船装
不许一船多一只
不许一船少一缸
怎
样
开
平
方
？
答曰：一十九只
——选自《算法统宗》