Transcript 30.方程的根式解

方程的根式解
一元一次和二次方程的解法
关于三次方程的解法
关于四次方程的解
高于四次方程的解
一元一次和二次方程的解法
1.九世纪阿拉伯的花拉米子的著
作阐述了二次方程的解法
2.韦达以文字代替方程系数，引
入了代数的符号演算对代数方
程解的性质进行探讨，是从线
性方程组引出的行列式、矩阵
、线性空间、线性变换等概念
与理论的出现；从代数方程导
致复数、对称函数等概念的引
入以至伽罗华理论与群论的创
立。
3 中国古代数学致力于方程的具
体求解一般致力于探究方程解
的性质
韦达
伽罗华
关于三次方程的解
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般
的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经
》就有叙述。
直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家
卡尔达诺发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
卡尔达诺在《算术实践与个体测量》书中列专题论述了
多种方程的解法，甚至求得一些特殊三次方程的解．
例如：对方程(用现代符号表示)6x3-4x2=34x+24，两边
同时加上6x3+20x2，合并后得：
4x2(3x＋4)=(2x2＋4x＋6)(3x＋4)，
两边同除以3x+4，则由二次方程解得原方程的一个
正根x=3．(按当时的习惯，一般不承认方程有负根，解
出一个正根就认为是解完了方程．)
拉格朗日在1770年发表长篇论文《关于代数方程解的思
考》，发现三次方程有一个辅助方程，其解为原三次方
程的函数并且根的置换下仅取两个值
拉 格朗日
卡尔达诺
卡尔达诺，G．(Cardano，
Girolamo)1501年9月24日生于意大利帕
维亚(Pavia)；1576年9月21日卒于罗马
．数学、医学、物理学、哲学、星占学
．
1545年，他出版的著作《ArsMagra》(大
术)，在代数学上具有相当重要之地位。
书中首次出现使用符号的雏形，例如：
"3. quad . quad . p .29. quad .
p .57 . aqualia36 . pos . p . 74."
这相当于"3X4+29X2+57=36X+74"；他对
三次及四次方程式提出了系统性的解法
，这是一个非常重要的成就。
卡尔达诺
四次方程的解
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出(1522
～1560)解出。
费拉里发现的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数
a，我们有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以
解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x
的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
高于四次方程的解
在中国贾宪实现了从开平方、开立方到四
次以上的开方的认识，而把增乘开方法
推广到数字高次方程(包括系数为负的情
形)解法的是刘益。
《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷
，介绍了原书中22个二次方程和 1个四
次方程，后者是用增乘开方法解三次以
上的高次方程的最早的例子。
到了十三世纪秦九韶在他所著的《数书
九章》的“正负开方术”里，充分研究了
数字高次方程的求正根法，也就是说，
秦九韶那时候已得到了高次方程的一般
解法。
1770年，拉格朗日精心分析了二次、三
次、四次方程根式解的结构之后，提出
了方程的预解式概念，并且还进一步看
出预解式和方程的各个根在排列置换下
的形式不变性有关，这时他认识到求解
一般五次方程的代数方法可能不存在。
他的思想已蕴含着置换群概念，对后来
阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终
解决了高于四次的一般方程为何不能用
代数方法求解的问题。
秦九韶