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從摺紙
談命題探索與實作評量
新北市林口國中 / 數學輔導團
交大AMA團隊 李政憲
[email protected]
103/3/28 於 師大數學系
題綱
• 摺紙命題探索 40min
• 摺紙數學與實作評量 50min
摺紙命題探索
感謝 台北市麗山國中張榮和老師
[email protected]
協助提供相關簡報資料
摺紙與數學
一些基本概念
•摺紋樣式（crease pattern）
•山摺（mountain crease ）
•谷摺（valley crease ）
•山谷標示（MV assignment）
  


   

  
  
 
 
摺紙與數學
摺紙操作的公設化
Huzita 摺紙公設
Huzita-Hatori 摺紙公設
摺紙作圖 vs 直尺與圓規作圖
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設1：給定兩點 p1 與 p2，存在唯
一摺線通過此兩點。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設2：給定兩點 p1 與 p2，存在唯
一的摺線把 p1 摺到 p2 上。
p1
L
p2
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設3：給定兩線 l1 與 l2，存在唯
一的摺線把 l1 摺到 l2 上。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設4：給定點 p1 與線 l1，存在唯
一的摺線垂直於 l1 並通過 p1。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設5：給定兩點 p1 與 p2 以及線 l1，
存在摺線把 p1 摺到 l1 上並通過p2。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設6：給定兩點 p1 與 p2 以及兩線
l1 與 l2，存在摺線把 p1 摺到 l1 上
並把 p2 摺到 l2 上。
摺紙與數學
Huzita-Hatori 摺紙公設
公設7：給定點 p 與兩線 l1 與 l2，
存在垂直於 l2 的摺線且把 p 摺到
l1 上。
p
l2
l1
摺紙與數學
Huzita-Hatori 摺紙公設
公設1～公設6：
日裔義大利人 Humiaki Huzita（藤田文章 ）
1992
公設7：
日本人 Koshiro Hatori（羽鳥公士郎）
美國人 Robert Lang（證明此7條公設構成完
備系統）
摺紙與數學
Hatori 簡化後的摺紙公設
摺紙作圖是由平面上一些直線出發，經
過有限次下列兩種操作所得：
1、對於給定的線找出交點。
2、給定兩點 p1 與 p2 以及兩線 l1 與
l2，存在摺線把 p1 摺到 l1 上並把 p2
摺到 l2 上。（當點 p 落於線 l 上
時，此新摺線垂直於 l 或通過 p ）。
摺紙與數學
歐幾里得尺規作圖
1、作圖只能使用圓規（畫圓弧用）和沒有刻
度的直尺（畫直線段用）。
2、作圖須在有限次的步驟內完成。（不接受
無限次或無限延伸的想法。 ）
古希臘三大作圖難題
1、三等分任意角
2、化圓為方
3、倍立方
摺紙與數學
直尺與圓規作圖
直尺與圓規作圖是由平面上一些點出
發，經過有限次下列三種操作所得：
1、給定兩點 p1 與 p2，畫一線通過 p1
與 p2。
2、給定點 o 與線段 p1p2，畫一圓其圓
心為 o 而半徑為線段 p1p2 的長。
3、給定一些線與圓，找出各個交點。
摺紙與數學
摺紙作圖 vs 直尺與圓規作圖
摺紙作圖公設的前5條，等價於直尺與
圓規作圖。從代數的眼光來看，就是
僅足以解二次方程。
摺紙作圖公設的第6條，相當於可解三
次方程。所以用摺紙能作出直尺與圓
規無法作出的圖形。譬如：三等分一
角。第7條則使整個摺紙作圖公設完
備。
摺紙與數學
三等分角問題
1970年代阿部恆（Hisashi Abe）三等分銳角摺法。
摺紙與數學
摺紙與數學
倍立方問題
1986年Peter Messer的解法
摺紙 VS 尺規
從101年基測題談起
延伸思考：
1.可以再問什麼？
2.紙張長寬約為多少？
3.如何摺出60度？
摺紙 VS 體積
延伸思考：
1.長方形也適用嗎？
2.C到△AEF的距離？
3.四個三角形面積關係？
C1
延伸思考：
1.影印紙長寬比例設計原因？
2.黃金矩形摺紙？
3.生活上是否有其他比例的摺紙？
T1
延伸思考：
為何是重疊部份面積的最大值？
T11
矩形內摺2
延伸思考：
如何摺出畢氏數列？
矩形內摺6
大陸2005蘇州中考試題
• 如圖1，平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐
標原點，點A坐標為(10,0)，點C坐標為(0,6)。D是BC邊上的
動點（與點B、C不重合），現將△COD沿OD翻折，得到
△FOD；再在邊AB上選取隨當的點E，將△BDE沿DE翻折，
得到△GDE，並使直線DG、DF重合。
11
11
10
10
9
9
8
8
7
C
6
7
B
D
C
5
5
4
4
F
3
1
O
-2
G
2
4
6
-1
-2
3
E
2
-6
10
-4
1
O
12
-2
14
-2
A
F
16
2
18
4
20
-1
圖1
E
G
2
A
8
B
D
6
圖2
6
22
8
24
10
26
12
14
16
大陸2005蘇州中考試題
• 如圖2，若翻摺後點F落在OA邊上，求直線DE的函數關係式；
• y=-x+12
• 設D（a,6),E(10,b)，求b關於a的函數關係，並求b的最大值；
1
6
5
3
11
• b= 𝑎2 − 𝑎 + 6，b的最大值為 6
1
• 一般地，請你猜想直線DE與拋物線y=- 𝑥 2 + 𝑏的公共點的
24
個數，在圖2的情形中通過計算驗證你的猜想，如果直線DE
與拋物線始終有公共點，請在圖1中作出這樣的公共點。
11
11
10
10
9
9
8
8
7
C
6
7
B
D
C
5
5
4
4
F
3
1
O
-2
G
2
4
6
-1
-2
3
E
2
-6
10
-4
1
O
12
-2
14
-2
A
F
16
2
18
4
20
-1
圖1
E
G
2
A
8
B
D
6
圖2
6
22
8
24
10
26
12
14
16
摺紙數學與實作評量
台北市建國中學學科中心
103/1/16
「從動手摺紙談實作評量」研習課程
修正部份簡報內容
摺紙中學數學
摺出乘法公式
摺出勾股定理
摺出勾股數
摺出無理數
摺出等份點
摺出有理數
摺出正多面體
 摺紙與尺規作圖
 摺紙正多邊形與對稱
 摺紙相關考題
 摺紙與黃金/白銀/青銅比
 摺紙與三大幾何難題
 模組摺紙拼貼
 摺紙名片設計
生活摺紙之 發票長度比
實作課程
• 從貝殼螺線談摺紙
• 有理數摺紙到等比級數
• 三等份摺紙方法面面觀
• 一刀剪愛心與數學
• 一刀剪愛心作品實作
• 一刀剪愛心步驟與數學概念討論
• 數學素養與摺紙
• 涼亭問題與實測結果
• 多面體氣球解涼亭問題
• 正六邊形與正三角形摺紙
從貝殼螺線談摺紙
• 有理數摺紙到等比級數
• 三等份摺紙方法面面觀
•
•
•
•
•
•
•
勾股定理摺法
特殊三角形30-60-90摺法
相似形摺法
勾股定理與相似形摺法
特殊三角形30-60-90＋內分比性質摺法
相似形、商高定理與一元二次方程式摺法
全等、特殊三角形與中垂線性質摺法
一刀剪愛心與摺紙數學
• 一刀剪愛心數學概念討論
•
•
•
•
•
•
線對稱圖形
角平分線性質
摺紙與三角形全等
摺紙與相似三角形
摺紙計算邊長比
摺紙計算面積比
• 進階一刀剪愛心問題
• 如何一刀剪出最大愛心，步驟是否最少？
• 如何一刀剪出其他圖形？
數學素養與摺紙
• 涼亭問題與實測結果
• 多面體氣球解涼亭問題
• 正六邊形與正三角形摺紙
• 正六邊形摺紙與討論
• 正三角形摺紙與討論
摺紙數學相關參考資料
摺紙中學數學
摺紙中學數學
摺紙中學數學
參考書籍：
參考書籍：
Erik D. Demaine and Joseph O'Rourke
Geometric Folding Algorithms: Linkages,
Origami, Polyhedra (2007)
http://www.gfalop.org
Joseph O'Rourke
How to Fold It: The Mathematics of Linkages,
Origami, and Polyhedra (2011)
http://howtofoldit.org
結論
• 透過摺紙活動……
• 讓學生在學習過程，對數學有不一樣的體驗
• 可與多元評量結合，進而設計相關教學活動
• 讓學生從完成作品，得到成就感與數學知識
感謝聆聽，歡迎指教！！
有空的人多逛逛……林中生命藝數殿堂
http://163.20.9.7/dyna/menu/index.php?account=math