Transcript 為對稱角

當兩條線段(或直線)相交成直角時，我們稱這兩線段
(或直線)互相垂直。習慣上，我們以符號「⊥」來表示垂
直。如圖㈠中，∠AOB 為一直角，即表示BO 與 AO 垂直，
可把它記為「BO⊥AO」，讀作「BO 垂直於 AO」。同樣
的，圖㈡中，直線 L 與直線 M 交角成 90 度(直角)，也可
以記為「L⊥M」。
互相垂直的兩線段(或直線)的交點稱為垂足，如圖㈠、
圖㈡中的 O 點；而與一線段(或直線)垂直的直線稱為該線
段(或直線)的垂線，如圖㈡中，直線 M是直線 L 的垂線，
也可以說，直線 L 是直線 M 的垂線。
接著來討論線段與角的平分。
在摺紙時，我們通常利用對摺的方法將圖形平分，
如圖㈢，將 AB 對摺，使兩個端點 A、B 疊合在一起，此
時，N 點將 AB 分成兩個等長的線段，即 AN＝BN，我們
就說 N 為 AB 的中點，也就是 N 點平分 AB。而通過 N 點
且與 AB 垂直的直線(摺線 L)，就稱為 AB 的垂直平分線
(或中垂線)。
同樣的，我們也可以利用對摺的方式平分一個角，
如圖㈣，將∠AOB 對摺，使 OA 與 OB 疊合在一起，此時，
摺線 OE 把∠AOB 平分成兩個相等的角，也就是∠AOE＝
∠BOE，我們就稱直線 OE (或 OE )為∠AOB 的角平分線
(或分角線)，也就是 OE 平分∠AOB。
如右圖，已知 AB⊥BC，BE 平分∠ABD，BF 平分
∠CBD，則∠EBF＝？
因為 AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，1
又 BE 平分∠ABD，得∠DBE＝1 ∠ABD，
2
BF 平分∠CBD，得∠DBF＝ ∠CBD，
2
所以 ∠EBF＝∠DBE＋∠DBF
1
＝ 2 (∠ABD＋∠CBD)
＝ 1 ∠ABC＝45°。
2
如右圖，若 A、O、B 三點共線，且 OD 是∠AOC
的角平分線，OE 是∠BOC 的角平分線，求∠DOE＝？
因為 A、O、B 三點共線，所以∠AOB＝180°，
OD 是∠AOC 1的角平分線，
得∠COD＝ 2∠AOC，
OE 是∠BOC 的角平分線，
1
得∠COE＝ 2∠BOC，
所以∠DOE＝∠COD＋∠COE
1
＝ 2 (∠AOC＋∠BOC)
1
2
＝ ∠AOB
＝90°
剪紙不只是臺灣的傳統藝術，它也蘊含了數學知識
呵！讓我們透過下面剪紙的圖案一起來探討線對稱圖形
吧！
將一個圖形沿著某一條直線對摺，如果直線兩側的
部分能完全重疊，這樣的圖形稱為線對稱圖形，而這條
對摺線就稱為該圖形的對稱軸，疊合的點稱為對稱點，
疊合的角稱為對稱角，疊合的線段稱為對稱線段。
如圖㈤，拿出附件㈠，沿虛線將紙張對摺，並用剪
刀沿著黑色線剪開，再將剪下來的圖形攤開，即得星形
的線對稱圖形，如圖㈥。
在圖㈥中，對摺線 AF 就是圖形的對稱軸。C 點的對
稱點是 I 點，D 點的對稱點是 H 點；∠C 的對稱角為∠I，
∠E 的對稱角為∠G；AB 的對稱線段為AJ，CB 的對稱線
段為 IJ 等等。
對稱線段
C點, I點為對稱點
∠C, ∠I為對稱角
對稱軸
觀察下列圖形是不是線對稱圖形。如果是，請畫出它所
有的對稱軸。
⑴ 等腰三角形 ⑵ 正方形 ⑶ 菱形
⑷ 箏形
⑴ 等腰三角形是線對稱圖形，有 1 條對稱軸。
⑵ 正方形是線對稱圖形，有 4 條對稱軸。
⑶ 菱形是線對稱圖形，有 2 條對稱軸。
⑷ 箏形是線對稱圖形，有 1 條對稱軸。
圓形是不是線對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？
圓形是線對稱圖形，且每一條直徑都是對稱軸，
所以圓形有無線多條對稱軸。
畫出下列圖形的所有的對稱軸。
⑴ 等腰梯形
⑵ 長方形
⑶ 正五邊形 ⑷ 正六邊形
觀察前面附件㈠所剪下來的星形線對稱圖形，如圖㈦，並
回答下列問題。
⑴ 連接 BJ、DH，分別與 AF 交於 P、Q 兩點，
如圖㈦，則：
① BP 和 JP 相等嗎？ 相等。
② DQ 和 HQ 相等嗎？ 相等。
③ ∠APB 和∠APJ 相等嗎？ 相等。
④ ∠AQD 和∠AQH 相等嗎？ 相等。
⑤ ∠1 和∠2 相等嗎？ 相等。
⑵ AF 是否為 BJ 及 DH 的中垂線？ 是。
⑶ I、G 分別是 C、E 的對稱點，若連接 CE 及 IG，則 IG
是否為 CE 的對稱線段？ 是。
從問題探索 1 我們知道，將圖㈦的對稱點連接起來
的線段，如：BJ、DH，會與對稱軸 AF 互相垂直，且被
對稱軸平分，即：
線對稱圖形的對稱軸必垂直平分任意兩對稱點連接的
線段。
圖㈦中，對稱軸 AF 上的點 A、F，它們的對稱點各是哪
個點？
在對稱軸上的點，其對稱點即為本身，
也就是 A 的對稱點為 A，F 的對稱點為 F。
由例題 2 可知，等腰三角形、正方形、菱形、箏形
都是線對稱圖形。接下來，我們就來看看這些多邊形還
有哪些對稱的性質？
⑴ 等腰三角形： 如圖㈧，等腰△ABC 中，CD 為對
稱軸，A、B 為對稱點，
所以 CD 垂直平分 AB，且 CD 平分∠ACB，
即 CD⊥AB，AD＝BD，且∠1＝∠2。
⑵ 正方形： 如圖㈨，正方形 ABCD 中，BD 為對稱
軸，A、C 為對稱點，
所以 BD 垂直平分 AC，即 BD⊥AC，且 OA＝OC；
同樣的，因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點，
所以 AC 垂直平分 BD，即 AC⊥BD，且 OB＝OD。
⑶ 菱形： 如圖㈩，菱形 ABCD 中，BD 為對稱軸，
A、C 為對稱點，
所以 BD 垂直平分 AC，即 BD⊥AC，且 OA＝OC；
同樣的，因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點，
所以 AC 垂直平分 BD，即 AC⊥BD，且 OB＝OD。

⑷ 箏形： 如圖  十
一 ，箏形 ABCD 中，AC 為對稱軸，
B、D 為對稱點，
所以 AC 垂直平分 BD，且 AC 平分∠BAD 與∠BCD，
即 AC⊥BD，OB＝OD，且∠1＝∠2，∠3＝∠4。
⑴ 等腰三角形：對稱軸垂直平分底邊，且平分頂角。
⑵ 正方形：兩對角線互相垂直平分。
⑶ 菱形：兩對角線互相垂直平分。
⑷ 箏形：一對角線垂直平分另一對角線，且平分兩個內角。
如右圖，已知五邊形 ABCDE 是以
直線 L 為對稱軸的線對稱圖形，其
中∠C＝∠D＝90°，AE＝10cm、
DE＝12cm、DF＝6cm，求五邊形
ABCDE 面積。
因為五邊形 ABCDE 為線對稱圖形，
所以 BE⊥L，CD⊥L，(對稱點的連線垂直對稱軸)
又∠D＝90°，得到∠DEG＝90°，
可知四邊形 DEGF 為長方形，且 EG＝DF＝6cm，
直角△AEG 中，AE＝10cm，EG＝6cm，
得 AG＝ 102  62  8 (cm)，
所以五邊形 ABCDE 面積
＝(△AGE 面積＋長方形 DEGF 面積)×2
1
＝( 2 ×6×8＋12×6)×2＝192 (cm2)。
如右圖，四邊形 ABCD 是以 BD 為對稱軸的
線對稱圖形，若 AB＝6 公分，OC＝4 公分，
∠ADB＝45°，則：
⑴ ∠ACD＝？ ⑵ △ABC 的面積＝？
⑴ 因為 BD 為對稱軸，∠ADB＝45°，
所以 BD⊥AC，∠CDB＝45°，得∠ACD＝45°。
⑵ AB＝6 公分，得 BC＝6 公分，
又 OC＝4 公分，所以 AC＝8 公分，
且 OB＝ BC 2  OC2 ＝1 62  42 ＝ 2 5 (公分)，
所以△ABC 的面積＝ 2 ×AC×OB
＝ 1 ×8× 2 5＝ 8 5 (平方公分)。
2
利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的
線對稱圖形。
以直線 L 為對稱軸，分別找出 A、B、C 的對稱點 D、E
、F，再畫出 DE、EF、DF，即完成線對稱圖形。
利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。
如圖  二十 ，四邊形 ABCD 為正方形，因為正方形的對
角線 AC 是對稱軸，因此 B 點和 D 點互為對稱點，即正
方形對角的頂點互為對稱點。利用這個結論，我們可以
在方格中完成較複雜的線對稱圖形。
利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的
線對稱圖形。
以直線 L 為對稱軸，因為正方形
對角的頂點互為對稱點，所以可
以分別找出 B、C、D 的對稱點
F、G、H，再畫出 AF、FG、
GH、HE，即完成線對稱圖形。
利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。
由前面的介紹我們可以知道，要判斷一個圖形是否
為線對稱圖形，我們可以利用對摺的方式，如果對摺後，
摺線兩側的部分完全重疊，那麼這圖形就是線對稱圖形，
而且摺線就是對稱軸。接下來，我們就利用摺紙來剪出
線對稱圖形。
依照下圖指示，先將紅色的正方形色紙對摺兩次後，在右上
角沿 AB 剪一刀(其中 OA≠OB)，請問：
⑴ 剪下「△ABO」後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？
⑵ 承⑴，展開後的圖形是否為線對稱圖形？如果是，有幾條
對稱軸？
⑴ 其展開的過程與原紙張摺疊的過程剛好相反，
所以只要逆推回去即可找出展開圖形。
故選 B
⑵ 是；摺痕就是對稱軸，所以共有 2 條對稱軸。
承例題 6，若依照下圖指示對摺兩次，剪下「三角形」後，
(C)。
剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？
依照下圖指示，先將紫色的正方形色紙對摺兩次後，在
右方剪一刀，如下圖所示，請問剪下「三角形」後，剩
下的紙張展開是下列哪一個圖形？
其展開的過程與原紙張摺疊的過程剛好相反，
所以只要逆推回去即可找出展開圖形。
故選 (C)
承例題 7，若依照下圖指示對摺三次，剪下「三角形」後，
(A)。
剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？
過已知線段中點且與該線段垂直的直線。
已知線段 AB，D 為 AB 中點，若直線 L 過 D 點，
且垂直 AB，則直線 L 即為 AB 的垂直平分線。
將已知角平分為兩個等角的直線(或線段)。
已知∠ABC，若直線 BD(或 BD)平分∠ABC，即
∠ABD＝∠CBD，則直線 BD(或 BD)即為∠ABC 的
角平分線。
將一個圖形沿著一條直線對摺，如果直線兩側的部分
能完全疊合，則此圖形稱為線對稱圖形，而這條直線
就稱為該圖形的對稱軸。
如右圖，因為△ABC 可以完全疊合到△ADC，所
以右圖是一個線對稱圖形，且直線 L 為此圖形的對
稱軸。
對稱軸為任意兩對稱點連接線段的垂直平分線。
右圖為線對稱圖形，B、D 為對稱點，則直線 L 會
垂直平分 BD。
⑴ 等腰三角形：對稱軸會垂直平分底邊，且平分頂角。


如圖  三十 ，△ABC
為等腰三角形，則 AD⊥BC，BD＝CD，

且∠1＝∠2。
⑵ 正方形：兩對角線互相垂直平分。
十
如圖 四 ，四邊形 ABCD 為正方形，則 AC⊥BD、且 OA＝
OC、OB＝OD。
⑶ 菱形：兩對角線互相垂直平分。


如圖  十
ABCD 為菱形，則 AC⊥BD、且 OA＝OC、
五，四邊形

OB＝OD。
⑷ 箏形：一對角線垂直平分另一對角線，且平分兩個內角。
如圖 ，四邊形 ABCD 為箏形，則 AC⊥BD、OB＝OD，
十

且 AC 六平分∠BAD
和∠BCD，即∠1＝∠2，∠3＝∠4。

判斷下列各圖形是否為線對稱圖形，是的打ˇ，並畫出
該圖形的對稱軸；不是的打×。
利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。
在下面的方格中：
⑴ 畫出以直線 L 為對稱軸的
線對稱圖形。
⑵ 繼續以直線 M 為對稱軸，
畫出線對稱圖形。
已知坐標平面上一點 A(－4 , 3)，試根據下圖回答問題。
⑴ 若以 x 軸為對稱軸，則 A 點的對稱點坐標為何？
⑵ 若以直線方程式 y＝x 為對稱軸，則 A 點的對稱點
坐標為何？
⑴ 由圖可知，A 點的對稱軸坐標為(－4 , －3)。
⑵ 由圖可知，A 點的對稱軸坐標為(3 , －4)。
如下圖，將一張正方形色紙依下圖方式對摺兩次，然
後在其右上角刺穿一個洞，則此正方形色紙展開後的圖
(c)
形可能為下列何者？
。
將摺疊兩次的圖逆推回去即可找出到展開圖形。
故選 C。