Transcript 三角形的重心

97學年度溪口國中資訊融入教學—數學領域
三角形的重心
授課教師：郭素華
三角形的重心
三角形的重心及其性質
例題 1
例題 2
例題 3
重心的應用
例題 4
例題 5
例題 6
例題 7
例題 8
例題 9
三角形的重心
三中線的交點 G 為△ABC 的重心
面積： △AFG＝△AEG＝ △BFG＝△BDG＝ △CEG＝ △CDG
A
F
E
G
B
D
C
如圖，△ABC 中，三中線 AD、BE、CF 交於 G 點，AD＝12，
BE＝18， CF＝15，試求 AG、BG、CG 。
∵ G 為三中線 AD、BE、CF 的交點，
A
∴ G 為△ABC 重心
F
G
故
BG 
2
2
BE   18  12
3
3
2
2
CG  CF   15  10
3
3
E
B
D
C
如圖，△ABC 中，AM 為中線，試證 △ABM 和 △ACM 的面積相等。
1 過 A 點作△ABC 的高 AD，並交 BC 於 D 點，
A
則 AD 亦為△ABM 與△ACM 的高。
2 △ABM：△ACM
1
1
 (  AD  BM ) : (  AD  CM )
2
2
BM : CM  1:1
∴△ABM ＝△ACM 。
B
M
D
C
如圖，△ABC 的三中線 AD、BE 、CF 交於一點G，
試證 △ABG＝△BCG＝△CAG。
A
F
E
1 △ABC 中，D 為 BC 中點，
G
∴△ABD＝△ACD。
同理，△GBD＝△GCD。
B
D
2 △ABG＝△ABD－△GBD＝△ACD－△GCD＝△CAG
同理，△BCG＝△CAG。
∴△ABG＝△BCG＝△CAG。
C
如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，兩中線 AD、BE 交於G 點，AB ＝ 6，
BC＝8，試求： AG、GE。△ABG 的面積。四邊形CDGE 的面積。
1 ∵ △ABC 為直角三角形，∴
AC  6  8  10
2
2
A
∵ E 為斜邊 AC 中點，∴ E 為△ABC 外心。
E
則 EA＝EB＝EC＝10÷2＝5，
且 BD 
1
BC  4 AD  62  42  2 13
2
G
B
又兩中線 AD、BE 交於G 點，∴ G 為△ABC 的重心，
2
2
4
AD   2 13 
13
3
3
3
1
1
5
GE  BE   5 
3
3
3
AG 
D
C
如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，兩中線 AD、BE 交於G 點，AB ＝ 6，
BC＝8，試求： AG、GE。△ABG 的面積。四邊形CDGE 的面積。
A
3 如圖，連接 CG ，
E
G
則四邊形CDGE 面積＝△CDG＋△CEG
1
1
 ABC  ABC
6
6
1 1
  (  6  8)
3 2
8
B
D
C
如圖，△ ABC 中，兩中線 BD、CE 交於 G 點，且 BD⊥CE，若 BD＝9，
CE＝12，試求： BG、CG。 △BGC 與△ABC 的面積。
1 ∵G 為兩中線 BD、 CE 的交點，
∴G 為△ABC 重心。
2
2
故 BG  BD   9  6
3
3
2
2
CG  CE  12  8
3
3
△ABC＝3．△BGC＝3．24＝72
如圖，平行四邊形 ABCD 中，O 為對角線 AC、BD 的交點，
E 為 CD 中點，H 為 BC 中點，試證 BG＝GF＝FD。
1 ∵平行四邊形對角線互相平分，
 AO  CO, BO  DO
2 △ABC 中，O 為 AC 中點，H 為 BC 中點，
∴G 為重心，
2
1
BO, GO  BO
3
3
2
1
同理 FD  DO, FO  DO
3
3
故 BG 
3
BO  DO
1
1
2
 GF  GO  FO  BO  DO  BO
3
3
3
故 BG  GF  FD
例 題 7
如圖，正三角形ABC 中，AB ＝6，且 AM 為 BC 上中線，
O 為重心，試求外接圓半徑與內切圓半徑。
如圖，O 為正三角形ABC 的重心，同時也是外心及內心，
OA 為外接圓半徑，OM 為內切圓半徑。
2
2
AM  AB  BM  62  32  3 3
故外接圓半徑 OA  2 AM  2  3 3  2 3
3
3
內
切
圓
半
如圖，△ABC 中，∠C＝90°，G 為重心，
若 AM ＝6，BN＝8，試求 AB。
2
2
1
2
CM  AC  AM  BC  AC  6  36 ……(1)
4
2
2
2
2
2
1
BC  CN  BN  BC  AC  82  64 ……(2)
4
2
2
5
5
(1)+(2) 得： BC  AC  100
4
4
2
5
AB  100
4
2
2
2
2
AB  80
AB  4 5
如圖，△ABC 中，BD、CE 為兩中線，
且 BD ＝ CE ，試證 AB ＝ AC 。
1 BD 與 CE 交於 G 點，
∴ G 為△ABC 重心。
2 在△EGB 與△DGC 中，
2
2
BD  CE  CG
3
3
1
1
EG  CE  BD  GD
3
3
BG 
又∠EGB＝∠DGC
EGB  DGC ( SAS )
 BE  CD (對應邊相等)
1
1
AB  AC
2
2
故 AB  AC
範例解說結束
謝謝聆聽