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在第四冊第三章中我們學會了許多基本的幾何性質,
並且用說明的方式來推導出這些幾何性質,這種推導幾
何性質的方式就是一種簡單的「幾何推理」。底下我們
就用一個例子來介紹幾何推理的意義。
下圖中,AC 和 BD 相交於O點,且 AO=CO,BO=DO
。觀察圖中的兩條紅色線段 AB 和 CD,看起來好像會平
行,但我們要怎麼說明 AB 和CD 平行呢?
針對上面的問題,我們可以分段思考如下:
1.要怎麼判別兩直線平行呢?
首先回想在第四冊中,判別兩直線平行的方法有:同位角相
等則兩線平行、內錯角相等則兩線平行、同側內角互補則兩
線平行。
2.上圖中哪些角可以用來判別 AB和 CD平行呢?
觀察圖形可以發現∠A和∠C或∠B和∠D各是一組內錯角,如
果∠A=∠C或∠B=∠D成立的話,就可以推得
。
AB//CD 3.要怎麼知道∠A=∠C或∠B=∠D呢?
如果圖中的△AOB和△COD全等,就可以得到∠A=∠C或∠B
=∠D,進而可以證明
和AB 平行。
CD
4.要怎麼知道△AOB △COD呢?
觀察圖形可以發現:在△AOB和△COD中, AO=CO,
BO=DO,因為對頂角相等可知∠AOB=∠COD,如此一來,
根據SAS全等性質,我們便可以推得△AOB △COD。
上面的思考方向是從想要得到的結果( AB//CD )倒推回
來,不過如果我們要寫出說明過程,就要從已經知道的部
分推到想要的結果。可見我們分析思考的方向和寫說明的
過程剛好相反,請看下面的圖示。
底下就把前面的說明過程完整地寫出來:
證明:在△AOB和△COD中
∵ AO=CO
(已知)
∠AOB=∠COD
(對頂角相等)
BO=DO
(已知)
∴△AOB
△COD
(SAS全等性質)
∴∠A=∠C
(對應角相等)
∴ AB//CD (一組內錯角相等則兩線平行)
「幾何推理」就是根據題目給我們的已知條件,再
應用對該題目有用的一些幾何性質,逐步推論出題目所
要求說明的最後結論。在1-2節曾經介紹過「已知、求證、
證明」的寫法是幾何推理常用的書寫方式,接下來的例
題,我們都是依照此格式來撰寫。
在幾何問題的證明過程中,我們可以利用題目所給
的已知條件或曾經學過的一些已知事實作為幾何推理時
的依據,例如:
1.任意三角形的內角和是180°。
2.三角形的全等性質(SSS、SAS、ASA、AAS或RHS)。
3.兩平行線被一線所截,則其同位角相等、內錯角相等、
同側內角互補。
4.兩直線被一線所截,若其同位角相等、內錯角相等或同
側內角互補,則兩直線平行。
5.平行四邊形的判別性質:
(1)若四邊形的兩雙對角分別相等,則此四邊形必為平行
四邊形。
(2)若四邊形的兩雙對邊分別相等,則此四邊形必為平行
四邊形。
(3)若四邊形的一組對邊平行且相等,則此四邊形必為平
行四邊形。
(4)若四邊形的兩對角線互相平分,則此四邊形必為平行
四邊形。
6.三角形的相似性質(SSS、SAS、AA)。
7.平行線截比例線段性質。
這些都是我們已經知道的幾何性質,可以用來推論
出所要求證的事實。接下來我們來練習幾個幾何證明的
例題。
例1 全等三角形性質之應用
已知:如右圖,∠B=∠E,∠C=∠D,
AB=AE 。
求證: AC=AD。
解 〈想法〉要證明 AO=CO,只要先證明△ABC △AED。
〈證明〉
在△ABC及△AED中
(已知)
AB=AE
∴△ABC △AED(AAS全等性質)
∵∠B=∠E
∠C=∠D
∴ AC=AD(對應邊相等)
已知:如右圖, AB=CD ,∠ABC=∠DCB。
求證:∠A=∠D。
想法:要證明∠A=∠D,只要先證明
△ABC △DCB。
證明:在△ABC及△DCB中
∵ AB=
CD
(已知)
∠ABC=
∠DCB
(已知)
BC
∴△ABC △
∴∠A=∠D
=
(共用邊)
BC
DCB
(
SAS
全等性質)
例2 全等三角形性質之應用
已知:如右圖,在△ABC的兩邊 AB、 AC
往外側作正方形ABDE及正方形
ACFG。
求證: BG=CE 。
解 〈想法〉要證明 BG=CE,只要先證明△ABG △AEC。
〈證明〉
在△ABG和△AEC中
∵ACFG及ABDE均為正方形
∴ AG=AC , AB=AE
且∠GAC=∠EAB=90°
∴∠GAC+∠CAB=∠EAB+∠CAB(等量加法)
即∠GAB=∠CAE…
由 、 、 可得△ABG △AEC(SAS全等性質)
∴ BG=CE
已知:ABCD為正方形,△AEF為正三角形。
求證:∠BAE=∠DAF。
想法:要證明∠BAE=∠DAF,只要先證明
△ABE △ADF。
證明:在△ABE和△ADF中
∵四邊形ABCD為正方形
∴ AB=AD…… ,∠B=∠D=90°……
∵△AEF為正三角形
∴ AE=AF……
由 、 、 得△ABE △ADF(RHS全等性質)
∴∠BAE=∠DAF
在證明的過程中,有時會需要畫輔助線來幫助完成
此證明。
例3 三角形內分比性質
已知:如右圖,△ABC中, AD 為∠BAC的角平分線。
AB BD
=
求證:
。
AC CD
解 〈證明〉
過C點作平行 AD的直線交直線AB於E點
∵ AD為∠BAC的角平分線 ∴∠1=∠2
∵ AD//CE
∴∠2=∠3(內錯角相等),∠1=∠4(同位角相等)
故∠3=∠4,得 AC=AE
由平行線截比例線段性質
AB BD
AB BD
=
=
可得
∴
AC CD
AE CD
內分比性質
△ABC中, AD為∠BAC的角平分線,
則 AB:AC BD:CD 。
如右圖,△ABC中, AD為∠BAC的角平分線,
若∠B=90°, AB=30, AC=34,則 CD=?
BC= AC 2 BC 2= 34 2 30 2=16
∵ AD為∠BAC的角平分線
AB BD
34
=
CD=
BC
∴
30 34
AC CD
=
34
17
16=
64
2
例4 相似形的應用
已知:如右圖,△ABC為正三角形,P、Q
分別在 BC 、AC 上,且∠APQ=60°
求證:△ABP~△PCQ
解 〈想法〉由題意可知∠B=∠C=60°,故若能證得∠BAP=
∠CPQ,則可由AA相似性質證得△ABP~△PCQ
〈證明〉
在△ABP與△PCQ中
∵△ABC為正三角形
∴∠B=∠C=60°……
而∠APC=∠1+∠B=∠2+60°
∠1+60°=∠2+60°
∴∠1=∠2……
由 、 可知△ABP~△PCQ(AA相似性質)
已知:如右圖,四邊形ABCD為正方形,在 BC 與
CD 上分別取E、F兩點,使∠AEF=90°
求證:△ABE~△ECF
證明:在△ABE與△ECF中
∵四邊形ABCD為正方形
∴∠B=∠C=90°……
又∠AEF=90°
∴∠2+∠3=90°
又∠1+∠2=90°
∠1=∠3……
由 、 可知△ABE~△ECF(AA相似性質)
在第一章我們學過三角形兩邊中點連線性質,接下
來我們將對此性質作一些應用。
例5 三角形兩邊中點連線性質之應用
已知:如右圖,四邊形ABCD中,E、F、G、
H分別為 AB、BC、CD、DA 上的中點。
求證:四邊形EFGH為平行四邊形。
解 〈證明〉
連接 AC,在△ABC中
∵E為 AB
中點,F為 BC
中點
1
∴ EF// AC
且 EF= AC
2
1
同理,在△ACD中, GH// AC且 GH= AC
2
∴ EF// GH且 EF=GH
∵一組對邊平行且相等 ∴四邊形EFGH為平行四邊形
由上面的例題可知:
四邊形四邊中點連線性質
任意四邊形四邊中點所連成的四邊形,必為平行四邊形。
四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為 AB、BC、
CD、DA 上的中點。若 AC=10公分,BD =8公分
,則:
(1)四邊形EFGH的周長為多少? 18公分
(2)四邊形EFGH面積:四邊形ABCD面積=? 1:2
(1)四邊形EFGH的周長=2( HG+HE )= AC +BD
=10+8=18公分
(2)由圖可知 、 面積相等、 、 面積相等……、 、
面積相等(等底同高)
可得四邊形EFGH面積:四邊形ABCD面積=1:2
在第四冊,我們曾經利用操作活動和簡單的推理,說明
梯形中線會平行上底和下底,且其長度等於兩底和的一半。
接下來,我們將用較嚴謹的方式來證明此性質。
例6 梯形中線性質的證明
已知:梯形ABCD中, AD// BC,EF 為中線。
1
求證: EF // AD// BC且 EF= ( BC AD ) 。
2
解 〈證明〉
作直線AF交直線BC於G點
在△ADF與△GCF中
∵ AD//CG
∴∠1=∠G,∠D=∠2(內錯角相等)
又 DF//CF
∴△ADF △GCF(AAS全等性質)
∴ AF=FG
, AD=CG
在△ABG中
∵ AE=EB
, AF=FG
1
1
1
∴ EF// BG且 EF= BG= ( BC CG )= ( BC AD )
2
2
2
1
即 AD// EF// BC 且 EF= ( BC AD )
2
如右圖,梯形ABCD中,AD// BC,AH⊥ BC
,EF 為中線。若 EF=AH =10公分,則梯形
ABCD面積為多少?
1
梯形ABCD面積= ( AD BC ) AH
2
= EF AH
=10×10
=100(平方公分)
例7 梯形對角線中點連線性質
已知:梯形ABCD中,AD// BC,AD<BC,F、E分別為
兩對角線 AC、BD 的中點。
1
求證: EF // AD// BC 且 EF= ( BC AD ) 。
2
解 〈證明〉
作直線DF交 BC 於G點
在△ADF與△CGF中
∵ AD// BC ∴∠1=∠2,∠ADF=∠3
又 AF=CF (∵F為 AC中點)
∴△ADF △CGF(AAS全等性質)
∴ AD=CG
, DF=FG(即F為 DG中點)
在△DBG中
∵E、F分別為 DB
、 DG的中點
1
1
1
∴ EF// BG且 EF= BG= ( BC CG )= ( BC AD )
2
2
2
1
即 AD// EF // BC 且 EF= ( BC AD )
2
由上面的例題可知:
梯形對角線中點連線性質
梯形對角線中點連線會平行於上、下底,且其長度等於
上、下底長度差的一半。
如右圖,梯形ABCD中, AD// BC , AD<BC,
F、E分別為兩對角線 AC、BD 的中點。若
EF =4, AD =6,則 BC =?
1
EF= ( BC AD )
2
1
4= ( BC 6),∴ BC
=14
2
1 幾何推理
(1)根據題目給我們的已知條件,再應用對該題目有用的一些
幾何性質,逐步推論出題目所要求說明的最後結論。
(2)題目所給的已知條件就稱為「已知」;
題目所要求說明的最後結論就稱為「求證」;
而我們運用幾何性質所做的推論過程就稱為「證明」。
例 已知:如右圖, AC 和 BD 相交於O點,
且 AO=CO , BO=DO 。
求證: AB//CD
證明:在△AOB和△COD中
∵ AO=CO
∠AOB=∠COD
BO=DO
∴△AOB
△COD
∴∠A=∠C
∴ AB//CD
2 三角形內分比性質
△ABC中, AD 為∠BAC的角平分線,則
AB:AC BD:CD。
例 △ABC中,AB =5,AC=4,則
BD:CD AB:AC=5:4
3 四邊形四邊中點連線性質
四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為各邊中點,則四邊
形EFGH必為平行四邊形。
4 梯形中線性質
梯形ABCD中,AD// BC,E、F分別為
AB 、CD 的中點,則:
(1) EF // AD // BC
1
2
(2) EF= ( AD BC )
例 若梯形ABCD中,E、F分別為 AB、CD 的中點,且 AD
=8, BC =10,則 EF= 1 ( AD BC )= 1 (8 10 )=9
2
2
5 梯形對角線中點連線性質
梯形ABCD中, AD// BC ,且 AD<BC ,
G、H分別為對角線 AC、BD 的中點,則:
(1) GH// AD// BC
1
2
(2) GH= ( BC AD )
例 若梯形ABCD中,G、H分別為對角線 AC、 BD 的中點,
且 AD=8, BC =10,則 GH= 1 ( BC AD )= 1 (10 8)=1
2
2
1 在下面的空格中填入適當的邊、角關係,以完成本題的
證明。
已知:如右圖,∠DAB=∠CBA,∠DBA=∠CAB。
求證: AC=BD。
證明:在△ABC與△BAD中
∵
∠DAB=∠CBA
∠DBA=∠CAB
AB=AB
,
,
。
∴△ABC △BAD(ASA全等性質)
故 AC=BD (對應邊相等)
2 已知:如右圖,在平行四邊形ABCD中,E為
AB 的中點,F為 AC與 ED 的交點。
求證:CF=2 AF。
證明:在△AEF與△CDF中
∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴∠1=∠2
且∠3=∠4
∴△AEF~△CDF(AA相似性質)
又E為 AB中點
1
1
∴ AE= AB= CD
2
2
⇒ AE:CD =1:2
且 AF:CF AE:CD =1:2
故 CF=2 AF
3 如右圖,△ABC中, AD 為∠BAC的角平分線,
若 AB=6公分, AC=9公分,則△ABD面積:
△ACD面積=?
∵ AD為∠BAC的角平分線
∴ BD:CD AB:AC
=6:9=2:3
則△ABD面積:△ACD面積= BD:CD=2:3
4 梯形ABCD中, AD// BC ,∠BAC=90°, AC=8, BD
=6,E、F分別為 BD、 AC 中點,若 EF=2,則梯形
ABCD面積為多少?
在△ABC中,因為∠BAC=90°
∴ BC= AB 2 AC 2= 6 2 82=10
6 8 24
=
BC上的高=
10
5
1
又 EF= BC AD
2
1
2= (10 AD )
2
⇒ AD=6
1
故梯形ABCD面積為 ( AD BC ) ×高
2
1
24
= (6 10 )
2
5
=192
5