Transcript Document

在第四冊第三章中我們學會了許多基本的幾何性質，
並且用說明的方式來推導出這些幾何性質，這種推導幾
何性質的方式就是一種簡單的「幾何推理」。底下我們
就用一個例子來介紹幾何推理的意義。
下圖中，AC 和 BD 相交於O點，且 AO＝CO，BO＝DO
。觀察圖中的兩條紅色線段 AB 和 CD，看起來好像會平
行，但我們要怎麼說明 AB 和CD 平行呢？
針對上面的問題，我們可以分段思考如下：
1.要怎麼判別兩直線平行呢？
首先回想在第四冊中，判別兩直線平行的方法有：同位角相
等則兩線平行、內錯角相等則兩線平行、同側內角互補則兩
線平行。
2.上圖中哪些角可以用來判別 AB和 CD平行呢？
觀察圖形可以發現∠A和∠C或∠B和∠D各是一組內錯角，如
果∠A＝∠C或∠B＝∠D成立的話，就可以推得
。
AB//CD　3.要怎麼知道∠A＝∠C或∠B＝∠D呢？
如果圖中的△AOB和△COD全等，就可以得到∠A＝∠C或∠B
＝∠D，進而可以證明
和AB 平行。
CD
4.要怎麼知道△AOB △COD呢？
觀察圖形可以發現：在△AOB和△COD中， AO＝CO，
BO＝DO，因為對頂角相等可知∠AOB＝∠COD，如此一來，
根據SAS全等性質，我們便可以推得△AOB △COD。

上面的思考方向是從想要得到的結果( AB//CD　)倒推回
來，不過如果我們要寫出說明過程，就要從已經知道的部
分推到想要的結果。可見我們分析思考的方向和寫說明的
過程剛好相反，請看下面的圖示。
底下就把前面的說明過程完整地寫出來：
證明：在△AOB和△COD中
∵ AO＝CO
(已知)
∠AOB＝∠COD
(對頂角相等)
BO＝DO
(已知)
∴△AOB
△COD
(SAS全等性質)
∴∠A＝∠C
(對應角相等)
∴ AB//CD　(一組內錯角相等則兩線平行)
「幾何推理」就是根據題目給我們的已知條件，再
應用對該題目有用的一些幾何性質，逐步推論出題目所
要求說明的最後結論。在1-2節曾經介紹過「已知、求證、
證明」的寫法是幾何推理常用的書寫方式，接下來的例
題，我們都是依照此格式來撰寫。
在幾何問題的證明過程中，我們可以利用題目所給
的已知條件或曾經學過的一些已知事實作為幾何推理時
的依據，例如：
1.任意三角形的內角和是180°。
2.三角形的全等性質(SSS、SAS、ASA、AAS或RHS)。
3.兩平行線被一線所截，則其同位角相等、內錯角相等、
同側內角互補。
4.兩直線被一線所截，若其同位角相等、內錯角相等或同
側內角互補，則兩直線平行。
5.平行四邊形的判別性質：
(1)若四邊形的兩雙對角分別相等，則此四邊形必為平行
四邊形。
(2)若四邊形的兩雙對邊分別相等，則此四邊形必為平行
四邊形。
(3)若四邊形的一組對邊平行且相等，則此四邊形必為平
行四邊形。
(4)若四邊形的兩對角線互相平分，則此四邊形必為平行
四邊形。
6.三角形的相似性質(SSS、SAS、AA)。
7.平行線截比例線段性質。
這些都是我們已經知道的幾何性質，可以用來推論
出所要求證的事實。接下來我們來練習幾個幾何證明的
例題。
例1 全等三角形性質之應用
已知：如右圖，∠B＝∠E，∠C＝∠D，
AB＝AE 。
求證： AC＝AD。
解 〈想法〉要證明 AO＝CO，只要先證明△ABC  △AED。
〈證明〉
在△ABC及△AED中


 (已知)

AB＝AE

∴△ABC △AED(AAS全等性質)
∵∠B＝∠E
∠C＝∠D
∴ AC＝AD(對應邊相等)
已知：如右圖， AB＝CD ，∠ABC＝∠DCB。
求證：∠A＝∠D。
想法：要證明∠A＝∠D，只要先證明
△ABC  △DCB。
證明：在△ABC及△DCB中
∵ AB＝
CD
(已知)
∠ABC＝
∠DCB
(已知)
BC
∴△ABC △
∴∠A＝∠D
＝
(共用邊)
BC
DCB
(
SAS
全等性質)
例2 全等三角形性質之應用
已知：如右圖，在△ABC的兩邊 AB、 AC
往外側作正方形ABDE及正方形
ACFG。
求證： BG＝CE 。
解 〈想法〉要證明 BG＝CE，只要先證明△ABG △AEC。
〈證明〉
在△ABG和△AEC中
∵ACFG及ABDE均為正方形
∴ AG＝AC ， AB＝AE
且∠GAC＝∠EAB＝90°
∴∠GAC＋∠CAB＝∠EAB＋∠CAB(等量加法)
即∠GAB＝∠CAE…
由 、 、 可得△ABG  △AEC(SAS全等性質)
∴ BG＝CE
已知：ABCD為正方形，△AEF為正三角形。
求證：∠BAE＝∠DAF。
想法：要證明∠BAE＝∠DAF，只要先證明
△ABE  △ADF。
證明：在△ABE和△ADF中
∵四邊形ABCD為正方形
∴ AB＝AD…… ，∠B＝∠D＝90°……
∵△AEF為正三角形
∴ AE＝AF……
由 、 、 得△ABE  △ADF(RHS全等性質)
∴∠BAE＝∠DAF
在證明的過程中，有時會需要畫輔助線來幫助完成
此證明。
例3 三角形內分比性質
已知：如右圖，△ABC中， AD 為∠BAC的角平分線。
AB BD
＝
求證：
。
AC CD
解 〈證明〉
過C點作平行 AD的直線交直線AB於E點
∵ AD為∠BAC的角平分線 ∴∠1＝∠2
∵ AD//CE
∴∠2＝∠3(內錯角相等)，∠1＝∠4(同位角相等)
故∠3＝∠4，得 AC＝AE
由平行線截比例線段性質
AB BD
AB BD
＝
＝
可得
∴
AC CD
AE CD
內分比性質
△ABC中， AD為∠BAC的角平分線，
則 AB：AC  BD：CD 。
如右圖，△ABC中， AD為∠BAC的角平分線，
若∠B＝90°， AB＝30， AC＝34，則 CD＝？
BC＝ AC 2  BC 2＝ 34 2  30 2＝16
∵ AD為∠BAC的角平分線
AB BD
34
＝
 CD＝
 BC
∴
30  34
AC CD
＝
34
17
 16＝
64
2
例4 相似形的應用
已知：如右圖，△ABC為正三角形，P、Q
分別在 BC 、AC 上，且∠APQ＝60°
求證：△ABP～△PCQ
解 〈想法〉由題意可知∠B＝∠C＝60°，故若能證得∠BAP＝
∠CPQ，則可由AA相似性質證得△ABP～△PCQ
〈證明〉
在△ABP與△PCQ中
∵△ABC為正三角形
∴∠B＝∠C＝60°……
而∠APC＝∠1＋∠B＝∠2＋60°
∠1＋60°＝∠2＋60°
∴∠1＝∠2……
由 、 可知△ABP～△PCQ(AA相似性質)
已知：如右圖，四邊形ABCD為正方形，在 BC 與
CD 上分別取E、F兩點，使∠AEF＝90°
求證：△ABE～△ECF
證明：在△ABE與△ECF中
∵四邊形ABCD為正方形
∴∠B＝∠C＝90°……
又∠AEF＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
又∠1＋∠2＝90°
∠1＝∠3……
由 、 可知△ABE～△ECF(AA相似性質)
在第一章我們學過三角形兩邊中點連線性質，接下
來我們將對此性質作一些應用。
例5 三角形兩邊中點連線性質之應用
已知：如右圖，四邊形ABCD中，E、F、G、
H分別為 AB、BC、CD、DA 上的中點。
求證：四邊形EFGH為平行四邊形。
解 〈證明〉
連接 AC，在△ABC中
∵E為 AB
中點，F為 BC
中點
1
∴ EF// AC
且 EF＝ AC
2
1
同理，在△ACD中， GH// AC且 GH＝ AC
2
∴ EF// GH且 EF＝GH
∵一組對邊平行且相等 ∴四邊形EFGH為平行四邊形
由上面的例題可知：
四邊形四邊中點連線性質
任意四邊形四邊中點所連成的四邊形，必為平行四邊形。
四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為 AB、BC、
CD、DA 上的中點。若 AC＝10公分，BD ＝8公分
，則：
(1)四邊形EFGH的周長為多少？ 18公分
(2)四邊形EFGH面積：四邊形ABCD面積＝？ 1：2
(1)四邊形EFGH的周長＝2( HG＋HE )＝ AC ＋BD
＝10＋8＝18公分
(2)由圖可知 、 面積相等、 、 面積相等……、 、
面積相等(等底同高)
可得四邊形EFGH面積：四邊形ABCD面積＝1：2
在第四冊，我們曾經利用操作活動和簡單的推理，說明
梯形中線會平行上底和下底，且其長度等於兩底和的一半。
接下來，我們將用較嚴謹的方式來證明此性質。
例6 梯形中線性質的證明
已知：梯形ABCD中， AD// BC，EF 為中線。
1
求證： EF // AD// BC且 EF＝ ( BC  AD ) 。
2
解 〈證明〉
作直線AF交直線BC於G點
在△ADF與△GCF中
∵ AD//CG
∴∠1＝∠G，∠D＝∠2(內錯角相等)
又 DF//CF
∴△ADF △GCF(AAS全等性質)
∴ AF＝FG
， AD＝CG
在△ABG中
∵ AE＝EB
， AF＝FG
1
1
1
∴ EF// BG且 EF＝ BG＝ ( BC  CG )＝ ( BC  AD )
2
2
2
1
即 AD// EF// BC 且 EF＝ ( BC  AD )
2
如右圖，梯形ABCD中，AD// BC，AH⊥ BC
，EF 為中線。若 EF＝AH ＝10公分，則梯形
ABCD面積為多少？
1
梯形ABCD面積＝ ( AD  BC )  AH
2
＝ EF  AH
＝10×10
＝100(平方公分)
例7 梯形對角線中點連線性質
已知：梯形ABCD中，AD// BC，AD＜BC，F、E分別為
兩對角線 AC、BD 的中點。
1
求證： EF // AD// BC 且 EF＝ ( BC  AD ) 。
2
解 〈證明〉
作直線DF交 BC 於G點
在△ADF與△CGF中
∵ AD// BC ∴∠1＝∠2，∠ADF＝∠3
又 AF＝CF (∵F為 AC中點)
∴△ADF △CGF(AAS全等性質)
∴ AD＝CG
， DF＝FG(即F為 DG中點)
在△DBG中
∵E、F分別為 DB
、 DG的中點
1
1
1
∴ EF// BG且 EF＝ BG＝ ( BC  CG )＝ ( BC  AD )
2
2
2
1
即 AD// EF // BC 且 EF＝ ( BC  AD )
2
由上面的例題可知：
梯形對角線中點連線性質
梯形對角線中點連線會平行於上、下底，且其長度等於
上、下底長度差的一半。
如右圖，梯形ABCD中， AD// BC ， AD＜BC，
F、E分別為兩對角線 AC、BD 的中點。若
EF ＝4， AD ＝6，則 BC ＝？
1
EF＝ ( BC  AD )
2
1
4＝ ( BC  6)，∴ BC
＝14
2
1 幾何推理
(1)根據題目給我們的已知條件，再應用對該題目有用的一些
幾何性質，逐步推論出題目所要求說明的最後結論。
(2)題目所給的已知條件就稱為「已知」；
題目所要求說明的最後結論就稱為「求證」；
而我們運用幾何性質所做的推論過程就稱為「證明」。
例 已知：如右圖， AC 和 BD 相交於O點，
且 AO＝CO ， BO＝DO 。
求證： AB//CD
證明：在△AOB和△COD中
∵ AO＝CO
∠AOB＝∠COD
BO＝DO
∴△AOB
△COD
∴∠A＝∠C
∴ AB//CD
2 三角形內分比性質
△ABC中， AD 為∠BAC的角平分線，則
AB：AC  BD：CD。
例 △ABC中，AB ＝5，AC＝4，則
BD：CD  AB：AC＝5：4
3 四邊形四邊中點連線性質
四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，則四邊
形EFGH必為平行四邊形。
4 梯形中線性質
梯形ABCD中，AD// BC，E、F分別為
AB 、CD 的中點，則：
(1) EF // AD // BC
1
2
(2) EF＝ ( AD  BC )
例 若梯形ABCD中，E、F分別為 AB、CD 的中點，且 AD
＝8， BC ＝10，則 EF＝ 1 ( AD  BC )＝ 1 (8  10 )＝9
2
2
5 梯形對角線中點連線性質
梯形ABCD中， AD// BC ，且 AD＜BC ，
G、H分別為對角線 AC、BD 的中點，則：
(1) GH// AD// BC
1
2
(2) GH＝ ( BC  AD )
例 若梯形ABCD中，G、H分別為對角線 AC、 BD 的中點，
且 AD＝8， BC ＝10，則 GH＝ 1 ( BC  AD )＝ 1 (10  8)＝1
2
2
1 在下面的空格中填入適當的邊、角關係，以完成本題的
證明。
已知：如右圖，∠DAB＝∠CBA，∠DBA＝∠CAB。
求證： AC＝BD。
證明：在△ABC與△BAD中
∵
∠DAB＝∠CBA
∠DBA＝∠CAB
AB＝AB
，
，
。
∴△ABC △BAD(ASA全等性質)
故 AC＝BD (對應邊相等)
2 已知：如右圖，在平行四邊形ABCD中，E為
AB 的中點，F為 AC與 ED 的交點。
求證：CF＝2 AF。
證明：在△AEF與△CDF中
∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴∠1＝∠2
且∠3＝∠4
∴△AEF～△CDF(AA相似性質)
又E為 AB中點
1
1
∴ AE＝ AB＝ CD
2
2
⇒ AE：CD ＝1：2
且 AF：CF  AE：CD ＝1：2
故 CF＝2 AF
3 如右圖，△ABC中， AD 為∠BAC的角平分線，
若 AB＝6公分， AC＝9公分，則△ABD面積：
△ACD面積＝？
∵ AD為∠BAC的角平分線
∴ BD：CD  AB：AC
＝6：9＝2：3
則△ABD面積：△ACD面積＝ BD：CD＝2：3
4 梯形ABCD中， AD// BC ，∠BAC＝90°， AC＝8， BD
＝6，E、F分別為 BD、 AC 中點，若 EF＝2，則梯形
ABCD面積為多少？
在△ABC中，因為∠BAC＝90°
∴ BC＝ AB 2  AC 2＝ 6 2  82＝10
6  8 24
＝
BC上的高＝
10
5
1
又 EF＝ BC  AD
2
1
2＝ (10  AD )
2
⇒ AD＝6
1
故梯形ABCD面積為  ( AD  BC ) ×高
2
1
24
＝  (6  10 ) 
2
5
＝192
5