透視圓的性質 - 台中市居仁國中
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Transcript 透視圓的性質 - 台中市居仁國中
台中市立居仁國民中學
許皓程
做徽章
如何在圓裡面做出一個內接星形正六角形!!如下圖
作法
作圖時，只能利用圓規及直尺!!
先找出圓心
將圓周分段
連接六個點
先畫出兩條弦，然後分別
畫出兩條弦的中垂線，他
們的交點即為圓心。
先畫出正六角形，利
用圓的半徑將圓周分
段。
連接這六個點，則星
形正六角形即完成。
動動腦
如何在圓裡面做出一個內接星形正五角形!!如下圖
恩~將圓周分成五等分就可以了……360度除以5，
等於72度。頂角72度的等腰三角形的底角為54度。
不能用量角器喔!!想想看還有什麼方法??
動動腦
A
ABC中，AB=AC ，BAC=36 ，BD平分ABC
則BAC=ABD=CBD=36，
BDC=ACB=72
所以AD=BD=BC(因為ABD、BCD為等腰三角形)
B
C
令 AB=AC=1，AD=BD=BC=x，則CD=1-x，又因
ABC~BCD(AA相似)
A
由AB:BF=BF:FE可知1:x=x:(1-x)
x
x 2 =1 (1-x)
1
x 2 +x+1=0
D
x
B
1-x
x
C
x=
-1 5
5 -1
(負不合)，故x=
2
2
作法
C
(1)
(1)在半徑為1的圓O上，畫出兩條相互
A
O
B
垂直的直徑，即AB=CD
D
C
(2)
A
O
D
E
(2)找出OB的中點E(利用中垂線)，
1
B
則OE= ，連接 DE ，由商高定理，可
2
1
5
得DE= 12 +( ) 2 =
2
2
作法
C
(3)
(3)以E點為圓心，OE為半徑畫圓交DE於
E
A
O
B
F
1
5 1
F點，因EF= ，所以 DF=
- =
2
2 2
這個DF即為正十角形的邊長
D
C
(4)
(4)以D點為圓心，DF為半徑畫圓交圓O
E
A
B
O
角形的一邊囉 ~
F
H
D
於G、H兩點，連接 GH
，GH就是正五
G
5-1
，
2
作法
(5)
(5)接下來，用圓規取GH的長，將圓周
分段，這些點連接起來，就完成了
推廣:試想想任何半徑之圓是否能用
同 種 方 法 畫 出 正 五 邊 形 ?
試看看
例:半徑為1的園內接五角形、正六角形，求其面積?
A
(1)
A
(2)
B
E
O
B
F
O
E
C
C
D
D
圓周角定理
P
P
P
設AB弧所對的點為P，所對的∠APB稱為「圓周角」
， ∠AOB為「圓心角」，則一個弧所對的園周角大
小是固定的，剛好是此弧所對之圓周角的一半。
O
A
B
說明，如下圖所示，先分三種情形
(一)圓心O在∠APB邊上的情形
(二)圓心O在∠APB內部的情形
(三)圓心O在∠APB外部的情形 P
(二)
(一)
P
(三)
O
O
B
A
A
O
P
B
B
A
圓心在邊上
P
O
B
A
證明:因為AOB是OPA的外角，
可知AOB=APO+PAO
又因OP=OA(半徑)，所以APO=PAO
1
即AOB=2APO，結果得出APO= AOB
2
圓心在內部
P
O
B
A
C
證明:畫出直徑 PC ，就跟 (一)的情形相同
1
APO= AOC (1)
2
1
BPO= BOC (2)
2
1
1
(1)+(2)得APB= (AOC+BOC)= AOB
2
2
圓心在外部
O
P
C
B
A
證明:畫出直徑 PC ，就跟 (一)的情形相同
1
APO= AOC (1)
2
1
BPO= BOC (2)
2
1
1
(1)-(2)得APB= (AOC-BOC)= AOB
2
2
結論:不論什麼情形，圓周角為圓心角的一半。
內對角定理
P
A
(一)
∠APB為對應AQB弧的圓周角，∠AQB為對應APB弧的圓
B 周角，如圖(一)，將圖(一)的點A、點B及圓心O連接，
則四角形PAQB內接於圓O之中，如圖(二)，令圓周角
∠APB所對應的圓心角為∠a，圓周角∠AQB所對應的
Q 圓心角為∠b
由圓周角定理，可得∠APB=1/2∠a－(1)
∠AQB=1/2∠b－(2)
(1)+(2)∠APB+∠AQB=1/2(∠a+∠b)=1/2×360°=180°
結論:圓內接四邊形，其對角之和為180度
由前面已知∠A+∠BCD=180°
而且∠BCD+∠DCE=180°
D
對角
所以∠A= ∠DCE
整理(1) 「圓內接四角形，其對角和為180度」，
內角 外角 E
即∠A+∠BCD=180°
(2) 「圓內接四角形，任一個外角的大小等於
B
C
相對應的內角之對角」，即∠A= ∠DCE
A
試試看
問題:找出圓心的常用方法大都是利用尺規作圖，如先畫出兩條弦，
然後分別畫出兩條弦的中垂線，它們的交點即為圓心，試問是否可
以不用尺規作圖方法找出圓心呢?
答:可以，只需要一張長方形的紙(或三角板)就可以了
P
90°
A
O
180°
(1)根據圓周角定理，∠APB=1/2∠AOB
(2)AB弧剛好變成半圓時，點A、O、B成
一直線，AB 為直徑
B (3)則∠AOB=180°，∠APB=90°
作法
依照前述事實，可找出圓心。方法如下:
(1)準備長方形紙ABCD，將頂點A對準圓周。AB及AD與圓周的交點
為E、F。將E、F連接。此時，EF為圓的直徑。
(2)同理，在重複一次，將長方形的頂點A對準圓周(與1不同地方)
AB及AD與圓周的交點為G、H。將G、H連接。GH也是圓的直徑。
(3)因EF及GH都是圓的直徑，兩條直徑的交點就是圓心。
A
B
G
A
F
E
圓心
B
D
C
C
H
D
動動腦
索隆不小心在大海迷路了，身邊剛好有隻電話蟲，於是打電話
跟娜美聯絡，索隆說，他會看到三座島(如圖A島、B島、C島)，
A島在最左邊，B島在中間，C島在最右邊。距離則全然不知。
娜美這時候拿了島附近的地圖，便問索隆看向兩島的視角為幾
度？索隆說，島A、B的視角大約40度，島B、C的視角大約70度，
請問娜美可以用什麼方法找到索隆呢?
作法
A
M
50°
(1)連接A、B
B
(2)畫出 AB的中垂線，令中點為M
(3)令MOB=40，則
MBO=90-40=50
O
因此，作一直線使MBO=50與中垂線
相交於O點
(4)以O點為圓心，OB為半徑畫圓
(5)連接B、C
A
(6)畫出 BC的中垂線，令中點為N
M
B
50°
(7)令NO'C=70，所以
NCO'=90-70=20
N
O
O’
P
20°
因此，作一條線使NCO'=20與中垂線
相交於O'點
C (8)以O'點為圓心，O'B為半徑畫圓
(9)則，這兩圓的交點P就是索隆所在的位置
說明
A
B
80°
O
O’
140°
40°
70°
C
P
圖中，∠AOB為40度×2等於80度，所以，根據圓周角定理，圓周角
∠APB為40度。這個角度與索隆看向A、B島的視角40度大小相同。同
理，∠BO’C為70度×2，即140度，所以圓周角∠BPC為70度。這個角
度與索隆看向B、C島的視角70度大小相同。因此，P點正好是索隆所
在的位置。
試試看
如下圖1、2，兩圓O、O’的交點為A、B。分別通過A、B點，與兩圓
相交的直線CD、EF。試回答下列問題:
D
A
C
C
O
E
B
O’
O
O’
F
圖1
(1)試證:CE//FD
D
F A
B
圖2
(2)試證:CF//ED
切弦定理
B
如圖(一)，T為圓O之切線，A點為切點，試比較
TAC與ABC的大小關係:
C
O
(1)連接OA=OC
(2)令TAC=x，BAC=y，ABC=a，OAB=b
T
A
(一)
(3)使用圓周角定理，AOC=2ABC=2a
所以等腰OAC之中，2a+2(y+b)=180
也就是a+y+b=90()
B
a
C
2a
y b
O
x
T
可得:OAT=90，所以
x+y+b=90()
A
(二)
(4)()-()得x-a=0，也就是x=a
結論:切線AT和通過切點A的AC弦所做出的角等於
此角內部之弧AC所對的圓周角，即∠TAC=∠ABC
動動腦
看這張圖，池畔的A村有道路銜接；B村與A村之間架了一座橋，
現在，我想要在AB弧之間，建造新村落C，使AC弧=BC弧，並
架一座橋AC，請找出這個新村落及橋在什麼位置及方位﹖
作法
B
作法:
(1)作∠TAB之角平分線交圓於C點
(2)則C點即新村落的位置，AC即橋的位置
C
A
T
B
說明:
(1)令∠TAC=∠CAB=x°(AC線段為角平分線)
(2)根據切弦定理，則∠ABC=∠TAC=x°
(3)所以，AC弧=BC弧(等圓周角對等弧)
x
C
x
T
x
A
圓冪定理
A
A
A
B
B
C
2
PC =PA PB
C
D
P
P
C
D
B
P
PA PB=PC PD
PA PB=PC PD
外冪定理或切割線定理 外冪定理或割線定理 內冪定理或相交弦定理
切割線定理
A
B
C
P
證明:(1)連接 AC、BC
(2)在CPB與APC中
CPB=APC(共同角)、BCP=CAP(切弦定理)
所以CPB~APC(AA相似)
(3)PC:PA=PB:PC(對應邊成比例 )
2
PC =PA PB(外項積 =內項積)
割線定理
A
B
C
P
D
證明:(1)連接 AC、BD
(2)在PAC與PDB中
APC=DPB(共同角)、CAP=BDP(內對角定理)
所以PAC~PDB(AA相似)
(3)PA:PD=PC:PB(對應邊成比例)
PA PB=PC PD(外項積=內項積)
相交弦定理
A
P
C
D
B
證明:(1)連接 AC、BD
(2)在PAC與PDB中
APC=DPB(對頂角)、CAP=BDP(圓周角定理)
所以PAC~PDB(AA相似)
(3)PA:PD=PC:PB(對應邊成比例)
PA PB=PC PD(外項積=內項積)
動動腦
A
B
P
M
Q
如圖，令相交於A、B兩點之兩圓的共同切線之切點為P、Q
兩點，直線AB與直線PQ的交點為M，試證:PM=QM
整理
圓周角定理、內對角定理、切弦定理都跟角度有關。
那這三個定理之間應該有某種關係囉?!
C
P
C
C
C
T
P
B
A
(一)
B
A
(二)
B(P) A
A
(三)
S
B
P
(四)
我們可以發現到一個東西，一個動點P在圓周上慢慢往下方移動，
依據P點的移動，從圓周角定理，如圖(一)，類推出切弦定理，如
圖(三)，然後，內對角定理也跟著出現了，如圖(四)。
整理
三種圓冪定理之間應該也有某種關係?!
(二) A
(一) A
(三)
B
B
B
D
A
P
P
P
D
C
(五)
C(D)
C
D
A
(四) A
C
B
B
P
D
P
C
如圖(一)，符合割線定理，如C點在圓周上移動，當它跟D點一致時，
如圖(三)，就可以把它視為切割線定理，即PA PB=PC PD變成
2
PC =PA PB(此時PD=PC)
整理
(一) A
(二) A
B
(三) A
B P
P
P(B,D)
D
D
C
C
C
(六) P
A
B
D
C
(四) A
(五) P(A,D)
B
C
D
P
B
C
如圖(一)，P點雖然在圓的外面，但是，如果繼續移動下去，它會跑
進圓裡面。在圖(一)中，PA PB=PC PD(割線定理) ，在圖(三)中，
因為PB和PD的長為零，所以PA PB=PC PD當然成立!圖(四)中，
PA PB=PC PD也成立(相交弦定理)。
整理
結論:利用點的移動這種思考方式，圓冪定理雖然有下
列三種情形，但最終的結果還是一樣。
A
A
A
B
B
C
2
PC =PA PB
C
D
P
P
C
D
B
P
PA PB=PC PD
PA PB=PC PD
畫出 a 的長度
(一)
A
a
C1 B
作法:(1)在一直線上取 AC=a及 BC=1，如圖(一)
(2)取AB的中點D，以D為圓心，DA為半徑
畫圓，如圖(二)
(二)
(3)過C點作 AB之垂線交圓D於E、F兩點，
A
C
B
D
此時CE= a，如圖(三)
理由，根據相交弦定理，AC BC=EC CF ，
因AC=a，BC=1，EC=CF
，所以a:1=EC EC ，
2
因此，a=EC，即EC= a
(三)
E
A
D
C
F
B